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高校生にテンソルを教えるスレ

1 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/14(水) 22:59:30 ID:???
行列と関係あんの?
すげー興味ある

2 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/14(水) 23:06:43 ID:wbeaiSEd
ttp://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/qa_a40.htm

でなおしてこい

3 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 00:29:26 ID:2AO5+QT6
テンソルてなんだべ?

4 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 00:36:03 ID:ZkXPQbQc
あれだべ
昔のおなごが足を成長させない為に履いてたアレだべ。

5 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 00:43:54 ID:tPDzwKwe
高校生に教えるなら,具体例で説明かな。

「具体的に説明すると,力を例にとろう。
例えば、テンソルというのは、

テンソル ⇒ Txy

と書いたりするんだけれど、この意味する処は,

x方向に力Fを及ぼした時に,y方向に Txy だけの変化がある


-------------------> x方向 : 力 F
    |
    |
    |

y方向
    Txy: 変化
という意味なんだ。ベクトルでは、それが向いている方向
しか表す事は出来ないんだけれども、
テンソルは、

x方向を向いている時の、y方向の変化 

を表す事が出来て,

Txy

と書くんだ。


6 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 00:49:15 ID:tPDzwKwe
テンソル Txy

というのは, 2階のテンソル というんだ。
それは、Tの右下に2つ添え字があるから、
2階のテンソルというんだけれども、

それが1つなら, 1階のテンソル
それが0つなら、 0階のテンソル
というんだ。

1階のテンソル は, 実はみんなが知っている ベクトル。
つまり、 方向と大きさ をもつもの。

0階のテンソル は、 一番身近な、 数。
つまり、 大きさ をもつもの。方向はない。


7 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 00:50:44 ID:wEpu8xaA
なんか広がりを表す量ってことですかね

8 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 00:52:11 ID:tPDzwKwe
だったら、

Tの右下に添え字が3つもあるのか?

というと、それは 3階のテンソル といってある。
実は、 Tの右下に添え字が4つでも、5つでも、・・・nつ
でも、ある。それは、 4階のテンソル、5階のテンソル、・・・
n階のテンソル、っていう。

より複雑なものやことを表したい時に、それらをつかう事になる。

9 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 01:05:31 ID:tPDzwKwe
Txyz となれば 3階のテンソル
T1324 となれば 4階のテンソル
・・・
といいます。

Txyz というのは, y方向,z方向で同じにある変化が起きた
時にx方向に Txyz という変化が起きる。といった具合に
使われる時があります。このような例だけではなく、状況に合わ
せて使われます。

T1324 というのは,例えば,(1, 3, 4)という3つのペアの
時に, 2の方向に T1324 という変化が起きる。

10 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 01:07:35 ID:tPDzwKwe
>>7
ある意味そうですね。
テンソル Txy というのは,x方向だけの話でもなく,
y方向だけの話でもない。そういう意味で 広がり=
一つの方向 って事だけでは済まない というのが、
テンソルっても言える。



11 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 01:09:40 ID:tPDzwKwe
>>7
例えば,違う例でいうと

テンソル Txy

x方向に走っていた時に,y方向から Txy だけの強さの風を受ける

テンソル Txy

x方向に走っていた時に,y方向から Txy だけの強さの風を受ける

テンソル Tzz

z方向に走っていた時に,z方向から Tzz だけの強さの風を受ける


こんな使い方もします。


12 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 01:19:18 ID:tPDzwKwe
こんなものも テンソル です。

Tabc
⇒ 3階のテンソル 
⇒ a,b,c は 1, 2, 3 のどれかの数
⇒ 3つの数のペア(a,b,c)が全て違う数なら1か−1
  3つの数のペア(a,b,c)のうち同じ数があるなら0

T123 = 1, T231 = 1, T312 = 1,
T132 =-1, T321 =-1, T213 =-1,

T111 = 0, T222 = 0, T333 = 0,
T112 = 0, T121 = 0, T211 = 0,
T113 = 0, T131 = 0, T311 = 0,
T221 = 0, T212 = 0, T122 = 0,
T223 = 0, T232 = 0, T322 = 0,
T331 = 0, T313 = 0, T133 = 0,
T332 = 0, T323 = 0, T233 = 0

こんな様にして,勝手に1, 2, 3の3つの数字
を使って,それらの3つのペア( 1,2, 3)をつく
って, それに T123 と名前をつけて、それを
1とします、と決めてル事もできます。

3階のテンソルっていっても簡単でしょう?

13 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 01:19:46 ID:3NnTKQxp
テンソルは高次元行列。それだけだ

14 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 01:31:00 ID:tPDzwKwe
>>13
抽象的で、高校生は分からないし、その様な理解が
先ではなくてもいいと思うなぁ。人それぞれだけど。
高次元行列って矛盾している名前でもあるし。

そりゃ、

n階テンソル T_{j1,j2,j3,・・,jn} 

ってのは,Tという量が e_{j1},・・・・,e_{jn}
というnこの「積*」で

T=T_{j1,j2,j3,・・,jn} e_{j1}*e_{j2}*・・*e_{jn}

と書かれるものを言うっていう事が一番正確で一般的だけど、
それは 高校生にとってはあまり意味がない って俺は思う。
つまり、定義を知っただけでそれが何?っては理解は出来な
いから。 
 

15 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 03:36:30 ID:NEdJ9yw9
>>14

1 ではないけれど、サンクス。
2ch の良い使い方だと思う。
荒しはスルーして、ぜひ継続して貰いたい。
複雑なことを、初心者に解りやすく説明するのは、結構、能力が必要だし。

16 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 07:37:12 ID:???
1-formって具体的にどんなものですか?
教えてください><

17 :一回生:2005/09/15(木) 09:19:13 ID:5BuRB/kg
ベクトルが複数の変数で表せるって事か?f(x y z t)みたいなもん?

18 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 09:29:13 ID:???
>>3
式の筆記量を減らすための方便です。人間だらけると、テンソルを
使って楽をしようとします。というのは本当です。

19 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 09:47:49 ID:???
2-次元の碁盤の目(x,y)を考え、自分は交点に立っているとする。x方向に
1交点移動したら実数a_xだけゲットする、y方向に1交点移動したら実数
a_yだけゲットする、というゲームをしようとしたとする。(-x方向への
移動は符号が逆になるだけとする。)このゲームをするには、あらかじめ
各交点でa_x, a_yを与えておく必要がある。これが1-formの離散バージョン。
交点をつぎつぎと移動して、その移動の全過程で実数をトータルいくつゲット
できたかが計算できたりする。
このように、自分の立ち位置の微小変化に比例した値がゲットできる仕組み
を 1-formという。立ち位置の変化の方向は、考えている空間の次元と同じ
だけある。だから1-formもその数だけの成分で指定する必要がある。
1-dimなら 立ち位置xからx+dxの変化に応じて、a(x)dxをゲットする仕組み
となるので、a(x)がこの場合の 1-formつまりふつうの微分係数そのものだ。

20 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 14:38:26 ID:tPDzwKwe
>>16
1-form というのは,高校の時に少し会っていて,
具体的には, dx とか dy というものが
1-formというんだ。

x軸をx軸に垂直に平らな面で区切っていったものが dx, 
y軸をy軸に垂直に平らな面で区切っていったものが dy,
なんだ。

2-form というのも,あって,それは大きさと共
に方向を持つ。具体的には, dx∧dy なん
て書くんだ。 縦横がdxとdyである様な微小
な面積を表すと共に、dxからdyにネジを回す
方向を持つ。

つまり、x軸からy軸へのネジを回す方向なので、
z軸方向だね。縦横がdxとdyの面積を持つ、
z軸方向を持つものが、 dx∧dy という、
2−formなんだ。

21 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 14:43:14 ID:tPDzwKwe
Tx は Tの右下に添え字が1つだから 1階のテンソル
なんだ。これは ベクトル と同じと言ったけれども、何故?
って感じではある。

ベクトル A =(Ax, Ay, Az)と成分表示できたよね。
この成分一つ一つに注目すると Aの右下に添え字が1つある
よね? ということは、 Ax, Ay, Az というのは、1階の
テンソルなんだ。

こう見てみると、 Tx というのは、何か ベクトルTとい
うものの、x方向の成分 Tx という事らしい。

つまり、 1階のテンソル Tx というのは、ベクトルTの
x方向の成分を表す事が分かる。

22 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 14:48:31 ID:tPDzwKwe
すると、 x方向の成分だけでなく、y方向の成分、z方向の成分
である、 Tx, Ty, Tz も全て、 1階のテンソルで、ベクトル
のx,y,z成分を表す。 ベクトルTの各成分、Tx, Ty, Tzをまとめて

Tx, Ty, Tz −−−−> Ti

とTの右下に1文字iと添えて、 その i が x, y, z を
意味する様にすれば、 ベクトルTを

ベクトルT => Ti , i=x, ,y z 

と書ける。 これで

ベクトルT ⇔ Ti ⇔ 1階のテンソル(Tの右下の文字が1つだから) 

と統一的に書ける訳。

23 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 14:49:36 ID:tPDzwKwe
つまり、x軸からy軸へのネジを回す方向なので、
z軸方向だね。縦横がdxとdyの面積を持つ、
z軸方向を持つものが、 dx∧dy という、
2−formなんだ。


24 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 15:00:30 ID:tPDzwKwe
2階のテンソルっていうのもそう難しくないんだ。

Txy とTの右下に添え字が2つあるものを、2階のテンソルって
言ったけれども、具体例は無限にある。例えば、

1階のテンソルだった、
 ベクトルTのx成分 Tx
 ベクトルTのy正分 Ty
を使って,その積
 TxTy
を 2階のテンソルTxy と定義も出来るんだ。つまり,
 Txy = TxTy


25 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 15:03:27 ID:tPDzwKwe
Tx、Tyは ベクトルTの成分だったから,その
ベクトルT は 簡単に書くと Ti (i=x,y,z)
なんて書けたね。そうすると,2階のテンソルとして

Tij = TiTj  (i=x,y,z; j=x,y,z)

なんても定義できるんだ。

26 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 15:06:31 ID:tPDzwKwe
TxやTyというものの積だけで無くって,

ベクトルA=1階のテンソル=Ai (i=x,y,z) と
ベクトルB=1階のテンソル=Bj (j=x,y,z) と

を使って 2階のテンソルCij を

Cij = Ai Bj (i=x,y,z;j=x,y,z)

と定義も出来る。

27 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 15:09:01 ID:tPDzwKwe
こうなってくると、色んなものが勝手に作れそうな事が
分かってくるよね。例えば

2階のテンソルTxyを

Txy = dTy/dx = Tyをxで微分

なんても定義できたりもする。すると、

Tyx = dTx/dy = Txをyで微分

とTxyは同じではなくって Txy≠Tyx。

28 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 15:10:49 ID:tPDzwKwe
でも、
1階のテンソルだった、
 ベクトルTのx成分 Tx
 ベクトルTのy正分 Ty
を使って,その積
 TxTy
を 2階のテンソルTxy と定義も出来るんだ。つまり,
 Txy = TxTy
だと,

 Tyx = TyTx

だから, Txy=Tyx と同じになる。
つまり、一般的には、テンソルというのは、その右下の
添え字を入れ換えると 違うものになるわけ。

29 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 20:34:48 ID:???
ずうっと一人で書いていて楽しいか?

30 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 21:12:44 ID:???
良レスじゃないか。アフォは茶々入れるな。

31 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 23:21:16 ID:???
いやだておまい00時35分から15時杉まで書いてるんだぜ
自分で勉強しながら書いてるんじゃないかw

32 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/15(木) 23:34:08 ID:???
漏れは>>15の意見に賛成するぞ
これだけ砕いて説明するのは、良く分かってないとできないと思う

33 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/21(水) 12:28:03 ID:???
ここまで下添字しかでてきてねえw

34 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/21(水) 20:40:37 ID:jrbK4mEI
~~~~~~~~~~~~~~~~xy
Tuv = gux gvy T

これでどうだっ!

35 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/21(水) 23:50:25 ID:1bCv8qNF
>>34
それは本質ではないから、その段階では。

36 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/21(水) 23:51:06 ID:???
先生!上添字の具体的な意味も説明して下さい。

37 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/21(水) 23:55:57 ID:1bCv8qNF
>>35
失礼。
>>33
それは本質ではないから。その段階では。

38 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:23:24 ID:Qari2HiO
>>36
「一言で言えば、添え字が下か上かという違いは、

  見方を変えている 
 
 という事なんだ。でも、元々は同じものだからさ、 
  
 こうやって見方を変えましたよ っていう 
 説明書 
 
 はちゃんとある。それが gux だったり gvy
 だったりするんだ。」

39 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:28:20 ID:Qari2HiO
>>36

右下に2つ添え字がある T_xy にしたって、
右上に2つ添え字がある T^{xy}にしたって、

元々は 同じTっていうものなんだ。

右下に2つ添え字が付く様に, Tを見てやると T_xy
右上に2つ添え字がつく様に、 Tをみてやると T^{xy}

ってなる。どっちも添え字が2つあるからさ、2階のテンソル
なんだ。

40 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:32:41 ID:Qari2HiO
>>36
だから, 
右上に2つ添え字がつく T^{xy} にしろ,
右下に2つ添え字がつく T_{xy} にしろ,

ある方向を見た時の、 別の方向への変化 を表している。
例えば、xの方向を向いていた時の、yの方向への変化って
具合にね。

じゃあ、上に添え字がつく時と、下に添え字がつく時とでは、
>>38 によるとだ、 元々同じものを別の見方をしたものだ_
っていう訳だが、どう見方を換えているのかってのが、問題
だ。

41 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:41:20 ID:Qari2HiO
>>36
それに関わっているのが, gux, gvy らしいのも分かった。
大学に入れば、数学的にきっちり展開されるんだが、直観的
なイメージのひとつはこうなんだ。

右上に2つ添え字がつく T^{xy} てのは、Tっていう量を
x方向(→)を向いていた時に、y方向(↑)への変化を表
す量なんだ。

右下に2つ添え字がつく T_{xy} てのは、Tっていう量を
x方向(→)が垂直に貫く面(|)、
 [・・・ →が|を垂直にこう →| 貫いている]
こんな面(|)で,Tっていう量を見た時に、

y方向(↑)が垂直に貫く面(_)、
 [・・・ ↑が_を垂直にこう ⊥ 貫いてる]
こんな面(_)への変化を表したのが、T_{xy} って
いう量だ。 



42 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:45:36 ID:Qari2HiO
>>36
右上に2つ添え字がつく T^{xy} てのは、Tっていう量を
x方向(→)を向いていた時に、y方向(↑)への変化を表
す量なんだ。

右下に2つ添え字がつく T_{xy} てのは、Tっていう量を
x方向(→)が垂直に貫く面(|)、
 [・・・ →が|を垂直にこう →| 貫いている]
こんな面(|)で,Tっていう量を見た時に、

y方向(↑)が垂直に貫く面(_)、
 [・・・ ↑が_を垂直にこう ⊥ 貫いてる]
こんな面(_)への変化を表したのが、T_{xy} って
いう量だ。 


x方向(→)で見た時,y方向(↑)への変化: T^{xy} でも
x方向(→)に貫かれる(|)で,y方向(↑)に貫かれる(_)
への変化: T_{xy} でも,



43 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:46:15 ID:Qari2HiO
>>36
x方向(→)で見た時,y方向(↑)への変化: T^{xy} でも
x方向(→)に貫かれる(|)で,y方向(↑)に貫かれる(_)
への変化: T_{xy} でも,

ある方向を見た時の、またある方向への変化 を表しているんだ。
ただ、その ある方向 や またある方向 というのが、どういう
見方での ある方向 や またある方向 であるかって言う違いが
あるだけなんだ。

44 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:55:24 ID:Qari2HiO
>>36
Tって言う量を

ある方向を (→) でみて,(↑) への変化をみるのか:T^{xy}
ある方向を (|) でみて,(_) への変化をみるのか:T_{uv}

元々同じものを、別の見方で見ただけなので、T^{xy}でもT_{uv}でも
対等なものです。だから、どちらで考えても言い様に、説明書がある。
その どう見方を換えたのか っていう 説明書 が,gux, gvyなんだ。

例えば,Tってものを,
右上に添え字が付く[(→)(↑)]という見方をしたT^{xy}を,
右下に添え字が付く[(|)(_)]という見方のバージョンにし
たいなら,説明書gux, gvyに従って,

T_{uv} = gux gvy T^{xy}

となるんだ。

45 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:57:34 ID:Qari2HiO
>>36
T^{xy}の上についていた添え字xは、説明書 gux に
よって,添え字の位置は右下になるんだ。そして、もう1つの説明書
gvy によって,T^{xy}の上についていた添え字yは、その位置が
右下にあるんだ。

つまり,
説明書 gux によって:
gux T^{xy} = T_{u}^{y}

説明書 gvy によって:
gvy T_{u}^{y} = T_{uv}

となるんだ。


  

46 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 00:59:19 ID:Qari2HiO
>>36
Tってものを:

 右上に添え字が付く【矢印】[(→)(↑)]という見方をしたT^{xy}を,
 右下に添え字が付く【面】 [(|)(_)]という見方のバージョンにし

たいなら,説明書g ux, gvy に従って:

説明書 gux によって:
gux T^{xy} = T_{u}^{y}

説明書 gvy によって:
gvy T_{u}^{y} = T_{uv}

となるんだ。


47 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:06:21 ID:Qari2HiO
>>36
となると,Tってものを:

 右上に添え字が付く【矢印】[(→)]という見方 で見た時の,
 右下に添え字が付く【面】 [(_)]という見方 で見たら

T^{x}_{y}

なんてもなる。当然、

 右下に添え字が付く【矢印】[(|)]という見方 で見た時の,
 右上に添え字が付く【面】 [(↑)]という見方 で見たら

T_{x}^{y}

なんてもなる。T^{x}_{y} も T_{x}^{y} もどちらも、元々は
同じTっていうりょうなので,説明書 g ,ここでは,
g^{xx}, g_{yy}
g_{xx}, g^{yy}
によって,

T^{x}_{y} = g^{xx} g_{yy} T_{x}^{y}

T_{x}^{y} = g_{xx} g^{yy} T^{x}_{y}

となる。

48 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:07:00 ID:Qari2HiO
>>36
当然、

 右下に添え字が付く【矢印】[(|)]という見方 で見た時の,
 右上に添え字が付く【面】 [(↑)]という見方 で見たら

T_{x}^{y}

なんてもなる。T^{x}_{y} も T_{x}^{y} もどちらも、元々は
同じTっていうりょうなので,説明書 g ,ここでは,
g^{xx}, g_{yy}
g_{xx}, g^{yy}
によって,

T^{x}_{y} = g^{xx} g_{yy} T_{x}^{y}

T_{x}^{y} = g_{xx} g^{yy} T^{x}_{y}

となる。


49 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:10:45 ID:Qari2HiO
>>36
T^{x}_{y} = g^{xx} g_{yy} T_{x}^{y} ・・・@
T_{x}^{y} = g_{xx} g^{yy} T^{x}_{y} ・・・A
@にAを代入すると,

T^{x}_{y}
= g^{xx} g_{yy} g_{xx} g^{yy} T^{x}_{y}
= g^{xx}g_{xx} g_{yy}g^{yy} T^{x}_{y}

なので,左辺=右辺なので,

g^{xx}g_{xx} g_{yy}g^{yy} =1

ならないといけません。つまりは,

g^{xx} g_{xx} = 1 = g_{yy} g^{yy}

という関係があるわけです。これは,



50 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:14:48 ID:Qari2HiO
>>36
g^{xx} g_{xx} = 1 = g_{yy} g^{yy}
っていうのは,
 
 最初に,
 右上に添え字が付く【面】 [(↑)]という見方をして:

 右下に添え字が付く【矢印】[(|)]という見方をした:g_{xx}
 んだけれど,また
 
 右上に添え字が付く【面】 [(→)]という見方で見た:g^{xx}

 ので,右上に添え字が付く見方を、一度、右下に添え字がつく見方を
 して、再度、右上に添え字がつく見方をしたので、

 右上⇒右下(g_{xx})⇒右上(g^{xx}) で 元に戻り, 戻るのだから
g_{xx} g^{xx} = 1 = 元に戻る

ってわけ。

51 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:15:29 ID:Qari2HiO
>>36 
 右上に添え字が付く見方を、一度、右下に添え字がつく見方を
 して、再度、右上に添え字がつく見方をしたので、

 右上⇒右下(g_{xx})⇒右上(g^{xx}) で 元に戻り, 戻るのだから
g_{xx} g^{xx} = 1 = 元に戻る

ってわけ。


52 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:27:10 ID:Qari2HiO
>>36
大学に入ると、色々名前がついていて、

右上に添え字が付く【矢印】[(→)(↑)]という見方をしたものを:
 T^{xy}, g^{xx}, ・・・・> 
 contravariant(コントラヴェーリアント) テンソル

右下に添え字が付く【面】 [(|)(_)]という見方をしたものを:
 T_{xy}, g_{yy}, ・・・・>
 covariant(コーヴェーリアント)テンソル

右下と右上に添え字が付く【矢印・面】 [(→)(|)]という見方を
したものを: T^{x}_{y}, g^{x}_{y}, ・・・・>
 mixed(ミクスト)テンソル

なんていいます。

53 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:30:16 ID:Qari2HiO
>>36
T^{xy}, g^{xx}, ・・>contravariant(コントラヴェーリアント) テンソル
T_{xy}, g_{yy}, ・・>covariant(コーヴェーリアント)テンソル
T^{x}_{y}, g^{x}_{y}, ・・>mixed(ミクスト)テンソル

どれでも、もともと同じものであるT という量を 色んな見方 をした
ものですから、どれも対等です。


54 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:37:49 ID:Qari2HiO
>>36
じゃあ、なんで、3つも〜テンソルなんて色んな見方をするのか?
それは、人間ていうのは、 もともと同じものであるT という
量を そのままでは分からない からなんだ。
 つまり、
 このひもはどのくらいの長さだ? って聞かれだ、
 何にもしない、つまり、 そのままでは分からないだろう? 
  定規を持ってくるなり、
  あらかじめ長さを決めておいたひも をあてがって、その幾つ
  分って測るなり、
  そのひもを何かに巻きつけて、何回巻きつくかって、測るなり
 するだろう?



55 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:38:27 ID:Qari2HiO
>>36
つまり、定規でか、きめたひもか、巻き付けか、・・・どんな見方を
するかで、長さを測りたいひも:そのもの: は、見え方が変わって
くる。 それが、丁度、テンソルでいう所の、
 上付き添え字:【矢印】(↑)(→):コントラヴェーリアント
 下付き添え字:【面】(_)(|):コーヴェーリアント
 上下付添え字:【矢印・面】(→↑)(|_):ミクスト
っていう違いなんだ。

56 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:43:38 ID:Qari2HiO
>>36
でも、どれも、もともとは同じTよいうものであるから、対等なんだ。
必要に応じて使い分けるわけだ。

そして、どういう物の見方をするかで、色々結果は変わる。
でも、それらは、対等で、どちらがどっちと言うわけではない。
なぜなら、もともとは同じものだから。

混乱しない為に、これはこういう見方をしましたよ っていう
説明書がある。それが,  g_{xy}, g_{x}^{y} なりなんだ。
この g ってやつは,大学では, metric(メートリック) って
言われるもんだ。
  人間は、そのままでは、何にも分からないから、
 【量】を 《ある見方》で【計る】ってこと を
  数学的に示したもが :g:メートリック なんだ。

57 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 01:47:36 ID:Qari2HiO
>>36
小学生でも幼稚園でも自然とやっている、

 たて(ぜんご)・よこ(さゆう)・たかさ(じょうげ)に幾つ

ってものもだ、人間が、そのままでは、何もわからないから、
無意識に、ある【量】を 《ある見方》で【計る】ってこと 
をやった結果なんだ。

それを大学に入ると、少し、知識も増えたから、

:g:メートリック:テンソル:コーヴェーリアント:
コントラヴェーリアント:ミクスト:・・・

なんて名前を付けて、使い分けるわけだ。でも、その根本は、
素朴なところで、たて・よこ・たかさ に幾つ から出発しているんだ。

58 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 03:44:55 ID:???
反変とか共変とかも併記してあげたほうが
のちのちイメージ掴みやすいんじゃない

59 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 09:10:14 ID:Qari2HiO
>>58
日本語も必要でしょうね。敢えて、印象にのこるように、
英語読みで書いておいたんだけど。

60 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 09:20:18 ID:Qari2HiO
高校で習う ベクトル っていうのは, 1階のテンソルって
言うのは、以前説明したわけだが、上付き添え字 か 下付添え字か
ってのも出てきた。

ベクトルっていうのが, 1階のテンソルっていうのは,上付き添え字
だろうが,下付添え字だろうが、 変わらない。

ベクトルAっていう時には,本来は,



(A^1)
(A^2)
(A^3)
 
=(A^i)
の様に,
 成分が右上に添え字が1つ付く,
 上付き添え字:【矢印】(↑)(→):コントラヴェーリアント
のものを言って,行列を習ったなら,分かると思うが,
 
 A^1,A^2,A^3という量を縦に3つ並んで書いた, 
 3行1列の行列 = 縦ベクトル

を,単に,ベクトルと言う時には指すんだ。

61 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 09:20:48 ID:Qari2HiO
ベクトルAっていう時には,本来は,



(A^1)
(A^2)
(A^3)
 
=(A^i)
の様に,
 成分が右上に添え字が1つ付く,
 上付き添え字:【矢印】(↑)(→):コントラヴェーリアント
のものを言って,行列を習ったなら,分かると思うが,
 
 A^1,A^2,A^3という量を縦に3つ並んで書いた, 
 3行1列の行列 = 縦ベクトル

を,単に,ベクトルと言う時には指すんだ。


62 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 09:21:24 ID:Qari2HiO
行列を習ったなら,分かると思うが,
 
 A^1,A^2,A^3という量を縦に3つ並んで書いた, 
 3行1列の行列 = 縦ベクトル

を,単に,ベクトルと言う時には指すんだ。

63 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 09:25:57 ID:Qari2HiO
じゃあ,
 下付き添え字:【面】(_)(|):コーヴェーリアント
の見方をした1階のテンソル:A_i
はどうなんだ? となる。
実は,A_iは,

 下付き添え字の1階のテンソルA_i: A_1, A_2,A_3



 横に3つ並んで書いた,
 1行3列の行列 = 横ベクトル = (A_1, A_2,A_3)

を指す。

64 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 09:27:25 ID:Qari2HiO
つまり,

単にベクトルッて言う時には,

成分が右上に添え字が1つ付く,
 上付き添え字:【矢印】(↑)(→):コントラヴェーリアント
のものを言いい
A^1,A^2,A^3という量を縦に3つ並んで書いた, 
 3行1列の行列 = 縦ベクトル
という。
 
 

65 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 10:14:33 ID:Qari2HiO
>>64
元々同じものである量Aを

上付き添え字=A^{i}=【矢印】(→)(↑)の見方=縦ベクトル(単にベクトル)
下付き添え字=A_{j}=【面】(|)(_)の見方=横ベクトル

という別々の見方をしたわけで、立場は対等のはず。その見方をこう
換えましたよ っていう 説明書:g_{ji}, g^{ij} があった。
これを使うと、ある見方から別の見方に 移り変われる。


66 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 10:18:54 ID:Qari2HiO
A^{i}→A_{j}: g_{ji} A^{i} = A^{j} ・・・@
A_{j}→A^{i}: g^{ij} A_{j} = A^{i} ・・・A

って具合にだ。
@にAを代入すると:
 g_{ji} g^{ij} A_{j} = A^{j} → g_{ji} g^{ij}=1
Aに@を代入すると:
 g^{ij} g_{ji} A^{i} = A^{i} → g^{ij} g_{ji}=1

g_{ji} g^{ij}=1=g^{ij} g_{ji}

っていう重要な関係もあるんだ。

67 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 10:22:13 ID:Qari2HiO
まあ、これはある意味当然で,
@にAを代入 ⇒ A^{i}→A_{j}→A^{i} ⇒ 元に戻る⇒ g_{ji} g^{ij}=1
Aに@を代入 ⇒ A_{j}→A^{i}→A_{j} ⇒ 元に戻る⇒ g^{ij} g_{ji}=1
ってことだから。


68 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 10:36:28 ID:Qari2HiO
高校で ベクトル ってくれば,次に 内積 だった訳でしょう?
内積はこの調子だとどうなるんだ?って来る。

ベクトルA=縦ベクトル=A^{i}=3行1列の行列
ベクトルB=縦ベクトル=B^{j}=1行3列の行列

内積っていうのは,実は,
 「縦ベクトル と 横ベクトル を掛ける」
って事なんだ。つまり,

A・B=(横ベクトル)(縦ベクトル)
   =(1行3列の行列)(3行1列の行列)

ってことなんだ。(縦ベクトル)の見方を(横ベクトル)の見方に
換えるには,見方を変えますよっていう説明書:g_{ij}が必要だった。
つまり,
 (横ベクトル)A_{j}=g_{ij}(縦ベクトル)A^{i}
これと
 (縦ベクトル)B^{j}     
を掛けたものが,内積A・B
 A・B=(横ベクトル)(縦ベクトル)=A_{j}B^{j}

69 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 10:41:35 ID:Qari2HiO
つまり,
 (横ベクトル)A_{j}=g_{ij}(縦ベクトル)A^{i}
これと
 (縦ベクトル)B^{j}     
を掛けたものが,内積A・B
 A・B=(横ベクトル)(縦ベクトル)=A_{j}B^{j}

ちゃんと,(横ベクトル)=下付き添え字,(縦ベクトル)=上付き添え字
ってのに、合っていることもわかる。gが付いている形で書くと,

『 A・B=g_{ij}A^{i}B^{j} 』

となるんだ。これが,内積のきちんとした定義なんだ。

70 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 10:42:06 ID:Qari2HiO
高校で習う
内積は、特別なヴァージョンの内積で,世界が,平らで,どの方向
も同じような目盛になっている,時の内積なんだ。
 つまり,高校でならうxy座標の平面とか,xyz座標の空間と
かそんな世界での 内積 なんだ。

71 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 11:36:48 ID:2FFY9fxT
大学4年生にもテンソルを教えて欲しいレス

72 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 13:02:41 ID:???
大体テンソルのイメージがつかめたけど、座標変換に対して
共変とか反変とかはどうとらえればいいの?

73 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 13:14:11 ID:Qari2HiO
>>72
それについても,
 コントラヴェーリアント,
 コーヴェーリアント
の説明と,
 見方をかえているだけ,・・・・
 もともと同じものを,・・・・
 どう見方をかえたか,こうやって見方を換えましたよっていう説明書・・・・
 ・・・
という辺りでちょっと,感覚的に説明はしてみました。

74 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 13:56:47 ID:???
>>73
失礼。よく読んでませんでしたw
誰かが書いていた「どうしてこのような見方が出てくるのか、または必要なのか」
というところが今ひとつわからないのですが。。。 少なくとも直交座標では
特に必要じゃないですよね?

75 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 17:24:20 ID:Qari2HiO
>>74
そうですね。ただ,考え方としては,自然な訳です。ある意味、
座標系によらないで、統一的な枠組に捉えられるという処が。

76 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 19:06:05 ID:???
>>75
考え方として自然、というところが素人には
わかりにくいです。何故、直角座標では同じだったものが、
一般的な座標に移ると、反変と共変に別れてゆくのかが素人には
よくわかりません。

77 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 20:38:55 ID:???
36です。ありがとう!

78 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/22(木) 22:59:19 ID:???
例えば、特殊相対論を記述するミンコフスキー空間という四次元時空では、
ベクトル(古い言い方で反変ベクトル)と一形式(古い言い方で共変ベクトル)は
第一成分(時間成分)の符号が異なる。
この符号の違いは、ミンコフスキー空間での内積を物理的に意味のある量にするために
要請された違いであって、これを認めて初めて首尾一貫した理論が構成できる。

79 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/23(金) 17:49:41 ID:???
>>72

たとえば平面の方程式は
ax+by+cz+d=0
だろ?
このとき、(x,y,z)が反変ベクトル、(a,b,c)が共変ベクトルだ。

これをてきとうに座標変換してみろ。
a'x'+b'y'+c'z'+d'=0
みたいになるが、このとき
(a', b', c')が(a,b,c)からどのように変換されるか
調べてみ? ふつうに(x,y,z)を(x',y',z')に変換するのとは
違った変換がされるだろ? (変換行列が転置の逆行列になる)。

高校生的に普通に正規直交座標系だけの変換を考えていれば、
変換行列は直交行列になるけど、直交行列というものは、
転置して逆行列にすると自分自身にもどるという妙な性質を
持ってるんだよ。だから正規直交系だけでは反変と共変の区別は
つかない。

80 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/26(月) 03:37:51 ID:eEG3LG4X
行列を積み重ねると立方体の行列になりますけど、これはテンソルと関係ありますか?

81 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/26(月) 11:44:03 ID:???
>>79
直交座標の場合はその例えでいいが、一般の場合はどうなる。
(a,b,c)は共変ベクトルの例になっているのか?

82 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/26(月) 12:42:49 ID:???
>>80
ありません。

83 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/26(月) 19:00:41 ID:eEG3LG4X
数を並べるとベクトル、
ベクトルを並べると行列、
では行列を積み重ねると何になるのでしょうか?

84 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/26(月) 21:39:26 ID:???
>>83
物を縦横にならべたものを行列というわけで、それ以上でも以下でもない。
また、物を1行にならべたものも行列です。
立体的に積み上げたものは、ふつう行列と呼ばないけれど、呼びたければそう定義
して「私の定義する行列」と呼んでも、それは勝手です。

行列というのは、物を縦横にならべる、という側面によって定義されるもので、
その行列要素が数であれば演算も定義できるけれども、行列要素が{猫、豚、
犬、牛}でも、まあ構わない。これが一行からなる行列だからといって、ベクトル
とはいわない。

べクトルやテンソルは、もともと幾何学的な対象で、そこから派生する性質に
着目して定義されているもの。それをいくつかの数で成分表示することがあるが、
そのときには、それらを紙の上に配置として表記するしかない、というだけ。

85 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/26(月) 23:41:04 ID:???
>>81
なってます。

86 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 09:24:08 ID:1wVTowEt
佐武一郎の線形代数学にのってるテンソル代数と
一般に言われるテンソル解析はどう違うんですか?

87 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 09:29:59 ID:PoJ+X+6k
>>86
同じ事を言っています。

88 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 09:45:15 ID:???
                   ,. -‐''"  ̄ ̄ ゙'''‐-、_
                 /            \
                  ,.'                ヽ
                /           -‐      ヽ
              ,.'                 l ヽ  i
              i゙    ,.‐'''ニテラ''''ン‐-..,,, __ ゝ   l
               l   / i,/,,‐=、_‐'''""フ,.''"ヽ、     l
              !   i  /io゚:::::l ヽ  ''"   、/゚'>、  /
           ,.r,.=┤   l  ! ゞ;;;ソ     ,rミ./ヽ/ヽ,.'
         /,.ヘ_ノ.i  l  l、     ,   /リ,ノ'",'彡-'
         /,-<_/i'"'、 !、: !ヽ、  r'''フ  ''"ノ,イ /   ここ通らないと
      / /^)/,.'゙|  ゙、│ヽi __ハ‐---‐‐‐'"ノヽl/      行けないので
     r" ,'ヾ/,.'  ハ  ,.、l.  ヽ  | -‐;ノ,..-l/./ ヽ       ちょっと通りますよっ♪
     ゝ"//  l ,../..i」-、-‐、_/'i ‐''"|  "/
     ヾ'‐、"   l r'   ,'j゙  /^}.l   !  /
      /  \ ヽ___,,,.......レ‐‐ン"リ   i /
     ,.'    ゙'''ヽ、_ r'_/"  ヽ__/    ,!/

89 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 10:02:34 ID:???
>>87
そうなんですか。
レスどうも。

90 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 10:19:35 ID:???
空間の一点(の接空間の上の)ベクトルやテンソルの代数と、
空間のある領域の各点でそれらがなめらかに定義されているベクトル場や
テンソル場の扱いは区別して考えるほうがよい。
後者を扱うと問題は最終的に偏微分方程式に帰する。

91 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 11:20:30 ID:???
>>85
よくわからんので説明してくれんか。

92 :91:2005/09/27(火) 12:51:00 ID:???
いや、確かに逆行列の転置になっていた。失礼!

93 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 19:39:30 ID:aKE2+AoC
>>79
確かに(a,b,c)が共変ベクトルの例になっているけど、
>>76が聞きたいのは、一つのベクトルが共変になったり、
反変になったりするのは何故かということなんじゃないか?

94 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/27(火) 20:38:06 ID:b2lOQirP0
大学で、テンソルの定義は習ったが
それと共変が面、反変が方向ってのと結び付かない。
何でそう解釈できるの?

95 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/28(水) 16:09:31 ID:???
>>93の疑問は解決されていないけど、
(x,y,z)から、ax+by+cz+d=0を使って、(a,b,c)を定義するのは
結晶学で出てくる逆格子を思い出させてくれた。
逆格子空間って、ある意味共変的な空間だったとは
ちょっと気づかなかった。

96 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/28(水) 22:16:32 ID:???
>>93
基底の変換と同じ形式で変換されるのが共変ベクトル。
そうじゃないのが反変ベクトル。

おまえらは多次元で考えれるほど賢くないみたいだから
1次元で考えてみろ。

メートル単位のものさしで2メートルという長さを、
1センチ(0.01メートル)単位のものさしではかると200センチ
になるだろ? このときメートルというスケールはセンチという
スケールになるときに1/100になる一方、それぞれのスケールで
あらわされている「数字」は2から200というように100倍に
なる。この「数字」が反変で、スケールが共変だ。
(続く)

97 :96:2005/09/28(水) 22:21:45 ID:???
この例では、例えば「速度」は反変である。秒速1mを前者の
単位で表せば1m/sとなり、後者の単位であらわせば100cm/s
となり、後者は前者の100倍だ。

一方、「温度勾配」みたいなのは共変である。2mの左端で0度C、
右端で10度Cみたいな温度場があるとして、前者の単位で
あらわせば温度勾配は5度C/m、後者の単位であらわせば0.05度C/cm
となり、後者は前者の1/100倍だ。

これでわかるように、空間のスケール(一般的には基底)に対して、
どのような意味で依存するかによって、反変と共変がわかれるんだよ。
単なる変換規則だけ眺めていてはそのへんの気持ちはわからんだろうな。

98 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 12:20:42 ID:vstgfEWD
>>96,>>97
空間での説明ができないから一次元に逃避したかw
断片的な説明ばかりで高校生はかえって混乱するだけだ。もうやめい。

>>94の指摘はスケールの変換とは関係なかろう。

99 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 12:34:25 ID:???
シュッツの相対性理論入門(上)3章に、一形式が面、ベクトルが矢印っていう描像のわかりやすい解説がある。

100 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 12:48:58 ID:???
ここは、高校生にテンソルを教えようとして悩む大学生のスレに
変更になりましたw

101 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 13:02:58 ID:NpDuDt5m
物理やのいうところのテンソル積とはベクトル空間だけについての
ことだったのか。

102 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 13:14:54 ID:???
>>98

スケールの変換も一種の線形変換だ。

共変ベクトルの例として、電場や重力みたいに、スカラー場の微分(勾配)で
あらわされるベクトルがある。それがなぜ共変なのかは、結局>>97の温度勾配の
例と同じ。そして、スカラー場の勾配はそのスカラー場の等値線(3次元の場合は
等値面)に直交することは知ってるだろ? だから共変ベクトルは面的なベクトル
と言われるんだ。もっともそういう表現のほうが断片的で混乱を招きやすいが。

重力みたいに力というのはベクトルだから座標変換でくるくるかわるが、変位との
スカラー積(内積)、つまり仕事とかエネルギーは座標系によらないスカラー量だろ?
2つのベクトルのスカラー積をスカラー量、つまり座標変換で不変な量にするには、
それぞれが互いに相反的な変換をしないとつじつまがあわない。で、基底変換と同じ
型式で変換される方を共変、そうじゃない方を反変と呼ぶ。で、それぞれの変換行列
は互いに転置の逆行列になる。そうなってればつじつまがあうことはすぐに計算でき
るからやってみろ。

ある座標系で(1,0,0)というベクトルがあったとしてこれは共変ですか反変ですかと
いう質問は意味を持たない。それは物理的な定義に遡って、なにを表現したいのかに
よる。数学的には、まず線形空間があり、その基底があり、その基底にクロネッカー
のデルタを割り当てる線形関数を考え、それが張る線形空間(線形関数からなる線形空間)
を双対空間と言い、その基底を双対基底という。そもそもの線形空間の基底で張られる
ベクトルが反変、双対空間の基底(双対基底)で張られるのが共変ベクトルだ。

103 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 18:00:13 ID:vstgfEWD
>>102
全くわかってないやつだな。お前のやっているのは、共変ベクトルに
こんなのもある、あんなのもあると言っているだけなんだよ。我々が
知りたいのは、君の解釈で>>94の疑問がどう説明されるかなんだ。

後半。。。結局教科書どおりってことかい。双対空間を持ち出すところを
見ると、数学屋に近い椰子のようだな。

104 :94:2005/09/29(木) 19:15:01 ID:DfPq56qI
102の説明もまあ、ありがたいですけど。
>>103
102氏を数学屋思ってほしくないなぁ。

精確にはgrad fは、はんぺんだよ。
dfのメトリック・イクイバレントがgrad fだから。

105 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 19:19:14 ID:???
>>103
読んでわからんかね?
具体例を持ち出すのは君らがイメージを求めているからだ。数学の
理解って、定義と定理と具体例の間を行ったり来たりしながら自分で
構築するものだろ? 「わからんから一言ですぱっと説明してくれ」と
思う気持ちは理解できないでもないが、ちょっとは自分の足で歩こう
としろよ。

「共変が面、反変が方向」ということこそ断片的な理解に過ぎない。
大切なのは座標変換でスカラーを不変にするためには2種類のベクトル
を考えざるを得ないということだ。繰り返すが変換規則だけを見てると
そこが見えないぞ。ほとんどの教科書は変換規則で反変・共変を定義
しているがな。双対空間を考える方が理解しやすいのはむしろ物理屋
だと思うが。お前らなにかと言えば不変量、不変量って言ってるだろ?

106 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 19:37:38 ID:vstgfEWD
結局、 「共変が面、反変が方向」の解釈では>>94の疑問は
説明できないってことだろ。

107 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/09/29(木) 21:31:04 ID:ld8JJe8C
体Kの上のベクトル空間V,Wに対して、
VとWのテンソル積空間を次のようにして考える。
それぞれの元は二重線形的で、基底はちょうどVの次元とWの次元の積の数の元から成る空間。
もちろん、そのような空間はいくつでも作ることができるが、互いにcanonicalな同型を与えられる。

108 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 21:31:44 ID:???
>>107 わかった。お前はもうこれ以上書き込むな。

109 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/09/29(木) 21:37:53 ID:ld8JJe8C
talk:>>108 その40秒間で分かったことは何か?

体K上のベクトル空間Vに対して、V*をその双対空間(共役空間)とする。
VとV*のテンソル積空間と、V上の線形変換全体から成る線形空間の間にはcanonical同型がある。

110 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/09/29(木) 21:39:12 ID:ld8JJe8C
canonical同型とは、基底の選び方に依存しない表現を持つ線形同型がとれるという意味。

111 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/29(木) 23:13:21 ID:vstgfEWD
kingさんがここまで現れるとは・・・

112 :94:2005/09/29(木) 23:51:43 ID:DfPq56qI
話を混乱させてしまいすいません。
というわけで、更にややこしくしてみようと思いますが。

私は大学で、双対空間とか使って定義を習ったんですよ。
で、「それと共変が面、反変が方向ってのと結び付かない。 」
>>105の言い方からすると、
「=0となる超曲面を共変と同一視する」ということでよいのでしょうか?

113 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/30(金) 01:41:46 ID:/1LnzRCx
>>105
断片的な理解にしか過ぎない、そうだろうよ。でも、高校生に教えたり、どんなイメージが
一つの理解の仕方としてありうるか?って処だろようよ。
だから、そもそも前提が、きちんとボトムアップ的に洩れなく学んでから、解釈すると言
う、個々人で、、という話ではそもそもない訳。
断片的な理解といっても、君の定義もそれは定義であってさ。文字を述べて関係を提起し
名前を言って、さあこれがそうだって言っている訳さ。それは、正しい。全く正しい。
でも、何も質問者の背景と意図を汲んでない訳。全く正しいよ。だって、定義と関係を
述べているんだからさ。辞書を引いてるのと同じなんだ。それではここの掲示板の意味が
ない訳。さあこれが全てだ。確かにそう。漏れはない。でも、それを暗記して唱えても
それは、何も言っていないともいえる。つまり、面とか方向とか言っている人もいたし、
超平面がどうこう言っている人もいたし、貴方の様にさあこれが洩れないレシピだって
言う人もいる。貴方の場合も、それは断片的な理解と言えるんだ。さあこれが洩れない
レシピだと広げても、それはある意味、断片的なんだよ。だから、別にそこにこだわる
のは、どうかとも思う。君が警告をする意味は良く分かる。へんてこなイメージ持つなら
かえって、文字と数式と定義と定理の連鎖・関係をレシピとして頭にいれている方が、
確実。でもそれも、全てではない。レシピはレシピにしかすぎないという場面もある。


114 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/30(金) 03:46:15 ID:/1LnzRCx
>>105
初めに学ぶなら、文字と数式と定義と定理の連鎖・関係をレシピとして頭に
入れる事を先に一定量する事が重要だと思います。

私は大学で、双対空間とか使って定義を習ったんですよ。
で、「それと共変が面、反変が方向ってのと結び付かない。 」
>>それは勉強不足というだけだと思いますが・・・。その人の
言っている意味を理解できるだけの深さの勉強が今の段階でない
というだけなんでしょう。ただ。

115 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/30(金) 08:26:30 ID:96EJL2NY
>>94
反変ベクトル(Vの元)には、計量gによる内積を通して一意に共変ベクトル(V*の
元)が対応している。これは数学屋のいうcanonicalな同型ですよね?
波数ベクトルk(Vの元)を、位置ベクトルxの関数として k(x)=k・x
("・"は内積、u・v=g(u,v)) と書いたら、k()はV*の元だが、k(x)って
平面そのものでしょうが。この平面の法ベクトルがdualな反変ベクトルkで
あって。

この1-formを面にたとえるのは、Thorne-Misner-Wheelerの重力の有名な
教科書の最初のほうに絵入りで図解あり。

で、g_{ij}がδ_{ij}となるような計量と座標系では、kとk()を同一視する
ことが物理ではよくある。更にユークリッド空間の直交変換だけに基底の
変換を限定すると ベクトルの成分の変換行列が同じになってしまい、
共変と反変を区別する意味がなくなる場合もある。

116 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/09/30(金) 08:48:28 ID:+tLkMO5C
talk:>>112 三次元空間に限定すると、共変ベクトルは対応する反変ベクトルを法線にもつ面の移動とみなすことができる。

117 :94:2005/09/30(金) 09:44:30 ID:5xrOjgBY
「平面の法ベクトルがdualな・・・」
「面の移動とみなすことができる」
ということは今まで出てきた「面」とは「退化空間」のことなんですね。
そう考えると、例えば平面の面積素は点と解釈することになりますが、
これでよいのでしょうか。

>>115
残念ながらあまりcanonicalではないです。gは一般には固定されてませんから。

118 :115:2005/09/30(金) 10:06:48 ID:96EJL2NY
>>94
#おもわず「退化空間」でググってしまいましたが

「面」というのは喩えというか言葉のあやで、大きさも持っていますから
退化してません。より正確には「平行な面の等間隔な重なり」に喩えて、
大きさの自由度も持たせています。だけど、どの程度この喩えをまじめに
考えるべきか。要するに1-form k()を表す等間隔な面の重なりを、ベクトル
xで突き刺したときに、何枚の面を突き破るか(k・x)が不変量だということの
喩えに過ぎないとおもうのですが。

 > 残念ながらあまりcanonicalではないです。gは一般には固定されてません
> から。

いろいろな計量が入り得る、という可能性を考えているのですか?
さすが数学屋というべきか。

119 :だって厨房:2005/09/30(金) 10:30:15 ID:???
ここなんてどうよ?
http://www.geocities.jp/kazato0826/
↑更新したよぉ^^

120 :94:2005/09/30(金) 12:16:05 ID:5xrOjgBY
あ。退化空間は annihilator = {x | k(x) = 0} の意味で使いました。
なんとなく分かりかけてきました。どうもお騒がせしました。

121 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/30(金) 21:42:01 ID:VpPB9gvD
gradは共変ベクトルで等ポテンシャル面に垂直という話が
あったけれど、gradを反変ベクトルに変換したとき、
何かこのような具体的なイメージはあるのでしょうか。

122 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/09/30(金) 22:05:31 ID:CratBjdH
★★★ 韓国マスコミ、日本攻撃なら真っ赤なウソも平気 ★★★
 韓国大手テレビ局の番組「日本軍731部隊の生体実験」が、実は真っ赤なウソ、中国映画の盗用だった。今回の事件で 「日本攻撃ならウソも平気」 という韓国マスコミの腐った体質が改めて確認された。

 番組では生体実験を「白黒の記録フィルム風」に紹介したが、視聴者から「映画の場面と同じだ」との声が上がり、実は真っ赤なウソ、悪質なでっち上げが露呈した。
 この中国映画はカラー作品だが、テレビでは本物に見せかけて「白黒」に変えられており、意図的なでっち上げであることは明白。

 日本の 民 主 党 【前原党首】 は、日本国内に数十万人もいる野蛮で反日的な在日朝鮮人に、日本の選挙権を与え、 民 主 党 に投票させようと画策している。
 在日朝鮮人の大部分は、戦後のドサクサで勝手に密入国した不法滞在者とその子孫だが、「強制連行された」と真っ赤なウソをつき、被害者のフリをして日本国内に居座っている。
 収入あっても税金払わず、しかも在日朝鮮人の半数近くが、収入とは別に毎月二十数万円の生活保護をもらっており、「在日は貴族で、日本人は奴隷だ」とほざいている。

 マンガ「 嫌韓流 」が隠れたベストセラーになっている。「隠れた」というのは、在日朝鮮人に実質支配されている朝日新聞など日本の大手マスコミが、この本の広告掲載を拒否しているから。

123 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/01(土) 12:05:23 ID:48ruaCKK
共変ベクトルは1-form、つまりベクトルを引数とする線型関数を表す。幾何学的には >>118 のとおり等間隔平面の集まりで
ベクトルが貫く平面の数が関数値とすると、ちょうどよく線形性が幾何学に表せる。
ちょっと一般化したのがgradに対応する dfで、これはf(x,y,..)=1, f(x,y,..)=2, ... という曲面の集まり。引数としてベクトルをいれると
そのベクトルにそってのfの方向微分の値がでる。
微分多様体ならば計量(内積)なしでも1-formやdfは定義できる。内積が入るとベクトルv に対応する線型関数を
f(x)=(v, x) で定義できる。この、vに対応する1-formの成分が、vの添え字を下げたもの。

124 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/02(日) 11:38:41 ID:???
微分多様体とは、座標系をいれられる滑らかなモノ。球面とか空間とか時空とか。

125 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/03(月) 07:08:28 ID:w3sXwqiS
局所座標系。

126 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/03(月) 08:18:37 ID:???
>>121
grad fはfの最大傾斜の方向を向き、勾配の大きさを持つ矢印だとすると、
それの(計量gによる)dual、つまり(微分幾何用語の)微分dfは、
fの等高面の重なり、(面の法線の向きは当然勾配の向き、面の間隔は
等高面の間隔だから勾配がきついと密になってくる).

「gradを反変ベクトルに変換」といっているけど、grad fの、ある点p
での値は、pの接空間(であるベクトル空間V)の元で、それをVの基底で
表したら成分の変換は基底の変換と逆だから反変的に変換する。それが
>>104で、gradは、はんぺん、といっている意味。

Vの基の双対基でdfを成分表示したら、dfの成分は共変的に変換する。
これが物理側で、gradは共変といっている意味ではないかな。


127 :124:2005/10/03(月) 09:16:06 ID:???
>>125
そうだね。一枚の座標系ではうまくいかなくても、何枚かで分担して覆うとうまくいくというのが
多様体のアイデア。その座標系の一枚一枚が局所座標系。


128 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/03(月) 12:52:21 ID:???
>>126
わからん。。。

129 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/03(月) 13:34:25 ID:???
「dfに対応する反変ベクトルw」の定義は、任意のベクトルvに対して(w,v)= v[f] 左辺はwとvの内積、
右辺はfのv方向の方向微分)を満たすもの。
長さ固定の元で内積(w,v)を最大にするvはwだからwがfの方向微分を最大にするベクトルになる。
Minkowskiの内積だと事情が変わるかな?

130 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/03(月) 16:40:19 ID:L514fLpO
>>126
はんぺんって、反変のことだったのね。おでんのはんぺんかと思った。。。
いや、gradをナブラと書かないことを皮肉ったのかと思ってね。

131 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 09:38:00 ID:???


132 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 10:03:12 ID:???
ナブラ
ノーベル賞?
そりは、南部

133 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 14:23:35 ID:N6rRYYy0
透磁率は6階テンソル。

134 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 16:04:55 ID:0DHuwhy6
石村園子なっとくするテンソル解析近刊でも嫁。

135 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 17:56:35 ID:NTEUocGs
>>128
ベクトルは、反変テンソルだから。反変であるものを普通のベクトル:
縦ベクトルなんだよ。

136 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 17:59:42 ID:NTEUocGs
でもさ、∇考えた人って、ある意味、数学にも物理にも貢献している
よね。∇=nabula=atled=grad=ハミルトンの演算子=・・・
色々言い方あるらしいです。

137 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 18:09:58 ID:???
>>135
よくわからぬ・・・
gradはごく自然に共変になっていると思うのだが。

138 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/04(火) 19:07:37 ID:???
>1階のテンソル は, 実はみんなが知っている ベクトル。
>つまり、 方向と大きさ をもつもの。

二階のテンソルの具体例は、方向と大きさと何を持つもの?

・・・どうでもいいが、いつも一瞬
「高校生にツンデレを教えるスレ」
に見えてしまう

139 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 09:38:01 ID:???
二階のテンソルはベクトル二つを引数とする線形関数。返り値は数。n階のテンソルも
同様で、引数がn個のベクトルの線形関数。特に1階のテンソルは1フォームと呼ばれる。

140 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 12:31:18 ID:???
>>139
高校生には「引数とする」「返り値」と言われても理解しにくい。もっとかみ砕かないと

>>138
二階のツンデレはしっぽ二つを括っているツインテール。返り討ちに遭う。お向かいのツンデレも
同様で、クラスが同じの眼鏡の委員長。特に1階のツンデレは妹と呼ばれる。

141 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 16:41:27 ID:???
>>139 で「テンソル」といっている所は「共変テンソル」と置き換えるべき。

142 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/05(水) 18:13:24 ID:LzX17vlK
ベクトル一つをベクトル一つに対応させる線形写像も二階のテンソル。

143 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 19:08:53 ID:xMr08HOO
>>142
>>139-140
これではまったく分かりませんね。(笑

144 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 19:11:25 ID:xMr08HOO
>>142
>>139-140
嘘ではなく、間違いではない処のイメージと高校生で無理なく容易に分かる
数式と用語で説明しないと。そうでないなら、「数学辞典でテンソル
(tensor)と引きな!」っていうようなものじゃん。それじゃぁ、ちょっとね
・・・というのも正直あるから。

145 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 19:19:19 ID:???
けっきょく、全くわからん。
テンソルって写像?
ベクトルありきの概念?
相対論のテンソル方程式は、座標系に依存しない概念を表現しているらしいけど、
そんならベクトルありきってのはおかしくない?

おれがベクトルの純粋な概念というものを理解していないのがまずいような気はするけど。
ベクトルの概念は座標系には依存しないというのはなんとなくわかる。
テンソルもそうなんでしょ?

146 :142:2005/10/05(水) 19:42:16 ID:???
ああ、おれはとっくに高校生に説明することは放棄してるんで(スレ違いなの
だが)、もし高校生に説明するなら、共変・はんぺんの説明なんで捨てるしか
ないのじゃないか。

見る方向によって、玉虫色にかわる点のように、方向性をもったものだよと。
あ、ちょうど色ってベクトル空間なんだったw

147 :146=141:2005/10/05(水) 19:45:33 ID:???
ごめん。146は 142が書いたのではありません。

148 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 20:05:09 ID:???
>>144
よくわかっているようじゃん。説明はあなたにまかせた。期待してる。

149 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/05(水) 22:11:12 ID:7dklKdit
これはテンソルが分からない大学院生が作ったスレだな

150 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 08:28:26 ID:JDe90rGa
>>145
物理で言っているのは、物理量が座標系に依らないというだけで、
テンソルが座標系に依らないと言う意味ではないんです。事実、
テンソル自体は、座標系によって表面的には標識が違う。しかし、
それは、座標変換で結んで等しい。

151 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 11:04:55 ID:???
テンソルの成分とテンソル自体をごっちゃにしてるのでは。成分は座標系(基底)によるけど、テンソル自体は座標系にはよらない。
ベクトルの成分は座標系(基底)によるけどベクトル自身はよらないのと同じ。

152 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 11:31:23 ID:???
空間ベクトルを定義するのに「向きのついた線分」で定義する方法と、「変換式を満たす3つの数」で定義する方法の二通りある。
前者の定義を取ると、ベクトルを座標基底(高校でいうところの基本ベクトル)で展開したときの展開係数が後者でいうところの「変換式を満たす3つの数」になり、両者は同値。

テンソルの定義も同様で、「幾何学的実体」と「数の組で、座標変換に伴いある変換式を満たすもの」の二通りある。
前者を取った場合、それを座標基底で展開したときの展開係数が後者で言うところの変換式を満たす数の組になる。
ベクトルの場合とまったく同様、つーか、見習って拡張したんだろうね。

手っ取り早く導入したい場合には数の組の方を定義とする(Landauの教科書)。しかし意味がわかりづらい。反変だの共変だのが天下りで押し付けられる。
じっくり導入の場合には幾何学的実体からはじめる(Misner-Thorn-Wheelerの教科書)。反変や共変が対応する幾何学的実体が何であるか分かる。
しかしたくさん図を描いてみないとなかなか理解できないし、特に曲面上(曲がった多様体)の場合、ベクトルの概念自体が結構難しくなってしまう。

153 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 12:21:45 ID:Ta2T6CF/
2階反変テンソルは何に対応する概念だろうか?
やっぱり曲率テンソルとか?

154 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 12:44:14 ID:???
>>153
そういう質問は意味ないんじゃないの?  2階共変テンソルから
2階反変テンソルにいつでも変換できるんだから。

>>152
「反変や共変が対応する幾何学的実体」という言葉に興味を覚えたんだけど
どういうものなの? 簡単にいうと。。。

155 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 12:55:52 ID:Ta2T6CF/
talk:>>154 基準となるベクトル空間がある以上は、共変と反変は違うものだ。

156 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 12:59:23 ID:???
>>155
表現が違うだけで実体は同じなんじゃないの?
例えば、物理で出てくる応力テンソルとか考えてみそ。

157 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 13:14:45 ID:Ta2T6CF/
talk:>>156
基準となるベクトル空間があるとき、
p1+q1=p2+q2のとき、
p1階反変q1階共変テンソル空間とp2階反変q2階共変テンソル空間の間に、
線形空間としての同型は必ず存在するが、
p1≠q1, p2≠q2の少なくとも一つを満たす場合、両者に canonical 同型が与えられることはない。
(基準となるベクトル空間の基底の選び方によらない表現を持つ同型がない。)

158 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 14:01:20 ID:???
>>157
難しくてわからん。一番簡単な p1=0, q1=1, p2=1, q2=0 の
場合で説明してくれんか? それと、canonical 同型の意味が
よくわからんのだが・・・

159 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 14:08:53 ID:Ta2T6CF/
talk:>>158
基準となるベクトル空間を実数空間Rとしよう。もちろん、係数体も実数体。
これに対応する双対空間(共役空間)R*は、定数項の無い一次関数全体の作る空間となる。
RとR*の同型として、rをr倍写像に移すものがある。
Rの基底をb(但しb≠0)として選ぶと、双対基底として1/b倍写像が選ばれる。
基底を変えたらそれに伴って、双対基底は反傾的に変わり、
結果、R,R*間の同型は基底の取り方によって表現が変わってしまう。

160 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 15:08:50 ID:???
>>159
それって上で誰かが言っていた、あるものの長さを
ミリでメートルで測るか、メートルで測るかの違いの類では。
単位を変えても元の測られるものの物理的な実体は変わらないよね?

161 :160:2005/10/06(木) 15:31:33 ID:???
ミリでメートル ← ミリメートルの間違い。


162 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 15:58:32 ID:Ta2T6CF/
talk:>>160 私はcanonical同型の話をしたまでだ。それに、先に線形空間としての同型は与えられると注意したはずだ(ここは多くの理系が理解できるだろう。)。

163 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 16:00:16 ID:Ta2T6CF/
反変ベクトルが縦ベクトルなら、共変ベクトルは横ベクトル。
一階テンソルは大変分かりやすいたとえができる。

164 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 16:11:04 ID:???
>>162
だから、canonical同型って何? それに「反傾的」とは?

>>163
言っていることがわからん。縦ベクトルには、反変的に変換されるのと
共変的に変換されるのと両方あるだろ? だから、縦ベクトル=反変ベクトル
とはいえない。

165 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 16:18:11 ID:Ta2T6CF/
talk:>>164
canonical同型はすぐに理解できるようなしろものではないし、
いくつかの段階を踏まえないと説明できない。
私も理解するのに苦労したのだから。
反傾的とは、線形空間(ベクトル空間)の基底の変換Aがあったとき、
双対基底の変換が(A^T)^(-1)で与えられることをいう。
ちなみに、双対基底の変換の法則は常に反傾的となる。
ところで縦ベクトルが反変ベクトルなら共変ベクトルは横ベクトルといったほうが良かったか?

166 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 17:15:01 ID:???
>>165
「反傾的」というのは、物理でいう反変的ということはわかった。
どうも数学屋さんの用語はよくわからん・・・
canonical同型が難しいことはわかったけど、物理の世界では
対応するものはないの? 一応、ここは物理板だし。。。

後半だけど、縦ベクトルにも共変的に変換されるものがあるけど、
これはどう捉えればいい? 共変的というのは、(A^T)^(-1)
すなわち、逆変換の転置という意味。

167 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 17:21:58 ID:x8nOmtOh
このレスを見た人は必ずいいことか、
悪い事が起きます。
なぜならば、これを五個所に置くと
自分の願っていた事が必ず実現
出来ます。
これを見るだけで信じない人は、
貴方の好きな人に振られてしまったり、
必ず上手く行きません。
これは私が相澤由美先生(運命師)
の講習のとき教えてもらったのです。
必ず当たります。だって私もこれを
五個所に置いたら三日後に好きな人に
告白されたりしたからです

168 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 17:36:12 ID:Ta2T6CF/
talk:>>166 canonical同型を説明するには、基本となる線形空間(ベクトル空間)の基底の変換にともなうテンソル積空間の基底の変化を述べないといけないだろう。

169 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 19:27:06 ID:JDe90rGa
>>164
反変ベクトル=縦ベクトル=普通のベクトル、
共変ベクトル=横ベクトル
 これは、慣習でもあり、定義でもありますので、こう言えるんですね。
>>168
何の為に、キャノニカル同型、傾斜的、という言葉が要るのか疑問です。
無用な用語だと思います。正直。テンソルを勉強する上でそれは、無用な
数学的用意だと思うよ。ひとそれぞれだけど。

170 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 19:34:04 ID:???
テンソル?
http://gallys.nastydollars.com/mn/11/4.jpg



171 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 19:37:13 ID:???
>>169
慣習というのは、数学屋さんのってこと? 物理ではどうだったかな・・・
おれのやった範囲ではそのような区別は特にしてないね。
確かに、そのように定義すれば内積が横ベクトルと縦ベクトルの積で
書けるから、形式美的にはいいかもしれないね。ただその定義の中に
変換の規則の違いがどのように入っているかはよくわからんが。

172 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 19:56:05 ID:p+fZUcNr


696 名前: ネム ◆ZSxIfyU42I [sage] 投稿日: 2005/10/06(木) 18:45:16 ID:6yCwdnMk
<問>
人はなぜ食べ物を噛み砕いて
細かくしてさらに消化するのでしょう

703 名前: ネム ◆ZSxIfyU42I [sage] 投稿日: 2005/10/06(木) 18:57:04 ID:6yCwdnMk
>>699
>>701
ありがと

特にため息氏は頭の回転が速いですね

私の回答は
体のエントロピーの増加を防ぐために、食べ物を無秩序にして採算を合わせている


http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/wcomic/1128476396/l50
少年漫画のスレでインテリぶった真性コテ発見wwwwwwwwwww
理系ぶってるんで皆さん論破してやって下さいwwwwwwwwww




173 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 19:59:28 ID:???
>>172
放置しろマルチするな

174 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 21:46:27 ID:Ta2T6CF/
talk:>>169 基本となる線形空間の基底の変換に伴うテンソル積空間の基底の変化法則こそ、反変と共変を区別するポイントなのだ。それを考えなかったら、わざわざ反変テンソルと共変テンソルを区別する意味がない。

175 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/06(木) 22:29:10 ID:JDe90rGa
>>174
そう考える人もいるけど、わざわざそんな言い方しなくてもよくて・・。
無用な用意なんですね。

>>164
反変ベクトル=縦ベクトル=普通のベクトル、
共変ベクトル=横ベクトル
 これは、慣習でもあり、定義でもありますので、こう言えるんですね。
>>168
何の為に、キャノニカル同型、傾斜的、という言葉が要るのか疑問です。
無用な用語だと思います。正直。テンソルを勉強する上でそれは、無用な
数学的用意だと思うよ。ひとそれぞれだけど

176 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 01:14:07 ID:???
king vs ^^

^^のいつものパターンにkingも歯が立たない!

⇒物理板の基地外>>>数学板の有名コテ

177 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/07(金) 07:13:01 ID:jJAhJ9VG
talk:>>175 さて、変数に右上に添字が付いたり右下に添字がついたりするのは何故?

178 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 08:02:30 ID:5Ugj7fX5
>>176
ばかだね、君(笑。

>>177
学習しなよ。
>>164
反変ベクトル=縦ベクトル=普通のベクトル、
共変ベクトル=横ベクトル
 これは、慣習でもあり、定義でもありますので、こう言えるんですね。



179 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 08:03:00 ID:5Ugj7fX5
>>168
何の為に、キャノニカル同型、傾斜的、という言葉が要るのか疑問です。
無用な用語だと思います。正直。テンソルを勉強する上でそれは、無用な
数学的用意だと思うよ。ひとそれぞれだけど

180 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/07(金) 08:13:13 ID:jJAhJ9VG
talk:>>179 反変ベクトルと共変ベクトルを区別する方法は何か?

181 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 08:16:56 ID:5Ugj7fX5
嘘ではなく、間違いではない処のイメージと高校生で無理なく容易に分かる
数式と用語で説明しないと。そうでないなら、「数学辞典でテンソル
(tensor)と引きな!」っていうようなものじゃん。それじゃぁ、ちょっとね
・・・というのも正直あるから。


182 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 08:19:03 ID:5Ugj7fX5
>>180
区別する方法は何か?ではなくて、もうそれが定義でしょう?
だから、慣習だといっているんです。そこに論理的理由はない
から。下付きテンソルを反変と呼んでも、別に問題はない。
ただ、それは慣習的な定義ではない。

183 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 08:25:14 ID:5Ugj7fX5
>>180
悪いけど、キャノニカル同型、傾斜的、まったくいらない、用語ですし
数学的用意ですね。テンソルを単に勉強する上で、無用です。
ひとそれぞれだけど、高校生に対してそれを言うのは、ズレパン(ツ)
ですよね。また、分かりにくい。別にそんな言い方しなくていいんだから。

184 :152:2005/10/07(金) 10:35:47 ID:???
>>154
3次元空間で考えるなら、基礎になる概念は、やっぱりベクトル(矢印)。これが反変ベクトル。ベクトルを引数とする線形関数つまり1-formが一階の共変テンソル。

1-formは >>123 の通り、幾何学的には等間隔の平行な平面の集まりで表される。ベクトルが貫く平面の数が関数値。
重要なのは、この1-formもベクトルと同様「基底での展開」ができること。
1-formの自然な基底はwx,wy,wz。wxの定義は基本ベクトルをex,ey,ezと書くと、
wx(ex)=1, wx(ey)=0, wx(ez)=0
後は線形性から任意のベクトルvに対する値wx(v)が決まる。でこれの幾何学表現は、
「間隔1で並んだx軸と垂直な平面の集まり」。eyはこれらの平面と平行だからまったく貫かない。だからwx(ey)=0なわけ。
おっと、各平面にはxの増える向きに番号がついていて、それがwxの向きを決める。逆向きのベクトルでの値は負になる。
wy,wzの定義も同様。wy(ey)とwz(ez)が1, ほかは0.

任意のベクトルvと1-form u をそれぞれの基底で展開する:
v=v1 ex +v2 ey +v3 ez, u=u1 wx + u2 wy +u3 wz
するとw(v)は線形性からおなじみの形になる。
w(v) = u1 v1 + u2 v2 +u3 v3
この右辺はu1,u2,u3を成分とする横ベクトルとv1,v2,v3を成分とする縦ベクトルの行列としての掛け算で
自然に表されるので、 >>163 の通り成分を並べるときは 1-form は横ベクトル、矢印ベクトルは縦ベクトルで表すのが便利。

以上は、おれがMisner-Thorn-Wheelr の始めの方を読んで理解したこと。
1-formの集まりは基底で展開できるという意味で矢印ベクトルと同じ数学的構造をもつのでやはりベクトル空間になる。
矢印ベクトル空間の双対空間、と呼ぶらしい。

185 :152:2005/10/07(金) 11:18:01 ID:???
上のw(v)はu(v)に直てくれ。1-form u に引数としてベクトルv を入れたときの値、という意味。

186 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 11:28:35 ID:???
>>152
208?

187 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 11:32:55 ID:???
>>184
その本は読んだ事ないんだけど、結局
「1-formは基底で展開できる→ベクトル空間をなす」
って書いてあんの?1-formの線形性については
>1-formは >>123 の通り、幾何学的には等間隔の平行な
>平面の集まりで表される。ベクトルが貫く平面の数が関数値。
と暗示してあるだけ?   …だとしたらひどい本だと思う。

188 :184:2005/10/07(金) 11:43:12 ID:???
もちろん本にはもっとキチンと書いてある。2chの狭いところに何もかも書くことを要求されてもなあ。

あんた自身はあげ足取り以外のことが書けるの?

189 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 12:45:32 ID:???
さて、本題の高校生に教えるという観点から立てば、
反変、共変の区別はまだ早いと思う。彼らは、直交座標しか
習わないのだから、座標系に依存しない、ということぐらいでいいと思う。
そんでもって、テンソルはベクトルとはというところを、このスレの最初に
親切そうな人が言っていたような説明をすればいいんでないかな(おれは
あんまり理解できなかったけど)。

190 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 13:03:27 ID:???
反変、共変はそれが現れる理由というのがわからないのとね。
結局、定義だの慣習だのと説明されても、高校生は「?????」
となるだけだと思う。数学科を目指す人にはそれでいいかもしれないけど。

191 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 13:51:43 ID:???
数式じゃなく、インタラクティブなグラフィックスの威力をかりて直感で
把握してもらうことができないだろうか。ジョイスティックでO(3)の回転
操作をすると、それにつれて回転体の多成分量が変化示す変化する様子とか。
あ、単なるbivectorの回転みたいなものにになってしまうか。

192 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 15:19:16 ID:???
>>191
是非トライしてみて。
個人的には、直行座標が斜行座標(言葉はあっている?)に移行するとき、
直交座標から共変的に変換される座標系と反変的に変換される座標系に
じわじわっと分かれるところも入れてくれるとうれしい。

193 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 15:51:42 ID:5Ugj7fX5
>>190
反変ベクトル=縦ベクトル=普通のベクトル、
共変ベクトル=横ベクトル

これが、まあ、ベクトルや行列を知っている彼らには一番身近な例だと
思いますね。本当に理解したいなら、きちんと数式をサポートしないと
いけませんので。それは、必要はありませんから。そうなると、必然的
に説明の仕方や説明の用語を選ぶ必要が出てきますよね。
 キャノニカル同型、傾斜的という用語は、ホント無用だと思いますよ。
大学生でも無用な用語だし、無用な用意ですよね。まあ、人それぞれ
だけれども。



194 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 16:06:24 ID:5Ugj7fX5
>>189
あの説明は、ある意味、高度なイメージだから。あれで分かるという事は。ただ、数式をサポートして初めて分かるという処ががるので、曖昧さは、
残していても、その説明の方法では、その程度の広さ・深さで止めておくのが、懸命だと思います。それ以上の広さ・深さで説明を考えるならば、
きちんと数式をサポート出来るまで訓練しないといけません。また、高校生にはそう説明すればいいと思います。

195 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 16:53:50 ID:???
高校生的には、応力テンソルを用いるのが一番わかりやすい
気がする。実際に実験してみられそうだし。ただ、これだと
2階のテンソルの一面−ベクトルをベクトルに対応させる−
を強調することになるけど。応力なら、大学に行っても役に立つよ。
弾性体力学、流体力学、電磁気学など。

196 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 17:18:45 ID:5Ugj7fX5
>>195
応力テンソルは、誰かの説明:ある方向を見ている時の、また別の方向の
変化、というものが一番分かり易いですね。じじつ、それはテンソルの
数学的な定義の根本的な所を言っている訳ですから。

197 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/07(金) 19:12:39 ID:jJAhJ9VG
talk:>>193 一体誰が傾斜的などという言葉を使い出したのか?p階反変q階共変テンソル空間をどうやって特徴付けるのか?

テンソルを教えるには、線形空間(ベクトル空間ということもある)から教えないといけない。
その線形空間をどうやって高校生に説明するのか?

198 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 19:19:22 ID:???
>>197
「線形空間」とかしこまらなくても、直感的把握でいいんじゃない。
高校生がやる空間というのは、無意識的に平面幾何学が
成り立つものとなっているだろうし。

199 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/07(金) 19:39:17 ID:jJAhJ9VG
talk:>>198 0階のテンソルはスカラーで1階のテンソルは反変ベクトルか共変ベクトルかのどちらかだが、2階のテンソル(三種類ある)はどのように説明する?

200 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 19:49:29 ID:???
>>199
三種類とは?

201 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 20:00:22 ID:5Ugj7fX5
>>200
mixedがあるっていみさ。

>>197
それが君の知性の限界。君にテンソルの事聞くなら、辞書引くのと変わらないよ。>>198の言うとおり。人は線型なものしか理解でき
ませんから、線型空間をまず考えて来たのでしょう?歴史的にみて。>>197さん。>>196,>>193-194が言っている通り。
高校生にテンソルを教えるという意味合い、それと、>>197の様なまるで大学課程のテンソル解析・代数の項の説明通りの展開、そんな
形でしか、説明出来ないのは、きちんと理解できていないと言う事。理解が浅いんです。そんなの君に聞かなくて言い訳、そんな説明
なら、テンソル解析、テンソル積、テンソル代数、・・・というものが載っている大学課程の本を読めば済むの。そんな君の様な説明
じゃね。つまり、君の様な説明は 無用 ってこと。そんな説明しか高校生に出来ないなら、君の知性が低いってこと。同時に、テンソル
の意味合を深く理解していない事の現れ。>>195,>>196がテンソルの意味合いの本質を簡単な例で示している。

202 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 20:30:39 ID:5Ugj7fX5
>>197
簡単な話。線型空間ってのは、

「努力したらその分だけ報われる」様な世界

なんだ。・・・ってね。例えば、
 10mを5秒で走れる奴がだ、50mをその調子で走れば、5倍の25秒になる。
まただ、同じ調子で100mを走れば、10倍の50秒かかる。そんな世界が「線型
空間」っていうもんだ。数式で書けば、xやyに対して、a,b倍したものがこんな関係
にある事を線型、それが成り立つ世界を線型空間というんだ。
 f(ax+by) = af(x)+bf(y)
ちゃんと、xがa倍されたら、f(x)もa倍、yがb倍されたら,f(y)もb倍。これが、
2倍速く走れば2倍の距離を走れるって事だ。axとbyの和はちゃんとfがついても和でaf(x)+bf(y)。
これは、努力した分は、それぞれきちんと積み重なるって事だ。
 まあ、人生は、「努力した分報われる」ってことはないわな(笑。ちゅうことは、人生は、線型で
ない、つまり,「非」線型ってことだ。でも、同じ大きさの積み木を2倍の数積み上げれば2倍高くなるし、
風呂に同じ量で2倍長く入れれば2倍の量になるし、A君の体重が60Kgだとすると、その体重計にB君
80Kgが載れば、きちんと、積み重なって140KGになる。自然界は、ある程度日常で感じる世界では、
「線型」って事がなりたつから「線型空間」ってことになる。「努力したら報われる」って事だ。

203 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 20:30:42 ID:???
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wはうざいから放置でいいよ

204 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 21:10:05 ID:???
GiantLeaves◆6fN.Sojv5wはぬるぽ神スレで叩かれてるようだな

205 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 22:05:59 ID:???
>>176
> king vs ^^
^^って誰? 気になる。。。

206 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 22:34:58 ID:???
漏れは176じゃ無いけど、^^って言えばこいつじゃね?
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1091539094/200-426
とっくに亡くなったファインマン先生の亡霊とカルテクで話をする人。
とっくに無くなったレニングラード大学の研究者と話ができる人w

207 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/07(金) 22:39:42 ID:jJAhJ9VG
talk:>>201 数学は全て簡単なことの積み重ねなのだよ。テンソルの話をするには、テンソルの話ができるベースから作るべきだろう。

208 :205:2005/10/07(金) 22:48:04 ID:???
>>206
サンキュー。ユニークな人なんだね^^

209 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/07(金) 23:21:33 ID:???
だいたい、高校生がどっからテンソルなんて言葉引っ張ってくるんだ? もし相対論のブルーバックスあたりからなら、結局
相対論まで理解しないとテンソルも分かった気にはならないだろう。数学は使ってみないと理解できないから。でも
ただでさえ勉強することが多い高校生にそんなことまでやる時間があるとは思えない。やっぱり大学に入ってからのお楽しみだな。

210 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 00:56:41 ID:qhtaqwck
>>207
それは人それぞれ。高校生がそれをその時望むかは、その時点時点とその個々人の選択。雰囲気を知りたいのか、数式もサポートしてしりたいのか。それに、
必要な事、用語、概念を捉えて教える。それが君には出来ないんだよ。  君のような説明なら、辞書引くか、大学課程の教科書読めば良い訳で。
「辞書でテンソル(Tensor)って引きな!」って言っているようなもの。それなら、本があるんだから、君は無用なんだよ。
 線型空間にしてもだ、ベクトル空間もいい、それはこういう要件を満たすもの、だらだら・・・こんな条件、実空間どうこう、写像がどうこ
う、線形性は、体K上のベクトル空間Vにおいて・・・・。こんな事、別に要らない訳。その時点の説明において。
 所詮、なんで人間が線型空間を考えて しまったのか? っていうのは自然界がある部分でそうなっているから。人間の脳がそう考えてしまう。
線型な部分しか人間の脳ははっきりと把握出来ないから。それを抽象化を後からしたに過ぎない程度のもの。線型空間、線型という事を説明するの
に、更に、高校生にだ、細かい準備なんていらなら、一言「努力した分だけ報われる様な世界」と喩えれば、その本質は全て満たしている。


211 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 01:02:32 ID:qhtaqwck
>>207数学は全て簡単なことの積み重ねなのだよ。テンソルの話をするには、テンソルの話ができるベースから作るべきだろう。
 :そういうレベルの低い話をしているんではないんですよ。知性のない。

>>210で言うような意味合で説明出来ないから、知性がないっていうです。君のは本をそのまま写して、唱えて、解説しているだけで、
「辞書でテンソル(Tensor)って引きな!」といっているに過ぎず、その本質が分かっていない。線型とは何か?線型空間とは何か?
テンソルとは何か? 大学課程の本に載っている準備からだらだら解説してもそれは、その本質は分かっていないだよ。
更に、高校生に教えるという事も念頭にない。終わっている。

212 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 01:03:35 ID:qhtaqwck
>>203
 ほんとそう。知性がないし、頭悪いし。

213 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 01:43:47 ID:???
>>210-212
恨みでもあるような粘着批判だね。

214 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 02:06:08 ID:???
激しくすれ違いかどうか解らないんですけど

スピノルでベクトルもスカラーも表せる ってのはどうイメージしたらよろしいでしょうか??

215 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 03:51:46 ID:qhtaqwck
>>212
物理的に言って、粘着される側も、粘着って事?(笑:これは困った。しかし。

>>214
一般的には無理です。考えている舞台が、orientableな物でないといけないので。スピノ−ルでベクトルやスカラーを表せるというのは,ベクトルやスカラーの座標
変換特性を再現出来るという意味です。2つのスピノ−ルの積で、スカラーもベクトルも表せますので、そんなイメージを持っているといいでしょう。特に,
スピノ−ルをΦとして
Φ^{*}Φ:スカラー, Φ^{*}τ_jΦ:ベクトル, Φ:スピノ−ル 
と表せます。

216 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 03:53:08 ID:qhtaqwck
>>214
特に,直観的に,スカラーΦ^{*}Φの平方根が,スピノ−ルΦなんて考えます。事実そんな感じでしょう?
また,スピノ−ルはベクトルの平方根とも言います。それも上の形式を見ると分かるでしょう。事実、物理的にベクトルは例えば、光子などがあり、
スピノ−ルは電子があります。電子(スピノ−ル)2こ=光子(ベクトル)ですから、ベクトル(光子)の平方根=スピノ−ル(電子)1こという訳です。

つまり、スピノ−ル2つでベクトル1つって事。これは、ファインマンダイアグラムという反応過程図において、必ず、電子(スピノ−ル)2つが、
光子(ベクトル)1つに繋がっているというのもそこに理由がある訳です。

更に、ベクトルは1回転すれば、元に戻るけれども、スピノ−ルは2回転しないと元に戻らない性質があります。
つまり、スピノ−ルでは、1回転では半分しか回らない。だから、ベクトル1つを作るには、その性質:
1回転して元に戻るを作るために、スピノ−ルが2つ要る訳です。

スカラーの場合は,回転に対して、不変つまり、回転しない。回転に対して0.これをスピノ−ルで作るには、
半回転−半回転=0回転という意味合いをつくる必要がある。それが、Φ^{*}Φ。


217 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/08(土) 06:38:33 ID:VUDJqB6H
talk:>>210 最低限、線形空間と基底の話は要する。その上で、線形空間同士のテンソル積空間を定める。テンソル自身は「双線形的」かつ縮約が定められる。私は必要なことは全て述べた。

218 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/08(土) 06:39:33 ID:VUDJqB6H
talk:>>211 私は本を見ないで書いている。私の書いたことと同じことが書いてある本を見せてみろよ。

219 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/08(土) 06:43:32 ID:VUDJqB6H
テンソル積空間は、それ自体は線形空間でしかない。
テンソル積空間のもとを考える必要がある。

220 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 07:36:17 ID:++sS3fN8
物理で反変べクトルを「それに対応する」共変ベクトルに移す操作は、成分表示で
v_i = g_{ij} v^j
となるけど、この対応が、基底の変換でどうなるか、というとGiantLeavesのいう
canonicalな写像V->V*なら g_{ij}のところが不変でなければならないところが
実際にはg_{ij}は2階テンソルとして変換してしまう、物理的にそれでいいのか?
つまり座標系によってv_iとv~iの対応関係がかわっていいのか、という問題に
なるのでは?


221 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 07:52:32 ID:++sS3fN8
実際には基底のとりかたによっていいはずがないし、実際に拠らないんだとおもう

222 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 07:57:43 ID:???
>>220-221
不変なのはg_{ij}dx^i dx^jであって、g_{ij}だけでは変換して当然でしょ。

反変、共変ベクトルも成分表示(脚があらわな書き方)では変換するし、
基底も含めて脚をなくした表示なら基底の取り方によらない。

223 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 08:59:55 ID:???
スピノールってベクトルみたいな「幾何学的実体」ってないよね。成分の変換性や回転群の表現として定義するしかない。
となると、テンソルも成分の変換性で定義するほうが本質的で、対応する幾何学的実体があるのはただの偶然だろうか。

224 :220:2005/10/08(土) 09:25:23 ID:???
そう、だから>>159でいう
[基底のとりかたに拠らない「表現」を持つV->V*の同型は存在しない]
というときのその「表現」というのを、変換行列g_{ij}そのもの、という意味
にとっているなら一応正しいのかもしれないけど、
[基底のとりかたに拠らないV->V*の同型は存在しない]というのは誤った主張
ではないかとおうのだが。
数学でcanonicalなV->V*の写像、というときには後者を指すのではないのか...

225 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 11:44:43 ID:qhtaqwck
>>217
線型空間の話も基底の話も、特に、大風呂敷広げて述べる事でもない。線型空間も基底の話も端的に喩え話で必要な事は全て理解できるもの。
双線型性なんていう言葉も要らないよね。はっきりいって。高校生に教えるのに。 必要な事は全て述べた_?? それって最悪の態度です
よね。それこそ「辞書でTensor:テンソルって引きな!」って言っているのと変わらない。カレーのレシピを書いて、さあこれがカレーだ!
って言っているのと変わらない。終わっていますよ。知性が低いからそういうことになる。深く理解していないから、大学過程の本に書いて
いるような道筋でしか、説明出来ないし、端的にその本質を教えられないんだよ。

226 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 11:45:39 ID:qhtaqwck
>>218
そういう事をいっているのではなくてさ・・、知性がないね。

227 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 11:48:57 ID:???
このスレ本当に高校生が読んでるの?

228 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 12:02:55 ID:qhtaqwck
>>277
確かにそれは疑問。きちんと理解できていない人もいるからね。

>>255
必要な事は全て述べた_?? それって最悪の態度です
よね。それこそ「辞書でTensor:テンソルって引きな!」って言っている
のと変わらない。カレーのレシピを書いて、さあこれがカレーだ! って
言っているのと変わらない。終わっていますよ。知性が低いからそういうことになる。
深く理解していないから、大学過程の本に書いて いるような道筋でしか、
説明出来ないし、端的にその本質を教えられないんだよ。


229 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 12:04:23 ID:qhtaqwck
>>223
一応、幾何学的実体はありますよ。

230 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 12:30:05 ID:???
本当? 線型に関係した幾何学的実体といえば直線と平面(とその次元を上げたもの)しか思いつかないだけど、それ以外のものがあるの?

231 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/08(土) 18:31:34 ID:VUDJqB6H
talk:>>225 テンソル積空間自体は線形空間でしかないというレスを読んだのか?だからこそ、その線形空間の中身について考えないといけないのに。それでは手始めにお前は行列の本質を端的に説明してみろ。

232 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 19:17:17 ID:qhtaqwck
>>231
何でお前に命令される必要があるんだよ、くそが。知性ないやつは
黙ってろっ。無用なんだよ、お前は。世の中、良い本や辞書がある
んだからよ。うざい。頭悪い奴って。

>>230
スピノ−ルの幾何学的実体というのはあります。

233 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 19:43:46 ID:???
もう新しい説明はでそうもないし、教育上悪い流れになってきたようだからここいらでお開きにしない?

234 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/08(土) 20:58:58 ID:VUDJqB6H
talk:>>232 高校生がテンソルを理解できるような本や辞書があるのかどうか示してみろよ。

235 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/08(土) 22:28:41 ID:???
礼儀正しく知性あふれるID:qhtaqwck氏のレス

486 名前: ご冗談でしょう?名無しさん 投稿日: 2005/10/08(土) 06:02:35 ID:qhtaqwck
>>483
礼儀のしらない人ですね。
じゃあ、 ゲボイ知性なき粘着だんご兄弟の一人である貴方が、だんごのかっこし
た写真をここに貼り付けて、おでこに、粘着って、 ガムテープに書いた
やつをjpegで置いたら答えるよ。


236 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 00:00:18 ID:qhtaqwck
>>234
ほんと頭悪いね。そういう意味ではないだろ?はぁ?
知性がない奴だね。こんな奴に教わったら、大量生産
製品って感じだね。まったく。
 無用なんだよ、お前は。世の中、良い本や辞書がある
んだからよ。お前の説明は無用なんだよ。無用。うざい。
頭悪い奴って。


237 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 00:04:02 ID:???
どんどんID:qhtaqwckの内面が曝け出されてきたな。

238 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 00:23:16 ID:???
ID:qhtaqwck氏のありがたいアドバイス
一番最後に注目

68 名前: ご冗談でしょう?名無しさん 投稿日: 2005/06/01(水) 02:49:06 ID:mX935ZrE
学部での物理で知っていれば十分な数学:
[線形代数]ベクトル、ベクトル空間=線形空間、基底、直交性、線形性、部分空間、補空間、ランク、一次方程式系、行列、行列式、余因子、次元、余因子展開〜ラプラス展開、
線形独立、線形従属、写像、線形写像、単写、全写、作用素=演算子、イメージ、固有値、固有方程式、固有分解、固有空間、固有関数〜固有ベクトル、対角化、座標系、
ジョルダン標準形、ジョルダン分解、準同型写像、同型写像、テンソル、スカラー、テンソル代数=テンソル解析、関数解析=関数論


239 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 01:42:59 ID:???
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
は数学板にいた人です。

このスレは、「高校生にテンソルを教える」という無理難題を目標に掲げながらも
結構うまくいっていたと思ったのだが。
(すくなくとも>>106までは。ref >>107.)
確かに難しい課題だけど、頑張ってほしいものである。

難しいからといって単に抽象的に議論するのは味気ない。
自分も数学屋だが、こういうのしか書けないのは少し恥ずかしい気がする。

240 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/09(日) 07:44:40 ID:qqI9Mtvo
talk:>>236 その一点張りこそ無用だ。お前は自分が何しているか分からないのか?

241 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 08:16:17 ID:???
>>240
関数解析と関数論の区別もつかないやつ相手にしてもしょうがないよ。

242 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 09:55:57 ID:???
質問は高校生にのみ許すってことにしたらどうだろう。疑問のレベルで判断。大学生以上はそれに答えるだけ。他人の答に対する批判も禁止。代りによりよい答を提示すれば高校生が勝手に選ぶ。

243 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 10:14:07 ID:???
>>242
確かに説明が適切がどうかを判断するのはスレタイどおりに高校生であるべきで、
そうでない人があれこれ言う筋合いはないな。

244 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 12:18:50 ID:???
まあ高校生に適切さの判断ができるかはあやしいが、感情的な叩きあいを見せたところで判断できるわけでもないからな。

245 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 13:16:45 ID:???
実年齢30超、理数年齢高校生レベルではどうでせうか?

246 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/09(日) 13:33:02 ID:???
質問だけ見て判断。

247 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/10(月) 07:44:17 ID:???
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1124899208/551-552
こんなこと言ってるヤツには判断できないことは確か

248 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/11(火) 09:52:35 ID:???
もう高校生は読まないほうがいいだろうな。

249 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/12(水) 20:59:34 ID:5qI3Ppd+
反変と共変の違いを教えるには、一次形式を使って、直行座標から
斜行座標に変換させてみればいいと思う。例えば、
f = a*x + b*y
として、x = p*x' + q*y', y = r*x' + s*y' と変換してやれば、
確かに、a, b は、行列 {p, q, r, s} の逆行列の転置で変換される
ことが示せる。 ついでに、直交変換の場合は、変わらないことも示せる。
これなら高校生でも楽勝でできそうだね。反変、共変が自然に現れることを
感覚的にとらえるにはいい例題だと思う。天下りで定義を押しつけるよりかは
ずっといい。

250 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/12(水) 21:23:18 ID:???
これだけだと、共変とは面であるという椰子が現れそうだから、
別な例を出してみるのもいいと思う。距離の2乗 x^2 + y^2 に
>>249の変換をほどこしてやる。x*x+y*y と書いて、まず、x、yの一方だけ
変換してやると、(p*x+r*y)*x' + (q*x+s*y)*y' と書ける。ここで、
X' = p*x+r*y, Y' = q*x+s*y とおいてやれば、X', Y' は、x,yの
共変的に変換したものだと言える。それゆえ、x^2 + y^2 は、
X'*x' + Y'*y' に変換される。(以下略)

251 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 08:10:04 ID:WxwVY0kw
2次元の平面上のベクトル場は、ベクトルを知っているのだから、それが
なめらかに分布しているイメージで、理解できるだろう。
平面上の一点の近傍で、ベクトル場の「微分係数」=「線形近似での変化率」
をなんとか定義してみろ、といって考えさせればいいとおもう。

そうすれば自然に ベクトル場v(x)の成分について∂v_i/∂x^jという
多成分量が必要なことに到達できるだろう。(偏微分の記号はつかわないで
説明するとして。)

この平面の回転での変換性を議論するところまでは無理かな。
変換性をいうと、ただちに∂/∂x^j の変換性が問題になってくるので。

252 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 09:12:46 ID:v5eb2bxF
>>247
関数論といえば、複素関数論といってもいいわけで、複素解析を関数解析で
引き直す事が出来るから言っている事は間違ってはないよね。慣習的には
関数論というと複素関数論となっていますが、定義はなくて、一般的に、関
数を扱うという点で差別する必要はないというのが、一定の見解ではるんで
すよね。標語的になる人が多いから。

>>250-251
説明がちょっと、ボッタくなっているかもしれないね。厳密さはかなり、
犠牲にしていいと思うよ。反変/共変という言葉の命名は歴史的なもので、
基底の変換性と共なのか反なのか、それを簡単な例と計算で説明すれば
いい。一般的に説明はしなくて、特別を説明して、「察して知るべし」と
すればいいんではないですか?

253 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 10:59:48 ID:???
>>251
教科書だと共変の例として、∂/∂x^j はよく出てくるね。ただ、
ちょっと高校生には無理かと。普通の初等代数の範囲で
示せるのが>>249>>250のいいところ。
それと、理系の大学生でも∂/∂x^j をちゃんと座標変換できる
やつは少ない気がしないでもない。。。

254 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 14:07:19 ID:???
>>252
「推して知るべし」もしくは「察して下さい。お願いだから」のどっちか。
混ぜこぜはダメよ。

255 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 15:06:43 ID:v5eb2bxF
>>252
察して知るべし_って使うよ。というのは、その先を察する事で、知る。
物事の事情などをおしはかってそれと知る。推察する。という事です。
推して・・・、という言葉は、推する=推察するという事でしょうから、
使うんでしょうね。

256 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 15:11:41 ID:v5eb2bxF
>>253
そのエッセンスを感覚でウソではなく、その雰囲気を分かった気にさせる
という事で高校生には教えるのが一番です。数式で、大学過程の数学の
知識、定義を全て用意して説明するのは、誰でも出来る訳でしょう?だっ
たら、その人はいらないんです。彼らが大学生になって、本や授業などで
知ればいいし勉強すればいい。

257 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 16:14:46 ID:???
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%BB%A1%A4%B7%A4%C6%C3%CE%A4%EB%A4%D9%A4%B7&kind=jn
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%BF%E4%A4%B7%A4%C6%C3%CE%A4%EB%A4%D9%A4%B7&kind=jn&kwassist=0&mode=0

まぁ^^に言っても意味ないだろうけど。

258 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 16:58:17 ID:???
関数論=関数解析のときと同じように、絶対に間違いを認めないのねw
お前にした通用しない定義を他人に押し付けるなよ>^^

259 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 16:59:09 ID:???
やってもうた。
お前にした→お前にしか


260 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 17:20:18 ID:???
>>256
もちろん、∂/∂x^j が悪いと言っているわけではない。
教えるにあたっては簡単なものから難しいものに行けばよし。
また、自分の手で確かめられる具体例というのも大事。

で、∂/∂x^j のエッセンスとは?

261 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 17:23:40 ID:???
ゲラゲラwwwww


252 名前: ご冗談でしょう?名無しさん 投稿日: 2005/10/13(木) 09:12:46 ID:v5eb2bxF
>>247 
関数論といえば、複素関数論といってもいいわけで、複素解析を関数解析で 
引き直す事が出来るから言っている事は間違ってはないよね。慣習的には 
関数論というと複素関数論となっていますが、定義はなくて、一般的に、関 
数を扱うという点で差別する必要はないというのが、一定の見解ではるんで 
すよね。標語的になる人が多いから。 


262 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 17:34:36 ID:???
>>261
もういいよ。難しすぎて大学生にもよくわからんだろう。
高校生にわかるように説明するなら許す。

263 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:18:09 ID:v5eb2bxF
>>258
間違いではないのだから、仕様がないでしょう(w
標語的な形でしか数学を学んでいない人とは違うから。
恥じなのは気味らだよ、関数論というのは複素関数論、
つまりは、解析関数を扱うものである、標語的に考えて
しまう。別に、関数解析で引きなおす事でも出来る。
関数を扱うという点で差別する必要もないというのが、
玄人の見解。

264 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:22:25 ID:v5eb2bxF
>>258
君の勉強不足。標語的にしか考えられない硬直化した脳だからそうなる
んだよ。おれも、UnivOfd.f.の意味しらないが、このd.f.
というのは、数学をよく勉強している人は知っているそうですよ。

265 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:24:29 ID:???

252 名前: ご冗談でしょう?名無しさん 投稿日: 2005/10/13(木) 09:12:46 ID:v5eb2bxF
>>247
関数論といえば、複素関数論といってもいいわけで、複素解析を関数解析で
引き直す事が出来るから言っている事は間違ってはないよね。慣習的には
関数論というと複素関数論となっていますが、定義はなくて、一般的に、関
数を扱うという点で差別する必要はないというのが、一定の見解ではるんで
すよね。標語的になる人が多いから。

↑( ´,_ゝ`)プッ

266 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:26:10 ID:???
スレ違いの妄言はもういい加減ウザい。
テンソルの議論に戻れ。

267 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:28:52 ID:v5eb2bxF
>>265
笑われてもね。間違いでないのだから、仕方のない事で。事実なので。
更に、単に標語的にしか考えられない硬直化した脳だから、そうなる
だけで。正直に言いますが、プなのは君だよ。

268 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:31:53 ID:???
ええと、もう一回念のために言っておくけど、

「テンソルの議論に戻れ」

269 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:33:56 ID:???
煽りますね.
あなたは関数論も関数解析も勉強した上で
関数論=関数解析と言っているんでしょうか?
もちろん、やったんでしょうね?
問題投下したいのですがよろしいですか?
これで投下予告2回目ですが今度は逃げないで下さいね( ´,_ゝ`)プッ


270 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:35:12 ID:???
テンソルの議論に戻れ

271 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:37:24 ID:???
プケラッチョ┐(´ー`)┌

272 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:55:46 ID:???
複素関数論が出てきたけど、等角変換って共変なの反変なの?
それともどちらでもないもの? それとその理由は?

273 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 21:56:08 ID:v5eb2bxF
>>269
なんでお前の馬鹿さ加減に付き合わないといけないんだよ。硬直脳に
用はないんだよ。

274 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 22:00:37 ID:v5eb2bxF
>>269
面どくさ。一人でかってにやってろ。

275 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 22:08:25 ID:???
ゲボイ君がファビョる寸前です。

276 :関数論≠関数解析・問題:2005/10/13(木) 22:09:02 ID:???
玄人のふりをするのはよくないなー

277 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 22:13:04 ID:???
誰も騙されないのにねぇ。
アレで騙せてると思ってるなら、頭の中身がオメデタ過ぎるww

(現存しない大学である)レニングラードの研究者って誰ですか?>^^

278 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 22:14:49 ID:v5eb2bxF
>>275
ゲボイ奴がゲボイ事言うなよ。

279 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 22:16:16 ID:???
ゲボイ君のゲボイ発言キタ━━━━(゚∀゚)━━━━ッ!!

280 :関数論≠関数解析・問題:2005/10/13(木) 22:17:27 ID:???
>んだよ。おれも、UnivOfd.f.の意味しらないが、(以下略)

UnivOfd.f.においてUniv.Ofd.のOfd.は多分オクスフォードのことだろうが、fは何??

281 :関数論≠関数解析・問題:2005/10/13(木) 22:19:31 ID:???
d.f.なんて意味不明だしww
一般に使われてない単語を使うなら説明しろよ、本筋を外れたアホなのか?−>^^

282 :関数論≠関数解析・問題:2005/10/13(木) 22:27:09 ID:???
おい、専門本を書いた事も無い、
板書もしたことも無い、
数学本を読んだこともない、
そこの自称玄人なるID:v5eb2bxF( ≒^^ )、TPOも知らんのか?
ここは高校生対象だぞ?

283 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/13(木) 22:30:30 ID:???
>数学本
っていうか数学書な。まだか?

284 :269:2005/10/13(木) 23:53:13 ID:???
ゲボイ逃げ腰
プケラッチョ┐(´ー`)┌

285 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 04:42:39 ID:0ObS+5s0
>>283
日本語勉強したら。
>>282
勝手な君の意見であって、相手にならない。

286 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 04:51:39 ID:???
>>285
>日本語勉強したら。
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!
お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!お前が言うな!

287 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 11:04:56 ID:???
また、高校生でもわかる有意義な書き込みをしようかと
思ったが、ノイズに消されそうだからやめよう。。。

288 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 11:26:47 ID:0ObS+5s0
>>287
キタ−!!!オエッ。
ゲボイ粘着知性なき硬直脳だんご兄弟がやってきたからね、粘着菌を
振りまいて、みんなゲボクなるから、みんな逃げよっ!!


289 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 11:31:47 ID:0ObS+5s0
>>287
ちなみに、君のことじゃないよッ!!
一緒に逃げよッ!!感染するから、粘着菌に。
もう、迫っている、みて!、あっち、「ゲボゲボ兄弟、ゲオボゲオ兄弟・・」
って言いながら、粘着菌を振り撒きながらこっちに来てる。オウェー。
逃げろ−!!感染するぞー。ワクチンないから、あの一員になってしまうぞー。
うぁ、臭って来た。なんていうにおいだッ。

290 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 11:40:26 ID:???
ここ、高校生にテンソルを教えるスレなんだよな。
なんで小学生がいるの?
「○○菌に感染する!」なんて言ってるのは小学校低学年までじゃないか?

291 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 11:52:09 ID:???
>>290
うむ
幼児が紛れ込んでいるようだw

292 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/14(金) 12:08:14 ID:zP5iHZzA
どうでもいいけど、「菌」という字は人の奥歯に似てない?

293 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 12:08:15 ID:???
「ゲボイ」というセンスといい「粘着菌」といい、
年齢が2桁に達した人間のセリフではないなw

294 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 12:36:29 ID:???
>GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
また火に油を注ぐやつが現れた。困ったもんだ・・・

295 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/14(金) 12:46:21 ID:zP5iHZzA
talk:>>294 お前に何が分かるというのか?

296 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/14(金) 12:49:49 ID:zP5iHZzA
0階のテンソル、これは実数または複素数。簡単のため、実数の場合だけ考えよう。
1階のテンソルはベクトルだけを考えればよさそうだが、ここも高校生にとってはやっかいなところ。

297 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/14(金) 12:50:43 ID:zP5iHZzA
もちろん、数学では0階のテンソルは実数、複素数以外にもありうる。

298 :関数論≠関数解析・問題:2005/10/14(金) 12:53:18 ID:???
何この独り言レス・・・

299 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/14(金) 12:54:34 ID:zP5iHZzA
ちょっと趣向を変えて、対称テンソルと交代テンソルをやってみよう。
a ox b=b ox a のような法則が成り立つようなテンソルを対称テンソルという。
a ox b=-b ox a のような法則が成り立つようなテンソルを交代テンソルという。
a,bはどちらもベクトルとする。

300 :関数論≠関数解析・問題:2005/10/14(金) 13:06:59 ID:???
あ!
この人、数学板のアイドル・kingかwあっちから追い出されたか

301 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/14(金) 13:20:08 ID:zP5iHZzA
talk:>>300 何が言いたいのだ?

302 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 13:42:23 ID:???
>>276>>279-282>>298>>300
恥ずかしいやつだなw
君はhyper functionもD-moduleも知らないんだろうな.
いや,知らないからそういう結論に至るのだろうが.

303 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 15:34:33 ID:???
他のスレは比較的平和なのに、なんでここは
こんなに荒れるのか。。。どっかの過疎スレで
やってくれればいいのに。

304 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 17:49:33 ID:???
高校生がいないからでない?

305 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 18:15:29 ID:???
小学校低学年ならいる。

306 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 18:20:56 ID:???
知識があるんだろうけど、二人ともささいなことに
過剰に反応するね。数学板の208みたい。

307 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/14(金) 20:49:17 ID:???
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wって香具師いつも荒らしてくるな
            ∧_∧
     ∧_∧  (´<_`  )  現実では誰からも構ってもらえないのさ
     ( ´_ゝ`) /   ⌒i
    /   \     | |  
    /    / ̄ ̄ ̄ ̄/ |
  __(__ニつ/ ウザス  / .| .|____
      \/____/ (u ⊃


308 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/15(土) 10:02:10 ID:???
オマエモナー

309 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/15(土) 10:04:55 ID:hEDuT2tt
talk:>>307 お前何しに来た?

310 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/16(日) 20:52:56 ID:???
最初は良スレだったのに、すっかり糞スレと化したな

311 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 14:00:54 ID:or2SvwVT
やっと、静かになったな。

あの二人、今日はどこのスレで戦っていることだろうかw

312 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 14:08:46 ID:HFvyjVFc
>>310
だね。高校生にテンソルを教える簡易講義、誰かやってくれない?
 >>310さんどう?

313 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 16:17:05 ID:???
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wって香具師いつも荒らしてくるな
            ∧_∧
     ∧_∧  (´<_`  )  現実では誰からも構ってもらえない単なるニートだからな
     ( ´_ゝ`) /   ⌒i
    /   \     | |  
    /    / ̄ ̄ ̄ ̄/ |
  __(__ニつ/ ウザス  / .| .|____
      \/____/ (u ⊃


314 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 17:21:12 ID:or2SvwVT
GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wは何者だか誰か知っている?
いや別にいちゃ悪いと言っているわけではないが、自動翻訳か
なんかを通したような独特な語り口が不気味。

315 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/17(月) 18:07:11 ID:Hje8qdzN
talk:>>313-314 お前に何が分かるというのか?

316 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 18:22:39 ID:???
>> talk:>>313-314 お前に何が分かるというのか?
返答するときもいつもワンパターンでだよね。やっぱ
自動翻訳?

317 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 19:38:33 ID:dXyq4eOy
せっかく雑音が減ったと思ったのに、構うなって。

318 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 22:38:41 ID:0d3nkqqe
>>316
何の翻訳だよw馬鹿w

319 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/17(月) 23:56:13 ID:HFvyjVFc
#1:テンソルとは?

テンソルとは、英語で tensor[テンサー] と書く[読む]。
これは数学用語です。

以下、続けて!!

320 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 00:12:38 ID:???
>>319
テンサーってなんさー

321 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 00:34:45 ID:59g8XhlH
>>320
こんもてんさー=今日も天気だね;

322 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 14:46:24 ID:59g8XhlH
#1−1:テンソルが出て来る大学課程

テンソル[tensor:テンサー]は、理学部/工学部/理工学部の課程で
一般的には出てきます。線型代数の講義の後半に出て来たり、力学
の慣性テンソルという話題で出て来たり、微分幾何学、多様体の講
義、特殊/一般相対性理論の講義で出て来たり、連続体の力学(流体
力学、弾性力学)で出て来たり、します。


323 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 20:19:51 ID:???
テンソルという名前と行列がポツポツ出てくるだけで、誰もテンソルが何なのかを理解せずに大学を卒業していく。

324 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 20:35:43 ID:59g8XhlH
#1−・:

続けて!!

325 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 21:17:08 ID:???
#1−2:テンソルと行列
テンソルのある種のものは行列とよく似ています。数が縦横に整列したものとして表され、足し算やかけ算も
行列と同じ形のものが使われます。
ただ違うのは、テンソルの場合はその成分(行列の形に並べた数一つ一つの値)が座標系に依存するということです。
正確には、ベクトルの展開に使う基底ベクトルと強い関連性があり、基底ベクトルを変えるとある規則に従って成分も
変わります。一番わかりやすいテンソルはベクトルの成分そのものです。ベクトルの成分とは予め定めた基底ベクトルで
ベクトルを展開したときの係数のことなので、基底を変えると成分もかわるのです。
行列の形で書くときは、次元をnとして、n行1列の行列として書くことが多いようです。この、
ベクトルの成分と同じ形の変換規則に従うテンソルを歴史的な理由から一階の反変テンソルと呼び、成分の一つ一つは
A^x, A^y, A^z の様に「上付き添え字」をつけます。(ここでA^x は、Aの左肩にxを添え字としてつけることを意味します)
添え字が一つなので「一階」、「反変」なので添え字を上付きにすると考えてください。

326 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 21:55:33 ID:???
ベクトルはベクター、スカラーはスケイラーだけど

327 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/18(火) 23:06:55 ID:59g8XhlH
>>325
まずは投稿:題名:内容:サンクス!!

基底、座標系、依存する、ベクトルの展開、基底ベクトル、成分、
ある規則、基底ベクトルでベクトルを展開、係数、基底を変えると
成分も変わる、 

辺りが高校生は用語のイメージも何を言っているのか分からないの
で、具体的に数式を高校課程で用いる概念、文字、数式で、書いて
しまった方が分かり易いかとも思います。
 その点考慮で期待しています!!

328 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 01:37:54 ID:???
ふと思うのだが。
>>テンソルの場合はその成分が座標系に依存するということです。
というよりも、ベクトルや行列や更にそれを一般化したものを
「座標」を主体として考えたものがテンソル
なんではないかな。
ま、捕らえ方の違い、たいした違いはないけど。

つまり、
いままで、ベクトルは(x, y, z)のような3つの数組で表されていた。
例えば(1,0,0)は右に長さ1のベクトル。
しかし、座標を回転させて考えると(0,1,0)になったり(0,0,1)になったり。
座標を変えることで色々表現が変わり、右とか上とかいう言葉では表せないけど、
実体は何かしらあると思える(つまり向きと長さ)。
これが座標変換も含めたベクトルの捕らえかた。

この際、ベクトルを表現するには座標(x,y,z)と3つの数組が必要になる。


329 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 06:20:23 ID:???
俺なんか一階はスカラル
二階はヴェクター
三階はテンサー
と思い込んでるが

330 :325:2005/10/19(水) 07:23:57 ID:???
>>327
いわれてみるとその通りだけど、考えてみるとそもそも高校生に「座標系を取り替える」なんて概念あるのかな?
ちょっと高校時代が遠くなりすぎたようなので、書き換えはもっと高校時代を覚えている人に期待。

331 :325:2005/10/19(水) 07:39:01 ID:???
>>325
誤 「左肩にxを添え字としてつける」
正 「右肩にxを添え字としてつける」


332 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 08:37:20 ID:TnDRvpdV
>>330
一度は僕らも通った道なんだけど、通ったら忘れちゃう?んだよねw

333 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 08:46:53 ID:TnDRvpdV
#1−2:テンソルと行列

続けて!!

334 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 15:46:35 ID:???
#付録ーA:大学入学後、数学系教官にベクトル空間をおそわったあと物理に
進学するひとへの、ベクトル、テンソルに関するリテラシー・ギャップに
そなえる補遺

もよろしく。

335 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 16:10:35 ID:TnDRvpdV
>>334
『逆から読む本』スリーズみたいだね!

336 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 19:00:55 ID:TnDRvpdV
#1−2:テンソルとベクトル
前回は、テンソル[tensor:テンサー]がどの様な課程で学ぶのかに少し
触れたと思う。ここでは、高校の数学Bで出て来るベクトルとテンソル
[tensor:テンサー]の関係を見ていきたい。

 実は、何の事は無い、ベクトルというのは大学課程で学ぶテンソル
[tensor:テンサー]の特別な場合なんだ。つまり、テンソル⇒ベクトル
ではなくて、ベクトル⇒テンソルと言う事だ。正確な呼び方なんだが、
 『ベクトル=1階(いっかい)のテンソル』
なんて呼ぶ。”階”段みたいだな。まあ、階数が上がればより一般的で
多くの事を表すから、階段というイメージ自体はそうウソではないかな。
<”階”数が上がる⇔一般的・多くの事をあらわす>というイメージの対応
が付く。ちなみに、実際に数学で「・・・階のテンソル」という・・・を
そのテンソルの『階数』と本当に言う。だから、
 ベクトル は 1階のテンソル なので、『階数』は 1.

つまり、1階よりは2階の方が上だから、1階のテンソルより、2階の
テンソルの方が、一般的で多くの事を表すって具合だ。2階より3階、
3階より4階、・・・、n階より(n+1)階、・・・という感じだ。
となると、テンソルって言えば、まず、何階?のテンソルっていう事を
考える。つまり、「階数」を聞くわけだ。
 ベクトルは何階のテンソル?って聞かれたら、 1階!! って
思いってきり答えてくれ。
 

337 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 19:01:28 ID:TnDRvpdV
そのテンソルの『階数』と本当に言う。だから、
 ベクトル は 1階のテンソル なので、『階数』は 1.

つまり、1階よりは2階の方が上だから、1階のテンソルより、2階の
テンソルの方が、一般的で多くの事を表すって具合だ。2階より3階、
3階より4階、・・・、n階より(n+1)階、・・・という感じだ。
となると、テンソルって言えば、まず、何階?のテンソルっていう事を
考える。つまり、「階数」を聞くわけだ。
 ベクトルは何階のテンソル?って聞かれたら、 1階!! って
思いってきり答えてくれ。
 




338 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 19:02:51 ID:TnDRvpdV
以下、続けて!!!

339 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 19:04:28 ID:???
もう続けなくていいよ。
っつか>>333>>338はギャグですか?

340 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 19:11:46 ID:TnDRvpdV
>>339
なら、このスレッドはいらないね。ギャグではないけど。
まともな事を書いているから。

341 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 19:48:09 ID:???
2階のテンソルの例1:
風が一定方向にながれています(水でもいいが)。平たい板を
持って風に向かいます。すると、板の方向によって、板が受ける
力の方向と大きさが変わることがわかる。体験または実験してみること>>高校生
板の方向と板が受ける力を結びつけるなんらかの関係がありそうである。
実はあるわけであって、それが(以下略・・・)。

342 :328:2005/10/19(水) 23:07:25 ID:???
>>330はレス違い?

えっと。文章が下手ですいません。誰かうまくまとめてほしいのですが。
つまり、私が言いたいのは、高校生には「座標系を取り替える」という概念がない。
しかし、「座標系を取り替える」という概念で見ればベクトルもテンソルであると考えられる。
というかベクトルもテンソルも考えるときは「座標変換」を考えなくてはならない。
というようなこと。
「座標変換」の意味さえつかめりゃテンソルの理解くらい簡単ではない?

343 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/19(水) 23:34:35 ID:TnDRvpdV
>>342
高校生には「座標系を取り替える」という概念がない
:無い訳ではなくて、それをそれとして理解していないというだけでは?

344 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 00:10:15 ID:???
>>343
まあそうだと思います。
しかし、座標変換してテンソルの理解はありえないし、
座標変換さえ理解すればベクトルを理解できる高校生ならテンソルも理解できると思います。
私は作文が苦手なので誰かお願いします。

345 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 00:19:05 ID:MqOApsiN
>>344
座標変換というものの本質を高校生の持つイメージ、用語、記号で
説明すればいいのだと思います。その為に、具体的な例を取って、
それを以って、その一般的な場合に付いては、察して知るべし、と
するのがいいと思います。数学者でさえ、その思考回路で歴史的には
発展してきた上でテンソルは考えられてきましたので。

346 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 01:59:21 ID:???
ていうか、テンソルだけ理解してもつまんないと思う。
相対論なんかの物理といっしょに勉強しないと。


347 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 06:09:57 ID:???
高校生って、角度θの2次元回転行列
R(θ)=(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})=(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)
による平面上のベクトルの回転を使った説明はわかるのかしら。

直交行列だから、共変、反変の説明には向いてないだろうけど、. . .


348 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 09:18:12 ID:MqOApsiN
>>347
それがわかるかどうかではなくて、恐らく、それを分からせるか
”分かったつもり”にさせるのが我々の仕事??w

349 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 09:33:52 ID:???
まず、座標変換を含めてベクトルを考える。

はじめは簡単のため世界は1次元としておこう。つまり線。
この状況で2人の観測者がいたとする。AとB。
ある物体が世界(1次元)の上を走っていった。等速度・ずっと同じ方向を向いて。
Aいわく、その物体は「右方向に走っていった。」
これに対してBは「左に走っていった。」という。

まあ、これはさして難しい状況ではない。
つまり、AとBは互いに向かい合っている状況であったのだ。
以上を少し数学的に書いてみる。
ふつう座標といわれたらどんなものを思い浮かべるか。
それは右に線を引いて、上に線を引いて(2次元座標)というものであろう。
このとき物体はAの座標では(1,0)の方向に走っていたといえる。
これに向かい合うBの座標ではこの方向は(-1,0)にあたる。

これからもわかるように、物体の速度という一つの定まったベクトルも、
座標を変えると表示も変えなくてはならないということである。

350 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 12:21:23 ID:???
では座標とは何か。ではあるが。
座標は右方向にどれだけ動いて上方向にどれだけ動いて・・・と調べて、
考えたい量の方向・位置を決定するものであった。
つまり、座標は固定したベクトルの組
(2次元だったら右に1と上に1、3次元だったら右と上と手前に1)
のことである。

以上から、ベクトルは座標=ベクトルの組(x,y)を決めると
2つの数の組(例えば(1,0))と表されるといえる。

>>349の例ではAの座標を(x,y)とするとき、
Bの座標はそれに向かい合ってるから(左右が逆になって上下は変わらないから)(-x,y)となる。
まず、Aの座標=(x,y)では物体の速度ベクトルは(1,0)であった。
これがBの座標=(-x,y)では(-1,0)と表せるのは当然であろう。
同様に座標=(y,x)を考えれば、(0,1)となる。(首を傾ける感じ。)

351 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 13:51:34 ID:MqOApsiN
>>349
つまり、AさんからみるとBさんがマイナス方向に遠ざかる、
BさんからみるとAさんがプラス方向に遠ざかる。Aさんと
Bさんとで立場が違うので、プラス方向とマイナス方向と、
遠ざかり方が違ってくる。違う立場で同じ事を見た時に、
Aさんが言っていることとBさんが言っている事が辻褄が
あっているか?という説明書、翻訳機が 座標変換 という
事ですね。座標〜立場という感じで、座標変換〜立場の違い
というイメージですね。

352 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/20(木) 13:53:16 ID:MqOApsiN
>>350
良い感じですね!!#1−2題名とか#2−3題名・・とかすると
目次みたくでいいと思います。皆さんも続けて!!

353 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/21(金) 10:05:02 ID:???
用語をもう少し整理して、座標系と座標値という用語を導入する。上に書かれてるように
座標は点の位置を指定するもので、予め決めてある原点から右にどれだけ動き、
さらに上にどれだけ動くとその点に達するか、を表した。

ところがこの原点とか、右方向、上方向は絶対的なものではない。ある学生Aに「君にとって
先生のいる位置の座標は?」と聞けば、彼は自分の立つ位置を原点とし、そこから(彼にとっての)「右方向に
2メートル、前方向に3メートル進めば先生の位置に達するので(2,3)です」と答えるだろう。
でも別の場所にたち、後ろを向いた学生Bに聞けば、別の答えがくる。後ろを向いているから、多分座標には
マイナスの数が入るだろう。先生自身にとっては(0,0)になる。

つまり点の座標は「原点の位置、右方向、上方向の取り方」に応じて変わってしまうのである。この点をはっきり
させるために、「原点の位置、右方向、上(前)方向の取り方」を一つ決めたら「座標系を一つ決めた」と言うことにしよう。
学生AとBでは違う「座標系」を使うことになる。それぞれにとっての点の座標を「Aの座標系での座標値」、「Bの座標系での座標値」
と呼ぶことにしよう。

354 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/21(金) 10:11:03 ID:???
注:上の「座標値」という用語は、単に「座標」と言われる方が多い。でもここでは座標系を決めた上で初めて決まる値、という意味を強調するため「座標値」と呼んだ。

355 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/21(金) 13:51:32 ID:???
>>354
「座標値」は座標に関する成分ということですね?

ところで、座標変換も直交変換なら高校生にも分かると思うけれど、
直交でない場合のイメージってどんなものがあるのでしょう?

356 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/21(金) 22:33:51 ID:???
あんま思いつかないね。結晶構造ぐらいかなあ。ローレンツ変換の図はある意味で斜交座標みたいに見えるんだけど。

357 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/22(土) 01:13:28 ID:???
ベクトルを数の組(x、y)として導入したが、ベクトルを向きのついた線分(矢印)と見る考え方もある。
向きと長さを持ったもの、と言ってもよい。向きと長さが同じ二本のベクトル(矢印)があれば、それらは同じものと見なす。
一本の矢印を平行移動して位置を変えただけ、と見なすのである。

ベクトルの始点から右にx、上にy進んだときにちょうど終点に達するなら、このベクトルの成分は(2,3)である、という。
上で「ベクトルは座標=ベクトルの組(x,y)」とあるのは、正確にはこのことを意味する。つまり
「ベクトル(x、y」)=「始点からxだけ右へすすみ、そこからyだけ上へ進むと終点に達する矢印ベクトル」
なのである。


358 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/22(土) 02:21:39 ID:???
>>357
ごめん分かりづらかったみたい。
矢線でも良いけど。>>357は高校の範囲。
座標変換ということを考えたいので。

ベクトルは、
「座標=ベクトルの組(x,y)」を決めると
2つの数の組(例えば(1,0))と表されるといえる。

つまり、矢線でも座標を決めないと
成分が定まらない(座標を変えれば成分も変わる)ことが重要!ということ。

359 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/22(土) 08:49:21 ID:???
>矢線でも良いけど。>>357は高校の範囲。
>座標変換ということを考えたいので。

何をいいたいかよくわからないんだが。もちょっと言葉を足してくれない?

360 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/22(土) 16:17:03 ID:???
高校ではベクトルは矢線、つまり向きのついた線分(矢印)として教えているはずですが。
だから>矢線でも良いけど。>>357は高校の範囲。 と書いたのです。

>>357では「ベクトル(x、y)=「始点からxだけ右へすすみ、そこからyだけ上へ進むと終点に達する矢印ベクトル」
と書いてあり、確か高校でもこんな感じで習うはずです。
しかし、これでは「右」「上」がどの方向かによってベクトル(x、y)が変わりかねない。
例えば観測者AとBが向かい合っていたらベクトル(1、0)といっても、これがAの(1、0)かBの(1、0)のどちらのことか分からない。
つまり高校でのベクトルの単元は、はじめから座標(上の例ではAの「右」「上」か、Bの「右」「上」か)が決まった世界で勉強をしていた。
テンソルを考えるときはこの座標というものをあらかじめ固定しないで、自由に変換すること(コーディネート・フリー)の考え方が重要だと思う。

当然、座標(「右」「上」の方向)を固定すればベクトルは成分で表示できる。


361 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/22(土) 18:34:35 ID:???
coordinate free って座標系なしで定義できるっていみでね。

362 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/22(土) 19:32:20 ID:???
高校では座標=標準座標と固定しているから、
コーディネート・フリーの概念が無いということ。

363 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/27(木) 08:54:00 ID:???
茶々を入れたがるやつ、なんで自分で書かんの?

364 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/27(木) 19:19:22 ID:???
コーディネートはこうでねーと

365 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/10/28(金) 02:37:39 ID:???
それもとネタなに? どっかで聞いたんだが。

366 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/02(水) 22:25:01 ID:WzxO79XL
以前質問した者です。なんで行列を上に積み重ねないのでしょうか?
自然な考えだと思うのですが。。。
まだ誰も手を付けてない分野なのでしょうか?
それとも積み重ねても意味がないのでしょうか?

367 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/02(水) 22:40:43 ID:???
上に積み重ねる、というのをきちんと数学的に表現してみましょう。

368 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/02(水) 23:45:59 ID:???
添え字が三つあるようなもののことじゃない?
三つ目の添え字が上への積み重ねのことだと見た。

俺が知ってる限りでは"Cubic matrix"なるものがある。
Poisson bracketの拡張であるNambu bracketの代数(の量子化)の例として
以前、米谷さん達が論文書いてた。

369 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/03(木) 08:51:39 ID:???
素朴に考えると3階のテンソル表すのに適した形だろう。でも紙に書きづらいから使われないだけかと。
いや、行列同士のかけ算がきれいに定義できないかな?

370 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/03(木) 19:15:36 ID:AdUF3ME+
数を並べるとベクトル、ベクトルを並べると行列、とくれば次は行列を積み重ねてみようと思うのは自然だと思ったのです。
0階が数、1階がベクトル、2階が行列、3階が立体の行列、という理解であってますでしょうか?

371 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/03(木) 22:06:54 ID:???
(2階)テンソルと行列は似てるようで、全く同じではない。

372 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/04(金) 09:30:31 ID:???
計算式がきれいに表されるなら問題ない。

373 :みのる:2005/11/09(水) 21:44:30 ID:jXtnG7CH
キュービックマトリックスなるものに興味あります。2×2×2の行列と2×2×2の行列の積は、テンソルを使えば計算できるのでしょうか?

374 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/10(木) 23:22:13 ID:???
何か話が逆。テンソルの計算を行列を使えばきれいに表されるのか、と聞くべき。ま、
3階のテンソルと1階のテンソル(ベクトル)のコントラクションとると2階のテンソルにあるっていのは自然に表せそう。でも
立体はやっぱり紙にかきづらいから有用とは思えん。

375 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/13(日) 01:33:29 ID:???
久々に覗いてみたら、なんか質問があるようですね。

>>373
立体行列の積なるものがどんなものか分からないからどうだか?
そもそもうまく、掛け算できるのだろうか?

>>370
あたりで、数を並べてベクトルといっているが、この考え方は高校生ですね。
数を並べたものは「ベクトルを表したもの」であってベクトルそのものではない。
ということを>>349あたりで書いたつもりだったが。
高校生には難しすぎるのかなぁ。

376 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/13(日) 04:02:13 ID:???
ベクトルを表したものっていうよりベクトルの例だろ

まあ物理ではどっちかというとそういうことはどうでもいいんだろうし
本によっては「ベクトルとは数を束ねたものである」みたいな書き方がされるときもあるけどね

377 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/13(日) 09:53:44 ID:???
つーか、物理ではどっちの見方も頭の引き出しにいれといて使い分けることが要求される。

378 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/13(日) 09:56:08 ID:???
今思ったがこのスレ数学版の方がふさわしかったかも。物理に入れたのは相対論を念頭においたのかな。

379 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/13(日) 15:44:17 ID:LuhWbHdo
わかりやすいのがあった。
http://photo-collage.jp/gensougarou/gall/gall/81.html

380 :みのる:2005/11/14(月) 18:28:13 ID:1xMPAWCH
数学、物理学の分野において3階のテンソルの積はまだ定義されてないのでしょうか?
物理で使うテンソルは2階までで足りているのでしょうか?

381 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/14(月) 19:29:01 ID:???
3階どころか、単なる縮約程度の意味でなら何階でも定義できとるわ。
11階までは見たことがある。


でもな、Cubix matrixは3階のテンソルとは 別 物 な 。
テンソルと行列の違いを理解しないでCubix matrixなんかに興味を持つな。
あんなもん知ってたところで使う場面はない。

382 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 01:08:00 ID:???
>>376
座標変換って知ってます?

383 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 01:32:27 ID:???
知ってますけど数ベクトルはベクトルの一種ですよ
原点に特別な意味があるような(座標)系でなければ、
もちろんそんな点はこの宇宙には無い、というのが普通の考え方ですけど
相対論によって、数ベクトルはベクトルではないことが証明された、とかいうのは無茶かと

それにベクトル空間ってもっと色々ある訳で、、

384 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 01:34:09 ID:???
失礼
一行抜けちゃいました

原点に特別な意味があるような(座標)系でなければ、
変位ベクトルあるいは位置ベクトルではない、というのは確かですけど

385 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 02:53:11 ID:???
>>383
数ベクトルということは、あなたは基底を固定した世界を考えていたのですね。
点だけでなく基底も固定するならばベクトルは数の列ですからね。

386 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 03:21:01 ID:???
原点と基底を固定しなければアファイン空間であって
ベクトル空間ではないからね
物理でもヒルベルト空間の原点とかは結構本質的な原点ですね

387 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 08:19:31 ID:???
>>385
数学としては言い方があいまい。任意のベクトル空間で基底を固定すると、そのベクトル空間と数ベクトル空間の間に対応(線型同型)を作れる。
数の列の集合がベクトル空間になることは基底を固定うんねんとは無関係。

388 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 08:27:27 ID:???
数ベクトル空間の中だけでも基底の取り方のバラエティはある。


389 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 08:50:11 ID:???
>>386
基底を固定するかどうかはaffine空間の定義と無関係。wikipediaにaffine空間の定義がのってるから見てみ。

390 :みのる:2005/11/15(火) 15:38:58 ID:???
>>13
高次元行列とはどういうものでしょうか?
キュービックマトリックスは3次元行列でしようか?

391 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 17:48:38 ID:???
基底を固定するのは数ベクトル空間(というか体の直積?)と
同型写像を取りたいときだけでいいよね
そもそもベクトル空間であるか、アファイン空間であるかとは確かに無関係でしたね、失礼

物理やるには、ベクトル空間とは(一般次元の空間の)矢印のことだ、
くらいの理解で大抵間に合うでしょうね

392 :385:2005/11/15(火) 19:08:55 ID:???
>>390
ここはテンソルすれであって、キュービックマトリックスのスレではありません。

>>386-389
すいません。話を混乱させてしまいました。
要するに数ベクトル空間のとき、「標準的な」基底が取れてしまうということが言いたかっただけです。



393 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/15(火) 23:50:43 ID:???
>>390
テンソルと行列の違いがわかるようになるまでキュービックマトリックスのことは忘れろ。

394 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/16(水) 10:18:12 ID:???
> 基底を固定するのは数ベクトル空間(というか体の直積?)と

直和。。じゃなかったっけ。成分ごとの和がとれるし。

> 物理やるには、ベクトル空間とは(一般次元の空間の)矢印のことだ、

賛成。矢印だけど、基底をとるから数の組と対応がつくという見方が柔軟性がある。図でわかるし基底の変更のアイデアも自然にでる。
でも数学屋さんの幾何本だとはじめから数の組R^nにするのが多い。厳密さを追求すると矢印なんてのは定義できないからだめなのかね。

395 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/16(水) 16:27:26 ID:???
一般の集合のときは直積って言うけど
加群の場合は直和って言うんだっけ、演算が加法だから

数学の人もイメージの重要性は分かってるんだろうけど、
ベクトル空間に矢印のイメージが付きまとって
それ以外の対象を見落とすのを嫌うんじゃないかな
例えば線型の常微分方程式(つまり微分方程式の基礎の基礎)とか
習うとベクトル空間とか基底とか出てくるけど、
ベクトルとは矢印の事だと思ってたら理解できないかもしれない

396 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/16(水) 22:52:51 ID:???
あえて言うと有限直積を直和と言います。
また、体の直和はベクトル空間になるけど、ベクトル空間が成るとは限らないんじゃないかと思います。
(無限次元とか。)
まあでもそんなことどうでも良いでしょう。矢印でよいと思いますよ。
むしろ、数学屋としては物理の人の持つイメージがどんなものなのか、もっと参考にしていきたいと思っている。

397 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/17(木) 12:38:31 ID:???
無限次元でも矢印は矢印じゃない?
向ける方向の自由度が死ぬほどあるってだけで。

398 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/17(木) 16:16:17 ID:???
3次元を超えるとイメージできないから矢印といわれても。

399 :396:2005/11/17(木) 16:29:20 ID:???
うわ。言葉が抜けてた。
「ベクトル空間が体の直和に成るとは」ってことで。
まあどうでも良いことです。

400 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/17(木) 23:12:05 ID:???
イメージできないのに、矢印を使う必然性が全くわからない。
素直に基底の線形結合で考えたほうがいいだろ。

401 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 09:19:22 ID:???
3次元までのわかりやすいイメージを利用しつつ、計算で確認。併用がいいかと

402 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 10:35:08 ID:???
ある一次元を縦軸にして、残りのN-1次元を横軸にして矢印書いたりするじゃん。
それで十分厳密な議論ができる。

403 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 15:46:49 ID:???
>>402
>それで十分厳密な議論ができる。
ただのイメージに厳密もへったくれもねーよw
ちゃんと理解してる人はそれでもまちがわないかもしれんが、
勘違いしてる人はめちゃくちゃなことを言いかねんぞ。

404 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 19:54:11 ID:arx9+YL4
もう受験勉強しないといけないのでテンソルのことはもう調べることができませんので最後に一つだけ質問させてください。
13さんのいう高次元行列の3次元バージョンがキュービックマトリックスでしょうか?

405 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 20:26:48 ID:???
>>404
キュービックマトリックスのことは忘れなさい。あれは非常に限られたところで出てきたもので、
用途も非常に限定されています。というか、本当に使い物になる代物なのかも定かではない。
>>14
>高次元行列って矛盾している名前でもあるし。 
とツッコミが入っているように、テンソルと行列は似てるようで同じではない。
高次元行列という単語も忘れなさい。

(2階の)テンソルは行列で表すことができるが、行列があるからといって、それがテンソルかどうかは別。
3階のテンソルも無理やり立体的に数字を並べることで表すことができるが、これも逆は真ではない。
キュービックマトリックスはさらに特殊な代物で、演算が特殊。

「立体的な行列?面白そう。」
とでも思ったのだろうが、何も面白くはないよ。

406 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 20:59:09 ID:???
普通の行列で十分深く面白い、しかも役に立つ、てことす。

407 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 22:48:39 ID:???
ダイソンの本に数理物理の歴史的エピソードがあるんだが、面白い。ベクトル空間の創始者は
教師やってたグラスマンだそうだが、生きてる間には誰もその重要性を認めてくれず、しょうがないんで
サンスクリット語の研究に移り、インドの大古典をドイツ語に訳して名を上げたんだと。

408 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/18(金) 23:28:20 ID:IvuGHk2c
>>404
なんでキューブにこだわる?四面体でもいいではないか。

409 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 07:57:48 ID:???
>>400
矢印というイメージのなかには、基底の直交変換に関する不変量とかまで
はいっているし。

410 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 08:57:40 ID:???
どこに? 長さのことか?

411 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 08:59:51 ID:???
つーか、基底変えても矢印自身はもちろん変わらんが、言ってるのはそれだけか?

412 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 10:34:58 ID:???
基底が変化したり矢印が変化したりって、いったい
不変量はなんなのさ?

413 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 13:45:01 ID:???
>>412
それがベクトル(テンソル)。

414 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 15:02:15 ID:???
>>409
単純にはイメージできない4次元以上にまで矢印を使う必然性がわからんといってる。
あくまで「わかってる」人同士で説明の便宜上に使うならいいが
そうでないと勘違いの元にしかならん。

415 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 17:01:18 ID:UbNCriWP
テンソルに矢印があるなんて始めて知った〜
すごいね〜


416 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 18:39:08 ID:???
>>415
誰もテンソルが矢印だなんていってないぞ。

417 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/19(土) 21:52:29 ID:???
テンソルは矢印を組み合わせたもの?

418 :みのる:2005/11/22(火) 23:59:25 ID:???
テンソルならば行列であらわせる

行列だからといってテンソルとはかぎらない
ということはテンソルより行列のほうが広い概念なのでしょうか?
行列であることはテンソルであるための必要条件ということでしょうか?
つまり行列の特殊なものがテンソルでしょうか?

419 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/11/23(水) 07:28:55 ID:h50DBl0a
talk:>>418 行列はテンソルだぞ。

420 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/23(水) 08:44:03 ID:???
はぁ?

421 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/23(水) 09:01:08 ID:???
>>418
理解するのはいったん諦めて、大学に入ってから線形代数をしっかり学ぶことをオススメするよ。

>>419
単純に同じではないよ。

422 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/23(水) 09:03:10 ID:???
ああ、そろそろループか。テンソルは「座標変換に対してある変換性を持つ数の組」(もっと幾何学的な定義は過去スレ参照)。
行列では(普通は)座標変換など考えない。数を並べ、並べたもの同士の演算が定義されるだけ。

つーわけで、テンソルと行列は別物。歴史的にも行列は線形方程式の議論から出てきた、と聞いたような気がする。テンソルは
リーマン幾何学とか弾性体理論かな? 座標変換が重要なところ。

しかし、両者の演算には線型性という共通部分があるので、特に1階、2階のテンソルの成分やそれらの演算は
行列を使うと非常に便利に表せる。しかし3階、4階とかになるとあまり単純にはいかない。

まあ行列自体を線型空間の要素、つまりベクトルと見なすという立場なら行列自体もテンソルと
言えないこともないが、>>418 の質問の意図がそこまで聞いてるとはおもえん。

423 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/23(水) 10:16:22 ID:???
>>418
簡単に言うと>>422のとおり、
ベクトル(数組)や行列に「座標変換」という考え方を加えたものがテンソル
といってよいと思います。

座標変換を考えずに演算があるという性質だけ取って
テンソルを定義する抽象数学的方法もあります(これが>>419)が
特に物理では座標変換が重要と思います。

座標変換については過去に書いてあるのでそちらを参照。
分からなければ、それについて質問してください。

424 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/25(金) 06:04:17 ID:???
物理で環や体(実数体とか複素数体以外ね)って何に使うの?

群とかベクトル空間は分かりやすいんだけど、、

425 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/25(金) 06:46:08 ID:???
多元環なら使うけど、ただの環は使わないな。

426 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/25(金) 09:03:07 ID:???
リー群リー環の表現論なら連続的対称性の議論(量子力学の角運動量とか相対論的不変性)で使ってるんだけどね。リー環という言葉は使わない。

427 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/25(金) 09:59:39 ID:???
場の量子論までいくと別だけど。

428 :みのる:2005/11/26(土) 23:24:59 ID:???
座標変換って例えば(X,Y)=A(x,y)
展開すると
X=ax+by
Y=cx+dy
見方をかえると
(X,Y)=(a,c)x+(b,d)y
になり、つまり基本ベクトルが(1,0)(0,1)から(a,c)(b,d)に取り替えられたことになりますけどそのことでしょうか?
(a,c)(b,d)が平行でなければ座標軸が斜めに交じわりますけどそのことでしょうか?

429 :みのる:2005/11/26(土) 23:45:16 ID:???
平行でなければ

平行でなく垂直でなければ

に訂正

430 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/27(日) 02:15:42 ID:???
それは特殊な座標変換
直線は直線になるまっすぐな変換で、線型変換と言う
もっとぐにゃぐにゃした変換でもおk
対応する点がかぶってたりしない限り

431 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/27(日) 09:42:54 ID:???
ぐにゃぐにゃした座標変換のいい例は極座標系。点Pの位置を原点Oからの距離rと原点から見た方向(線分OPとx軸の角度θ)で指定。
xy座標との関係式はx=rcosθ, y=rsinθ。変換式にsin,cosが入るので線型変換ではない。


432 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/27(日) 16:45:26 ID:???
まあ初めは線形変換から考えていくのが良いと思う。
ちなみに、平面で平行でない⇔三角形を作れるということだけど、
これを「(a,c)と(b,d)は線形独立」という。
数学的にはdet(a,c)(b,d) = ac - bd not= 0ということ。

ちなみに垂直な場合も線形変換である。
このような変換は回転による変換のみである。
これを直交変換という。


変換に対して、ベクトルの表示がどう変わるかを考えてみてください。

433 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/27(日) 23:08:28 ID:???
> ちなみに垂直な場合も線形変換である。
> このような変換は回転による変換のみである。

この二行省略が多すぎて何を言ってるのかわからない。

434 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/28(月) 01:47:39 ID:???
> ちなみに垂直な場合も線形変換である。
> このような変換は回転による変換のみである。

1行目は>>429が垂直なときのことを気にしていたため、
それでもかまわないということを書いただけ。
2行目は実平面上の直交変換は回転のみであるということです。

435 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/28(月) 03:34:17 ID:???
鏡映は?

436 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/28(月) 08:45:24 ID:???
その通り、鏡映(反転)も直交変換。

ついでに、座標の変換と点の変換、点の変換とベクトルの変換を区別しないで書いてるのが気になった。
原点を決めて位置ベクトルを介せば関係はつくんだが、概念としては区別しとかないと。

例えばこんな問題を考える上で大切:。
平面上の点の変換で二点間の距離を変えないものは3種類ある。全て挙げ、それらだけに限られることを証明せよ。
(前半だけだと直観でいけるが、後半が結構難しい。おれは自力ではできんかった)

437 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/28(月) 08:53:51 ID:???
どこが難しいかというと、「ぐにゃぐにゃした変換」をどう排除するかというところ。

438 :みのる:2005/11/28(月) 20:36:21 ID:???
ぐにゃぐにゃした変換とは座標軸がぐにゃぐにゃしてるのでしょうか?行列で変換するとその行列の1列目と2列目のベクトルが基本ベクトルになるのでぐにゃぐにゃしようがないと思うのですが。

439 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/28(月) 21:01:38 ID:???
>行列で変換
だから行列を考えてる時点で線型変換を考えてるんだって

440 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/28(月) 21:38:15 ID:???
極座標だと座標格子が 原点を中心とする同心円+原点から放射状に伸びる直線 になる。
もちろん行列では書けない。


441 :みのる:2005/11/28(月) 22:32:47 ID:???
〉〉439
いわれてみればそうでした^^;

テンソルだとぐにゃぐにゃした変換ができるのでしょうか?
でも行列の特殊なものがテンソルだとしたらテンソルも線形変換しかできないと思うのですが。

442 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/29(火) 06:31:00 ID:???
テンソル(の2階のもの)はベクトルを変換するもので、点を変換するものではない。だから区別しろといってる。

443 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/11/29(火) 12:15:17 ID:99HdsYOx
talk:>>437 意味が分からないので、数学的に説明してくれ。

444 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/29(火) 18:21:48 ID:???
一般的な変換ではなくアフィン変換に制限できるということ。アフィン変換に限れば後は簡単。

445 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/29(火) 18:44:08 ID:???
Kingが出てきたw

446 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/29(火) 19:31:34 ID:???
え、有名人なのか?

447 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/11/30(水) 13:40:28 ID:???
ウザキャラとして最近ではAフォーより有名かも

448 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/01(木) 19:41:40 ID:???
おお、A4を超えたのか。そりゃすげえ

449 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/03(土) 00:05:54 ID:???
数学偏差値37ですが、ベクトルを数値的に求めるのは直交軸に沿った
成分の値を求めればいいわけですよね?
2階のテンソルが3^2の成分が必要なら、ベクトルは3^1の成分を
持つから1階のテンソル、スカラーは0階のテンソルと考えていいんでしょうか??

450 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/04(日) 09:23:51 ID:8tRVRN0s
>>441
テンソル等は座標を変換するためのものではない。
座標の変換は3次元空間から3次元空間への写像(関数)でおこなわれる。

テンソル・ベクトルは座標を変換すると(その表現は)一緒に変換される。
変換の仕方により共変・反変が区別できる。

451 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/04(日) 16:55:54 ID:???
テンソルとテンソル場をきちんと区別しましょう。
空間の各点における接空間にテンソルを貼り付けていったものが
テンソル場ですよ〜

座標変換うんぬんとかかわりが深いのはテンソル場。

452 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/07(水) 00:39:54 ID:???
テンソルの説明なしで場といわれても

453 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/07(水) 20:39:48 ID:???
上げてみるテスト。

454 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/10(土) 17:35:38 ID:???
灘中学校・灘高等学校part7
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1128093643/
★★★★★【筑駒】【学附】【筑附】★★★★★
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1108547503/
筑駒スレ ( ブΘヨ)アlt;君達は馬鹿なんだ!
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1096202783/
∞♂☆★開成学園 その壱拾七★☆♂∞
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1133945450/
【受験・辛夷】学芸大学附属高校3【制服・教官】
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1128000009/
学芸大学付属高等学校大泉校舎
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1127377832/

麻布学園]
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1134033744/



455 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/12(月) 11:27:43 ID:???
>>1
いろいろ出たからここらで中間まとめやれよ

456 :ご冗談でしょう?名無しさん:2005/12/19(月) 21:42:52 ID:???
なんだ立て逃げか

457 :中川秀泰 ◆IPeKUwqiHM :2006/03/14(火) 18:27:17 ID:???
高校生に捩率・曲率テンソルなどの高次テンソルを教えるのは無理だな

458 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/03/15(水) 09:18:59 ID:???
結局、テンソルの数学的定義だけ教えてもハア?ってだけで、背景となる幾何学とか相対論の
知識がないと意味がない、てこと。
でもこのスレ立てたのはテンソルでこけた大学生だろうから、参考にはなったかも

459 :中川秀泰:2006/04/12(水) 22:35:09 ID:eW/M9ZAh
と言う事で、

このスレ

 〜〜〜終了〜〜〜

460 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/12(水) 22:36:25 ID:???
このスレ

 〜〜〜終了〜〜〜

>>459
このコピペを数学板に貼ってたのはお前か?

461 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/23(日) 09:46:54 ID:iBrht/aK
がいしゅつだと思うが「高校生にツンデレを教えるスレ」に見えた。

462 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/23(日) 17:45:22 ID:???
俺高3だけど、ある程度分かってるつもり。

463 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/23(日) 18:37:54 ID:???
どういう風に理解してるの?

464 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/23(日) 22:26:25 ID:???
相対論で使える程度に

465 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/23(日) 23:11:21 ID:???
このスレちょっと覗いてみたが数学板に持って行ったら爆笑間違い無しだな。
昔ゼミで教官とゼミ生がテンソルの定義で紛糾していた事思い出したよ。


466 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/24(月) 06:47:21 ID:???
で、あんたの定義は?

467 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/28(金) 00:00:15 ID:2Yt+azjx
>>462
曲率テンソルまで行かず、二次のテンソルでの理解なら高校でも十分可能。

468 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/04/28(金) 21:21:01 ID:???
田代嘉宏のテンソル解析が復刊されましたよ。
どうせまたすぐ品切れになって手に入らなくなるんだから見かけたら買っとけ。
日本語で書かれたテンソルのちゃんとした教科書はこれしかない。

469 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/03(水) 14:08:55 ID:???
>>465
皮肉しか能がないクズ

470 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 13:21:16 ID:???
反変ベクトルと共変ベクトルは、
あるベクトルを反変成分で表せば反変ベクトル、共変成分で表せば共変ベクトル
と言われる。
反変とか共変とかの単語は、座標変換したときに成分の変化の仕方を見ると
なっとくいくはず

471 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 15:20:04 ID:???
>>470
「あるベクトルを」っていってるけど、あなたのいうベクトルの定義は?

472 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 15:42:58 ID:???
>>471
簡単に言うとベクトル空間の元。
詳しくは、ベクトルを扱っている書籍を見ればたいていそう書いてある

473 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 17:20:29 ID:???
>>472
この程度で本を見ろと逃げるようじゃ何もいわんほうがいいな。過去ログはもっと詳しい

474 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 18:19:13 ID:???
>>473
逃げているわけではないんです。

質問は「あなたのベクトルの定義は?」とありますが、
僕は自分自身で勝手に定義しているわけではなく、
和の公理とスカラー倍の公理が満たされたベクトル空間の
元という当たり前のことを言っているのです。

高校でベクトルというのは向きと大きさをもったものとして
扱われています。
ですので、質問者がどの程度の水準の理解を求めているのか
この質問からは定かではありません。


475 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 19:17:59 ID:???
>>474
反変、共変の説明をしようというなら自然とベクトル概念の「レベル」もだいたい決まるもの。
ベクトル空間の公理を満たすなんてあたりまえで、反変、共変以前の問題。
双対空間とか内積とかがでなけりゃしょうがない。

476 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 19:21:55 ID:???
もっと具体的に言うと、リーマン多様体の接ベクトルとか、相対論の4元ベクトルとか。

477 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 20:10:12 ID:???
>>475>>476
それもそうですね…。
多様体や相対論か…。

テンソルをうまく説明したサイトを紹介します。
ttp://www.f-denshi.com/
ここは高校生でも理解できる水準で書かれています。
線形代数のところにテンソルも載っています。
(ちなみに、共変、反変ベクトルについては詳しく載っていません。)

このサイトの線形代数のところに、ベクトル空間と双対空間の説明
が載っています。さきほど私が言ったのは
ベクトル空間の任意の元(ベクトル)Vは、ベクトル空間の元と双対空間の元
によって表すことができ、ベクトル空間の元で表されたVを反変ベクトル
双対空間の元で表されたベクトルを共変ベクトル。ということを書こうとしたのです。
具体的に言うと、
 記号の説明
Aを任意のベクトル空間の元
x_1、x_2をベクトル空間の元
a^1、a^2を係数(反変成分)
x^1、x^2を双対空間の元
a_1、a_2を係数(共変成分)
^ 、 _ 上に書かれた添え字、下に書かれた添え字
 
A=a^1x_1+a^2x_2 A=a_1x^1+a_2x^2
と二通りの表現がある。前者は反変成分で表現されており、後者は共変成分で表されてる。

もし間違っていたら、知ってるどなたか訂正してください。

478 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 20:11:10 ID:???
あと、ちゃんと説明してくれた方にお礼として言うと、
実は僕も勉強中なのだw
知ったかごめん…

479 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/06(土) 20:59:23 ID:???
>>477
厳密には間違ってる。
> A=a^1x_1+a^2x_2 A=a_1x^1+a_2x^2
左の等式だとAはベクトル空間の元になるし、
右の等式だと双対空間の元、つまりベクトルを引数とする線形関数になる。
ベクトルと、ベクトルを引数とする線形関数は同じモノではない。

普通は、内積が定義されていて、それを使ってベクトルと双対空間の元の間に対応をつける。
相対論だとその辺を「添え字の上げ下げ」として片付けてしまうが、双対空間まで
導入するならもっときちんとやらないともったいない。

480 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/07(日) 09:35:23 ID:???
>>479
ふむふむ・・・。

>>普通は、内積が定義されていて、それを使ってベクトルと双対空間の元の間に対応をつける。
対応付けに関しては、スカラー積やリーマン計量等が思いつくんですが、あっていますか?

あと速度ベクトルや加速度ベクトルは反変ベクトル、電場は共変ベクトルとどこかの記事で書かれてあった
記憶があるのですがいかがでしょうか?

僕が知りたいのは、反変(共変)ベクトル(テンソル)の数式や定義を知りたいのではなく、
頭の中で抽象的な関係として描かれる鋳型を求めています。

ここでテンソルやベクトルを知りたい方は、『ベクトル解析30講』という本をオススメします。
大学過程で学ぶ数学書の中では平易に語られており、理解が深まるかと思います。

481 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/07(日) 10:10:39 ID:???
>>480
>対応付けに関しては、スカラー積やリーマン計量等が思いつくんですが、あっていますか?
あってる。

>あと速度ベクトルや加速度ベクトルは反変ベクトル、電場は共変ベクトルとどこかの記事で書かれてあった

速度や加速度は座標という反変ベクトルを固有時間というスカラーで微分したものだから、やはり反変ベクトル。
しかし電場は磁場と合わせて2階の混合テンソルになる。電場磁場合わせて一つのテンソルで表されるのが
相対論電磁気のキレイなところ。

482 :451:2006/05/07(日) 11:45:26 ID:???
>>481
明快な答えありがとうございます。

もっと突っ込んだ質問よいでしょうか?『多様体の基礎』を参照したのですが、
速度ベクトルは接ベクトル空間の元になるのでしょうか?
それとも、接ベクトル空間の基底となるのでしょうか?
また速度ベクトルという反変ベクトルを共変ベクトルとして書き換えることが可能とするならば、
その共変ベクトルは物理学でどのような名前がつけられているのか知りたいです。

多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何、場の古典論
これらは共通する要素がはずなのに、頭の中で一本の腺に繋がらない…。
複線が絡み合っている状態です。
接ベクトル空間t−−−−→余接ベクトル空間T^{*}−−−→(直積記号)_{k}T^{*}−−−−→∧^{k}T^{*}
            双対性                直積               交代性
ベクトル場−−−−−−−→1次微分形式−−−−−−→k次テンソル場−−−−−−→k次微分形式
ネットとかで調べて、多様体におけるこういった繋がりはわかったものの、それと物理学が繋がらない…。

質問ばかりですいません。

483 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/07(日) 17:37:29 ID:???
> ?『多様体の基礎』を参照したのですが、
多様体ではベクトルは曲線に基づいて定義される。ある点Pでの接ベクトルを定義するにはその点を
通る滑らかな曲線を取り、Pにおける、その曲線にそった方向微分演算子として定義する。但し
物理向けには抽象的過ぎるので、曲線の座標(時空なら4つの関数)の、パラメータでの微分を
ベクトルとして定義することも多い。座標変換に伴いある変換則を満たす数のセットになる。
多様体の基礎では前者の定義、場の古典論では後者の定義、だったような。もちろん同値になる。

> 速度ベクトルは接ベクトル空間の元になるのでしょうか?

なる。四元速度は曲線として粒子の世界線をとった時の接ベクトル。

>それとも、接ベクトル空間の基底となるのでしょうか?

質問の意図がわからない。基底の意味がわかってないのでは。


484 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/07(日) 17:40:22 ID:???
いや、場の古典論では座標の「無限小変化」のセットと同じ変換則を満たす数のセットをベクトルとよぶんだっけ。
意味がわからなくて苦労した。パラメータ(固有時間)の無限小変化で割れば普通の微分係数のセットになる。

485 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/08(月) 06:19:49 ID:OTJ3qVa5
テンソル知りたくて読んでるが、非常に難しいなあ。
ちょっと挫折しそうですよ。。。

486 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/08(月) 07:08:51 ID:???
だれかもっと簡単に説明して!

487 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/08(月) 18:34:49 ID:???
>>485
多様体ではテンソルというよりベクトルの定義自体が難しくなってしまう。
曲面(一番簡単な多様体)で考えると分かるが、普通の意味でのベクトル(有向線分)は
曲面上に乗らない(曲面から飛び出してしまう)ので使えない。曲面上に乗っている
ものだけ使ってベクトルを定義しようとすると >>483のようになる。
ベクトル空間(ベクトルはもう定義されてるとする)でのテンソルならもっと簡単。

488 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/08(月) 20:35:38 ID:???
大事なのは座標の変数変換をしたときにどう変化するかによって共変か反変か
決めるわけだが
数学でいうと共変ベクトルは余接空間の元、反変ベクトルは接空間の元と同一視する。
まあ物理だと計算の都合によって文字を上げたり下げたりするしあんまりどちらの元か
考えるよりもどういうふうに変換されるか(つまり実際に計算されるか)を理解することのが
重要

489 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/08(月) 22:45:37 ID:a2p84JVV
>>482
テンソルを物理から勉強して、純粋数学のテンソルへ接続する際に良い本を紹介
します。(自分が学んだ道筋ですが参考になれば幸いです。)

「相対論→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−和田純夫 「相対論的物理学のききどころ :物理講義のききどころ (6)」岩波書店
−須藤靖  「一般相対論入門」  日本評論社

「連続体力学→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−W. フリューゲェ「テンソル解析と連続体力学: (理工学海外名著シリーズ ; 30)」 ブレイン図書出版

「物理数学→テンソル解析/代数:数学と物理の間:多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何」
−和達三樹 「理工系の基礎数学10: 微分・位相幾何」 岩波書店

−新井朝雄 「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門」  共立出版
−新井朝雄 「現代ベクトル解析の原理と応用」  共立出版
−新井朝雄 「現代物理数学ハンドブック」  朝倉書店



490 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 06:02:42 ID:???
>>488
反変というのは、何かの「反対の変化(変換)」を意味してそうなのですが、何の反対なのでしょうか。

491 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 07:07:20 ID:???
contravariantとかの訳語じゃなかったっけか

492 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 07:41:13 ID:???
んじゃcontravariantの意味は? (反変とか言わないように)

493 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 07:50:58 ID:???
contra
【名-1】 反対{はんたい}のもの、反対意見{はんたい いけん}
【名-2】 《簿記》反対{はんたい}の側
【名-3】 反政府勢力{はん せいふ せいりょく}
【前】 〜に対して、〜に反対{はんたい}して
【形】 反対{はんたい}の、逆の
【副】 反対{はんたい}に、逆に

494 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 08:03:53 ID:???
おお、でvariantは?

495 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 12:17:05 ID:???
>>494
今時ネット上で英和辞書引けるところがいくつもあるんだから、自分で調べろよ。

496 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 13:18:28 ID:???
>>495
意味わかってねーなwww

497 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 13:33:02 ID:???
反変でぐぐったらEMANの物理
ttp://homepage2.nifty.com/eman/relativity/variant.html
が引っかかって、それによると
  基底ベクトルを変えたときに、それと反対の変化をするから反変
だそうだ。本当かどうかはわからんが、もっともらしい希ガス

498 :478:2006/05/09(火) 17:24:56 ID:???
いろいろ読んでると
物理で扱う反変(共変)ベクトルと数学で扱うそれは毛色が違う。
どういうふうに違うかというと、
物理の本では、あくまで成分がどのように変化するかに着目しており
添え字の上げ下げなどの技巧がよく書かれている。
しかし、数学の本では、基底の変換などの構造的なところに着目して
成分の変化などは、多く書かれていない。
この橋渡しがうまくいかないから、穴にはまるんだと思う。

反変ベクトルの基底を変換行列Pを用いて
F=PE…@
R上の任意のベクトルXは係数を小文字で表して
X=xE=yF…A
と二通りに書ける。Aに@を代入すると
xPE=eE  ∴x=fP…B
今、変換された基底Fの係数と変換される基底Eの係数の関係を知りたいのだから
Bの両辺にPの逆行列P{-1}を掛けて
y=p^{-1}x
一方、基底変換に伴って双対基底が変換されたとき、双対基底の変換と係数の変換は
まったく同じ変換によって処理される。
簡単に言うと、基底をm倍したら、その成分は1/m倍になり、
双対基底をn倍したら、その成分はn倍になる。
こういうところから、反変、共変と名づけられたんでしょうね。

テンソル場とかむずい…もうダメポ…

499 :478:2006/05/09(火) 17:47:36 ID:???
改めて488のレス見て気づいたのだが、
「物理学では速度や電場などの概念によって、すでに反変とか共変とか決まっちゃってるんだ」
という解釈でおk?





500 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 18:57:37 ID:???
>>498
> 物理で扱う反変(共変)ベクトルと数学で扱うそれは毛色が違う。

そうでもないんだな。Gravitation(1973)という定番教科書は
ベクトルを微分演算子として導入して変換そくを導いているし、
Hawking-Ellisの有名な重力の専門書はもろに多様体の
数学的な定義から入ってる。Gravitation以降のがっちりした
洋書はそういうのが多い。

日本の教科書は薄いんで、ページ数が少なくてすむように
変換則を天下りに与える方式をとってる気がする。あるいは
数学的概念より計算、応用を重視してるのか。

501 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 19:02:20 ID:???
>>498
B は xE=yPE ∴x=yP が正しい。だから y=xP^{-1}

ついでにいうと、基底は横に並べるほうが多い気がする。その場合は
F=EP で、 y=P^{-1}x になる。

502 :478:2006/05/09(火) 19:50:57 ID:???
>>500
英語わからないので、洋書に関しては何とも言えないのが歯がゆいですが、
洋書の方が選択の幅が広そうですね。

>>501
訂正ありがとうございます。

昔、数学は物理学を定量的に表す道具に過ぎないとナメてかかった
末路がこれかw
ほとんどの数学の本が一般化されて書かれているので、次元を2とか3に置き換えて
泥臭くやっていこう…。

503 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/09(火) 20:30:55 ID:???
行列でキレイに扱えるテンソル算は限られる。行列にこだわらず
Einsteinの規約を使った「添え字算」になれたほうがいい。

504 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/14(日) 12:39:25 ID:x9rDjAAu
テンソル解析といえば、この本じゃない?残念ながら絶版

連続体力学の名著「固体の力学/理論」へ投票してください。
同じファン著の「連続体の力学入門」は販売中なのに・・・
http://www.fukkan.com/vote.php3?no=24421

505 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/14(日) 22:53:30 ID:qefgBEaA
テンソルを物理から勉強して、純粋数学のテンソルへ接続する際に良い本を紹介
します。(自分が学んだ道筋ですが参考になれば幸いです。)

「相対論→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−和田純夫 「相対論的物理学のききどころ :物理講義のききどころ (6)」岩波書店
−須藤靖  「一般相対論入門」  日本評論社

「連続体力学→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−W. フリューゲェ「テンソル解析と連続体力学: (理工学海外名著シリーズ ; 30)」 ブレイン図書出版

「物理数学→テンソル解析/代数:数学と物理の間:多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何」
−和達三樹 「理工系の基礎数学10: 微分・位相幾何」 岩波書店

−新井朝雄 「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門」  共立出版
−新井朝雄 「現代ベクトル解析の原理と応用」  共立出版
−新井朝雄 「現代物理数学ハンドブック」  朝倉書店

506 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/14(日) 23:19:46 ID:???
うひゃ。
こっちにもまた^^=「関数解析=関数論」が来てやがる。

507 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 01:46:50 ID:3JK76z3r
>>506
誰かとかん違いすんな。ぼけ。
−ちなみに、君は物理学徒にまともなテンソルの参考書を紹介できないのでしょうかね。

あと、関数論を関数解析的に展開できるのは知ってるのでしょうか、君は。

508 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 08:23:08 ID:???
>>507
関数論∩関数解析≠φだからといって、関数論=関数解析とは言わないだろバーカ。

509 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 08:51:09 ID:???
その話はやめてくれ。荒れるだけなの分かってるだろ。

510 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 18:39:43 ID:???
この人の言う関数解析ってのは複素解析のことですんで^^

93 名前: 馬鹿さらしあげ 2005/06/01(水) 21:22:36 ID:???

>>68
>関数解析=関数論

へえ、いつから関数解析と関数論が等号なのかな?
無知というか馬鹿というか・・・氏ねよ

97 名前: ご冗談でしょう?名無しさん 2005/06/02(木) 00:32:06 ID:6H3C8rIw

関数解析と関数論ともいうんですよ。無知ですね。^^


98 名前: ご冗談でしょう?名無しさん 2005/06/02(木) 00:32:54 ID:6H3C8rIw

>>93
無知。
複素解析とも複素関数論ともいうんんです。

511 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 19:40:38 ID:???
506=508=510 も荒しだな。ボケ!


512 :506:2006/05/15(月) 21:04:08 ID:???
>>511
いや、違うから。

513 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 21:10:48 ID:3JK76z3r
テンソルを物理から勉強して、純粋数学のテンソルへ接続する際に良い本を紹介
します。(自分が学んだ道筋ですが参考になれば幸いです。)

「相対論→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−和田純夫 「相対論的物理学のききどころ :物理講義のききどころ (6)」岩波書店
−須藤靖  「一般相対論入門」  日本評論社

「連続体力学→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−W. フリューゲェ「テンソル解析と連続体力学: (理工学海外名著シリーズ ; 30)」 ブレイン図書出版

「物理数学→テンソル解析/代数:数学と物理の間:多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何」
−和達三樹 「理工系の基礎数学10: 微分・位相幾何」 岩波書店

−新井朝雄 「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門」  共立出版
−新井朝雄 「現代ベクトル解析の原理と応用」  共立出版
−新井朝雄 「現代物理数学ハンドブック」  朝倉書店


514 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 21:16:37 ID:IeRscpSg
なんか線形代数学と線形代数Tでもめてるようだな
おれが力になろう。

515 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 21:16:51 ID:???
本当にテンソルを理解したいやつは田代嘉宏のテンソル解析を選べ。
何冊も集めただけでマトモに読んでないバカの言うことは無視しろ。
これ一冊だけを徹底的に使い倒せ。演習問題が本文の延長線上に配置されてるから
全部解いてから先に進め。

516 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 21:43:16 ID:3JK76z3r
>>514
 −意味わからない。線型代数の勉強をしている訳ではないので。。。
  悪しからず。物理の勉強なのね。
 −相対性理論(特殊/一般)、連続体の力学(流体力学、弾性理論)
  電磁気学、場の量子論、数理物理学、・・・

≪何冊も集めただけでマトモに読んでないバカの言うことは無視しろ≫
 −それは君のコンプレックス。

>>515
 −田代のテンソル解析、良くないよね。。。まじで。

517 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 21:49:19 ID:???
和田のききどころみたいな薄っぺらいクソ本に飛びつくから色んな本を追い求めて、結局何も得られないハメになるんだよw

518 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 21:53:23 ID:3JK76z3r
>>517
誰も、それ一冊だけを勉強しているわけではないのね。
田代、あんな本よむなら、和田、須藤靖、W. フリューゲェ、和達三樹、
新井朝雄のほうがよっぽどいい。

≪結局何も得られないハメになるんだよw≫
≪何冊も集めただけでマトモに読んでないバカの言うことは無視しろ≫
 −それは君のコンプレックスの裏返し。


519 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 21:54:48 ID:???
もう一度言う。田代一冊で十分。

520 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 22:07:07 ID:???
同じことを二回以上書かないで欲しいんだけど
目障りだから

521 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 22:10:41 ID:???
おまえは三回書いてるけどなw

522 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 22:14:40 ID:???


523 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 22:39:49 ID:3JK76z3r
>>519
田代、記述煩雑。ぼったい。

誰も、テンソルを中心勉強しているのではないのね。テンソルを勉強する
為に和田、須藤靖、W. フリューゲェ、和達三樹、 新井朝雄を読んでるの
ではないの。

524 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 22:40:28 ID:???
日本語でおk>ID:3JK76z3r

525 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 22:43:49 ID:???
>>523
ここはテンソルのスレなんだけど、お前くらいアホだとそんなことも理解できんのだな。

526 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 22:54:08 ID:3JK76z3r
>>524
中国人はバイバイ。

>>525
その様な単純な意味ではありません。色々な学ぶ道筋があるということを込めて、
幾つか参考書を紹介しました。テンソルを物理から勉強して、純粋数学のテンソルへ接続する際に良い本を紹介
します。(自分が学んだ道筋ですが参考になれば幸いです。)
 
「相対論→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−和田純夫 「相対論的物理学のききどころ :物理講義のききどころ (6)」岩波書店
−須藤靖  「一般相対論入門」  日本評論社

「連続体力学→テンソル解析/代数:物理寄りの記述:場の古典論系の記述」
−W. フリューゲェ「テンソル解析と連続体力学: (理工学海外名著シリーズ ; 30)」 ブレイン図書出版

「物理数学→テンソル解析/代数:数学と物理の間:多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何」
−和達三樹 「理工系の基礎数学10: 微分・位相幾何」    岩波書店

−新井朝雄 「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門」  共立出版
−新井朝雄 「現代ベクトル解析の原理と応用」         共立出版
−新井朝雄 「現代物理数学ハンドブック」           朝倉書店


527 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/15(月) 23:00:23 ID:???
うぜえ

528 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 08:29:16 ID:???
>>526
「日本人でおk」でググレカス

529 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 08:40:12 ID:???
^^がデビューしたスレ(68以降)
大学生の為の参考書・教科書 Pt.18
ttp://makimo.to/2ch/science3_sci/1117/1117214167.html

175以降
大学生のための参考書・教科書Pt.20
ttp://makimo.to/2ch/science4_sci/1124/1124899208.html

物理数学
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1091539094/196-


530 :528:2006/05/16(火) 13:17:06 ID:???
ミスった。
「日本語おk」でググレカス

531 :528:2006/05/16(火) 13:17:38 ID:???
またミスったorz
「日本語でおk」でググレカス

532 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 16:14:13 ID:7Y/L68iD
ランダウ「弾性理論」の公式(1.7)にも載っていますが、
これはどうやって導いたらいいのでしょうか??
カーテシアン座標からの変換で導くことができるようなことを
先生に言われたのですが、どうやればいいんでしょうか?
過程を詳しく教えてください・・・

urr=∂ur/∂r
uθθ=(1/r)*∂uθ/∂θ
uφφ=(1/rsinθ)*(∂uφ/∂φ)+(uθ/r)*ctgθ+ur/r
2uθφ=(1/r)*{(∂uφ/∂θ)-(uφ*ctgθ)}+(1/rsinθ)*(∂uθ/∂φ)
2urθ=(∂uθ/∂r)-(uθ/r)+(1/r)*(∂ur/∂θ)
2uφr=(1/rsinθ)*(∂ur/∂φ)+(∂uφ/∂r)-(ur/r)

533 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 16:56:26 ID:???
定義はわかってる? 例えばuθθ は?

534 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 22:13:39 ID:LZuu8HPH
>>532
ランダウ、リフシッツ「流体力学」にもありますね。ネヴィア=ストークス(Naviar=Stokes方程式)の
一般座標系での表現が紹介されています。直交座標系Oは一般座標系Gに含まれます。

直交座標系O{x_i}={x_1,x_2,・・・,x_n}
一般座標系G{q_μ}={q_1,q_2,・・・,q_n}
  
直交座標系O(Orthogonal=直交−)と一般座標系G(General=一般−)とが
1to1&Ontoの関係(変換)にあるときに、以下の関係が成立します。
 
 −直交座標系O{x_i}の単位ベクトル
  : {e_i}={e_1,e_2,・・・,e_n}
 −一般座標系G{g_μ}の単位ベクトル
  : {u_μ}={u_1,u_2,・・・,u_n}

 −直交座標系O{x_i}のベクトルA
  :  A=Σ[i=1,n]A_i e_i
 −一般座標系G{u_μ}のベクトルA
  :  A=Σ[μ=1,n]A_μ u_μ

 −計量g_μ=√(g_{μμ})
  : g_{μμ}=Σ[i=1,n]{∂x_i/∂q_μ}^2


535 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 22:14:19 ID:LZuu8HPH
 −偏微分作用素(演算子)
  ∇f
  =Σ[i=1,3]∂f/∂x_i ・・・直交座標系O{x_i}表現
  =Σ[μ=1,3](1/g_μ)∂f/∂x_μ・・・一般座標系G{u_i}表現
     ※f=スカラー量

 −発散,湧き出し(divergence)作用素(∇・)
  ∇・A=div(A)=スカラー量
  =Σ[i=1,3]∂A_i/∂x_i・・・直交座標系O{x_i}表現
  =(g_1g_2g_3)^(−1)
  {∂(g_2g_3A_1)/∂q_1
  +∂(g_3g_1A_2)/∂q_2
  +∂(g_1g_2A_3)/∂q_3・・・一般座標系G{u_i}表現

536 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 22:15:25 ID:LZuu8HPH
 −回転,循環(rot,curl)作用素(∇×)
  ∇×A=rot(A)=curl(A)=ベクトル量
 
=Σ[i=1,3]Σ[j=1,3]Σ[k=1,3]
 ε_{ijk}∂A_k/∂x_j・・直交座標系O{x_i}表現

=u_1(g_2g_3)^(−1)
  {∂(g_3A_3)/∂q_2−∂(g_2A_2)/∂q_3}
+u_2(g_3g_1)^(−1)
  {∂(g_1A_1)/∂q_3−∂(g_3A_3)/∂q_1}
+u_3(g_1g_2)^(−1)
  {∂(g_2A_2)/∂q_1−∂(g_1A_1)/∂q_2}
                       ・・・一般座標系G{u_i}表現

 −ラプラス作用素(ラプラシアン)(△,∇・(∇),∇^2,div(grad)) △f=∇・(∇f)=∇^2f=div(grad(f))

=Σ[i=1,3]∂^2f/∂x_i^2・・直交座標系O{x_i}表現

=(g_1g_2g_3)^(−1)
  {∂({g_2g_3/g_1}∂f/∂q_1)/∂q_1
  +∂({g_3g_2/g_2}∂f/∂q_2)/∂q_2
  +∂({g_1g_1/g_3}∂f/∂q_3)/∂q_3
             ・・・一般座標系G{u_i}表現

537 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/16(火) 23:57:26 ID:???
>>532
http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/bibun.html

538 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/18(木) 00:24:39 ID:1obBd5kV
>>537
それは、煩雑だね。

539 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/18(木) 00:49:46 ID:???
煩雑でも、初等的で単純だから、敢えて>>537の方法を取ってる本も多い

540 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/18(木) 01:37:23 ID:fS5jGsAs
テンソルの第2不変量ってなんなんだ?

541 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/05/22(月) 08:25:56 ID:???
*:ホッジ作用素
d:外微分作用素
rot:=*d
div:=*d*

542 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/06/14(水) 22:34:27 ID:1NXtvaB2
テンソルは一般に対称行列であると言っていいんですか?

543 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/06/15(木) 00:42:56 ID:???
だめ。対称なのも反対称なのも、どっちでもないのもある。>>542


544 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/06/23(金) 01:08:42 ID:???
だいたい添字が3つ以上のものもあるしね。

545 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/01(土) 01:14:53 ID:???
テンソル⊂行列でしょうか?


546 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/01(土) 01:16:01 ID:???
高校生にメコスジを教えるスレ

547 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/01(土) 03:02:01 ID:???
テンソル⊂行列でも行列⊂テンソルでもない。

548 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/01(土) 11:32:08 ID:???
2階のテンソルは行列ですか?

549 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/01(土) 11:54:55 ID:???
>>548
過去レス >>325 あたり参照

550 :548:2006/07/01(土) 13:19:40 ID:???
>>549 失礼しました、ありがとうございます

551 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/01(土) 19:07:46 ID:8SffGlIM
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
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●●●●●●●●●●●●●●●●不合格●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
これを見た人は確実に【不合格】です。これをコピペでどこかに1回貼れば回避できます。
これは本当です。やらないと一年無駄になります.

552 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/05(水) 15:38:43 ID:???
テンソルに予め座標変換による変換性が与えられていると考えるのは
リーマン幾何学と一般相対論の中の方言では?.
変換性を考えなければベクトルの2階テンソル積を
行列と考えても差し支えないから,
2階テンソルを行列と考える直感的な理解を
わざわざ否定する程のものではない.
テンソルの本質はむしろテンソル積にあって,
それは変換性とは独立の概念.

553 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/06(木) 05:48:57 ID:???
リーマン幾何学とかを考えないなら「座標変換」が「基底の取替え」になるだけ。
方言でもなんでもない。

554 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/06(木) 05:53:11 ID:???
そもそもベクトル空間の基底の取り方なんて必ず自由度があるから、
別の基底の取り方をとった場合に、成分がどう変換されるかを考えておくのは自然なこと。
そのことを考慮に入れない行列と同じに考えてしまうのは乱暴すぎ。
行列は最初から成分で定義されるが、ベクトルやテンソルは基底を決めて初めて成分が決まるもの。全然違う。

555 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/06(木) 06:47:40 ID:???
行列は基底に関係なく定義されると何故そこまで強弁できるのか謎だ
何を行列によって表現するかに依存するだろ.
同じ基底の上のベクトル同士の線形な関係を表すものだって行列だし
異なる基底のベクトル同士の線形な関係を表すのも行列
前者はあなたがたがいうテンソルそのものだよね.
ベクトルやテンソルを最初から成分で定義したっていいし.

数学の概念の理解の自由度を狭めて理解しにくくする意図が
まったく分からん.
基底変換なんて後付けでもいいじゃん.
いきなり基底変換を考えないと成分表示ができないなんて
言ってもいたづらに理解しにくくするだけ.
成分表示から入って,実はこの表示はある特定に基底による
表示なんだって説明した方がスムーズだと思うな.

556 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/06(木) 07:05:00 ID:???
成分表示を前提にするほうが概念を狭めてるよ。

557 :553,554:2006/07/06(木) 07:22:15 ID:???
>>555
>行列は基底に関係なく定義されると何故そこまで強弁できるのか謎だ
基底に依存した定義しかないわけじゃないだろう。
使い方次第では(テンソルの行列表示とかに使う場合以外は)
基底に関係なく定義してもかまわないと思うけど。

>同じ基底の上のベクトル同士の線形な関係を表すものだって行列だし
>異なる基底のベクトル同士の線形な関係を表すのも行列
>前者はあなたがたがいうテンソルそのものだよね.
そのものというより、テンソルの「行列表示」だな。

>数学の概念の理解の自由度を狭めて理解しにくくする意図が
>まったく分からん.
>基底変換なんて後付けでもいいじゃん.
>いきなり基底変換を考えないと成分表示ができないなんて
>言ってもいたづらに理解しにくくするだけ.
>>554は理解しやすさを念頭において書いたわけじゃないよ。
別に基底の取替えに対する変換性を最初に理解しろといってるわけじゃない。
理解の順序についてどうこう言うつもりはないよ。

だが、理解しやすいからといって、重要な性質を無視するわけにがいかんだろ。
定義は定義。理解しやすさとは別。

558 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/15(土) 17:11:48 ID:???
>>541
ストークスの定理とかそれで考えるとさくさくうひょーだよな
学生時代にschaum'sでtensor calculusやっときゃよかったと後悔中のオレガイル

559 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/07/15(土) 21:38:14 ID:???
>>552
言われてみるとそういう気もする。

560 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/10/29(日) 18:47:23 ID:???
age

561 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/10/29(日) 19:04:51 ID:???
森の現代の古典解析がおすすめ

562 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/10/29(日) 20:46:21 ID:???
スレのage/sageと添字の上げ/下げの違いを説明してくれ

563 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/10/29(日) 20:47:51 ID:???
スレタイが変だな。高校生というか、物理屋にテンソルを教えるスレだろ。

564 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/10/31(火) 18:34:05 ID:???
座標変換による変換性がテンソルに必須の要素だというのは
物理というかリーマン幾何学での方言だろう。
テンソルはテンソル積で定義できればよい。

リーマン幾何学におけるテンソルは
もとになるベクトルの座標変換に対する変換性を
引きずっているだけでしょ。

565 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/10/31(火) 19:06:49 ID:???
>>564
線形空間のテンソル積から自然に、テンソル積ベクトルの成分がいわゆる
テンソルの成分の変換則に従うことが言えるのだが。線形空間のテンソル積
の定義を理解して言っているのかな?もっと一般のテンソル積(R−加群)
もあるが、このスレの趣旨から外れるので発言を控える。

566 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/10/31(火) 20:23:05 ID:???
>>565
変換性なんて考えなくてもテンソルは定義できるってことを
言いたかったのだけど、たしかにスレの趣旨からずれるからいいや。


567 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/05(日) 13:53:12 ID:8dD/9nHc
>>548
(1, 2) テンソルが行列

568 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/05(日) 14:37:29 ID:???
>>567
出鱈目いうなよ。1階共変1階反変だから(1,1)だろ。

569 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/09(木) 12:10:46 ID:L+g0KI0i
だからテンソルとテンソル場を区別しなさいと言ってるでしょうが。


570 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/09(木) 12:25:18 ID:???
>>569
Vを線形空間、V^をその双対空間、F:V→Vを線形変換とする。
Fは反変ベクトルに反変ベクトルに対応させるテンソル場であるが、
VとV^のテンソル積V×V^の元と見ることも出来るから、(1,1)テンソル
でもある。

571 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/09(木) 12:29:46 ID:???
>>579
線形空間 V を一つだけしか考えていないので
F は別にテンソル場ではないよ。
(1,1)テンソルであるというのは正しい。

572 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/09(木) 12:33:50 ID:cPxi5fwR
多次元の行列みたいなもの?

行列が立体的になっているかんじで

573 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/09(木) 12:39:19 ID:L+g0KI0i
>>572
イメージとしてはそんな感じでいいとおもう。
ただし行列として捕らえるには線形空間の基底を一つ決めて
それに関する成分表示だと思うこと。

>>570
(多様体上の)テンソル場とはテンソルが点(位置)の関数になっているものです。


574 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/09(木) 16:45:32 ID:???
>>573
通常、線形写像をベクトル場と見るとは、次のような意味合いだと思うのですが。

Aをアフィン空間、Vをその同伴ベクトル空間(自由ベクトルの空間)とする。
Aの1点Oを選んで固定する。接ベクトル場φ:A→T(A)を
  φ(P)=P+F(OP)
で定める。線形写像F:V→Vで定まる、原点付きアフィン空間(A、O)上の線形ベクトル場
とは接ベクトル場φのことを言う。ようするに、φは点Pの位置ベクトルOPをFで線形変換
して点Pまで平行移動する写像である。

アフィン空間を多様体と見るとき、アフィン空間では標準で平行移動が定義されているので、
T(A)の元(束縛ベクトル)をVの元(自由ベクトル)と自然に同一視(平行移動で重なる物を
同じとする)できます。それにより、φの定義が可能となり、Fは原点付きアフィン多様体
(A,O)上ののベクトル場φとみなされます。Aの元XにVの元OXを対応させれば、
(A、O)はVと同一視できますから、φはまた線形多様体F上のベクトル場とも見ることが
できます。

575 :573:2006/11/09(木) 18:12:00 ID:???
>>574>>570で F がテンソル場であると言っていることに関連してるのでしょうか?

その定義は知りませんでしたが、それならば確かに F をベクトル場とみなすことができると思います。
でもそれで表せるのはある特殊なクラス(>>574では線形ベクトル場と言っている?)の
ベクトル場に限られますよね?

576 :573:2006/11/09(木) 18:20:37 ID:L+g0KI0i
>>574の定義は
リー群論で群多様体上の左不変ベクトル場をリー代数と同一視するのと
同じ考え方でしょうかね?

左不変ベクトル場  ←→ 線形ベクトル場
リー代数の元    ←→ 原点での線形変換
左移動        ←→ アフィン空間の平行移動

って感じ?

577 :570=574:2006/11/09(木) 18:38:00 ID:???
>>575
その通りです。>>570では説明が簡略過ぎました。現代人は線形空間を習うので、
昔の人とは逆に束縛ベクトルの概念が希薄になっていると思います。(初等ベクトル
代数で、平行移動で重なる矢印は同じと思えと繰り返し訓練される。やがて自由
ベクトルの概念を得るが、今度は束縛ベクトルの概念を失う。線形空間論で駄目押し。)

多様体を習うと、場所(ベクトルの始点)が違うと別の空間の接ベクトルだ、多様体上
の各点ごとに異なる接空間がある(束縛ベクトルの再来)と教えられ、ぎょっとする
学生がいるのはそのせいでしょう。

578 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/11/30(木) 00:09:52 ID:???
俺浪人生だけどわかんねえやwww
わかんないから浪人したのかなwww

579 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/25(月) 15:27:47 ID:qVTxitqp
誘電率テンソルって何に使われてるんですか?

580 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/25(月) 20:24:06 ID:???
高校生にメコスジを教えるスレ

ツルメコと関係あんの?
すげー興味ある

581 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/25(月) 21:32:33 ID:WjHiJ0kC
>>579
異方性誘電体の物性に関して用いられます。
又、非線形光学(現象)を用いた高次高調波によるレーザー等でも出てきます。


582 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/26(火) 01:08:44 ID:WGnUgI12
2階はわかりました。じゃあ3階でTxyzと表すとき、これはx方向の作用がyとzに及ぼす
影響の量と捕らえていいのですか?

583 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/29(金) 02:06:30 ID:???
物理を勉強中です。
質問1 座標変換にどう変換されるかで、スカラー、ベクトル、テンソルを定義する と
     物理の本で読んだのですが、そういう定義は物理屋さんの勝手な定義で、
     数学屋さんは不満っていうことなんでしょうか?

質問2 A_i、B_j (i,j=x,y,z)をベクトルとしたときに
       ∂A_i         A_i
     ---------- とか -------- は
       ∂j          B_j
物理屋さんのいう意味でのテンソルでしょうか? 数学屋さんにとってはテンソルでしょうか?

よろしくお願い致します。

584 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/29(金) 02:09:25 ID:???
>>583
ごめんなさい。意味不明でした。

       ∂A_i         A_i
     ---------- とか -------- は
       ∂j          B_j
というのは、微分係数や ベクトルの成分の比からなる行列 の意味で書きました。


585 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/29(金) 18:10:16 ID:???
>>584
心配しなくていい。物理屋が普通テンソルと呼んでるものは、数学屋にとってもテンソルだよ。

586 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/31(日) 03:16:47 ID:???
>>585
ありがとうございます。

       ∂A_i         A_i
     ---------- とか -------- は テンソルでしょうか?
       ∂j          B_j

587 :ご冗談でしょう?名無しさん:2006/12/31(日) 13:00:30 ID:???
>>586
     ∂A_i ∂A_i
     ------- = -------
     ∂j   ∂x^j
だよね。これは、ヤコービ行列でもちろんテンソル(1階共変、1階反変)。
2番目のは駄目。

588 :ご冗談でしょう?名無しさん:2007/01/01(月) 01:47:54 ID:???
>>587
∂A_i
----- の意味はその通りのつもりで書きました。
∂j

どうもありがとうございました。

589 :ご冗談でしょう?名無しさん:2007/01/11(木) 17:55:03 ID:XlRjlBHx
てんそる。

590 :ご冗談でしょう?名無しさん:2007/01/21(日) 04:37:00 ID:205NZMjQ
あげ

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