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教えてください

1 :ゆう:2007/02/17(土) 23:51:00
力を貸してください。
このような問題が出されました。
辺の長さが整数で(縦、横)=(N,M)のある長方形(正方形も含む)があります。
左下の頂点をA,左上の頂点をB、右上の頂点をC,右下の頂点をDとします。
A、B、C、Dに穴をあけてビリヤード台のようにします。
今Aから右斜め45゜の角度でボールを打ち出します。壁に当たると反時計回りに90゜回転し跳ね返るとします。
たとえば(N、M)=(5,5)ならばCに、(4,5)ならばBに、(3,2)ならばDにボールは落ちます。
ここで問題です。
1.Aにボールが落ちることはあるでしょうか???
2.B、C、Dにボールが落ちるときは長方形がどのような場合でしようか???
1.)は落ちないことは直感的にそうなんじゃないのかなと思ったのですが、証明の仕方が分かりません。
2.)は縦:横=偶数:奇数の時はB、奇数:奇数の時はC、奇数:偶数の時はDに落ちます。
偶数:偶数の時は最大公約数で割った時の比が上記のどれになるかでB、C、Dにわかれます。
ここまで分かったんですが、証明の仕方がよく分かりません。また他の判別法はあるでしょうか???
どうか力を貸してください。お願いします

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