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☆無理数が無理数であることの証明☆

1 :ゲロ:01/09/05 23:31 ID:5Dayn1Vc
以前、哲学板かなんかにあったスレで、√2が無理数であることの有名な証明が話題になっていました。
――じゃあ√3はどうするのか? √47は?
と思ったので、「√3のときはどうやって証明するんですか?」と聞いたところ、
「√2の証明が出てるのに√3の証明を聞くなんて典型的なバカだな。
 √3を説明しても、√5……についても聞いてくるんだろうな(ワラ」
と罵倒されてしまいました。
しかし私は、√2の証明が普遍的で、無理数全体に無条件で適用できるとはどうしても思えません。
むしろ、√2の証明を聞いただけで無闇に満足し、その他の無理数へ同様の疑問を抱かず、
√2の証明だけで全てが言い尽くされていると錯覚している方がアホだと思います。
まあこんなことはどうでもいいです。
無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。

2 :132人目の素数さん:01/09/05 23:34 ID:Xa39ORTk
>1
無理数全体をズバッと証明するような議論

それを発見したら相当有名になると思うよ

3 :ゲロ:01/09/05 23:42 ID:5Dayn1Vc
でも、なんらかの統一的な方法はあるんでしょ?
それとも、任意の無理数に対して、「この無理数は未証明です。」なんてこともあるの?

πが無理数であることの証明も知りたいDEATH

4 :132人目の素数さん:01/09/05 23:44 ID:1F/caaR2
え?
無理数って有理数ではない実数のことではだめなの?
つまり、整数分の整数の形にならない(分母が0は除く)ものを
無理数と呼ぶということでだめなの?

√2が有理数で無いとの証明は
「有理数ではない実数が存在する。」
ことの証明に過ぎないのでは?

5 :132人目の素数さん:01/09/05 23:50 ID:ONKWBtHE
素因数分解を使って√2の無理性を証明したんだと思うけど、
まったく同じ論法でできるよ。
それと、πが無理数って言うのは、大学教養レベルの知識が要る。
あと、無理数かどうかわかんない数なんていくらでもあるよ。
ζ(2n)(n≧2か3か)とか。

6 :132人目の素数さん:01/09/05 23:59 ID:mQ0V7NQ6
>>1
平方数でない整数の平方根に関しては同様の証明ができるぞ。

7 :ゲロ:01/09/06 00:06 ID:bt82yfCA
>>6

そうなんですか。たとえば√10だったらどんな感じになるんですか?

8 :132人目の素数さん:01/09/06 00:08 ID:3aRAVL52
>>5
こまかいつっこみだけどわかってないのはζ(奇数)の方だよ。
ζ(2n)=(-1)^(n-1)2^(2n-1)π^(2n)B_(2n)/(2n)!(n≧1)は無理数。

9 :255:01/09/06 00:25 ID:EY.FvgT6
√10=n/m とする(n、mは互いに素)
10=n^2/m^2
10*m^2=n^2
左辺は5(素数)で割り切れるから、右辺も割り切れる。
だから、nは5で割り切れる。
だからn^2は5^2で割り切れる。
だから左辺の10*m^2も5^2で割り切れる
左辺=5*2*m^2
だからm^2が5で割り切れる
つまり、mが5で割り切れる
つまり、mとnは5で割り切れる
互いに素、と矛盾

10 :132人目の素数さん:01/09/06 00:53 ID:MfVfW1.E
√2.1は無理数ですか?
√0.9999999999・・・・・・・・ はどうなりますか?

不毛な議論になりそうなのですが、
上は√210/10とすれば証明できそう。
下は不毛なスレに任せましょうか?

では。

11 :Galois:01/09/06 06:24 ID:8AVqvC4U
>>5。恐らく>>1は因数分解を用いた証明でなくて、偶数、奇数に
分けて既約性の矛盾より得る証明方法のことを言っているのだと
思う。「因数分解の方法」を用いれば納得するんじゃないかな?
時間があれば書いてあげてください(私は今試験中真っ只中で
…ゴメンナサイ)
>>1「数について」著デデキント(岩波文庫)pp22に一応ちがう
証明もあります。でもちょっと難しいかも…この本を理解できれ
ば一応無理数について哲学版で得たのとちがう納得が出来ると思
う。数学では無理数とは?というのに神秘性をもたせたりせず、
>>4いわく)キチンと定義してます。無理数とは有理数でない
実数です。実数は?このほんで定義してます。(でもこの定義
自体の欠陥については私は詳しくないので…)

12 :Galois:01/09/06 06:32 ID:8AVqvC4U
>>11>>9に書いてありました…ごめん。

13 :132人目の素数さん:01/09/06 11:30 ID:4p.Nivp2
>>5 >>9 >>11 ほか

みなさんありがとうございます!
なんとなくわかってきました。

>>11
>左辺は5(素数)で割り切れるから、右辺も割り切れる。
>だから、nは5で割り切れる。
これは、n^2が5の倍数だったら、少なくとも因数に5がないとおかしいから、
じゃあnが5を因数に持たなきゃだめだよね。ということですよね。
でも「n^2=15のときのnは?」とか考えてみると、なんだか違和感があります。
この違和感も仮定の背理を予感させるものなんですか?
ちょっとわからなくなってきました。

>>11
面白そうな本ですね。ありがとうございます。

14 :132人目の素数さん:01/09/06 11:37 ID:Kghhf9rI
デテキントを読む気力があれば、
解析概論を読むのもいいと思いますよ。
デテキントの切断はかなり詳しく書かれていたとおもいます。

15 : :01/09/06 12:14 ID:zF6tTEWE
ついに証明された

(√2)+0.0…01=√(2+0.0…01)

16 : :01/09/06 12:22 ID:zF6tTEWE
lim ―――
ζ→0

17 :132人目の素数さん:01/09/06 18:29 ID:Kghhf9rI
0.10110111011110111110・・・・
と小数点以下i個(i<0)の1と0を繰り返すような
実数のことも無理数だったかな?

18 :おじさん:01/09/06 18:48 ID:z3el98Ek
>>17
有限小数と循環小数以外は無理数だと思うけど、
0.10110111011110111110・・・・
って超越数?

19 :132人目の素数さん:01/09/07 13:36
なんとなく、無理数であることや超越数であることが
証明できない無理数が無限に存在しそうな予感。
合理的な根拠は無いけどさ。

20 :19:01/09/07 13:42
よく考えたら、証明どころか問うことすらできない数が無限に存在するよな。
表現できない数が無限に存在するんだから。
表現できる数の中ではどうか問題にするには、
まず「表現」の意味を明確にしないといけない…

21 :132人目の素数さん:01/09/07 16:47
無理数の証明って有理数or代数的数と仮定した背理法しか見たことないけど、
直接無理数と証明する方法はないの?

22 :132人目の素数さん:01/09/07 16:54
↑ あなたの問題意識を数学的に定式化すると、直観主義の実数論では
無理数は存在するのか、ということになるね。どうなんだろう?
基礎論の人、解説お願いします。

23 :132人目の素数さん:01/09/07 16:57
平方数でない全てのnについて

√n

が無理数だと証明することは可能か

24 :132人目の素数さん:01/09/07 17:01
>21
無理数の定義は、有理数でない実数だから。

25 :132人目の素数さん:01/09/07 17:01
>23
素因数分解の一意性があるから可能

26 :132人目の素数さん:01/09/07 20:25
>>23
もっと一般的に
k√(m/n) mとnは互いに素 かつmとnはk乗数でない
が無理数であることの証明が√2の場合の証明を拡張する
ことで簡単にできると思います。

27 :132人目の素数さん:01/09/07 22:11
>>26
たぶん、>>23のような質問をする人には
特定数の証明を一般に拡張するなんて事は
想像の埒外だろうから説明しても無駄。

28 :132人目の素数さん:01/09/07 22:29
けっきょく√2が無理数という証明がちゃんと理解できてないから
√3は?√5は?っていう質問をするんでしょう?

それって
√2の証明を聞いただけで無闇に満足し、その他の無理数へ同様の疑問を抱かず、
√2の証明だけで全てが言い尽くされていると錯覚している
以前の話じゃん。

29 :132人目の素数さん:01/09/07 23:25
サッカー・J1リーグの神戸は7日、元日本代表FW岡野雅行(29)が期限付きで浦和から神戸に移籍したことを発表した。契約期間は来年1月末まで。背番号は「29」。9日から神戸の練習に参加する。

30 :132人目の素数さん:01/09/08 00:38
哲学崩れってバカばっか

31 :132人目の素数さん:01/09/08 13:46
>>27身障視ね

32 :132人目の素数さん:01/09/08 15:04
無理数の話なのか√に限った話なのか
まずはそれを言ってくれ>1

33 :132人目の素数さん:01/10/03 03:04
連分数の話がないな。あれはマジ感動するぞ。互除法だけ知ってれば理解できる
から本探して読んでみ

Springerの和訳で数論入門ってやつがでてるぞ

34 :132人目の素数さん:01/10/03 11:50
こないだ初めて気がついたんだけどさ。
√2が無理数であることの証明って、一般的に素因数分解と背理法じゃない?
>>26みたいなやつね。

ところがさ、素因数分解を使わないで、根の中の数が平方数じゃないって
だけを根拠に、対偶を示すだけの証明をするだけの証明法があるらしいのよ。

たぶん、それを「背理法による、無理数であることの証明」と勘違いしている
人が多いんじゃないかな?

>>23の質問なんてまさにそうだし、>>6で答えてる奴なんて
その証明しか知らない典型的な答えだと思う。

で、なにがびっくりしたって、以下のようなことをHPで書いてる人がいる。
この人って有名なの?デムパ系?

ttp://www.ngm.ed.ynu.ac.jp/negami/dai3nori/hosoku/hosoku22.html

ちょっとしんじらんないんだが...
だれか知ってる人がいたら教えて。

なお、このページにある証明と同様の証明が載ってる教科書ってほんとにあるの?
自分の教科書と、読んだことある参考書には無くて、最近はじめて知ったんだけど。

35 :132人目の素数さん:01/10/03 12:39
>このページにある証明と同様の証明が載ってる教科書ってほんとにあるの
ごく普通の証明だと思うが。

36 :132人目の素数さん:01/10/03 12:50
>>34
そのページ見てみました。
√n については一理あるような気もしますが
これについてはどうなんでしょう?

e が無理数であることの証明:
e=有理数=m/n (m,n∈Z) とすると
0<n!(e-0!-1!-2!-・・・-n!)=整数=1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+・・・
<1/(n+1)+1/(n+1)^2+・・・=1/n
⇒矛盾

37 :36訂正:01/10/03 12:54
n!(e-0!-1!-2!-・・・-n!) → n!(e-1/0!-1/1!-1/2!-・・・-1/n!)


38 :>34:01/10/03 13:24
かっこつけてh落としやらないでね。
手間がかかるだけだから。

39 :132人目の素数さん:01/10/03 13:40
>36
eの無理性の証明の何を問題にしてんの?
対偶による証明があるかって話?

代数的数で有理数でないものの無理性を問うのはさすがにあほらしいと思うが

40 :132人目の素数さん:01/10/03 13:41
連分数ネタものばしたいところだな

41 :132人目の素数さん:01/10/03 14:01
>>36
これが一体なにの対偶なんだ?ということね。
たしかに,なにかの対偶だというにはムリがあるね。

42 :132人目の素数さん:01/10/03 14:06
>>36
短く書けてるね。
なんかの対偶の形にすると長くなるだろうね。

43 :132人目の素数さん:01/10/03 14:35
>>34-41
というか,そんなちょっとした感想みたいなことを,
仰々しくHPで主張するところがデムパということか。

√2が有理数でないことも,
ピタゴラス教団の時代には,
大発見というか大スキャンダルだったんだ。
思想史的意味としてはフェルマー予想よりはるかに大きい。

44 :132人目の素数さん:01/10/03 15:08
>43 アオリ

45 :132人目の素数さん:01/10/03 15:15
√2が有理数でないことが初めて発見されたときは
やはり背理法しかないでしょう。
「√n が有理数ならnは有理数の平方」
なんてしゃれたことが言えるのはずっと後のことのはず。

46 :132人目の素数さん:01/10/03 17:29
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/sci/1001861572/

47 :132人目の素数さん:01/10/04 00:22
>>45
n=(√n)^2なんだから「√nが有理数ならnは有理数の平方」は当たり前。

48 :ななし:01/10/04 06:06
俺にはむりっすぅ

49 :132人目の素数さん:01/10/04 06:31
>>45
キミは何故ピタゴラス達がこの事実を極秘事項にしたのか
わかっていない。

50 :132人目の素数さん:01/10/04 07:35
>>34

ああ、この人は、別にトンデモでもなんでもないですよ。

まあ、2を素因数分解したときに、共通因数が2つ出てこない
(すなわち平方数でない)という証明は、彼にとって重要で
なかったということなんでしょうかね。でも、実際には、
対偶の証明と、2が平方数でないという証明があって、
結果として2の平方根が(自然数でない)有理数であると
仮定から矛盾を導いたのであるから、背理法ですね。
多分、ウッカリミスでしょう。

51 :132人目の素数さん:01/10/05 01:00
超越数って代数的に解にならない数なんでしょ?

πやeはどうして超越数だって言い切れるの?
他にはどんなものがあるんですか?

52 :132人目の素数さん:01/10/05 01:04
俺はてっきり、ある命題とその対偶命題が同値である、ことの
証明を背理法を使ってやるのだと思っていた。
つまり、ある命題を対偶で証明するのは背理法の特別な場合かと思ってた。
でもそうじゃないのかな?

53 :132人目の素数さん:01/10/05 01:20
>>51
>他にはどんなものがあるんですか?
以下、歴史のべんきょ

リュウビル数= 0.11000100000000000000000100・・・00100・・・00100・・・
n番目の1は,n!桁に現れる.
(この手の超越数は無数にあるようです)

18世紀中ごろ オイラーはπが代数的無理数でないと示唆.しかし証明はできず.
19世紀中ごろ リュウビルが超越数の存在を証明
19世紀末 リンデマンがπが超越数であることを証明
  ( ↑ この証明はオレには難しすぎる上,量的にもここに書き切れない)

54 :132人目の素数さん:01/10/05 01:28
>51
>他にはどんなものがあるんですか?

簡単なネタを一つ

π+eかπeの少なくとも一方は超越数


両方代数的数だと
k^2-(π+e)k+πe=0
の解πとeも代数的数になる故、矛盾

55 :132人目の素数さん:01/10/05 01:36
>>54
気づかなかった! というか、そう考えたことがなかった。

56 :51:01/10/05 01:39
>>53 >>54

へぇ・・面白いですね。ありがとうございます。
超越数とかの話って整数論が絡んでそうで、難しい印象が
あったので敬遠していました。
何か本を読んでみたいと思います。

他にネタがあったらまたお願いします。

どんな本がオススメでしょうか?

57 :132人目の素数さん:01/10/05 07:33
>超越数とかの話って整数論が絡んでそうで難しい印象があったので敬遠していました。
というより、いい代数構造をもっていない(みつからない?)から難しいんで、
整数論のほうが簡単というか、一般的手法があるが、無理数、超越数がらみは
個別に考えるしかない。

>どんな本がオススメでしょうか?
塩川「無理数と超越数」森北出版

58 :名無しの歌が聞こえてくるよ♪:01/10/05 07:54
>>46の「物理定数」の類は有理数?無理数?超越数?

59 :132人目の素数さん:01/10/05 08:21
>>58
物理定数と超越数の関係には興味ない

60 :132人目の素数さん:01/10/05 08:41
>56-57
いや、やはり
A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press
だろう。

61 :132人目の素数さん:01/10/05 09:01
>>58
物理定数は測定値だからどこまでも有限精度。
そんな議論は無意味。

62 :587:01/10/05 13:25
物理板で、
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/sci/1001861572/l50
アボガドロ数は(ある定義の元での分子の「個数」だから)『整数』だ、という議論があって、
ある意味ではそうなんだが、測定して見つける「量」について整数だ無理数だなどと
言い合っていることに、強く違和感を感じた。
(オレはそこに口出ししなかったが)

63 :132人目の素数さん:01/10/05 13:28
上の「587」というなまえはマチガイでした

64 :132人目の素数さん:01/10/05 19:30
1辺が1mの正方形の対角線は約1,414mだが、これも測定値か。

65 :132人目の素数さん:01/10/05 19:41
>>64
ちゃんと抽象化された正方形の対角線は測定せずとも約1.414だ。
直近のコメントを読めよ。
なんかのネタ?

66 :132人目の素数さん:01/10/05 20:47
>>61
もし究極の理論ができれば
陽子の質量/電子の質量
がπとかeの何らかの関数として表せるというような可能性はあるわな。

67 :132人目の素数さん:01/10/05 20:48
っていうか、πって超越数じゃないじゃん。


∫4/(1+x^2)dx = π だよ


68 :51:01/10/05 21:02
>>57
さんきゅーです。

学校の図書館をあたってみます。ありがとうございました。

69 :132人目の素数さん:01/10/05 21:06
>>67

70 :62:01/10/05 21:07
>>66
ザブトン1まい!

71 :132人目の素数さん:01/10/05 21:08
1辺1mの正方形のやつ!

72 :すばらしい!:01/10/05 21:25
>>67
フィールズ賞獲得まちがいなしですね。そして特別奨待生として今井塾へ…

73 :132人目の素数さん:01/10/05 21:58
>>67
大ボケ賞

74 :132人目の素数さん:01/10/07 17:53
>>67って、本当に凄いと思う。
たった1行でπが超越数じゃないことを証明するなんて。

反論があるならしてみろ!

75 :132人目の素数さん:01/10/07 18:59
>>74
禿同。
こんな事が理解できない数学板の奴らは全員イタイと思う。

76 :132人目の素数さん:01/10/07 19:01
>>74,75
 つまらないネタはやめてくれ。

77 :132人目の素数さん:01/10/07 19:03
>>76
説明できないからって、誤魔化すな。お馬鹿さん。

78 :132人目の素数さん:01/10/07 19:03
>>74
>反論があるならしてみろ!
3行使ってるよ

79 : ◆MI/xG.5. :01/10/07 19:03
>>67,>>74
超越数の定義を教えて下さい。

80 :132人目の素数さん:01/10/07 19:16
>>79
おいおい、お前が知らないからって人に訊くなよ(w

81 :132人目の素数さん:01/10/07 19:22
>>80
じゃあ俺知ってるけど教えてください。

82 :132人目の素数さん:01/10/07 19:26
>>81
何で?知ってるならいちいち訊くなよ(w

83 :132人目の素数さん:01/10/07 19:51
実は80さんから解答をいかに早く聞き出せるか競争してるんです(w

84 :132人目の素数さん:01/10/07 20:04
皆んな笑ってるけど、67が書いている超越数の代わりにどういう概念
だとそれが正しくなるか答えられるか?67は「定義」を知らないだけ
だ。これヒント。

85 :132人目の素数さん:01/10/07 21:09
>>67
積分してπがでてくるの?
すげぇ・・・
俺、工房だけど初めて知った。

86 :132人目の素数さん:01/10/07 21:43
工房は、すれっからしが暇つぶしするためにあるような
2ちゃんの数学板なんか見るより
真剣に数学やったほうがいいと思う。

87 :132人目の素数さん:01/10/07 21:51
ここの連中って、頭よさそうに見せててるだけで
実際に優秀な人いないしね

88 :132人目の素数さん:01/10/07 22:45
いても、こんなネタスレには書き込まないだろ。

89 :132人目の素数さん:01/10/07 22:49
おい、なんで積分で求められたら超越数じゃあないんだ?
おれにはさっぱりわからんぞ!(w

90 :132人目の素数さん:01/10/07 23:40
>>79
超越数とは代数的数でないような実数。
代数的数とは整数係数の多項式の根であるような数。

91 :132人目の素数さん:01/10/07 23:54
>>90
>>67は多項式と分数関数しか使ってないよ。

92 :>91:01/10/08 00:00
積分使ってる。
積分は極限だからね。
どんな実数でも有理数列の極限になってる。

93 :92:01/10/08 00:33
ついでに>>67は級数になおせるね:
1-1/3+1/5-1/7+1/9+・・・=π/4

94 :132人目の素数さん:01/10/08 00:59
>>92
>>93はどう考えるの?

95 :>94:01/10/08 01:05
∫[0,1]1/(1+x^2)dx=Σ[n=0,∞] ∫[0,1](-1)^n x^(2n) dx
=-1/3+1/5-1/7+1/9+・・・

96 :132人目の素数さん:01/10/08 01:13
>>95
んなことはわかってる。
なんで、>>93の様に級数になるのに、超越数じゃないの?

97 ::01/10/08 01:19
>>96
別に、「級数は代数的数」なんて定理、ありませんが?

98 :132人目の素数さん:01/10/08 01:47
>>97
定理はなくても、代数的数でない、とは言い切れるの?

99 :132人目の素数さん:01/10/08 02:38
>98
当然のことながら無限級数で表しているからといって有理数の可能性もあるので
それはなんとも言えない。

1/3=0.3+0.03+0.003+…
π=3+0.1+0.04+0.001+…

したがって超越数かどうかということと無限級数で表現してあるということは全く無関係

100 :132人目の素数さん:01/10/08 02:56
>>99
では、πは超越数ではないということでよろしいですね。

101 :132人目の素数さん:01/10/08 03:07
>>100
は?
無関係なのだから、その理由ではπは超越数でないとも言えない。

102 :132人目の素数さん:01/10/08 03:10
>>101
何でお前はそんなにケンカごしなの?
ネタニマジレスカコワルイ

プッ

103 :132人目の素数さん:01/10/08 03:10
>>1
無理っす。

104 :132人目の素数さん:01/10/08 03:12
>>102
は?
ケンカごしに見える?

105 :132人目の素数さん:01/10/08 03:14
>>104
うん。(はぁと
とっても必死だね♪

106 :132人目の素数さん:01/10/08 03:20
イタイ104がいるスレ(w

107 :132人目の素数さん:01/10/08 03:25
寧ろ105,106のほうが必死に
見えますけど。

108 :132人目の素数さん:01/10/08 03:29
104=107
(・∀・)ジサクジエンデシタ

109 :これでも買って読め:01/10/08 07:44
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1516-4.htm
http://www.kindaikagaku.co.jp/bookdata/ISBN4-7649-1035-7.htm

110 :132人目の素数さん:01/10/08 11:38
>>100のような、数学の論理のイロハも分かっていないような奴がいるから、
話がいつもややこしくなる。

111 :132人目の素数さん:01/10/08 12:08
>>105
とっても必死だね♪

112 :132人目の素数さん:01/10/08 12:10
すごいすごい、πは代数的数だね、じゃあ先生に報告して褒めてもらいなさい。
そのあとお母さんに言って病院に連れて行ってもらうといいよ。

113 :名無し:01/10/08 12:22
>>1
既出かもしれないけど。√nについてそれが無理数であるとき,
それを証明することなら,一般的にできると思います。
nを素因数分解したとき,ある素数pについて,nがp^(2k-1)を因数に
もつとする。(注)
ここで,√nは,方程式x^2-n=0 ・・・@ の解である。
@ が有理数解を持つならば,それは整数であり,かつnの約数である。
しかし,nのどんな約数も,@の解にはなりえないから,@は
有理数解を持たない。よって,@の解は無理数である。
(注) の部分は,正確にいうと,次のような意味で使っています。
nはp^(2k-1)で割り切れるが,p^(2k)で割り切れないような,自然数k
が存在する。

114 :ななし:01/10/11 10:53
67はネタとしては秀逸だね。
n
∫1/xdx = logn

も代数的数になるわけか

115 :29:01/10/11 11:56
>>109
円の数学て,普通のひとは
お金のことと勘違いしそう。

116 :ネタネタ大魔人:01/10/11 15:04
>>114の式によってlognは代数的数である。

117 :132人目の素数さん:01/10/11 15:09
>115
相対性理論の邦書が出たときにムッツリな若者達が勘違いして
買いに走ったという話もある(マジレス

118 :132人目の素数さん:01/10/11 15:10
>>116>>114に書いてあることを繰り返してるだけのアホ

119 :ネタネタ大魔人:01/10/11 16:07
lognは代数的数である。

120 :ななし:01/10/11 16:47
>119 あおるねえ

121 :ななし:01/10/12 10:19
そうそう、67を多変数化すると、たとえば

11
∫∫1/(1−xy)dxdy = \zeta(2)=π^2/6
00

だし、いわゆるBeukers積分とかSelberg積分を使えば
多重ゼータ値は全部代数的になっちゃうなあ
(広義積分は反則かな?てか、ここに反則も何もないか)

122 :>121:01/10/12 12:22
∬_{0≦x,y≦1} 1/(1-xy)dxdy = π^2/6

か。しゃれたこと知ってたね。ちょっと
苦労したけどなんとかできたよ。正しいみたい。
integrand を等比級数に展開すると=ζ(2) がでるね。

123 :ななし:01/10/12 12:29
そうそう。
応用すればゼータだけでなくディリクレ級数もでるよ
(全部じゃないけど)

124 :ななし:01/10/13 20:12
もうのびないね
============== 終了 ==============

125 :132人目の素数さん:01/10/15 01:57
ゼータ関数って何?
Beukers積分とかSelberg積分とかって??

素人には難しすぎてレスがつけられん・・・
解説きぼーん

126 :132人目の素数さん:01/10/15 01:58
ゼータ関数って何?
Beukers積分とかSelberg積分とかって??

素人には難しすぎてレスつけられん・・・
解説きぼーん

127 :132人目の素数さん:01/10/15 01:58
だぶった・・・
スマソ。

128 :ななし:01/10/15 13:02
Beukers,Selbergはともかく、ゼータ関数ぐらいは自分で勉強しましょう.

129 :132人目の素数さん:01/10/15 13:13
http://users.forthnet.gr/ath/kimon/Riemann/Riemann.htm

130 :132人目の素数さん:01/11/24 15:23
これ、アフォらしくておもろいのでage

131 :           :01/12/08 06:37
任意の実数を与えて、それが超越数であるかどうかを判定する
一般的なアルゴリズムはないことを証明せよ。

132 :132人目の素数さん:01/12/08 09:35
>>131
2chで軽軽しくやる内容じゃないな。出来たら面白いけど。

133 :132人目の素数さん:01/12/08 09:37
ところで、カントールの対角線論法で出てくる、有理数と1対1対応しない実数ていうのはやっぱ無理数のこと表してるんだよね?
う〜ん、どうもアレがいまいち納得できない・・・・

134 :132人目の素数さん:01/12/10 16:14
>>131-132
「任意の実数を与えて」
ってところに無理がある気が...
判定する対象は、「ある定義で規定される実数」なので、
厳密に言おうとすると
「値が一つの実数として確定するような任意の数の定義の仕方について
その値が超越数であるかどうかを判定する
一般的なアルゴリズムはないことを証明せよ。」
ってな話になって、
「数の定義の仕方のバリエーション」の範囲なんてものに
想いをはせないといけなくなってしまう...。

135 :132人目の素数さん:01/12/10 16:17
実数の非可算性は対角線論法でなくてもできる.
カントールの最初の証明は対角線論法ではない.

136 :KARL ◆gjHKPQSQ :01/12/10 21:26
>>135
興味津々。対角線論法でない証明、知りたいですね。

137 :132人目の素数さん:01/12/10 21:45
カントールの証明は見てませんが,だいたい
これと似たようなものではないかと想像します。
以下は,だいぶ前に私が他スレに書き込んだものです。


ずっと以前に考えたんですが,
実数の連続性の公理(切断の公理)
を使って非可算性の証明ができます。
具体的には,実数の可算集合Sがもし密ならば
(i.e. a<b a,b∈S ならば ∃c∈S a<c<b とすると)
Sの切断で上組の最小値も下組の最大値も
存在しないものが作れるということです。

i.e.
S⊂R は可算集合だから1列に並べることができます。
トランプのカードのように重ねられていると思ってください
あと2つの箱AとB,それとA,B2つの状態をとるスイッチF
があると考えてください。
まずはじめにSから2枚とり小さい方をAに大きい方をBにいれ
スイッチFをAとしておきます。
以下Sから一枚づつ取り出し(これをxとする),次の操作をします。
1)x<max A ならば x を箱Aに入れる
2)x>min B ならば x を箱Bに入れる
3)max A<x<min B で F が 状態A ならば x を箱Aに入れ F を 状態Bにする
4)max A<x<min B で F が 状態B ならば x を箱Bに入れ F を 状態Aにする

Sが密だとの仮定から 3) と 4) のケースは交互に限りない回数おきるはずです。
Sは可算集合ですからSの要素はいずれ取り出されて箱Aまたは箱Bに入れられます。
箱Aに入るものと箱Bに入るものの集合をそれぞれあらためて
A,Bと呼ぶことにすると,(A,B)はSの切断で,
その作り方から,Aの最大値もBの最小値も存在しません。

138 :132人目の素数さん:01/12/10 23:59
>>137
わからん・・・

とりあえずどの条件を使ってどの命題を示したのか明確にしてほしい・・・

というか、公理を考え直す証明で切断の公理を使ったら意味がないような気も・・・

139 :132人目の素数さん:01/12/11 00:02
>>137とろいやっちゃなー
可算で密な部分集合は切断の公理を満たさない
だからRの全体は非可算だと
いっとるんじゃないかー

140 : :01/12/14 17:28
>>133
とは限らん。
「f:N→R を任意に与えたとき
Im(f) に含まれない x∈R を
選び出すことができる。」
という証明だから,
fの与え方によってできるxは
違ってくる。

141 :132人目の素数さん:01/12/14 18:19
>>140
「f:N→R を任意に与えたとき
Im(f) に含まれない x∈R を
選び出すことができる。」

そういえば>>137もそういう風に
ちゃんと書けるね。
inf B または sup A をとれば
それが Im f に含まれないという
ことだから。
Im f が密でない場合は
隙間をとるのはもっと簡単と
いうことで・・・

142 :132人目の素数さん:01/12/26 13:42


143 :         :02/02/03 10:44
>任意の実数を与えて、それが超越数であるかどうかを判定する
>一般的なアルゴリズムはないことを証明せよ。

任意の実数xの与え方として、非常に一般的に二進展開の無限列で
与えることにしよう。

アルゴリズムというものはその言葉の定義からは、
(回数の上限などが事前には決まっていなくても良いが)
いつか有限回の操作手順で停止するものでなければならない。

ところが、任意の実数の小数の二進展開を一桁ずつ入力するもの
ときめると、有限回の入力操作により得られる有限小数桁
だけからでは判断が完結しないことは明らかである。

有限桁数までの入力で無理数と有理数を区別する、あるいは
超越数と代数的数を区別するアルゴリズムは存在しない。


144 :  :02/02/04 11:48
実数を指定するのにその小数展開を1桁ずつ指定していくやりかたでは
有限回では指定しきれないので、実数をアルゴリズムに対して入力
するのには、別の方法によらなければならない。それは、一般的には
何らかの記号の有限列の形をとるであろう。(関係式とか、実数の
任意の近似値を求めていけるような無限回の反復を許すようなプログラム
に等価なものを、有限種類の記号を有限個並べたものとして)。
すると、そのような記号の有限列で指定が書けるような実数の全体は、
可算でなければならない。
もしも、仮に実数の超越性の成否を判定できるアルゴリズムが存在したと
しても、そのアルゴリズムに入力することができる実数の集合は、可算
であり、(可能無限ではない実無限の立場でならカントールの証明を
信用するならば)有限種類の記号の有限列では指定できない実数が
無数に存在することになる。
よって、記号の有限列で指定されるとは限らないようなクラスの
「任意の実数」の超越性を判定するアルゴリズムは存在しない。

145 :  :02/02/04 11:59
任意の論理命題Mを考えて、命題Mが真ならlog2を、
偽なら1を与える関数をF(M)とするとき、Mを
定めた場合に、F(M)の値は実数であるが、その値が
log2なのか1なのかを与えるようなアルゴリズムは
存在しない。(一般の命題の真偽を与えるアルゴリズムは存在しない)
よって、実数xをF(M)により与えるなら、その超越性は決定不能である。

146 :132人目の素数さん:02/02/10 19:41
オイラーガンマは超越性も無理性も未解決。
ζ(3)は無理性はいえたけど超越性は未解決
今はこんな状況だったよね

147 :132人目の素数さん:02/02/10 21:25
…高校生の時、友人に
「これ、アメリカの大学の入試問題。解ける?」
とζ(3)を具体的に求める問題出された。

んで一週間悩んでも解けない事言ったら、
「あ、あれは嘘。未解決問題だよ。すぐに気付けよ」
って言われた…鬱

148 :132人目の素数さん:02/02/10 23:10
>>90

茶々だけど
多項式の根→多項式の零点 じゃないの

149 :132人目の素数さん:02/02/11 02:03
多項式の根 root of polynomial

よく使うよ


150 :132人目の素数さん:02/02/11 02:13
>>149
それ間違い。

151 :132人目の素数さん:02/02/11 02:30
無理ですぅ
ピュー さみぃー

152 : :02/02/19 00:07
ζ(3)が超越数かどうかは難しそうだが、たとえばQ上二次の代数的数
ではないことを示せだったらどうだろか?

153 :バケラッタ:02/02/20 15:52
>152
\zeta(3,3)の話になりますね.
あるいは1/\zeta(3)の有理近似だけど、後者はどうにかなるかなあ・・・.
ちょっとまじめに計算してきます.

154 :132人目の素数さん:02/03/02 13:12
age

155 :132人目の素数さん:02/03/30 01:32


156 :132人目の素数さん:02/04/16 00:01


157 :132人目の素数さん:02/04/17 16:42
http://members.jcom.home.ne.jp/milky-club2/j082_2.rm

158 :132人目の素数さん:02/04/21 22:07
http://www.hh.iij4u.or.jp/~s-miku/mo-101_s2.rm

159 :132人目の素数さん:02/05/01 14:14
age

160 :132人目の素数さん:02/06/03 12:52


161 :132人目の素数さん:02/06/23 20:19


162 :132人目の素数さん:02/06/25 17:14


163 :132人目の素数さん:02/06/25 17:37


164 :132人目の素数さん:02/06/27 15:09


165 :132人目の素数さん:02/06/29 00:48


166 :132人目の素数さん:02/06/30 21:29


167 :132人目の素数さん:02/06/30 21:35
√5って証明できるっしょ?厨房でも。

168 :132人目の素数さん:02/07/29 21:39
abc

169 :132人目の素数さん:02/07/31 13:22


170 :132人目の素数さん:02/07/31 16:51


171 :132人目の素数さん:02/08/27 04:49
√2+√3+√5+√7。


172 :132人目の素数さん:02/09/04 10:56


173 :132人目の素数さん:02/10/01 09:52


174 :132人目の素数さん:02/10/27 05:12


175 :132人目の素数さん:02/10/30 19:51


176 :132人目の素数さん:02/11/22 06:22


177 :suterunebnebenben:02/12/01 21:50
無理数が無理数である所以

178 :132人目の素数さん:02/12/13 07:28


179 :山崎渉:03/01/11 12:43
(^^)

180 :132人目の素数さん:03/01/19 08:49


181 :132人目の素数さん:03/01/21 19:37
√3が有理数と仮定して、X^3−1=0の根が無かったって証明でいいんじゃないの?

182 :132人目の素数さん:03/01/21 19:44
はぁ?!

183 :132人目の素数さん:03/01/21 22:02
181 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:03/01/21 19:37
√3が有理数と仮定して、X^3−1=0の根が無かったって証明でいいんじゃないの?

184 :132人目の素数さん:03/01/25 01:33
(log n) ^ (log m) が無理数にならないためのnとmの条件は?
但しn,mは0ではない自然数とする。

185 :132人目の素数さん:03/02/02 08:55


186 :132人目の素数さん:03/02/07 16:44
ほしゅったらあげろ!

187 :132人目の素数さん:03/03/05 13:48
>>1


188 :132人目の素数さん:03/03/12 03:14
143,144、145っていったい何をいっているのか、チンプンカンプンで
わからないんですけど、何か意味のあることを述べているのでしょうか?

189 :132人目の素数さん:03/03/12 03:25
>>188
意味があるでしょ。まともな議論だよ。
あと、
>「√2の証明が出てるのに√3の証明を聞くなんて典型的なバカだな。
> √3を説明しても、√5……についても聞いてくるんだろうな(ワラ」
という意見はまったく正当。1がアホなだけ。
それと、こんなスレ下げてね。

190 :132人目の素数さん:03/03/12 03:34
>>143-145とは逆の方向から攻めたらどうなるんだろう?
つまり、超越数でないことを示すためには、
(n=0→k)a_n*x^n = 0
を満たす整数の組(a_0,a_1,...,a_n)を求めれば良い。
こういった整数の組は加算なので、加算の演算で検証可能である。

というのはだめなの?

191 :132人目の素数さん:03/03/12 03:35
もっとも、終了判定ができない、という意味で判定アルゴリズムとは
なりえない、ということになるのかな。

192 :132人目の素数さん:03/03/12 04:06
昔これに似たスレがあってオレも書き込んだなぁ、と思ったら
おんなじヤツじゃん.
こんな古いのよく上げてきたな!

193 :132人目の素数さん:03/03/12 05:18
>>190
LLTとかいったかな、そのアルゴリズムは前から知られていて、
最近かなり注目されているのだ。

194 :132人目の素数さん:03/03/12 05:20
かなり長期的にメンテしてた椰子がいるようだね

195 :132人目の素数さん:03/03/12 05:21
>>193
そうなの?ふと思いつきで書いてみたんだけど、
なんか嬉しい

196 :132人目の素数さん:03/03/12 05:24
ただ、加算→可算だったね。ちと鬱。

197 :132人目の素数さん:03/03/12 13:11
>>19以降ID制が消滅したんですね。

198 :132人目の素数さん:03/03/12 20:22
有理数が無理数であることを証明してみて。

199 :132人目の素数さん:03/03/12 21:07
途中1年くらいマジレスせずに保守してただけだったとは…迂闊。少しはネタ振ればよかった

200 :132人目の素数さん:03/03/12 21:09
Σ1/(2^n+3^n)が無理数である事は証明されてないのかなー?まぁいいや

201 :132人目の素数さん:03/03/13 10:07
>>200
総和とってみれば?

202 :山崎渉:03/03/13 12:53
(^^)

203 :132人目の素数さん:03/04/01 00:43
ある無限の演算を含む式(極限式)を数値的に計算すると、
どうやら明示的な式(閉じた式)で書かれた値になることが
ほぼ100%確実だとしても、それが(永遠に)証明できないという
ことがありえるのだろうか?

204 :132人目の素数さん:03/04/01 00:52
まずは、正しそうだが長年証明されてない式の例をみたい。
ラマヌジャンあたりにご登場願うか・・・

205 :132人目の素数さん:03/04/03 18:55
たしか、初等関数の範囲(絶対値などを含む)で、
任意に与えられた数式の値が0であるかどうかを
決定できるアルゴリズムは存在しないという
ことが証明されていたはず。

206 :132人目の素数さん:03/04/03 21:18
アルゴリズムでは何が許されているかを
書いてもらわないと困るのですよ。

207 :132人目の素数さん:03/04/16 09:01
>>206
誰が困るのですか?

208 :132人目の素数さん:03/04/17 00:28
無理数の例を歴史とおく。
歴史は理数ではない
ゆえに無理数は無理数である。
以上証明終わり□

209 :132人目の素数さん:03/04/17 08:41
「理数でないもの」は「無理数」でなく「非理数」だよ。
もう少し国語をお勉強しようね、ボク。

210 :132人目の素数さん:03/04/17 08:54
「不理数」でもいいような。

「〜がない」=「無〜」
「〜でない」=「非〜」または「不〜」
ってのはわかるんだが…

211 :132人目の素数さん:03/04/17 23:35
単純な「√2+√3+√5」みたいな、3つ足された時の
無理数である証明ができそうでできない。
誰か教えてちょうだい。

※ 既出のようだが、その時もちゃんと答えたヤツがいないヨ。

212 :山崎渉:03/04/20 04:35
   ∧_∧
  (  ^^ )< ぬるぽ(^^)

213 :132人目の素数さん:03/04/20 13:13
>>211
ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/alg_int.html

214 :132人目の素数さん:03/04/22 00:23
http://www-user.interq.or.jp/infox/info.htm#naoton
このページなんてどうよ?

215 :211:03/04/22 22:52
よし。この213と214でこのスレもしめくくりだな。
ふっ・・・。一年半か・・・。

216 :132人目の素数さん:03/04/22 23:08
円周率が無理数である事の証明が載ってるページ無かったっけ?

217 :132人目の素数さん:03/04/22 23:21
log(2)が無理数であることの証明とかってどうやってするんでしょ?
マジレスキボンヌ。

218 :132人目の素数さん:03/04/22 23:26
>>217
log(2) = 1.

219 :217:03/04/22 23:35
底はeとか10とかでおながいします。

220 :132人目の素数さん:03/04/22 23:41
log_10(2)=n/mなら2^m=10^n

ln2の方は塩川「無理数と超越数」森北出版を読むべし

221 :217:03/04/23 00:00
thx.

222 :132人目の素数さん:03/04/23 21:10
>>220
Baker, Transcendental Number Theoryのほうが良書だと思うんだが。

223 :132人目の素数さん:03/04/23 22:16
>>222
そうか。今度読んでみる

224 :132人目の素数さん:03/05/12 08:05


225 :132人目の素数さん:03/05/12 22:39
ほしゅったらageろ!

226 :山崎渉:03/05/22 00:32
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅(^^)]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

227 :132人目の素数さん:03/05/22 00:53
最初の方にπの無理数性は大学初年級と書いてあって,それはそうなんだけど,
今年阪大で出題されているのね。5月号の大数の76ページに出ている。そこの
コメントによると入試初登場なんて書いてあるね。

228 :山崎渉:03/05/28 14:54
     ∧_∧
ピュ.ー (  ^^ ) <これからも僕を応援して下さいね(^^)。
  =〔~∪ ̄ ̄〕
  = ◎――◎                      山崎渉

229 :132人目の素数さん:03/06/06 10:47
20

230 :132人目の素数さん:03/07/04 08:43
1

231 :132人目の素数さん:03/07/06 00:54
>>222
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/detail/-/english-books/052139791X/contents/ref=cm_toc_more/250-3922434-9246647

安いね

232 :132人目の素数さん:03/07/06 18:26
n/mと置くんだ!!!

233 :132人目の素数さん:03/07/06 23:28
>>232

よかったね。

何のことかは知らんけど・・・
嬉しそう

234 :132人目の素数さん:03/07/10 18:22
ttp://pi314.at/math/irrational.html

235 :132人目の素数さん:03/07/26 07:59
13

236 :132人目の素数さん:03/07/27 00:56
15

237 :ぼるじょあ ◆yBEncckFOU :03/08/02 03:22
     ∧_∧  ∧_∧
ピュ.ー (  ・3・) (  ^^ ) <これからも僕たちを応援して下さいね(^^)。
  =〔~∪ ̄ ̄ ̄∪ ̄ ̄〕
  = ◎――――――◎                      山崎渉&ぼるじょあ

238 :moonlight ◆jh72yuWGEU :03/08/04 08:50
以前ルート2の無理数性の証明を直接法で示したという話を
ちらっときいたことがあるのですが、それについて何か知っておられる
方はおられませんか?非常に難解な証明らしいのですが・・・
なんでも、その人(証明した人)はどうしても背理法による証明が
納得できなかったらしく、直接法によって示したらしいのですが。
もちろん、無理数の定義を「実数で有理数でないもの」とする限りは
直接法の証明は不可能なのでその定義を同値な何かに変えたのだと思いますが、
なにせ情報が全くないもので。

239 :132人目の素数さん:03/08/04 15:27

 eってテーラー展開すると項が無限に続くから代数的数じゃなくなって超越数 
って言えないの?

240 :132人目の素数さん:03/08/04 15:38
0.2+0.02+0.002+0.0002+・・・・

∴2/9は超越数

241 :math.1st ◆ViEu89Okng :03/08/04 16:44
The root of 9x-2 is 2/9. Therefore, 2/9 is algebraic on Q.

242 :132人目の素数さん:03/08/04 22:29
>>241
ウザイ。

243 :132人目の素数さん:03/08/06 00:31
>>238
その証明した人って数学者ですか?
素人でしたらどこかしらトンデモ臭が……

>どうしても背理法による証明が納得できなかったらしく、

特にこのあたりとか。

244 :132人目の素数さん:03/08/06 00:48
連分数を使った証明じゃ238の要望には応えられないだろうか。
結構簡単だけど。

245 :132人目の素数さん:03/08/06 20:18
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246 :132人目の素数さん:03/08/07 19:58
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247 :132人目の素数さん:03/08/07 20:24
つまり>>1は学校が教える試験的数学を記憶で覚えているタイプでしょう。
本当に数学が得意(?)な人は論理的思考能力があるので>>1のようなバカな考えをわざわざ質問したりしません。
よって>>1は数学をする価値無し。

248 :132人目の素数さん:03/08/07 20:27
今は>>1も考えを改めてるんじゃないかな。時間も経ったし

249 :132人目の素数さん:03/08/08 01:55
>>238
ttp://arp.anu.edu.au/ftp/techreports/1996/TR-ARP-02-96.ps.gz
の reference に
[13] Slaney, J. K., The square root of 2 is irrational (and no funny business).
Typescript, 1982.
というのがあるようです。

250 :132人目の素数さん:03/08/20 05:48
1

251 :132人目の素数さん:03/09/08 20:06
√xが無理数であることの証明

仮に有理数だとして
√x=n/m
(n,mは互いに素)

252 :132人目の素数さん:03/10/11 21:52
イマイを殺せ

253 :132人目の素数さん:03/10/18 18:59
>>252
殺人命令 通報しますた
保守

254 :132人目の素数さん:03/10/20 15:44
πが無理数であることの中学生にも分かる証明を教えて下さい.
e が無理数であることの中学生にも分かる証明を教えて下さい.
γが無理数であることの中学生にも分かる証明を教えて下さい.

以上お願いします.

255 :132人目の素数さん:03/10/20 15:55
馬鹿の壁とは言わないが。

256 :132人目の素数さん:03/10/20 16:19
平方根を連分数展開すると連分数の前の数が循環すると
いうのがすでに証明されています。
無限に循環する連分数が何か整数の比にはなりません。
これでお終いなのでは。

1
sqrt(2)=1+--------------------
1
2+ -------------
1
2 + ------
1
2+----

257 :132人目の素数さん:03/10/20 16:49
>>256

2chでは2つ以上半角スペースを開けると表示されないから今後注意しなよ。

258 :Which不一致 ◆v.V7zKGUME :03/10/20 17:03
循環しない無限小数であることを示す。

259 :132人目の素数さん:03/10/20 17:52
>>254
一番下のは無理数だってわかってないだろ

260 :132人目の素数さん:03/10/20 17:57
>>257
どうすればいいの。ただ気をつけろでは「頭上注意」と
同じで困ってしまう。教授お願いします。

261 :132人目の素数さん:03/10/20 18:21
空白注意

262 :132人目の素数さん:03/10/20 19:38
全角空白使用

263 :132人目の素数さん:03/11/07 00:41
ビンビンマッチョデ(゚д゚)オーエーオーエー

264 :132人目の素数さん:03/11/27 17:05
二年八十二日十七時間三十四分。


265 :132人目の素人さん:03/11/29 21:05
【参考書】でつ.
堀場芳数: 「無理数の不思議」 講談社ブルーバックス B-978 (1993) 第3章


266 :132人目の素人さん:03/11/29 21:51
>254
真ん中のは無理数だと分かっているyo.
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ・・・・・・

いま e=p/q (p,q∈N) と仮定すると、
q!・e = q!+q!/1!+q!/2!+・・・・・・+q!/q! + 1/(q+1)+1/[(q+1)(q+2)]+・・・・・・
= n + {1/(q+1)}[1+1/(q+2)+1/(q+2)(q+3)+・・・・・]
< n + {1/(q+1)}[1+1/(q+1)+1/(q+1)^2+・・・]
= n + 1/q. (n∈N)
∴ n < q!・e < n + 1/q.
∴ q!・e は 整数でない. これは仮定に矛盾する. (終)

267 :132人目の素数さん:03/12/01 06:28
実数の可算な基底が取れるという定理があるそうですが、
それだと、実数全体が可算集合になってしまいませんか?

268 :132人目の素数さん:03/12/02 03:31
「基底」ってのは位相の基底のことをいってるのか?
可算な基底が取れても位相空間の濃度が可算とは限らないよ。
よく考えてみ。

269 :132人目の素数さん:03/12/03 01:12
なんでも、Bが可算個の実数の基底の集合として、それに含まれる
基底をB_1、B_2などと書くと、有理数の係数C_1、C_2、などを使って
任意の実数xが
x=C_1 B_1 + 。。。。+ C_N B_N
と有限個の基底の有理数係数の線形和で書けるというんです。
いったいどうやって証明するのかわかりませんが。


270 :132人目の素数さん:03/12/03 01:17
>>269
何かの間違いだろう。それじゃ実数の全体が可算集合になってしまう。

271 :132人目の素数さん:03/12/03 03:20
>>269
「基底」ってベクトル空間の基底のことね。
Q(有理数体) 上のベクトル空間としての R (実数体)の次元(基底の濃度)は、
「連続体の濃度」だよ(普通の数学では)。
基礎論関係の話か? 選択公理を仮定せずに云々とかいう。

272 :132人目の素数さん:03/12/04 01:28
「自然数nについて、n が平方数でない⇒ √n は無理数」の証明
なんかきちんとした証明が見当たんなかったから、書いておくね。

対偶を示す。 √n が有理数 p/q (p と q は互いに素な自然数)だとする。
p^2 = n * q^2 となる。よって p^2 ≡ 0 (mod q)。
p と q は互いに素だから、p ≡ 0 (mod q)。
q≠1 とすると、これはp と qが互いに素であることに矛盾するから q = 1。
よって√n = p。両辺を自乗すると n = p^2 となりnは平方数。QED

273 :132人目の素数さん:03/12/05 00:29
> p と q は互いに素だから、p ≡ 0 (mod q)。

ハイ、不合格。

274 :132人目の素数さん:03/12/05 00:48
>>273
何が不合格?

275 :272:03/12/05 01:00
>>273
>p と q は互いに素だから、p ≡ 0 (mod q)。

これは、p と q が互いに素だから Z/qZ の中で p は単元であり、
p^2 ≡ 0 (mod q) の両辺に p の逆元を掛けると p ≡ 0 (mod q)
になるってことだが。

何か問題ある?

276 :272:03/12/05 01:52
高校生でもわかるように合同式を使わないで証明を書き直してみました。

「自然数nについて、n が平方数でない⇒ √n は無理数」の証明
対偶を示す。√n が有理数 p/q (p と q は互いに素な自然数)だとする。
p^2 = n * q^2 ・・・(*)
となる。今、q≠1 とすると、(*) の両辺を素因数分解したとき右辺に q
の素因数が現れ、左辺にもその素因数が現れることになるが、
これはp と q が互いに素であることに反する。よってq=1。
よって√n = p。両辺を自乗するとn = p^2 となり、nは平方数。QED

ちなみに、同じ方法で
「自然数nについて、n がr乗数でない⇒ n のr 乗根は無理数」
が示せる。

277 :132人目の素数さん:03/12/05 19:04
いや、
>(*) の両辺を素因数分解したとき右辺に q
>の素因数が現れ、左辺にもその素因数が現れることになるが、

この部分が重要なのだ。
ある素数rがn^2を割り切るならrがnを割り切るというのは自明なことではない。

278 :132人目の素数さん:03/12/05 21:57
>>277
>ある素数rがn^2を割り切るならrがnを割り切るというのは自明なことではない。

「自明なことではない」ってのは、どういうレベルの話? 素因数分解の一意性を認めれば
自明って言っていいと思うんだが。

279 :132人目の素数さん:03/12/05 22:07
>>277
中学校・高校の教科書では、√2が無理数であることの証明で
「p^2 = 2 * q^2 より、p は偶数であり・・・」
って推論を大抵自明のものとして行ってると思うんだが、>>277
これも「自明なことではない」っていうの?

280 :132人目の素数さん:03/12/05 22:23
>>278
むしろ素因数分解の一意性の証明に
「pが素数でp|nmならばp|nまたはp|m」
という定理を使うわけだが。

281 :132人目の素数さん:03/12/05 22:27
>>280
確かに普通はそうだね。で、>>277は結局何がいいたいんだ?
277≠280だよね?

282 :132人目の素数さん:03/12/05 22:29
>>280
そういや、その定理の証明ってどうやるんだっけ?

283 :132人目の素数さん:03/12/05 22:36
>>282
結局、「pが素数でp|nmならばp|nまたはp|m」 という「定理」が「自明」じゃないから、
「ある素数rがn^2を割り切るならrがnを割り切るというのは自明なことではない」
とあなたは言ってるわけ?

スマンがちょっとバカバカしくなってきた。なんでもいいからまともな初等整数論の
本読んでね。

284 :282:03/12/05 23:10
>>283
通りすがりに覗いたスレで、ふとした疑問を持っただけなのだが・・・?
その言われようはどうなんだか。俺を誰かと間違えていないか?

285 :132人目の素数さん:03/12/05 23:32
>>284
スマソ。>>277なのかと思った。ごめんなさい。

(*)「pが素数でp|nmならばp|nまたはp|m」 の証明は、普通は次のようになるかな。

1. まず、「Nの整列性」から「除法の原理」を導く
2. 次に、「除法の原理」から(Euclidの互除法を使って)、「a、bが互いに素なら
ax + by = 1 となる整数x, y が存在する」を示す。
3. これから(*)を示す。

286 :132人目の素数さん:03/12/05 23:34
>>283
分かった上で>>272が分かってるかどうか確かめているわけだが。

287 :277=286:03/12/05 23:36
と思ったら、>>285が先に証明(のアイデア)を書き込んでるし。

288 :272=285:03/12/05 23:43
>>287
で、結局アンタは何が言いたいんだ?

289 :132人目の素数さん:03/12/06 00:13
対偶証明。

「無理数でないものは無理数でない。」
これは当たり前である。
よって,
「無理数は無理数である。」
//証明終

だめ?

290 :132人目の素数さん:03/12/06 00:49
√nの時は連分数を用いたやり方もあるが、
その場合は全てのnについて一気に証明するのが簡単には出来ないのが難点だ

291 :132人目の素数さん:03/12/06 01:04
>>288
いや、>>273が言いたいことは「(p, q)=1でq|p^2ならばq|pであること
(もっと一般に、Zの既約元が素元になること)の証明がない」
ってことだろうと思ったので代わりに指摘したわけで。
(高校生にもわかる証明ってあったけどこの証明って高校で習ったっけ?)

まあ>>285を読む限り、そのあたりの事は分かってるみたいだが。

292 :132人目の素数さん:03/12/06 01:24
>>291
なんかエラそうなやつだな。そんなことはわかってるんだよ。

なんで「nが平方数でない⇒√nが無理数」を示すときに、
「素因数分解の一意性」をいちいち自然数の公理から示
さなきゃないけないんだ?

そんなこといちいち指摘してたら、どんな議論も公理まで遡らなきゃ
なくなるじゃないか。

おそらくあなたは最近代数的整数論の初歩をかじったかなんかで
UFD でない環があることを妙に気にしてるだけだろ?
整数環で素因数分解の一意性を「自明」とするのは別に普通の
ことだと思うんだが。

293 :292:03/12/06 01:26
ヘンなつっこみが入るような気がしたんであらかじめ書いておく。

>整数環で素因数分解の一意性を「自明」とするのは

「有理整数環」で〜ってことね。

294 :132人目の素数さん:03/12/13 05:04
657

295 :132人目の素数さん:03/12/29 06:40
14

296 :132人目の素数さん:04/01/10 06:40
250

297 :132人目の素数さん:04/01/23 06:43
3

298 :超亀レス:04/01/24 19:17
p|mnならばp|mあるいはp|nとなることの証明

pがmで割り切れるとき
明らか

pがmで割り切れないとき

自然数の集合SをS={kは自然数|mkがpで割り切れる}
mnとmpはpで割り切れるので、nとpはSの要素である。
Sの元のうち最小のものをhとする。
mはpで割り切れるので、h>1である。
nをhで割り、商をq、余りをrとする。
n=h*q+r(0≦r<h)

pをhで割り、商をq'、余りをr'とする。
p=h*(q')+r'(0≦r'<h)

nがhで割り切れないと仮定すると
m*r=m(n-h*q)=m*n-(m*h)*q=p(a-b*q)
だからrはpの要素となるがr<hだから、hの最小性に反する。
よってnはhで割り切れる。…(1)

pがhで割り切れないと仮定すると
p*(r')=m{p-h*(q')}=mpn-(m*h)*(q')=p{m-b*(q')}
だからr'はpの要素となるがr'<hだから、hの最小性に反する。
よってpはhで割り切れる。…(2)
(2)よりhの値の候補はpと1の二つだけである(pは素数だから)。
h>1だからh=pである。

よって(1)よりnはpで割り切れる。

299 :298の訂正:04/01/26 01:20
pは素数とする。
p|mnならばp|mあるいはp|nとなることの証明

pがmで割り切れるとき
明らか

pがmで割り切れないとき
自然数の集合SをS={kは自然数|mkがpで割り切れる}
mnとmpはpで割り切れるので、nとpはSの要素である。
Sの元のうち最小のものをhとする。
mはpで割り切れないので、h>1である。
nをhで割り、商をq、余りをrとする。
n=h*q+r(0≦r<h)
pをhで割り、商をq'、余りをr'とする。
p=h*(q')+r'(0≦r'<h)
nがhで割り切れないと仮定すると
m*r=m(n-h*q)=m*n-(m*h)*q=p(a-b*q)
だからrはpの要素となるがr<hだから、hの最小性に反する。
よってnはhで割り切れる。…(1)

pがhで割り切れないと仮定すると
p*(r')=m{p-h*(q')}=mp-(m*h)*(q')=p{m-b*(q')}
だからr'はpの要素となるがr'<hだから、hの最小性に反する。
よってpはhで割り切れる。…(2)
(2)よりhの値の候補はpと1の二つだけである(pは素数だから)。
h>1だからh=pである。
よって(1)よりnはpで割り切れる。

よって、mあるいはnがpで割り切れる。

300 :132人目の素数さん:04/01/31 01:06
有限長の記号で記述指定された数が無理数か有理数かを一般的に判定する
アルゴリズムは存在しない。これにより、一般的な手順で任意の数の有理性、
無理性を証明ができる望みは0である。

301 :132人目の素数さん:04/01/31 01:55
>>300
( ・∀・)つ〃∩ ヘェーヘェーヘェーヘェーヘェーヘェー ソースは?

302 :132人目の素数さん:04/01/31 02:13
>>300
数を指定する言語の強さによると思うのだが。


303 :132人目の素数さん:04/02/05 09:34
>>300
ソース教えて。このスレで証明してくれるならそれでも
いいけど。

というか、1はもう少し日本語と数学(超越数のお話なんか)の
勉強をしてこい、でファイナルアンサーな気が…………

304 :132人目の素数さん:04/02/05 14:00
任意の論理命題Mを考えて、命題Mが真ならlog2を、
偽なら1を与える関数をF(M)とするとき、Mを
定めた場合に、F(M)の値は実数であるが、その値が
log2なのか1なのかを与えるようなアルゴリズムは
存在しない。(一般の命題の真偽を与えるアルゴリズムは存在しない)
よって、実数xをF(M)により与えるなら、その有理性は決定不能である。

この例を観ても、有限長の記号で記述指定された数の有理性の
判定を与えるアルゴリズムはあり得ないことが分かる。

よって、判定ができるアルゴリズをあたえ得る為には、
単に有限長の記号で記述指定されたというようなあまりにも
一般のクラスではなくて、もっと限定的なクラスでなければダメだ。
つまり、問題をもっと限定して、その問題の範囲なら決定
できるとかできないとかいうことを調べることになる。
例えば、整数係数多項式の零点として定義指定された数が、
有理数でありえるかどうか、であれば判定がアルゴリズム的に可能
であることは自明だろう?


305 :132人目の素数さん:04/02/05 14:48
なるほどね。でも「有限長の記号で記述指定」というのは
もう少しexplicitに厳密に書いた方が良くないですか?
リシャール/ベリーのパラドックスのような状況を回避する
ためにも。
一応オイラーやファイゲンバウムのような、原理的にいくらでも
近似計算が出来るような実数についてはどうなんだろう。

306 :132人目の素数さん:04/02/06 05:06
有限状態オ-トマトンが生成する記号列はそれが無限列である場合、
循環小数(つまり有理数)に対応するか、あるいは超越数になるかの
いずれかである。(定理の人名忘れたがたぶん大体20年以内の定理)

すなわち、有限状態オ-トマトンの出して来る実数の小数展開列は
代数的無理数にならない。

307 :132人目の素数さん:04/02/07 18:58
数列A(n)がnの整数係数の有理関数で書かれているときに、
A(n)のnが自然数に渡る無限和Sの収束判定、およびその有理性判定は
可能である。

308 :132人目の素数さん:04/02/12 01:41
初等関数と絶対値、整数の組み合わさった定数の式が0であるかどうかの
判定は、アルゴリズム的には決定不能である。

309 :132人目の素数さん:04/02/14 00:24
>308
よって,0であるかどうかの判定が出来ない四則演算と初等的関数,
絶対値などを有限回適用した演算による値をSとするときに,

任意の無理数(非可算の濃度の可能性がある)xにSを乗じた値に
1を加えたものをAとするとき,
Aの値が1であるのか,(確率1で)1でない無理数1+xS となるのか
はアルゴリズムによって判定することが出来ない.

310 :132人目の素数さん:04/02/25 00:42
なんだか、狂人がでたらめ書いているな。

311 :132人目の素数さん:04/03/07 01:47
135

312 :132人目の素数さん:04/03/31 07:26
533

313 :132人目の素数さん:04/04/04 19:30
1+xS


314 :132人目の素数さん:04/04/15 01:18
無理数の問題は,とても難しいのだ.一筋縄ではいかない.
何か画期的な理論の進展が無ければ,得られる成果はまったく
個別の孤立した議論の集積にしかならないであろう.偉大な理論
の登場が待ち望まれる次第である.初等的な数式によって定義
されるような大方の実数の無理数性が導かれる日が来るのであろうか?

315 :132人目の素数さん:04/04/15 21:45
>>スレタイ
定理 無理数は無理数である。
証明 無理数である。 ∵無理数だから QED

はい、終わり。
削除依頼して来い >>1

316 :132人目の素数さん:04/04/16 07:36
ま、スレタイに限って言えばそうだな(藁

317 :132人目の素数さん:04/04/24 02:45
対偶を取れば、有理数ならば有理数である。

318 :132人目の素数さん:04/04/24 16:11
解析的整数論のスレなんか立てたらもう少し
面白くなると思うけどね。でもどれだけの香具師が
興味を持つか。

319 :132人目の素数さん:04/04/24 17:17
というか数学板って数論マンセーする香具師が多い割に、ちょっと
深い話になったらとたんにレスくれる人が減るんだよな。数論以外の話題だったら
深い話でもレスつくのにね。

320 :132人目の素数さん:04/04/24 20:06
>>数学板って数論マンセーする香具師が多い
>>数論以外の話題だったら深い話でもレスつく
そうか?

321 :132人目の素数さん:04/04/25 10:34
どっちも同意できないなw

322 :132人目の素数さん:04/04/25 11:30
>>1
「√2が無理数である」っていうのは、つまるところ
「√2が有理数であると矛盾する」ってことだから
どうしたって背理法にならざるを得ない。

こういう背理法は自然だが、逆に
「ある数は有理数でないと矛盾するから有理数だ」
というような背理法は、論理的にもっともだとしても
なんか気分が悪い。

323 :132人目の素数さん:04/04/25 11:37
>>1
ところで√2の証明を、√3や√5の証明に転用するのは簡単。
しかし、eやπが無理数であることの証明には使えない。
オイラーの定数γに至っては未だに無理数だという証明すらない。

>無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。
そんなものは今のところない。
ただ、有理数だけでは閉じていないというためには
√2の例だけで十分。

324 :132人目の素数さん:04/04/25 11:43
最近は(といっても数十年前から)
x_1,…,x_nが代数的数ならf(x_1,…,x_n)は無理数である
式の結果は出てきているけどね。

ところで論理の専門家に言わせれば√2の無理性の証明は
背理法ではないそうな。
Aだとすると矛盾するからAでない、は背理法ではないが
Aでないとすると矛盾するからAだ、は背理法らしい。
詳しいことは論理、基礎論スレで。

325 :132人目の素数さん:04/05/05 07:47
345

326 :132人目の素数さん:04/05/13 17:30
誰か双子素数の無限和が無理数である事を証明してくれ

327 :132人目の素数さん:04/05/28 10:30
573

328 :132人目の素数さん:04/05/29 19:45
「くだらんスレ(29桁略)」にありますた

> 1/{10^(1!)} + 1/{10^(2!)} + 1/{10^(3!)} + 1/{10^(4!)} + … が超越数であることの証明を教えて下さい!

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1082854806/7,991

注) 1/{10^1} + 1/{10^2} + 1/{10^3} + 1/{10^4} + … は有理数です。。。



329 :132人目の素数さん:04/05/30 14:49
>328
「くだらんスレ(30桁略)」
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085828413/4-5


330 :132人目の素数さん:04/06/04 21:59
>326
> sci.mathの最近のある投稿によるとフランスの数学者
> (Michel Balazard of the University of Bordeaux)が
> 証明の致命的な誤りを見つけたらしい。
> page 35のlemma 8だそうだ。

双子素数
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085836534/126

331 :132人目の素数さん:04/06/11 08:39


332 :132人目の素数さん:04/06/16 22:22
分かスレ171にあったYo

618 :jet :04/06/16 21:03
『Mが平方数でない⇒√Mが無理数であることを証明する』という問題です。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1086953552/618

333 :132人目の素数さん:04/06/19 16:59
ある任意に与えられた実数が有理数ではないことを示すことは
一般には無理であることが証明できる。

334 :132人目の素数さん:04/06/23 20:48


335 :132人目の素数さん:04/06/26 17:27
>>57
佐藤大八郎の微分代数的数の理論がある。
p進数体に於ける超越数論もある。

336 :132人目の素数さん:04/06/29 13:27
>無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。
それは無理という物で数。

337 :132人目の素数さん:04/06/30 10:14
>無理数全体をズバッと証明するような議論を教えてください。
自明
前提に無理数とあるから無理数。

338 :132人目の素数さん:04/07/05 18:32
a, b を a, b ≧ 2なる整数とする時、 Σa^(-b^n) [n = 1 〜 ∞ ] が
無理数であることは極めて初等的に証明出来る。
更にこれは超越数であることも証明されている。

339 :132人目の素数さん:04/07/18 00:20
750

340 :132人目の素数さん:04/07/18 10:44
a

341 :132人目の素数さん:04/07/21 01:13
その、佐藤大八郎「微分代数的数の理論」って何処の本屋から出ていますか?
また「p進体に於ける超越数論」は何の本にでているのでしょうか?

教えて下さいませ。

342 :132人目の素数さん:04/07/30 04:56
348

343 :132人目の素数さん:04/08/03 23:56
>>314
>佐藤大八郎「微分代数的数の理論」は論文
>p進体に於ける超越数論
これは成書になったかもしれない。


344 :132人目の素数さん:04/08/05 02:00
ではその佐藤大八郎論文はどうやったら入手できるのでしょうか?
大学の博士論文だったら、普通には売ってませんよね。

p進体に於ける超越数論、もうちの 図書館では見つかりませんでした。

345 :132人目の素数さん:04/08/09 22:54
>>344
論文名ははっきり覚えていない。
佐藤大八郎
は、カナダのサスカチェワン大学
ここで調べたら?

346 :132人目の素数さん:04/08/15 20:47
538

347 :132人目の素数さん:04/08/16 01:04
当たり前だろ。

348 :132人目の素数さん:04/08/16 14:58
>>1
それは無理です。

349 :132人目の素数さん:04/08/19 03:17
「無理数は無理数であるは」トートロジー

350 :132人目の素数さん:04/08/19 03:36
n が素数のとき、√nが無理数であることを背理法によって証明する。

p, qを互いに素な整数として、√n=p/q で表されると仮定する。
両辺を自乗すると、
 n = p^2/q^2
 n*q^2 = p^2
よって p^2 は n の倍数なので、p も n の倍数である(∵nは素数)。
 p = n'*p'
とすると、
 n * q^2 = n^2 * p'^2
 q^2 = n * p'^2
よって、q^2 は n の倍数なので、q も n の倍数である(∵nは素数)。
pもqも共にnで割り切れることになるので、これは p と q が互いに素であるという仮定に反する。
よって n が自乗数でない整数のとき、√nは無理数である。(Q.E.D.)


ここまでは良いのですが、
√2+√3 とか√6 とかが無理数であること、一般化すれば、
「素数の平方根と有理数の四則演算で表される数は、一般には有理数にならない」
ことを示すことは出来るのでしょうか。

351 :132人目の素数さん:04/08/21 08:16
>>350
まったく同様に、 n が平方数でなければ
√n は無理数。

ところで後半だが、 Q 上一次独立という概念はご存知かな。

352 :132人目の素数さん:04/08/28 02:59
179

353 :132人目の素数さん:04/08/28 03:12
>>326
無限和なら無限に発散でしょ?
逆数?

>>306
秋山?一松?


354 :132人目の素数さん:04/08/28 22:11
667

355 :132人目の素数さん:04/08/29 22:43
>>350
それは出来ない。
√2 - √2 = 0.

356 :132人目の素数さん:04/09/04 08:00
871

357 :132人目の素数さん:04/09/04 17:23
無理数論を講究したいですといったら、ジーゲルのような偉才ならいざ知らず、
君には無理だと言われて笑われたが、それは正しかった。

358 :132人目の素数さん:04/09/04 23:35
√2って 1.4142・・と続くけど第n桁目の数字を決定する
アルゴリズムって存在しないの?

359 :358:04/09/04 23:39
ごめん、自分のレス眺めて思ったんだが存在するわけないよね・・。

360 :132人目の素数さん:04/09/04 23:48
>>359
何言ってんだ。
nを入力として√2の第n桁目を計算するアルゴリズムは存在するよ。


361 :358:04/09/05 00:11
>360
ごめん、多分言葉が足りなかった。
nを入力として√2の第n桁目を計算する「算出アルゴリズム」ではなく、
nの関数として第n桁目を決定する式、という意味でいいますた。

362 :132人目の素数さん:04/09/05 00:13
進法による。
√2進法ならすぐにでも求まるであろう。

363 :358:04/09/05 00:22
>362
では√2進法での7の表記はどう表すんですか?

364 :215:04/09/05 00:47
>>361
それは「式」の定義による。
if x=a then f(x) else g(x)のようなものも
xに対して何らかの値を計算する「式」と見なせるわけだし。
逆に式を算術式だけに限れば√や定積分などの式は使えない。


365 :132人目の素数さん:04/09/05 00:51
>>361
>nの関数として小数第 n 桁目を決定する式
超簡単

[10^n * √2] - 10*[10^(n-1) * √2]

366 :132人目の素数さん:04/09/05 00:55
√2を式の中に使っちゃだめだろとあえてまじれす。

367 :132人目の素数さん:04/09/05 00:57
>>351
nが自乗数でない整数の場合は出来ました。
Q上一次独立については分かりません。

>>355
そういう場合を考えて、「一般には」と書いたのですが・・・

>>361
f(n)を√2のn桁目の数とすると、

floor(x) = xを超えない最大の整数
f(n) = floor(10*((10^n)*√2-floor((10^n)*√2)))

368 :367:04/09/05 00:58
かぶったorz

369 :132人目の素数さん:04/09/05 02:06
以下の3つの漸化式を考える。

h(0) = m
f(0) = n-m^2
g(0) = 2m

h(k+1) = [5*(-g(k)+√(g(k)^2+4*f(k)))]
f(k+1) = 100*f(k)-(10*g(k)+h(k+1))*h(k+1)
g(k+1) = 10*g(k)+2*h(k+1)

このとき、h(k) は小数点以下 k 桁目の数である。

370 :358:04/09/05 03:47
>>364
>逆に式を算術式だけに限れば√や定積分などの式は使えない
勿論、無理数のロジックを解明する為にやるのですから、最初から
無理数になる式を含んだら意味がないです。

371 :132人目の素数さん:04/09/05 04:29
>>370
とりあえず何で式の定義の話をしたかというと
ある程度強い表現力を持つ式を使える場合(関数型プログラミング言語等)、
算出アルゴリズムと式の間に違いがなくなってしまうから。
だから
>nを入力として√2の第n桁目を計算する「算出アルゴリズム」ではなく、
>nの関数として第n桁目を決定する式、という意味でいいますた。
という区別をしても意味がない。


372 :358:04/09/05 06:53
>>371
まぁ近似値を求める、という意味では確かに自分の言った区別は
意味ないです。ただしアルゴリズムでも式でもいいですが、
そうした手法はn→n+1→(n+1)+1→・・・という
一つ前の値を知らなければ計算出来ないわけでしょう。
それは数学的には余り意味が無いと思いますよ。

373 :132人目の素数さん:04/09/05 07:39
>>372
どういうこと?
第n桁の数字を求めるのに第n-1桁まで全部計算していようがいまいが
計算が有限ステップで止まるならそれはアルゴリズムと言えるんだよ。
何か勝手に条件を課してるみたいだけどそれならそうと書いてくれないと議論にならん。
数学的に意味がないというのもよくわからんし(多分これも君の中だけの話だろう)


374 :358:04/09/05 07:49
>>373
>第n-1桁まで全部計算していようがいまいが 。
いや、そこが重要な部分なんです。少なくとも自分にはね。
しつこくn桁目の計算に拘るなら有限ではなく「単一の」ステップで
答えを出す方法を教えてくれませんか?


375 :132人目の素数さん:04/09/05 08:15
>>374
さすがに1ステップじゃ無理だろ。まあ言いたいことはわかるけどね。
俺もnの値から第n桁を「直接」求めるような計算方法は知らない。
で、俺としては計算方法より何故君が
>第n-1桁まで全部計算していようがいまいが 。
が重要だと思うのかに興味があるわけだが…。


376 :358:04/09/05 08:30
>>375
そこなんですよ。名前の358から見てもらえればいいんですが、
自分としてはそういう方法は存在しないと直観したんです。
何故なら無限に存在する整数を10個のグループに組み分けする
論理的な方法があったとします。しかし例えそれが一度うまく行ったとしても
今度は10個のグループの並び順もまた無限に存在するという難題に
ぶつかります。ならばいったいそれら無限の組み分けのシステムが
たったひとつの数字によって支配され得るのか、と考えたときに
それは多分無理だろう、という風に思ったから。まぁ証明なんて
高度な事は出来ませんがね。

377 :132人目の素数さん:04/09/05 11:13
(自乗数でない)整数の平方根の n 桁目を1ステップで求めることが出来るなら、
互いに素な2つの整数 p, q の割り算 p/q (q は 2, 5 以外の素因数を含む)をしたときに、
p/q の小数点以下 n 桁目を1ステップで求めることも可能なはず。
しかし、割り算を計算することなしに求めることは不可能。
平方根についても同様だと思われる。

378 :358:04/09/05 12:25
>>377
割り算の場合は一度計算してしまえば、再びやる必要は無いですよね。
無理数の場合はいくらでも大きな要求がある。ただ、割り算の方も
桁数が巨大になって一度計算するのに100万年かかるんじゃ困るけど。(藁)

379 :132人目の素数さん:04/09/05 13:39
>>376>>378
独自の用語が多くて何が言いたいのかわかりにくいんだけど
少なくとも自然数nに√2のn桁目の数字を対応させる写像は(Churchの提唱における意味で)計算可能だよ。
今割り算の例が出てきてふと思ったんだけど、(自然数同士の)割り算の場合は
フェルマーの小定理のような綺麗な関係式を応用することが出来る。
では無理数の場合にも同じようなものがないか、ということを考えてるのかな?


380 :358:04/09/05 14:34
>>379
そうですか、計算可能でしたか。因みにChurchの・・て何の事ですか?
フェルマーの低利も知りません。でもその写像の対応と√3の同じ
対応とは共通性のある写像なんですかね。

381 :132人目の素数さん:04/09/05 15:20
掛け算を知らない人は、数列2, 4, 6, 8, ...の一般項を1ステップで求めることはできない。

382 :132人目の素数さん:04/09/05 15:29
>>381
n桁同士の整数の掛け算に要する計算量は高々O(n*log(n))である。
掛け算を知らなくても、2進法の足し算とシフト演算さえ知っていれば、
p*q を計算するのに p+p+p+・・・(q回)・・・+p+p+p を計算する必要は無い。

指数演算が実装されていない(仮想の)処理系で 3^255 を計算するのに、
掛け算を 254 回も必要としないことは明白。

383 :132人目の素数さん:04/09/05 15:48
>>382
なるほど。じゃ>>358の問題は加減乗除を知っているとき
√2のn桁目がO(n)より小さい計算量で求められるかの問題になるのか。

俺にはわかんね。できそうだけど。

384 :132人目の素数さん:04/09/05 15:59
√m の n桁目を√を使わずに求める式がある。

x_0 = m
x_(k+1) = (1/2)(x_k+m/x_k)
f(n) = [10*(10^(n-1)*x_(m+n) - [10^(n-1)*x_(p+n)])]

ちょっとインチキだけどw

385 :379:04/09/05 20:41
>>384
それだと有理数が扱える必要があるな。
あとx_(m+n)で精度は足りてるのか?4nくらいはあったほうが良さそうだが。
(細かい部分が変なのはおいといて。まあやりたいことはわかる)


386 :132人目の素数さん:04/09/05 20:51
>>385
m=2 の場合でさえ、2回の演算(x_(2+n))で十分。
m が大きい場合は O(log(m))で十分だから、x_(m+n) はむしろ過剰気味。
ちなみに、n が大きくなると、桁数は指数関数的(倍々)に増えるので問題なし。
もっとも、無限に大きい有理数を扱う必要があるけどw

ちなみに、
>f(n) = [10*(10^(n-1)*x_(m+n) - [10^(n-1)*x_(p+n)])]

f(n) = [10*(10^(n-1)*x_(m+n) - [10^(n-1)*x_(m+n)])]
の間違い。

387 :132人目の素数さん:04/09/05 21:15
>>386
ほんとだ。有効桁数O(n)だと勘違いしてたよ…。
誤差ε_kを|x_k-√m|とすると、ある程度大きなnを取れば
ε_(n+l)≒ε_n^(2^l)/(2√m)^(2^l-1)
だから、確かに有効桁数は指数関数的に増えるね。
あと無限に大きい有理数と言っても、このアルゴリズムでは有理数を10進表示で扱う必要ないから
実際には整数のペアが扱えればいいんじゃないかな。


388 :132人目の素数さん:04/09/05 22:00
a(0)=10^n。


389 :132人目の素数さん:04/09/05 23:31
三年。


390 :132人目の素数さん:04/09/06 07:59
↓ここ見れば大体のことがのってるよ
http://www1.odn.ne.jp/setsuna/za_insect.html

391 :384=386:04/09/06 15:05
>>387
>誤差ε_kを|x_k-√m|とすると、ある程度大きなnを取れば
>ε_(n+l)≒ε_n^(2^l)/(2√m)^(2^l-1)
>だから、確かに有効桁数は指数関数的に増えるね。
誤差評価は、x=√m+ε_n とした時の近似式ですね。
ε_(n+1)
= (1/2)((√m+ε_n)+m/(√m+ε_n)) - √m
= (1/2)(√m+ε_n+(√m)*(1+ε_n/√m)^(-1)) - √m
≒(1/2)(√m+ε_n+(√m)*(1-ε_n/√m+ε_n^2/m)) - √m
=(1/2)(√m+ε_n+√m-ε_n+ε_n^2/√m)) - √m
=√m+ε_n^2/(2*√m) - √m
=ε_n^2/(2*√m)
なので、確かにそういう式になりそうです。

>あと無限に大きい有理数と言っても、このアルゴリズムでは有理数を10進表示で扱う必要ないから
>実際には整数のペアが扱えればいいんじゃないかな。
ただ、分母と分子の整数の桁数は非常に大きく取る必要があります。
1億桁目を求めるためには分母と分子が1億桁程度必要になりそうです。

392 :132人目の素数さん:04/09/11 09:46:27
323

393 :132人目の素数さん:04/09/17 01:13:21
227

394 :132人目の素数さん:04/09/22 04:26:36
708

395 :132人目の素数さん:04/09/27 04:39:35
334

396 :132人目の素数さん:04/10/02 23:31:14
997

397 :132人目の素数さん:04/10/07 17:51:35
1/(2^n+3^n)は無理数?

398 :132人目の素数さん:04/10/07 18:35:32
私には無理。

399 :132人目の素数さん:04/10/12 23:09:23
780

400 :132人目の素数さん:04/10/13 23:06:34
2^n/n!
が無理数である事の初等的証明求む

401 :132人目の素数さん:04/10/14 01:50:34
Σ2^n/n! = e^2 は無理数。

402 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/14 16:25:09
Re:>401 そんなことでは分からぬ。
Re:>400
eが無理数であることの初等的証明はできる?([>36-37]参照。)これを応用すれば出来そうだけど。

403 :132人目の素数さん:04/10/14 18:34:06
/(2^n*n!) なら、無理数になるよ

404 :132人目の素数さん:04/10/14 21:07:14
一桁づつあてはまる数を計算していくと
いつまでたっても終わる気配がないんだろうな。
だから多分無理数といえるんだが、証明とはいえん
かもしらん。

√2の証明だけは漏れも知っているが。

405 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

406 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/14 22:02:27
Re:>405 お前何考えてんだよ?

407 :132人目の素数さん:04/10/18 17:02:44
a_n を自然数とするとき、
1/(a_n*n!) は無理数

408 :132人目の素数さん:04/10/18 22:28:48
>>407
a_n*n!が1,1,2,2,4,4,8,8,16,16,…ってなるようにすれば有理数になりませんか?

409 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/18 22:30:01
Re:>408 どうやって?a_nは自然数だ。

410 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/18 22:33:16
Re:>408 a_1=1,a_2=2,a_3=3,…、n=1,2,3,…、という意味だからね。
任意の自然数じゃなくて、1,2,3,…という自然数の意味。

411 :408:04/10/18 22:36:15
ごめんなさい。蚤_n/n!と勘違いしちゃいました。408は取り消して下さい

412 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/18 22:36:59
Re:>410 お前何しに来た?

413 :408:04/10/18 22:37:47
ウォー。糞してる間にレスが付いちゃってるよ。まさに408は糞レス。なんちて。

414 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/18 22:38:58
Re:>412 荒らすな。俺はちゃんと408に説明している。
お前は文句をつけて、荒らしてるだけじゃないか。

415 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/18 22:42:37
Re:>414 お前は何の説明をしてるんだよ?

416 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/18 22:43:58
Re:>415 数学の説明だ。お前はウンコの説明しか出来ないじゃないか。
いいかげんにしろ。

417 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/18 22:46:22
Re:>416 お前はとうとう痴呆が回ったか?これは前からか。もう寝ろ。

418 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/18 22:48:07
Re:>417 頼むから成りすましはやめてくれ。

419 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/18 22:50:24
Re:>418 なりすましをたくらんでいるのはお前ではなくて?

420 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/18 22:51:21
Re:>419 いいかげんにしろよ。おまえ、自分がどんな卑怯なことをしているかわかってるのか?

421 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/18 22:55:36
Re:>420 知らないな。私が何をしていると?

422 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/18 22:56:50
Re:>421 ここまで人のまねをしておいて、その言い草か?卑怯者。

423 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/18 22:58:34
Re:>422 卑怯者はおまえだろが。早く消えろよ。

424 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/18 23:05:20
Re:>423 いいかげんにしろよ。人の真似がそんなに楽しいか?

425 :132人目の素数さん:04/10/18 23:09:44
トリップの出た順から言えば、
1)LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM
2)LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU
3)LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
だな。LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLwが偽者の可能性が高いが、
本物も偽者もどちらにしろ荒らしには違いない。
いいかげん変な遊びはやめろ。


426 :132人目の素数さん:04/10/18 23:12:26
ていうか、みんなKingのジサクジエンじゃねーの?
数学版最大の荒らしだよ。

427 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/19 11:43:26
Re:>424 私が誰の真似をしていると?
Re:>425 私が先だぞ。

428 : ◆BhMath2chk :04/10/19 17:00:00
Σ(1/(n!(n+2)))=1。


429 :132人目の素数さん:04/10/19 18:49:27
やはりKingのジサクジエンか

430 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/19 18:53:24
Re:>429 お前に何が分かるというのか?

431 :132人目の素数さん:04/10/21 15:36:28
           ...,、 -  、∞
      ,、 '  ヾ 、;;;;;;;  丶,、 -、
     /;;;;;;;;;;;  οヽ ヽ;;;;\\:::::ゝ
 ∞ヽ/;;;;; i  i ;;;;  ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
 ヽ:::::l i.ο l;;; ト  ヽ  ヽ .___..ヽο丶::ゝ
 r:::::イ/ l:::.| i ヽ  \ \/ノノハ;;; ヽ
 l:/ /l l.  l;;;;; i  ヽ'"´__ヽ_ヽリ }. ',  ',
 'l. i ト l;;; レ'__    '"i#::::i゙〉l^ヾ  |.i. l
. l l lミ l /r'++::ヽ    'n‐/.} /  i l l / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  l l l.ヾlヽ ヾ:‐°  ,     !'" ♭i i/ i<  このスレ相変わらず
  iハ l  (.´ヽ     _   ./ ◎  ,' ,' ' | 馬鹿ばかりだわねぇ・
   |l. l  ♭ ''丶  .. __  イ  ∫       \_______
   ヾ!  ◎      l. //├ァ 、
      ∫   /ノ! ◆ /  ` ‐- 、
      ◎  / ヾ_  ◎/ ≪≪ ,,;'' /:i
        /King命;` ∬/   ,,;'''/:.:.i\
            というほど馬鹿じゃないわ。


432 :132人目の素数さん:04/10/21 18:22:25
やはり無理か

433 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/21 21:06:30
Re:>429 私は私。誰の真似でもジサクジエンでもない。

434 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/21 21:46:28
Re:>433 じゃあ何で名前が私と同じでトリップも五文字まで同じなんだよ?

435 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/21 22:05:04
RE:>434 はあ?お前がまねしたからだろ?何を言ってるんだか。

436 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/21 22:15:20
Re:>435 2004/10/05 の私の名前を探してみろよ。それとお前の名前も探してみろよ。

437 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/21 22:43:09
何でこの偽者はこう粘着なんだ。

438 :132人目の素数さん:04/10/21 22:51:17
           ...,、 -  、∞
      ,、 '  ヾ 、;;;;;;;  丶,、 -、
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            というほど馬鹿じゃないわ。


439 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/22 09:16:16
Re:>437 お前誰だよ?

440 :132人目の素数さん:04/10/27 12:03:43
475

441 :132人目の素数さん:04/10/29 20:24:30
馬鹿だなもう

442 :132人目の素数さん:04/10/29 21:35:53
背理法じゃないの??

443 :132人目の素数さん:04/10/29 23:20:59
正直>>1のスレタイ文が理解できない。
√2ができるのなら√3もできるだろ

444 :132人目の素数さん:04/10/29 23:22:07
じゃあ、√4 もできるな。

445 :132人目の素数さん:04/10/29 23:45:41
確かに難しい

446 :132人目の素数さん:04/10/30 01:56:58
πが無理数であることをニーブンって人が初等的に証明したと、小平邦彦が書いてた。

447 :132人目の素数さん:04/10/30 07:58:48
>>446
その証明はあまりにも有名だ。
高校の範囲プラスライプニッツで理解できる。
しかし、どうしてそんな解法を思いついたか裏側が全く見えない。

448 :132人目の素数さん:04/10/30 09:56:09
要するに>>1
「π+e」とか「π×e」とかにも使える無理数の判定法を教えて欲しい
と言ってる訳か?

449 :132人目の素数さん:04/10/30 15:21:29
>>448
それは未解決の大きな問題の一つ
π, e は Q 上代数独立か
という問題に繋がる。
リーマン予想と同程度(以上?)に難しい

450 :448:04/10/31 10:19:39
いやそんなこと知ってるってw

451 :132人目の素数さん:04/10/31 11:26:10
あの背理法をつかえば√4も無理数
になりそうなんだけど・・・

452 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 11:44:08
互いに素である正整数a,bによって√(4)=a/bと表せたとしよう。
このとき、a^2=4b^2=(2b)^2が成立する。よってa=2b.

453 :451:04/10/31 11:46:18
>>452
なるほど。

454 :132人目の素数さん:04/10/31 11:55:03
>>452
  a=2bは互いに素である正整数a,bという
 前提に反するから√(4)は有理数ではなく
 無理数ってか?

455 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 12:21:31
Re:>454 a=2,b=1.

456 :132人目の素数さん:04/10/31 12:24:41
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457 :132人目の素数さん:04/10/31 12:27:33
>>455
この場合は1は素数扱いなのか?

458 :132人目の素数さん:04/10/31 12:28:55
>>457
???

459 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 12:31:48
Re:>457 整数a,bが互いに素であるとは、a,bの最大公約数が1になること。(他にa,bが0でないことも要る?)

460 :132人目の素数さん:04/10/31 12:32:48
Kingさん使ってください。

             |二二二二二二二二二二二二二
             | |         |        | |
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461 :132人目の素数さん:04/10/31 12:34:30
a,bがともに素数である
と読み違えていたとか?

462 :132人目の素数さん:04/10/31 12:35:48
Kingさん使ってください。

             |二二二二二二二二二二二二二
             | |         |        | |
             | |         |        | |
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  \           . ̄~~| ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄'~| ̄            /  
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463 :132人目の素数さん:04/10/31 12:37:56
互いに素であるの一方が一なのはちょっと

464 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 12:38:35
環Rにおいて、a,bが互いに素であるとは、(a)+(b)がRになることだった。
この定義によると、Zの1,0も互いに素である。

465 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 12:39:07
Re:>463 それでもやはり互いに素。

466 :132人目の素数さん:04/10/31 12:39:57
Kingさん使ってください。

             |二二二二二二二二二二二二二
             | |         |        | |
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467 :132人目の素数さん:04/10/31 13:02:44
>>464-465
誰だよお前


468 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 13:04:01
Re:>467 名無しがそんなことを訊いてどうするのだろう?

469 :132人目の素数さん:04/10/31 13:07:05
管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請
管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請
管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請
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470 :132人目の素数さん:04/10/31 13:07:54
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471 :132人目の素数さん:04/10/31 13:08:19
>>464
条件(a),(b)≠Rがいるんじゃね?

472 :132人目の素数さん:04/10/31 13:11:39
全然いらないよ

473 :132人目の素数さん:04/10/31 13:12:00
>>468
何を生意気な。イカレタコテ使ってる奴がナニをいうか

474 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 13:14:41
Re:>471 a,bが単元であって困ることってある?

475 :132人目の素数さん:04/10/31 13:16:02
Re:を使う奴は荒らし

これ定説なり

476 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :04/10/31 13:18:35
Re:>475 お前は他の板に行くといいだろう。

477 :132人目の素数さん:04/10/31 13:20:05
Kingさん使ってください。

             |二二二二二二二二二二二二二
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478 :132人目の素数さん:04/10/31 13:21:53
>>476
そんなこと今日現れたお前に指図されることはありえない。

荒らしのお前が行け

479 :132人目の素数さん:04/10/31 13:24:39
King、早くしないとお前の存在は抹消される。

480 :132人目の素数さん:04/10/31 19:16:35
>>479
お前こそ早く氏ね

481 :132人目の素数さん:04/11/01 12:19:43
>>479
死ね氏ね

482 :132人目の素数さん:04/11/03 10:11:32
Kingの自演ウザイ

483 :132人目の素数さん:04/11/08 00:55:27
123

484 :132人目の素数さん:04/11/14 15:39:36
566

485 :132人目の素数さん:04/11/14 16:49:41
                    _,,..、-―-- .,
                  ,..-''"        `ヽ
  三|三           ,. '"    _,,... - __    ヽ、     
  イ `<        /    ,..=-‐''~ ̄_ ~'''- 、   ヽ
   ̄         , ′    /,,..-'''"~ ̄::: ̄~'''-ヽ,  ヽ     _|_
   ∧       /    ,、'7:::,:'//:::,:´/∧::、:::゛,:::::ヽ、 ゙',     |_ ヽ
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           l ........./n,V:;l;j]トi、」ト:{:{   }!}」j:,l!:}:::!l:゙, ...〉
  └┼┘    ゛, .......,';「rll:´kr_テ'::「` | ヽノ_」Lメl::;;ll!l:l./     _ヽ_∠
  .|_|_|     ゛、../ ハ l!::l| 「!-'lj    r'::/`/イ,:ノノ |!'     lニl l |
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    -'   ,. '"',イ;'::/;/;;;-'"(⌒ヽ ,,_!ヽ、;;;:!:::!::| ヘヽ
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    .,-'":;; ',/,,',.-<     ゙'〈  '",-'┐ ,,'"ス、  ゙;:、、、
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../"/:;;/ '‐'/,「`ヽ、 ` 、 = __  ゙、   'v'"/`、' 'l  ',::', ヾ、
l' /::;'"  ,.:';:"/;;!   `.ー、~''ーニ.,ハ,   ハ'"   ヽ, ゙,  !::;!  ヾ!
 !:/  /:/ /:/;ト、   ...゙, |   _| \_,ノ::.\= 、._ l ,!、  l::;!  ll
 !:!  ,//' /::/::ハ ',..   ゙',l ,-',-ト、  `'ー-、ヽ, 7./l ト`、, !ノ  丿
 '、 // /:/:,/_,,l ゛、..   ゙',. ヽ:Vヾ、、、_    ~///,ノ l;;:',ヾ'
   /,' ,!::/!ll`i;;;| ヽ..   ヽ `/:  ヽ ニニ‐=/ノr' ,' l;!l,:l 'ヾ;、
  ,!:!  !::l'l:!l::!;;:::ハ   ヽ、.  ソ' :   ........,~7,  ,l / !;;!ll!! ヾ;、


486 :132人目の素数さん:04/11/16 22:47:45
やめとけ馬鹿

487 :132人目の素数さん:04/11/19 01:02:36
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに独創的な人。それが必要条件よ。
      |      ` -'\       ー'  人          さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
    |        /(l     __/  ヽ、
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
   |     /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
   |    |/::::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
    |   /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/


488 :132人目の素数さん:04/11/27 02:34:27
339

489 :132人目の素数さん:04/12/04 13:04:24
885

490 :132人目の素数さん:04/12/11 06:11:14
130

491 :132人目の素数さん:04/12/18 14:20:07
821

492 :132人目の素数さん:04/12/19 08:20:06
474

493 :132人目の素数さん:04/12/24 03:25:30
確かに難しい



494 :132人目の素数さん:04/12/24 03:26:21
真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな 荒らしは

 〜〜〜終了〜〜〜
 
ageるな馬鹿タレ

495 :132人目の素数さん:04/12/29 08:43:27
小平邦彦が書いてた

496 :132人目の素数さん:05/01/28 16:51:09
小平邦彦が書いてた


497 :132人目の素数さん:05/02/08 23:50:55
小平邦彦が書いてた

498 :132人目の素数さん:05/02/10 19:36:43
小平邦彦が書いてた

499 :132人目の素数さん:05/02/18 00:04:15
843

500 :132人目の素数さん:05/02/18 00:07:46
小平邦彦が書いてた

501 :132人目の素数さん:05/02/27 10:43:03
807

502 :132人目の素数さん:05/03/09 23:43:43
386

503 :132人目の素数さん:05/03/15 02:33:29

rational number とは、「比になる数」、「比で表せる数」ということで、
整数の比として表せる数のことを意味した。
ir−rational number とは、「比にならない数」、「比で表せない数」という
ことである。
ところが、明治に翻訳するときに、「rational」を「理が通った」「合理的な」
という意味の側に(それもまったく無縁ではないが)取ったために、
有理数、無理数という訳がつけられて広まってしまった。

本当は、有比数、無比数あるいは非比数とすべきであったのだが。

504 :132人目の素数さん:05/03/15 02:34:35
さんざん既出

505 :132人目の素数さん:2005/03/26(土) 12:27:31
293

506 :132人目の素数さん:2005/04/07(木) 22:39:17
797

507 :132人目の素数さん:2005/04/07(木) 22:49:21
>>503
しかし、ピタゴラスの考え方から言って、
「有理」という言葉は自然に思える。

508 :132人目の素数さん:2005/04/26(火) 15:48:31
163

509 :べーた LVβ5 402 403 407 410:2005/04/26(火) 16:23:31
証明できないから無理数なのでは…?
証明の最後に、
よって証明できないので…とか似たようなのが出てきそう。てか出るだろ。

510 :132人目の素数さん:2005/04/26(火) 16:35:53
「悩みが何も無いことが悩みだ」
「しかしそれが悩みだとすると悩みがあることになる」
「悩みが無いという悩みは打ち消される」
「悩みが無くなる」
〜繰り返し〜

511 :132人目の素数さん:2005/04/26(火) 16:41:15
証明できないことを証明するのも証明なんだよ

512 :べーた LVβ5 402 403 407 410:2005/04/26(火) 16:45:10
>>511
無理数ですよ?扱えない数ですよ?
証明できないからこそ無理数じゃん。

513 :132人目の素数さん:2005/04/27(水) 23:24:15
そんなことよりも
誰か早くオイラー・マスケロニの定数が
無理数であるかそうでないか証明してください。


514 :132人目の素数さん:2005/05/14(土) 13:32:12
630

515 :BlockKnightOffline ◆yPnpjLO5jE :2005/05/14(土) 15:29:10
>>512
オレが書こうとしていたこと書いてるんじゃねーよべーた!

πが無理数なのは自明じゃん。
数直線に対する円を見てればすぐわかるじゃん。円は異次元の蓋なんだよ。

516 :132人目の素数さん:2005/05/14(土) 15:32:59
同一人物にみえるのは気のせいか?
「お前は俺か」というべきw 

517 :132人目の素数さん:2005/05/19(木) 01:40:21
age

518 :132人目の素数さん:2005/06/19(日) 18:21:10
446

519 :132人目の素数さん:2005/07/14(木) 22:43:27
663

520 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 10:27:55
r

521 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 16:23:58
age

522 :秋△仁:2005/08/05(金) 20:10:04
>>1 Qの補集合で定義されてる。

523 :132人目の素数さん:2005/09/05(月) 23:31:30
四年。


524 :132人目の素数さん:2005/09/06(火) 13:31:07
造反有理!

525 :525:2005/09/06(火) 21:03:48
5=√(25)


526 :132人目の素数さん:2005/09/15(木) 21:50:01
整数係数の方程式の解が整数か無理数になる定理を示せば
√nとか√n+√mが無理数って簡単に示せる。
これの簡単な証明と、πとeが無理数、超越数である証明は
ハーディーとライトの数論入門(\4200)に載ってる

527 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 12:30:54
768

528 :132人目の素数さん:2005/10/20(木) 20:18:45
age

529 :132人目の素数さん:2005/10/20(木) 21:30:52
●「10桁で終了」 円周率ついに割り切れる

 無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた。千葉電波大学の
研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに誤りがあったことを発見。
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って改めて計算し
なおしたところ、10桁目で割り切れたという。10桁目の最後の数字は
「0」だった。

 千葉電波大学の研究グループの発表によると、円周率計算に際し、改めて
既存の円周率計算プログラムを点検してみたところ、円周の誤差を修正する
数値に誤りがあることに気が付いた。この数値を正常値に直して計算しなお
してみたところ、円周率は10桁で割り切れたという。

 同大の発表では円周率は「3.151673980」。3.1415・・
・と続く、従来考えられていた数値は全くの誤りで、早急に修正が必要だと
いう。また、これをうけて円周率暗記記録のギネス認定(5万4千桁)も取
り消される見通し。

http://www.f7.dion.ne.jp/%7Emoorend/news/2005020901.html

530 :132人目の素数さん:2005/10/20(木) 22:01:07
俺が俺であることを証明するには、どうすればいいのか。

531 :132人目の素数さん:2005/10/30(日) 12:23:07
俺でなければ俺でないことを示せばおk

532 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 10:54:19
707

533 :132人目の素数さん:2005/12/24(土) 21:02:34
320

534 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 04:20:31
754

535 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 17:30:54
無理が通れば、有理が引っ込む

536 :132人目の素数さん:2006/01/23(月) 12:57:41


537 :132人目の素数さん:2006/01/31(火) 03:41:02
age

538 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 08:11:40
132

539 :132人目の素数さん:2006/02/22(水) 04:54:40
数学板って過疎だっけ?

540 :132人目の素数さん:2006/02/22(水) 22:11:11
>>1
スレタイより
「無理数が無理数であることの証明」

…「無理数は無理数である」は明らかじゃないか?

age足取り須磨祖

541 :132人目の素数さん:2006/02/27(月) 19:42:17
そういう揚げ足取りはとっくに既出なのだが

542 :132人目の素数さん:2006/03/01(水) 00:22:12
>>541
スレタイ読んで条件反射しちゃったニューフェイスなんでしょ。
気持ちは分かるからそっとしておいてやれ。

それにしても初出が(>>289を除いて)>>315ってのはすごいな。みんな優しいね。


543 :132人目の素数さん:2006/03/01(水) 21:44:05
age

544 :造反無理:2006/03/14(火) 02:14:22

πが無限小数化されて絶対に循環を始めないという保証はあるのですか

545 :132人目の素数さん:2006/03/14(火) 04:03:37
>544
循環するなら有理数

546 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 14:22:39


547 :132人目の素数さん:2006/03/32(土) 15:35:46
00010203040506070809010011012013
014015016017018019020021.。。。。。
095096097098099010001010102.。。。。

548 :132人目の素数さん:2006/03/32(土) 16:32:10
答えはでないのですか?

549 :549:2006/03/32(土) 19:30:46
5=√4+√9


550 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 19:55:42


551 :132人目の素数さん:2006/04/23(日) 14:29:30
0.1234567891011…が無理数ってこと証明してくださいヲ

552 :Emperor:RootOfAnarchyConversion ◆2i2T.RCSQo :2006/04/23(日) 15:10:16
revelation:>>551 小数部分を無限等差数列と定義するのですか?

553 :132人目の素数さん:2006/04/23(日) 20:47:32
そのあとの計算がわからないんですよ
教えてください

554 :Emperor:RootOfAnarchyConversion ◆2i2T.RCSQo :2006/04/23(日) 21:11:04
revelation:>>553 lim[n→∞]nは無限大に発散するのですから、循環はしません。
1,2,3,4,5,…,n,…
計算と言われても私にはわかりません。

555 :132人目の素数さん:2006/04/24(月) 12:31:14
任意の自然数の桁数を表す式がないと難しいな。

556 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 21:03:39
410

557 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 12:40:24
324

558 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 00:32:30
187

559 :132人目の素数さん:2006/07/21(金) 19:22:33
king氏ね

560 :ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw :2006/07/21(金) 19:26:06
talk:>>559 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

561 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 17:45:41
658

562 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 16:05:17
153

563 :132人目の素数さん:2006/09/05(火) 23:31:30
五年。


564 :132人目の素数さん:2006/10/01(日) 19:38:52
age

565 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 23:17:52


566 :132人目の素数さん:2006/11/12(日) 23:20:19
282

567 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:31:03
五年七十四日。


568 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 21:43:25
age

569 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 22:16:02
>>551はU数でない超越数

570 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 11:42:43
737

571 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 10:58:38
182

572 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 12:39:23
>>1
無理数であることがわかっているならば、
改めて証明を与える必要はないでしょ

573 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 12:40:53
>>572
彼は当時高校3年生だったが今では大学卒業して就職してる。
許してやってくれ。

574 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 18:58:38
泣いた

575 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 12:34:20
。゚(゚´Д`゚)゜。ウァァァン

576 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/01/17(水) 00:12:27
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

577 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 01:09:11
>>576
早野乙

578 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 15:09:30
人の脳を読む能力を悪用する奴とkingとにょにょを潰せ。

579 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/02/05(月) 15:52:04
talk:>>578 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのが先だ。

580 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 15:53:36
>>579
脳を読まれているのにどうやって潰す?

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