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集合論の次に来る物

1 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 13:29:39
今の数学は集合論を基礎にしていると言われたりする
これは30年後も50年後も100年後も続いてるのかね

2 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 13:34:23
文化も文明は滅びるものである!
たとえどんな真理であろうとも省みられなくなる…
100年後のことはわからない…

3 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 13:35:59
はじめにことばがあった。ことばは神である。

しかしすでにことばさへ滅びかけている…


4 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 13:46:51
この擦れはほろんた!

5 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 14:06:00
数学の歴史からの観点としてみると
今の時代は、たまたま『集合論』が基礎になっている。と思ったほうが良い。

例えて言うなら
今の日本の政治は自民党・公明党の連立政権だが
戦前・戦中時は軍事独裁政権だったわけだ(今の北朝鮮みたいな)
さらに過去に遡ると異文化を受け入れない鎖国していた時代もあった。

数学も幾何学が基礎だった時代が長く続いていた。

鎖国:幾何学
軍事独裁政権:数学基礎論
自民党:集合論
(あくまで例えだが…)

だから、集合論よりも優れた、ある数学的理論が発明発見・開発されて
それが数学の基礎に確立するかもしれない可能性も否定できない。
あなたが、その数学的理論の創設者になるのかもしれない。

それが今日明日なのか、1000年後、2000年後なのかは
誰も分からない。

6 :にょにょ ◆yxpks8XH5Y :2007/01/17(水) 14:06:54

 今だ!4ゲットォオ
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄∨ ̄ ̄ ̄       (´´
     ∧∧   )      (´⌒(´
  ⊂(゚Д゚⊂⌒`つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
        ̄ ̄  (´⌒(´⌒;;
      ズザーーーーーッ


7 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 14:54:40
>>5の意見は例えの部分以外は分かりやすかったです

8 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 17:17:36
圏論はどうなの?

9 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 19:53:35
ブルバキでは、集合論の次は代数だったね。

10 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 19:56:56
>>9
普通、集合の次は位相、そして測度だろ。

11 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 20:48:10
ttp://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/math/welc.htm

12 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 21:24:13
>>8
Mac Lane がそんな様な事書いてるな。

13 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 21:42:40
ttp://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/math/welc.htm
>また、筆者は十分な数学的知識をもっている。(筆者は東京大学卒)
これは何のギャグだよ…

14 :11:2007/01/18(木) 22:47:26
>>13
結構マトモなこと書いてあるよ。前半(Newがついてないやつ)には区体論の概略が、後半(Newが
ついてるやつ)にはその詳細が書かれている。1つ困るのは、文脈から察するに、前半と後半が
書かれた時期が大幅に違っていること。前半の主張が、後半では撤回されていることが多々ある。
従って、前半は あまり読まない方がいい。かといって、後半だけ読んでもワケワカメなので、
前半も やっぱり読まなければならない。俺は全部読んだ(二人の討論メールは除く)。

15 :11:2007/01/18(木) 23:29:12
ついでに、>>11のサイトのレビューしてみる。ちなみに俺は
基礎論について全然知らないので、真に受けないでね。

まず、区体論には、公理1〜7+公理8の区体論(区体論Iとする)と、公理1〜7+公理9
による区体論IIの2種類がある。俺が読んだ限りでは、区体論Iの方は、
・「物の集まり」という概念を「⊂」だけで特徴づけている理論
だと思う。集合論では、「物の集まり」の特徴づけに「⊂」と「∈」の2つを使って
いる感じ(実際は「集合」「∈」「⊂」の3つが互いを互いに特徴づけているかな)だけど、
区体論Iでは「⊂」だけで特徴づけに成功している。それどころか、区体論Iでは、「∈」
という概念もまた「⊂」によって特徴づけられている(公理8による。詳しくは<発展編>
にある)。つまり、

集合論:「物の集まり」という概念を、「⊂」と「∈」で特徴づけている
区体論I:「物の集まり」という概念と「∈」という概念を、「⊂」で特徴づけている

という感じ。発展編によれば、区体論Iは集合論とほとんど同じものになるようだ。
で、区体論IIの方はというと、これもまた
・「集合」という概念を「⊂」だけで特徴づけている理論
なんだけど、こちらでは「∈」という概念を完全に否定している(公理9による)。つまり、

区体論II:「物の集まり」を、「⊂」で特徴づけている。「∈」という概念はナシ

という感じ。「∈」の否定は「点」の否定であるから、区体論IIは、「物の集まり」を
「点」で捉えていた従来の理論(集合論)からの脱却に成功している。それでいて、
「物の集まり」を記述することが出来る。これは かなり凄いことじゃないかな?

16 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 23:35:59
全部正しいとして、その利点は何よ

17 :11:2007/01/19(金) 00:01:41
>>16
そんな、どこぞのお役所みたいな単細胞なこと聞かれてもなぁ(^^;
従来は、「物の集まり」という概念を記述するのに集合論という視点しか
なかったのに、区体論という、別の視点が出てきたわけでしょ?具体的に
何の利点があるのかは知らないけど、物理なんかでは、集合論に対して不満を
持っている人がいる(「点」の概念によって「物の集まり」を認識するのは
正しいのか?とか)みたいだし、何か利点はあるんじゃないの?

18 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 03:03:35
利点が具体的にあがらないならあまり意味がないような。
ただ新しい見方ってだけなら世の中にはいくらでもあるし。

19 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 08:06:44
他人から利点を提示されなければ魅力を感じないような
受動的な人間は、数学の研究には向いてない。

20 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 10:26:33
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~sato/essays/shorts.html
ここで>>11のページにあったミス、及び
ミスが無くなった所で残る欠点が解説されてるな

21 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 12:03:59
>>15
喪前は公理的集合論をちゃんと理解していない。公理的集合論の
展開に必要な函数記号は、原理的にはε記号「∈」のみだ。包含記号
「⊂」は論理式の可読性を高めるために人間用に導入されるもので、
本来必要はない。こんなことも、分かっていないような人間が集合論について
あーだ、こーだ言ったところで何の価値もない。基本からやり直すことだ。
発展をやるようなレベルには達していない。

22 :11:2007/01/19(金) 13:02:31
>>21
あー、そうか。A⊂Bの定義はa∈Aならばa∈B だもんな。
>こんなことも、分かっていないような人間が集合論について
>あーだ、こーだ言ったところで何の価値もない。
俺への批判は構わないけど、それは>>11のサイトへの批判にはならないから、
俺と>>11を同一視するのはやめてネ。

>>20
それ読んだけど、最後の批判がAug,2005だね。時期的に言えば、>>11のサイトで
後半(Newがついているやつ)がまだ書かれていなかった時の批判。つまり>>20
サイトの人は、前半への批判をしているということになる。>>14でも書いたけど、
前半の主張は、後半では撤回されていることが多々あるので、何とも言えん。
>>20のサイトの人は、後半部分については まだ批判してないようなので、どうなのかね。
ちなみに、後半部分はサイトの著者の他に「今井××」なる人物の手助けによって成り
立っているので、「どうせ後半も前半と同じだろ」とか思わないでね。

23 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 15:03:38
>>5
ツマランたとえだな。

そもそも集合論は数学の記述言語とはいえても、基礎ではない。
数学の基礎付けは、ゲーデルの不完全性定理によって
ほぼ壊滅したといっていい。

で、集合論の解釈も一義的ではないことは、スコーレムによって
示唆されてはいたが、コーエンのフォーシングによって数学界では
ほぼ常識化したといっていい。

24 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 15:12:34
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/nando/math2/mail_00.htm
>( ※ 「今井XX」は、仮名である。ネット上で有名な「今井弘一」氏とは異なる。
>    本稿の古いバージョンでは、この点を間違って記述したので、お詫びして訂正します。)
例の今井じゃないのか。ホントかいな。一応信じておくか

25 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 15:22:23
>>24
>例の今井じゃないのか。ホントかいな。一応信じておくか
二人の討論メールを読めば分かる。絶対に違う人。

26 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 15:28:56
平面射影幾何学で空間の基本要素として、点の代りに直線を、
空間射影幾何学で、点の代りに平面を、n次元射影幾何で、
点の代りに超平面を取る様なもんじゃろう。双対的にな。さほどの新味はないて。

27 :11:2007/01/19(金) 16:30:15
>>26
公理1〜7+公理8の区体論は集合論と双対的だろうけど、
公理1〜7+公理9の区体論は双対的じゃないと思う。

28 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 19:03:33
区体論ってトンデモで有名なやつか。

区体論で検索すると、色んな人に馬鹿にされまくってるね。

29 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 23:30:54
区体論について、以下のサイトで公理系を見た:
http://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/math/welc.htm
この公理系は、ざっと見た限りでは、集合論 ZF に埋め込むことができると思うのだが。

30 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 23:42:23
>>19
価値を感じないのに一々考えるわけがないだろw
使い道が有ると思うならそう思う側が示せばすむこと。
示せないならその程度。

31 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 23:45:41
区体論の中の人は、区体論だけならまだしも、
量子力学とかでもトンデモ理論を展開してるから困る

32 :29:2007/01/19(金) 23:50:09
訂正:
ZF でなくて BG でした。

33 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 23:54:43
俺は東大出だ。だから信用しろっていうのが嫌味で怪しい。
東大出には、Dr.中松のようなトンデモ系の詐欺師がいっぱい居るからな。

34 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 23:59:26
別に東大出だからと言って、論理体系の価値・無矛盾性などとは
関係ないと思う。要は、自分で判断すること。
まあ、出身大学の名前を声高に宣言すること自体、
鼻持ちならないものではある。(←三流大学卒のヒガミ)

35 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 01:57:18
しかし、>>11 >>29 の区体論の公理系、
任意の集合のべき集合にそのモデルの構造を
定義できるのだが。

そういう意味で、あまり生産的ではない公理系だと思う。

36 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 11:46:57
(1)定義・公理からなる形式系から機械的に証明を行うのを数学と考える。
(2)今の数学の命題の殆どは集合論で考える事にする。
(3)集合論の公理を具体的に検討する。

区体論は動機を見る限り(3)の段階のみをいじる域を出ないから
どんなに成功しても集合論がver.upするだけだな

37 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 11:48:26
(1)の段階から徹底的にいじっていかないと
数学の基礎は変わらんと思う

38 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 11:52:48
今の段階の区体論からは、2つ以上の対象の存在を証明できない。
実際には、集合論がクオリティ・ダウンしている。

39 :38:2007/01/20(土) 12:19:31
>>38 補足
公理1〜8、及び公理10の下で。

40 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 12:19:36
5 に書いてあることは一見正論風だが、全く見落としていることがある。
数学的知識が 19 世紀から増えていること、また集合概念が、認識として、
また抽象概念の把握に関して、自然なものと認められたこと、このような
ことを考えるならば、5 に書いてあること表面的な考えに過ぎない。
例えていえば、何の定理も証明していない人間が、他人の証明したことに
ケチをつけるようなものだ。

41 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 12:25:39
集合論や圏論より使いやすい数学記述言語を発明したんなら、
是非実例つきで紹介してくれ。本当に使いやすいんなら、直ぐ使うよ(w

42 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 16:05:17
結局、埋め込めるのでしょうか。>>29
だれか専門で勉強している人でしっかりと確認した人はいないのでしょうか。

43 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 16:09:54
>>42
ただ、しっかり確認した、と聞いて君は納得するのかい?
それじゃぁ納得しないからと詳細を聞いて君は理解できるのかい?

44 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 16:19:54
>>21
まあε記号というと普通はいわゆるBourbakiで言うところの
ι記号を指すわけですが。

45 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 16:21:49
区対論については

ttp://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~sato/essays/shorts.html

に書いてあるけど、この人は数学の研究してるのかね。

46 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 17:19:25
凶体論マンセーの人

1)凶体論の集合論によるモデル
2)集合論の凶体論によるモデル

の存在証明をTeXで打ってネットにあげてよ。

47 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 17:24:58
>>43
初心者な者で、まず詳細を聞いてみないと分かりませんが。
詳細を聞きたいものです。

48 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 17:36:45
>>46
「凶体論」って何?

49 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 19:02:07
>>48
凶 → 区

50 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 19:31:30
>>44
ε(帰属)関係記号をε記号と書いてしまったのだろう。ヒルベルトのιは関係じゃない
ので、関係と書けばまぎれない。

51 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 19:33:58
>>50
すまん間違えた。ιは関数なのでこれもまた関係。帰属関係が関数関係
でないだけの事ですた。

52 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 19:40:00
区体論のモデルの構造は、任意の集合 E のべき集合 F 上に定義できる:

⊂ は普通の包含関係で解釈し、Ω は E で解釈し、
φ は空集合で解釈する。
すると、アトムは、E の一元部分集合で解釈される。
Ψ(x) を、アトム変数の論理式とするときの、
∀x ( Ψ(x)∧xはアトム ⇔ x@P )
なる 区体 は、Ψ(x) を満たす E の一元部分集合 x の全体の合併で解釈される。
合併・共通分・差の解釈は明らか。

こんな具合に、仮表示形の区体論の公理系1〜8、および10
は、F を正規モデルとして持つ。

特に、E を空集合とすることにより、上記の区体論からは、
2個以上の対象の存在を証明することはできないことがわかる。

また、以上の議論から、集合論 ZFC は、区体論と同値ではなく、
区体論の中に ZFC の正規モデルを構成することも不可能なこともわかる。

53 :52:2007/01/20(土) 19:49:51
訂正:

○ ∀x ( Ψ(x)∧xはアトム ⇔ x@P ) なる 区体 P は、

× ∀x ( Ψ(x)∧xはアトム ⇔ x@P ) なる 区体 は、

54 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 20:03:59
>>52
公理1〜7+公理9の区体論の場合は?

55 :52:2007/01/20(土) 20:14:33
>>54

公理9が入るとわかりません m(_ _)m
勉強不足なんで。ただ、この場合、ZFC に正規モデルを作るとなると、
相当病的なものになると思います。

僕の考えでは、公理9を「無限公理」として扱うのであれば、
定式化を別のものにしたほうがよいと思っています。

56 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 20:46:08
公理1〜7、9 の場合の正規モデル M(概略だけ示します。)

今、有限順序数の任意の集合 A に対し、γ(A) を、A に現れる順序数で、偶数番目に現れるもの全体とする。
すなわち、A の元を 小さい順に n(1), n(2), ・・・と表示したときの、
n(2k) ( kは自然数 ) の全体を γ(A) とおく。γ'(A) は、A における γ(A) の補集合とする。
いま、ω を有限順序数の全体とし、I(1) = {ω}とおく。
ω の部分集合からなる有限集合 I(k) が、帰納的に k=n まで定義されているとする。
このとき、I(n+1) は、A∈I(n) に対する γ(A) の全体と、A∈I(n) に対する γ'(A) の全体 の全体との合併とする。
I を n が自然数の全体を動くときの I(n) の合併とし、
M を I の元の有限個の合併(0個の元の合併は空集合とする)の全体とする。
M の元の 包含関係は通常通りに解釈し、合併、共通部分、差もまた然り。
任意の A ∈ M に対し、A が空でないときに、A を 互いに交わらない
空でない、M の元である2つの集合 β(A) と β'(A) に分割できることを示さなくてはならない。
M の作り方から、A は、I の元 A(1),..., A(n) の disjoint union として
( A(1),...,A(n) の順序を除いて )一意に表せる。
そして、β(A) は、γ(A(1)),...,γ(A(n)) の合併、
β'(A) は、γ'(A(1)),...,γ'(A(n)) の合併とおけばよい。

以上で M は公理1〜7、9のモデルになる。

57 :56:2007/01/20(土) 20:49:20
>>56
訂正
○ A∈I(n) に対する γ'(A) の全体との合併とする。
× A∈I(n) に対する γ'(A) の全体 の全体との合併とする。


58 :56:2007/01/20(土) 21:15:50
>>56
再び訂正

× I の元 A(1),..., A(n) の disjoint union として
  ( A(1),...,A(n) の順序を除いて )一意に表せる。

○ I の元 A(1),..., A(n) で、これらのどの有限個の合併も
  I に入らないようなものの disjoint union として、
  ( A(1),...,A(n) の順序を除いて )一意に表せる。

・・・むずかしいです。まだ間違いがあるかもしれない。

59 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:18:44
>>52
とすると、やはり区体論は、
集合論よりも真に弱い(というか遥かに弱い)理論ってことか

区体論に仮に大した誤りは無いとしても、
区体論はただの役立たずな理論って結論でいい?

60 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:20:56
いいよ

61 :52:2007/01/20(土) 21:28:11
>>59

誤解を恐れずに言えば、Yes。

とくに、公理1〜8、10 は貧弱そのもの。
これらの公理に新しく公理を追加して、
よく知られた、類についての理論(BG よりも強くなる)
を作ることもできるが、そんな手順を踏むくらいなら、
はじめからスタンダードな方法(集合論的な方法)で
類の理論を構成したほうが良い。

公理系1〜7、9はある意味病的で、それは >>56 で構成した
モデルを見てもらえればわかると思う。

どちらの公理系も、無矛盾ではあるが、貧弱な理論です。

62 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:30:04
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/nando/math2/partps2.htm より抜粋。

一方、半玄人の人々は、こう批判する。
「区体論の体系は、集合論の体系よりもずっと弱い。ゆえに、集合論に比べて、無意味である」
この批判は、前半(集合論の体系よりもずっと弱い)は正しいが、後半(無意味である)は正しくない。
そのことは、(2) からわかるだろう。この批判は、見当違いであるのだ。なぜか? 彼らの勘違いの
前提は、次のことにある。
「区体論は集合論と等価である体系であるはずだが、そうはなっていない」
これは、根本的な勘違いだ。ここで、はっきりと強調しておくが、正しくは、次のようになる。
「区体論は集合論と等価である体系ではない」
区体論の位置づけは、「集合論に代替するべき体系」ではない。ごくおおざっぱに言えば、そう言っても
いいのだが、正確に言えば、両者の位置づけはかなり異なる。では、位置づけは、どう異なるか?それは、
かなり面倒になるので、この文書では説明せずに、「発展編」の方の文書で説明する。ともあれ、ここでは、
次のことを理解しておいてほしい。
「区体論の位置づけは、集合論の位置づけとは、いくらか異なる」
「区体論の公理系は、ZFの公理系に代替するものではない」
「区体論と集合論とは、別の理論体系である」
「区体論に最もよく似ているのは、集合論ではなく、ブール代数である」

簡単に言えば、こうだ。
「区体論は集合論に比べて駄目だ」
というような批判は、
「ブール代数は集合論に比べて駄目だ」
というような批判と同様に、まったく見当違いなのだ。
ブール代数は、それ自体、独立した一つの理論体系である。集合論を否定も肯定もしない。
区体論も、同様である。区体論は、それ自体、独立した一つの理論体系である。集合論を否定も肯定もしない。
……このことを、はっきりと理解しておいてほしい。

63 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:38:45
区体論の公理系1〜8、10は、
2個以上の対象の存在を証明できないほど弱い。
この公理系が無意味であるとは言わないが、
無矛盾性意外に何か有益な結果を得る為には、
新しく記号や公理を付け足す必要がある。
その上で、ZFC と比較するのは、意味があるのかも知れない。
どの道、現段階では、区体論は、発展途上といえる。

64 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:39:59
>>62
ブール代数は意味があるけど、
区体論は何の意味があるのか全く明示されていないうえ、
誰もが「何の役にも立たなそうだ」と無視する理論

区体論の中の人も、
「区体論が役立たずだ」と悟って、見切りを付けて去った

これを書いたときには、まだ区体論の中の人は、
区体論から何か生まれるのかと信じていたのかもしれないけどね

65 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:44:07
>>62
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~sato/essays/shorts.html#genki より抜粋

殆ど何も出来ない出来の悪い理論を持って来て、
「この理論で出来ないという事実の裏に、大事なことが眠っているのだ」
ということだそうだ。

要するに、コンピュータでランダムに作った理論、
それは殆どすべて役に立たないものだろうが、
そういうものに出来て、既存の理論では出来ないことは何か、
ということに意味が在り、
それゆえそのランダムに作った理論はすべて価値があるのだそうだ。

勿論、全く価値がないとは言わないが、
要するに区体論はコンピュータでランダムに作った理論程の価値しかない、
とトンデモ氏自らが認めたわけだ (測度が区体論で扱えないという前提の下では)。

66 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:45:36
区体論が矛盾しなかったのは、奇跡だな。

67 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:46:44

な ん で 区 体 論 ス レ に な っ て る の

どんな結論になったとしても、
区体論が集合論の次に来る物だなんて
絶対に有り得ないぜ


しばらくは集合論と圏論の時代じゃないか?

68 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 21:50:40
>>56
M自身はどうやって2つに分けるの?公理1〜7+公理9の区体論では、Ω自身(>>56のモデルではMかな)
もまた区体だから、Ωは2つの区体β(Ω),β'(Ω)に分けることが出来るのだが。

69 :56:2007/01/20(土) 22:02:00
M はモデルの領域と呼ばれるもので、区体としては解釈されません。
(Ω は ω として解釈され、空区体は空集合として解釈されます。)
いわば、M は「区体全体の集まり」として解釈され、区体そのものとしては解釈されません。
M の元は「区体」だから、確かに2つに分割されますが、
M 自身は区対ではないと解釈されますので、2つに分割される必要はありません。

70 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 22:45:15
>>69
理解した。公理1〜7+公理9を満たすことも確認できた。確かにモデルになってる。よく考えたなぁ。

>公理系1〜7、9はある意味病的で、
むしろ「病的」でないと意味が無いと思う。公理1〜7+公理9の区体論は、無限小を含む実数を作るために
用意したものだと書いてあったから(実はこれだけじゃ作れなくて、他の公理も追加する必要がある、ともあった)。
集合論でも、超実数体を作るのに超フィルターを用意して超積を作って…とする方法があるけど、超フィルターを
用意するのに選択公理を使うから、超実数体はこの意味で非常に病的。たぶん、超実数体もしくはそれに類する
体系を作るには、本質的に病的でないとダメなんじゃないかな。

71 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 02:51:55
基礎論の勉強をはじめたばかりなので馬鹿な質問ですが、教えてください。

数学は集合論から始まるとばかり思っていたのですが、実際基礎論の本を読んでみると、
モデルやら言語やら正体の分からないものが書いてあり困ります。
数学を基礎付けるものってのは集合論の公理ではないのでしょうか?

72 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 02:52:16
任意の集合Xと、X上の任意の集合体Y(⊂P(X))に対して、Yは公理1〜7のモデルになるな。

73 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 02:55:22
>>71
何が言いたいのか分からん

74 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 03:05:15
数学=はじめに集合論ありきだと思っていたのですが。
モデルとかってのは集合論と関係あるんでしょうか。

75 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 08:44:59
「数学=はじめに集合論ありき」という認識にそもそも問題があるが、それは置いとくとして…。
モデルってのはもちろん集合論の中で定義される概念だけど、それが何か?


76 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 12:10:32
まず、「数学基礎論」は「基礎的な数学」や「数学の初歩」などとは違う。

分野名としては記号論理学だとか数理論理学とほぼ同じ意味だと思って良い。
(ただし細かいニュアンスは結構違う。)

「数学は集合論のよって基礎付けられる」と言うのは
ほぼ全ての数学の理論は集合論、具体的にはZFC+追加公理
の中でモデルを作ることが出来る、
従ってほぼ全ての数学の理論はZFCの枠内で考えることが出来る、
というくらいの意味。実際には基数や順序数の厳密な定義だとか
forcingだとかを知らないと数学は出来ない、ということではない。
「基礎付け」と「基礎」の違いを良く理解した方が良い。

専門分野としての集合論はモデルの理論とはかなり関係が深いと思うけど
あまり>>71の考えてるようなこととは関係ないと思う。

77 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 16:11:37
スレタイにもある集合論という言葉がどこまで広い概念なのかがいまいちよく分からないのですが、
集合論=集合の公理(ZFC=BGC)から発展する理論。と考えてよいのでしょうか。
この場合、>>76氏の言われる記号論理学などは集合論の中の理論ということになるのでしょうか。


78 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 16:43:34
>>77
集合論は述語論理の上に成り立ってる
推論規則(三段論法)とかは、集合論の中じゃなくて、述語論理で用意される

79 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 21:35:51
数学とは何か。集合、論理。前原昭二師。1970年ごろには日本の
数学基礎論の権威と言われていた。ぼくちゃんが思うに、
数学の形式化の諸段階。
第1段階 数学の公理化(公理主義)例。ヒルベルトの幾何学基礎論。
                   自然数論のペアノ公理。
                   (群論、体論なども?)
                   カントールの素朴集合論
                   の考えは疑わないことに
                   する?
第2段階 集合論の公理化。(公理的集合論)見かけ上は第1段階と
            あまり違わない。集合論の「公理」が加わる
            ぐらい。でも「(無限)集合」という一般概念
            は意味を失う。論理的思考は当たり前のことと
            見なす。
第3段階 論理の公理化 論理の公理化の方法として、命題(真偽の定ま
            った文や式)を表す文や式から意味を取り去って、
            記号列として扱ったりする。
言いかえると、第1段階 対象の抽象化。
       第2段階 集合の抽象化
       第3段階 論理の抽象化
(必ずしも上の3段階のすべてを経るとは限らない)

80 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 21:57:19
なー、a∈Xってa prioriなものなのー?
集合論のaxiomでもX=Yのaxiom(外延性)はあっても、a∈Xってないよね?

81 :79:2007/01/21(日) 22:15:23
>>79
一応、訂正。
論理の抽象化 −> 命題の抽象化

82 :56:2007/01/22(月) 01:59:08
>>58
訂正の訂正

○ これらのどの二個以上のの合併も
× これらのどの有限個の合併も

すんません。ケアレスミスでした。

83 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 04:48:16
>>80
大体の場合は、記号 ∈ は、無定義述語として扱い、
他のものからは定義できない・・・としていますね。
常識的には、「アプリオリ」です。

84 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 09:00:42
無定義というのは、つまりその系から逸脱(超越)してしまっているものなんだよ。
記号∈をもって他を定義していくわけだけど、記号∈自体はその系の外のもの。メタメタ数学みたいな^^;

85 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 14:40:23
集合論を数学を記述するための道具と考えるならば、
将来その道具だけじゃ足りねぇと一番危機を感じる分野は…何?

86 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 14:44:16
う〜ん、心理学かぁ・・・?(←適当)

87 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 15:43:33
>>85
圏論なんかはどうなのでしょう?
素人なので詳しくは分かりませんが>>79の論理の公理化までしてしまえばOKかもしれないけど、
集合の公理化だけでは無理のような気もします。
圏の圏とか考えてるし。

88 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 16:47:29
圏論をフル活用してる分野の一部は、
集合論の枠組みから既に少しはみ出しちゃってるらしいね

89 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 22:00:42
はみ出したからって、なにか数学的に興味のあることが証明できるわけ
ではない。
集合論の Reflexion principle ってのがあって、証明が終わればいつでも
はみでないとこにおさまる。

90 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 23:34:12
連続性や微分可能性がよく分からなくて苦労してた19世紀後半の数学者達のように、
まずは基礎部分が今のままだとどうしても困るような事態に直面する事から始めよう
だからこんな所で考えるより手を動かす!

91 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 00:28:39
チンコをつかんで、その手を上下に動かす!

92 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 00:36:47
ZFCの矛盾を見つけることができたら、フィールズ賞は確実だね。
興味のある向きは探してみたら。(多分絶対に無理とわたしは確信している。)

93 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 01:52:37
基礎がこのままで困らなくても、数学全体の土台を外から眺めて
研究することは、意義のあることと思う。中にいただけでは分ら
ないことに気付くことがあるという。
一方、ココンピュータプログラミング系から入る道もあるようだ。
それだと、いきなり形式から入る感じかな。

94 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 19:07:23
>多分絶対に無理とわたしは確信している。

日本語難シイデス

95 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 10:23:49
酔う躁論理

96 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 10:58:36
co-computer program

97 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 21:39:38
どうみても圏論の時代
集合論が基礎だと思われてるのは日本の数学教育の弊害
集合論は基礎付けできてるだけで、やり方としては不自然極まりない。
実際、順序数の定義からしてどう見ても糞

98 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 21:49:37
外国でも圏論を学部生に教えたりはしないんじゃないかと思うけど。
位相空間論と抱き合わせて一つの科目にしちゃうのは
日本の数学教育の変なところだとは思うけどね。

99 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 22:08:35
時代はもう圏論だよな

でも、順序数の定義は糞だと全く思わないが。
集合論で唯一優れた理論は順序数関連だと思う

100 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 22:17:20
集合論の専門書を一冊でも読んでそういうことを言っているのかな?
それとも「集合と位相」みたいな教科書の知識で言っているのかな?

101 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 22:17:46
フォーシングくらいまでなら理解してる

102 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 22:57:42
集合論に取って代わる物Xを圏論で扱える可能性はあっても
また、Xがどのような物になるかを圏論が示してくれる可能性はあっても
圏論自体がXになる可能性は無い

103 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 23:43:54
圏論を知らないやつがそのXを生み出す可能性も無いけどな

104 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 23:47:25
というかXなんて別に今必要とされてないけどな

105 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 01:46:43
>>100
なんで日本のは「集合と位相」なんだろうね?
どっちかというと「集合と論理」のほうが教科書としてはいい気がするんだけど、
なんか日本のでは無いよね。

106 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 01:51:30
>>105
訂正。あるにはあるんだけど、どーもメジャーじゃないって感じってことで。

107 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 02:01:09
集合の授業は確かに一学期かけて授業をするほどの分量は無いと思うんだけどね。
(やろうと思えば出来ないことは無い。)

108 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 02:05:53
>>107
順序数からZornまでやればいいんじゃないの?

109 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 02:09:02
それだけで一学期掛かるかね

普通はそれに位相の授業もするよね

110 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 02:16:09
素朴集合論やるだけならWell Ordering Propertyでも教えてn=bq+rの証明しても時間余るね
やっぱりLogicもやってAxiomatic Set Theoryまでやっちゃうとかしないとね。
位相は位相で別枠にしたほうがいい気がする。なんとなくだけど。

111 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 02:39:50
>>107

公理的に、論理学からはじめれば、一年通期で、
終わるか終わらないかと言ったところ。

112 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 16:30:26
道具としても便利な基礎付けなんて必要あるのかな
現在も、基礎付けなんて気にしてない人が大半だろうし、
道具としてはさておき、基盤だけは保障してる集合論で十分だと思うけど

113 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 16:34:33
>>111
公理的集合論ってそんなに早く習得できる?
だったら数学科はモデル理論と共に必修にしてもいいな。

114 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 16:53:41
コストパフォーマンス的には今のまま素朴集合論的な扱いで良いと思う

115 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 17:19:14
モデル理論必修にする意味あるのかな
そんなことしたら五十年後の数学の方向性が変わってしまうと思う

公理的集合論の初歩を
集合論とか基礎論の人がどういう事やってるか何となくイメージが
わくようになる程度まではやったほうが良いのかもね
forcingとかまでやる必要があるか(やる時間があるか)と言うと微妙だと思うけど

116 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 18:54:39
>>115
>モデル理論必修にする意味あるのかな
>そんなことしたら五十年後の数学の方向性が変わってしまうと思う

何かまずいことでもあるのか?

117 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 22:11:45
それに他分野で使わないし。
まあぶっちゃけた話が順序数も基数も
そんなには使わないんだけどね。

118 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 23:27:34
カントールが泣いている
クロネッカーが笑ってる

119 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 00:55:41
( ´д`)ウワーン
< `∀´>ガハハハハ

120 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 02:34:12
>>113

実は、終わるかどうか、自信がない(笑)
一年生の授業では、
順序数・基数のことまでやっている時間はないだろうなぁ・・・
ホントに基礎の部分しか、できないと思う。
きっちりやったら、2年くらいはかかるね。

121 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 03:56:14
>>113
普通の数学やるのにそんなゴツイのはイラネ

122 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 04:26:49
>>117
確かに他分野ではあんまり使わないけど、
教官に基礎論がらみのマニアックな質問すると大概みんなかなり知ってるぞ。
教えてないだけで自分達は相当知ってるというイカサマぶりが寒い。

123 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 12:21:57
>>120
そんなに甘くないのね

124 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 12:22:53
>>122
サボってるおまえが愚か。独習しろ。

125 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 22:47:56
>>124
数学=アカポスゲットレースとみればそうだろうが、
部外者の自分からみたら単なるいんちき教育でしかない

126 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 22:52:16
モデル理論を教えるべきか、モデル理論を知っておくべきかという
今の話とは全然関係ないような

127 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 12:46:58
…で結局、(スレタイにもあるように)「集合論の次に来る物」はなんなの?
断定は難しいとして
有力候補でもいいから、そろそろあげてもらいたいのだが…?


今後の大学の数学科へ進学する
若き数学者たちへの希望ある指針となるように…願いを込め!


まさか、また(ユークリッドよろしく)幾何学へ戻るのか?
(そんなことは、ないだろう)

128 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 14:50:33
群、環、位相空間、といった基本的な対象たちは本質的に圏です。
しかし、集合論ではそれをそのまま扱うことが出来ないため、
その内部的な表現、つまり、○○の公理という形でしかそれを表現できません。
これは集合論のミニマリズムに起因する弊害の一つだと思われます。
そのような矛盾的多数になってしまうものを(大きな)圏として積極的に
認め、その間の細かい関係を調べることが出来る圏論は、ある意味で
言葉本来の機能を引き出す言語システムといえると思います。ヒャッヒャッヒャ ヽ(゚∀゚)メ(゚∀゚)メ( ゚∀゚)人(゚∀゚ )メ(゚∀゚)メ(゚∀゚)ノ ッヒャッヒャッヒャ

129 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 15:19:36
>>128
コンピュータ言語的な見方が意外と重要なんだが、
数学の保守的なジジイ共は聞く耳もたん。

130 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 18:14:22
○○という性質を満たす圏が存在する、と言いたい時に
どうやってその存在性を証明するの?
集合論がなきゃ証明出来ないじゃん結局

131 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 18:23:49
>>130
アセンブリ言語があれば何でも書けるから高級言語はいらんとか
馬鹿なことをいう人がいるよ。

132 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 18:25:42
>>131
高級言語が優れてるのは分かったから
アセンブリ言語も改良しろよ

133 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 18:44:53
改良集合論もいいが、圏論を越える新言語の開発も興味深い

134 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 23:54:23
>>130
集合を使わない圏の定義を知らないとでもいうのか?(king風

135 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/01/30(火) 07:40:35
talk:>>134 射をどのように定義するか?

136 :132人目の素数さん:2007/01/30(火) 09:47:17
ドメイン、コドメイン、他の射との合成

137 :132人目の素数さん:2007/01/30(火) 12:59:45
集合論も圏論も同じ穴のムジナだよ

138 :132人目の素数さん:2007/01/30(火) 21:09:20
圏論の言葉だけで群を定義するっていうのが以前どこかにあったね。
何だか妙に回りくどいやつ。

139 :132人目の素数さん:2007/01/30(火) 21:45:45
圏論の言葉だけでフーリエ変換や超関数を定義出来るのかね

140 :132人目の素数さん:2007/01/30(火) 23:42:29
素朴なことだが、
圏論の定義だけでカテゴリー全体の圏てどう定義すんの?

141 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 01:36:48
「定義」のwikiに
椅子は家具である。(椅子は家具の部分集合、椅子⊂家具)
うちのミーちゃんは三毛猫である(ミーちゃんは三毛猫の要素、ミーちゃん∈三毛猫)
ていうのがあったんだけど、これ正しい?正しいなら、私達が普段使っている言葉は
そのほとんどが集合ということ?例えば「理解」という言葉ひとつにしても
「社会への理解」「子供への理解」などを要素とする集合ということ?


142 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 01:40:46
理解は主語目的語を取るから、
(形式上は名詞だが)論理的には述語だと思うんだが。


143 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 04:39:48
>>139>>140
フーリエ変換は適当な関数の空間からの関手で定義する
超関数は超関数の圏としていきなり定義する。超関数が何かは考える必要が無い。
(小さい)カテゴリ全体の圏はグラフ全体の圏を定義すればその中に入ってる。

144 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 05:27:42
>>141
AはBだ みたいな文の意味を抽出して出来たのが集合だから
そこにあるような例は当然成り立つ。実際∈という記号は
ギリシャ語のbe動詞εστιの頭文字。
ただ「理解」を集合的に扱おうというのはいい例とはいえない。
(内容を無視しすぎてるから

145 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 05:43:34
単に述べるための言語としてではなく、
考えるための言語として圏論が有効。

146 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 05:48:11
袋の数学 = 集合論
粘土と竹ひごの数学 = 圏論

必然性のなさという意味では大差ない

147 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 11:19:40
>>144
「複素数」も集合?そうだとすると“複素数”=Cということにならんか?
あと、俺の身長=2mだ、という文は、「俺の身長∈or=2m」?

148 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 11:55:39
>>147
質問が意味不明

149 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 13:02:52
・“複素数”=Cだとすると、「1はC」という文も正しい?
・「俺の身長は2m」という文は、「俺の身長∈2m」を意味する?


150 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 13:05:08
言葉遊び→哲厨

151 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 13:31:15
>>149
Cがハッキリと複素数を表す文脈なら、正しいし通じる。
2mを形容詞と捉えて、2mのもの全体からなる集合(クラス)と解釈すればその意味でも正しい。(しかし、本来の意味とずれる気もするけど・・

152 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 13:33:03
言葉遊びに陥らないための思考の方法論が哲学なんだけどね

153 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 14:47:29
>>143
大きい方をお願いしたいのですが。

154 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 14:49:08
ああ、そうそう。
確か圏だと射は集合だといってたけど。それはどうするの?

155 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 18:33:24
>実際∈という記号はギリシャ語のbe動詞εστιの頭文字。
しかし、a∈Bの意味は「a is B」ではなく「a is a member of class of B」ではないか?

156 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 19:28:45
>>153
無理

>>154
意味不明

>>155
両方同じ

157 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 23:04:00
>>151
複素数にC以外の解釈があるのでしょうか?
数学の参考書とかで、複素数全体の集合をCとする、という文を
見るとC=複素数とする、でいいんじゃない?と思うのですが。。
下のは、2mは要素をとらない、最小の単位ということでしょうか?



158 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 23:19:03
>>155
藁谷先生の論理学の講義で”ontology”なるものを少し習ったのだが、それによれば、
「a is B.」と「a is a member of class of B.」は全くの別物だと言っていたぞ。

159 :158:2007/01/31(水) 23:20:06
アンカーミス。>>156ね。

160 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 23:46:27
>>139>>140
全ては無から生ずる。

161 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 00:15:01
>>158
isとhas関係の違いは結構有名な話だと思ってたんだけど

162 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 00:56:33
数の1や2はアトム(>>11で定義されてた)ですか?
周りを見てみると、1が溢れていて「1」が複数あるように
思えるのですが・・・それでもやっぱりそれらは同一人物なんですかね?

163 :156:2007/02/01(木) 07:53:05
>>158
ontologyでは違うんでしょうね。ontologyは数学ではない。
少なくともa∈Bをa is (a) Bとa is in Bと両方の言い方をしても
両方通じることは間違いない。ただBのように記号だったり、
その場限りの定義だったりするとis (a) Bという言い方は少し耳慣れない
感じがするというだけ。

164 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 08:00:17
>>162
1というのは各集合のなかでの役割に過ぎない。全体となる集合を無視して
1とは何かという問いは意味が無い。

165 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 08:06:06
なんか集合論のFAQスレになってきた

166 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 09:13:20
とりあえず…
集合論に関する基礎的なことは
(旧課程のほうでもいいから)教科書読め

>141以降、基礎的すぎ(悪く言えば、あまりにも幼稚)な質問!

167 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 09:26:56
>>141
集合論のスローガンの1つに"Everything is a set."ってのがありますよ。

168 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 09:44:47
>>167
インフォシーク翻訳(ttp://translation.infoseek.co.jp/)

「すべては、セットや。」(関西弁)

意味わかんね…

169 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 10:01:50
>>166
旧にしろ新にしろ課程の範囲内に集合論など入っていない

>>167
だからそれが終わって次何に行こうかっていうのがスレの趣旨なのだが?

>>168
全然意味分かる。むしろ関西人言いそう

170 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 12:39:37
>>167
だが「全ての集合の集合」は集合ではない!

171 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 16:54:55
こういう文脈で基礎的というと数学基礎論的という意味になりそう。

172 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 23:07:20
話がごちゃごちゃしてて混乱するのだが。
>>170はBG風に「すべては、クラスや。」(関西弁) で良いわけで。

で、集合論の次に圏論はどうかって話もあったけど。
圏の圏を圏の言葉で表せないんなら、圏論単独で数学を基礎付けるのは無理ではないかと思える。


173 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 23:08:30
標語的に言えば集合論の役割はさまざまな理論のモデルを与えること、
それに尽きるし、またモデルを与えるという観点に関する限り
集合論で充分で代替の理論など要らないので、
まず別の理論が果たすべき役割を考えるということになるんじゃないかと。

圏論の現代数学に於ける役割を一言で言い切るなら何だろう?

174 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 00:13:12
関西人が集合論の次に来る物(理論)をホントに開発したら、すげぇだろうなw

「すべては、○○論や。」(関西弁)

京大あたり考えてくれませんかね。
間違いなくフィールズ賞ものだろう。

175 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 03:06:41
誰か教えてくれよ
“理解”は集合を表す言葉なのかどうかを

176 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 03:31:13
Aristotelesの論理学の、述語だとか主語だとかはナンセンスだと思う。
あれは単にギリシャ語がそういう言語だったというだけで
論理学が扱う真理とは関係ない。

177 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 04:47:43
なんというか、=(is)と∈(has)は双対的な概念のような気がしてきた。

178 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 08:44:09
珍しく厨房噴出w

179 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 13:10:10
2isR.という文は間違ってないよな?
(Rは実数)

180 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 13:18:26
普通に間違いにしか見えない

181 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 14:51:31
なんで?isは含まれるという意味があるんじゃなかったの?
>>163の通りジャマイカ?

182 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 14:56:02
2 is a real number.
は正しいが、
2 is the set of real numbers.
は正しくない。


183 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 20:45:33
>>182
real number=R,2 is a real number.⇒2 is Rじゃ?

184 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 21:54:02
2 is a R ⇒ 2∈R
2 is R ⇒ 2 = R

185 :132人目の素数さん:2007/02/02(金) 23:20:22
I'm an eel みたいなもんか?

186 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 01:00:29
全然違うだろ

187 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 01:02:17
>>184
なるほど、理解できた。要素の場合はaかsが要るわけですね。
で、日本語の場合はどちらも、2はR、でok?

188 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 01:22:03
2 is included in R.
が正しいのではないか。
2はR。
なんて普通は言わないでしょ。
2はRの要素。
と詳しく言わないと。

189 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 02:13:32
通じさせようと思ったらもちろんそうすべきでしょうね。

ただ、なにが正しいかというと微妙で、「2は実数」、「Rは実数」、は
意味が違うけど両方言う。

190 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 02:45:40
日本語では2は実数
Rは実数の集合(実数体)というのが普通だね

191 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 12:03:14
でも実際はR=“実数”でしょ?

192 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 12:19:57
>>191
実数という単語に実数全体の集合という意味があるかという質問?

193 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 13:40:03
ともかく「2はR」なんてどうとでも取れる言い方はやばい。
2はRそのものなのか、2はRの要素なのか明確でない。
ついでに言えば2∈Rと{2}⊂Rも意味は異なる。

194 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 17:22:36
また集合論のFAQスレになってきた…

たのむから教科書読めよチンカスども

195 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 17:27:11
>>194
マンカスもお忘れなく。

196 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 18:07:17
高校で学ぶ集合論は似非集合論ってのは事実?

197 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 18:09:36
>>196
公理的集合論を勉強してみれば違いがわかる

198 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 18:13:35
高校でも公理集合論教えればよいものを・・・
とんだ迂回路

199 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 18:14:39
>>197
違いがわかる男のゴ@ルドブレンド…

違いがわかる男のゴールドブレンド(シャア編)
http://www.youtube.com/watch?v=7O0Tc6nAwiQ

200 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 18:25:09
>>198
小学生にペアノの公理を教えろとでも?

最も高校で教える集合もあまりやる意味は感じないけど

201 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 20:34:18
よっぽど省略好きの人でない限り、
R=実数とは書かないと思う。
いい加減この手の議論はやめて欲しい。

202 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 21:50:18
>>192
そう
というか、実数という単語は実数全体の集合という意味しかないんじゃないの?

203 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 21:56:59
「3は実数である」は偽であるという立場?

204 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:02:17
>>202
日本語の「AはB」にはどういう意味があると思ってるの?

205 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:10:12
3は実数である⇔3は実数全体の集合に属する⇔3∈R
は正しいと思われるが。

206 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:11:30
3は実数である。2は実数である。よって3は2である。

207 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:15:59
「は」は必ずしも「=」じゃないということだけ。

208 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:20:00
3は実数であるという場合の「実数である」はr(x)⇔x∈Rを満たす述語rであると解釈するのが普通じゃないか?

209 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:24:23
r(x)="xは実数である"だと思うけど。

210 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:43:31
>>204
=と∈でしょ?あとは部分集合の⊂か。
で単数aや複数sが付くときは、∈を意味する。
「3は実数である」=「3 is a real number」=「3∈R」
∴“実数”=“R”
「3はR」は聞き慣れないだけで、意味は「3は実数」と同じ。
あってるよね?

211 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:47:18
>>203
一応レス。
いや立場云々でなくて、最近ふと「実数」て何を意味する単語なんだ?と
思って聞いてみただけです。迷惑かけてすみません。理解できたので去ります。

212 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 23:52:20
3∈実数全体の集合、2∈実数全体の集合。よって3∈{2}.

213 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 05:29:46
>>200
少なくともドイツ語圏では、大学入学前にペアノの公理を教えているようだぞ。
日本の小学5年相当でその入門的な事を教えている。
意味があるのかどうかは別にして。


214 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 09:18:04
ニューマスの悪しき痕跡かねえw

215 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 10:46:36
なんと言って教えているのだろうか
あれで「自然数」の表すものが一意に定まるわけでもないのに。

216 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 14:33:44
自然数ってそういう構造を持つものの総称なんでしょ?

217 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 14:37:31
いや普通は少なくとも濃度が可算でなけりゃ自然数とは呼びがたいような。。

218 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 15:09:01
フリードマンの定理とかを考えると可算でも超準モデルは自然数とは呼びたくない

219 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 18:28:19
そういえば、実数以前と実数以後って年代的にいつ位なの?

220 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 18:35:52
そんな区切りねーよw

221 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 18:38:35
しいていうならピタゴラスによる無理数の発見か

222 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 18:41:33
デデキントカントールハイネ以降というのも

223 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 19:11:45
>>219
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Real_numbers#History

224 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 01:02:09
集合って,元があってそれを集めて初めて集合って定義したいところだけど,
例えば位相空間の定義なんて
「集合Xの部分集合族が…」
なんてあたかも集合が常に備わっているような記述でよく考えたら気味が悪い.
どんな元を要素に持つのか一切無視しても集合が定義できてしまうのだろうか

225 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 01:08:00
どんな元を要素に持つかで決まるのが集合です。

ところで、元を”集める”という表現は適さない場合が多いので、そういうイメージは持たない方がいいと思う。

226 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 03:09:45
実数の部分集合の定義にその集合自体を利用することはいくらでもある。

227 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 21:17:26
クラス!

228 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 21:42:44
暮らす!(普通に

229 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 23:05:04
どっちかというと、集合ってのは集合に作用する論理式だと考えた方がいいような気が。

230 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 23:16:56
空集合とかは

231 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 02:04:53
論理式は可算個しかない。
集合は非可算個ある。

232 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 02:16:41
>>231
   、ミ川川川彡                 ,ィr彡'";;;;;;;;;;;;;;;
  ミ       彡              ,.ィi彡',.=从i、;;;;;;;;;;;;
 三  ギ  そ  三            ,ィ/イ,r'" .i!li,il i、ミ',:;;;;
 三.  ャ  れ  三    ,. -‐==- 、, /!li/'/   l'' l', ',ヾ,ヽ;
 三  グ  は  三  ,,__-=ニ三三ニヾヽl!/,_ ,_i 、,,.ィ'=-、_ヾヾ
 三  で       三,. ‐ニ三=,==‐ ''' `‐゛j,ェツ''''ー=5r‐ォ、, ヽ
 三.   言  ひ  三  .,,__/      . ,' ン′    ̄
 三   っ  ょ  三   /           i l,
 三.  て   っ  三  ノ ..::.:... ,_  i    !  `´'      J
 三   る  と  三  iェァメ`'7rェ、,ー'    i }エ=、
  三   の   し  三 ノ "'    ̄     ! '';;;;;;;
  三   か  て  三. iヽ,_ン     J   l
  三  !?    三  !し=、 ヽ         i         ,.
   彡      ミ   ! "'' `'′      ヽ、,,__,,..,_ィ,..r,',",
    彡川川川ミ.   l        _, ,   | ` ー、≡=,ン _,,,
              ヽ、 _,,,,,ィニ三"'"  ,,.'ヘ rー‐ ''''''"
                `, i'''ニ'" ,. -‐'"   `/
               ヽ !  i´       /
               ノレ'ー'!      / O

233 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 04:31:53
論理式の長さは有限である。
有限な長さの文字列は可算個しかない。論理式は特殊な文字列なので、高々可算個しかない。
集合は少なくとも可算個より真に多くある(という表現の方がより正確か・・・

234 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 19:39:48
>>233
記号が非可算個あれば、論理式は非可算個あるぞ。
モデル論などで、非可算集合の元全てを定数として加えて議論することもある

あと、集合論が無矛盾なら、集合論のモデル(集合全体のクラス)は、
Lowenheim-Skolemの定理があるので、可算モデルとして作れる

235 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 22:15:27
論理式が可算個しかないから計算可能な実数は可算個しかないんだっけ?

236 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 22:17:55
>>233
そか。
命題の中に実数定数が含まれていたら、非可算個の命題集合が作れるかと思ったけどNGなのか。
というか、「論理式の長さは有限」でその場合は外れているわけね。
論理式は有限じゃないと駄目なんだっけ?

237 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 22:33:17
対象式で書ける実数も可算個しかない

238 :132人目の素数さん:2007/02/10(土) 01:23:49
>>235
計算可能な実数は可算個しかないです。
循環しない実数でもπとかは計算可能。

239 :132人目の素数さん:2007/02/10(土) 01:44:53
計算不可能だけど定義は可能って実数はどのくらいあるんだろ。
Turing機械の停止確率みたいに最初の10桁は定まってるけど
任意の桁数を求めるアルゴリズムは無い、みたいなやつ。

240 :132人目の素数さん:2007/02/10(土) 03:32:21
定義可能なら可算でしょ

241 :132人目の素数さん:2007/02/10(土) 04:10:12
いや何となく直観的に可算である気はするんだけど
「定義可能」とはどういうことかも良く分かんないし
それがどのような数であるのかも良くはっきりしない。

242 :132人目の素数さん:2007/02/10(土) 14:41:02
定義可能な実数ってのはカントールの有名な言葉の中の、
実数が存在するとはどういうことかって言ってる部分に意味が書いてあった気がする

243 :132人目の素数さん:2007/02/11(日) 23:51:01
集合論の次に来い!物!

244 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 00:40:24
>定義可能な実数
「0と1を可算無限個並べる」という操作を、人間がどれくらい把握できるかということかな?

245 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 01:25:40
定義可能な実数は可算個しかない。

ではすべての定義可能な実数(の定義)を
もれなく列挙する方法はあるか?

ん〜不可能なんですかねぇ。

246 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 01:27:42
可算無限個だからむりでしょー
バベルの図書館

247 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 01:28:24
対角線論法により不可能、か。

248 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 03:10:12
可算無限個が列挙できなかったら何が列挙できるのか問いたいw

249 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 03:14:22
記号が高々可算でその有限列だから可算でしょ

250 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 03:18:00
紙に書き出したいって意味じゃなくて
自然数から定義可能な実数への写像 みたいなの・・?
ゲーデル数のうち実数になってる物 とか・・

251 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 00:56:42
面白いこと発見した
A={1,2,3}とする
すると、1 is a element of A.だから、1は「element of A」=「Aの要素」という集合
の要素ということになる。つまり、Aの要素=A。だれか反論は?

252 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 01:00:35
日本語でおk

253 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 02:14:53
要するに
“Aの要素”={1,2,3}
“A”={1,2,3}
∴Aの要素=A

254 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 03:33:28
>>251
形式的にはそれでいいんじゃないの?
ただ”Aの要素”をdecodeしないで記号列のまま扱えばだけど。

255 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 03:38:04
Frege以前に戻ろうという試みですね

256 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 06:42:43
251が何を言いたいのか分からん

257 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 08:29:18
element の入れ物という実質を忘れれば、
集合そのものと、集合に与えられる符牒と
その集合に属するというフラグとを
同一視しても困らん、ということだ。

具体的な集合を扱うときにそんなことをしても
全然役に立たないし嬉しくないがな。

258 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 10:47:32
言葉遊びだね〜

259 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 10:53:42
その言葉遊びからラッセルのパラドックスが生まれる。言葉遊びは重要。

260 :257:2007/02/16(金) 11:35:45
>>251自身は
>だれか反論は?
なんて言ってるところからすると、変な例が作れて
誰かの揚げ足が取れたとか、そういう系統の
バカな妄想をしてたんだろうけどねえ。

形式化ってのは、そんなもんだって言うだけのこと
ってことで終わりだ罠。
まあ、それを面白いと思うのは勝手だが。

261 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 11:49:10
ラッセルのパラドクスは言葉遊びじゃないよ
言葉遊びってのは、自分の言葉を理解できなくなる状態のこと。つまりオバカ

262 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 12:28:35
ごめん、やっぱり何が言いたいのか分からん
>>253>>251の日本語訳って事で良いのか?

“Aの要素”={1,2,3}
の時点で無理矢理すぎるだろ

263 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 13:04:20
{“Aの要素”}={1,2,3} ({x : x=“Aの要素”}={1,2,3})
とおもえばまあわからんこともないんじゃないか?

264 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 13:05:53
>>251
>1は「element of A」=「Aの要素」という集合の要素 ということになる
ならない。「1は”Aの要素”という集合の要素」を意味する文章は

1 is an element of element of A.

だから。一方で、最初の

1 is an element of A.

という文章は「1 is an ”element of A”」=「1は”Aの要素”である」を意味する。

265 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 13:30:09
鉄ちゃん、哲ちゃん、・・・

266 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 13:36:55
>>264
>>260にも書いたけど、>>251>>184とかその前後あたりの話への皮肉のつもりだと思われ。

267 :251:2007/02/16(金) 18:21:29
>>264
話が伝わってないような・・
「1 is an ”element of A”」=「1は”Aの要素”である」
は問題ないが、これを記号にすると1∈Aの要素ということになる。
つまり、1はAに属するという文は適切だが、1はAの要素というのは
間違(ry

268 :251:2007/02/16(金) 18:22:56
まぁ主旨が伝われば言葉なんてどうでもいいんだけどなww

269 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 18:37:32
そうだな、>>251が笑いのセンスも数学のセンスも無いカスなのは確かなことだし。

270 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 18:39:08
>>251みたいなキチガイ相手にマジレスするのはなぜ?

271 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 19:05:49
>>251
A is a set of elements of A.と
A is an element of A.を
ごっちゃにしているわけだな。

272 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 20:42:32
>>267
>これを記号にすると1∈Aの要素ということになる。
これを記号にすると1=”Aの要素”ということになる。

273 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 21:04:35
1=”Aの要素”も2=”Aの要素”も3=”Aの要素”も同時に成立するが、
ここでの=は同一性を表していないので1=2=3は成立していない
という結構面倒なことになってたりするけどな。

274 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 22:49:11
同一でないのに等号を使うんですかwww
柔軟な考えをお持ちのようでwww

275 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 22:51:49
>>274
俺が柔軟なんじゃなくてお前の知識レベルが低すぎるだけ。
モデル理論をまともに勉強してみろ、正規モデルでないモデルもいっぱいある
と言われたことが俺にもあるけどな。

276 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 23:01:40
elementを集合名詞と取るか具体的なelementそのものと解釈するかの話だな
英語言語の意味論のuniquenessの無さから来ているただの言葉遊び
プログラム屋のinstanceとclassの違いみたいなもんだな。

277 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 23:23:27
>elementを集合名詞と取るか具体的なelementそのものと解釈するかの話だな
まさにその通りだが、elementそのものって何?存在するの?

278 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 23:37:24
そういうのを扱う集合論もあるな。正則公理抜きのやつ。

279 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 23:47:57
>>277
まあ、柔らか表現で恐縮だけど、"an"と"the"の違いかな。

280 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 23:56:18
別に正則性公理無しの集合論では>>251が正しくなるわけじゃなし、
モデル理論を勉強したら>>251が正しくなるわけでもなし、

281 :132人目の素数さん:2007/02/16(金) 23:59:13
>>279
theというと、つまり、「要素」という言葉がその時々で定義を
かえるということ?

282 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 00:06:40
>>281
クッキーの型とクッキーの関係
要は全く別物なんだけど

283 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 00:28:09
>>281
文脈に依存して記号の意味を変えるのは人間は普通にする。
多項式と多項式で定義される函数を共に多項式と呼んだりね。
ただ厳密な等号で結ばれた式の両辺に同じ記号Sが現れたとして、
左辺と右辺でのSが文脈の違いにより異なるものを表したりすると、
やばいことになる。

こういう言葉の乱用は、可読性を狙った人間用のもので形式化された
理論では原則としてやるべきではないと思うが。

284 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 00:52:28
[(1∈A)∧(2∈A)]⇒(1=2)
区体論を超えた?

285 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 01:05:45
>>283
「要素」という言葉がそれにあたるの?

286 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 09:47:43
『要素』ってのは集合内の個々のメンバーを指す言葉なわけ。
『要素』は一つの物体を指す言葉だと思えばいい。

Aの要素といえば1か2か3のどれかだ。
たとえば{1,2}とか{1,3}とか{2,3}は
『部分集合』であって『要素』ではないの。
もちろん{1,2,3}も『要素』ではない。

要素の意味に文脈上の違いなんて一切無いからね。

287 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 10:18:48
>>286の最後はやや妙な言い方だったかな。

たとえばB={{1,2},{1,3},{2,3}}とすれば
{1,2}とか{1,3}とか{2,3}はBの要素です。

余計紛らわしいか(笑)
集合と要素の区別は厳密だと言いたいのですが。
「〜の集合」「〜の要素」というとき
「〜」が何なのかハッキリしないと混乱するから注意。

288 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 13:39:29
>>286
回答になってない
251が言いたいのは、対象とそれを表す言葉が1対1に
なってないということだろ

289 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 14:17:15
>>288
そんな当たり前のことを「発見したと」と喜んでいるやつに
何をコメントしたらよいのやら。記号の意味の二重性を利用して

等しくないものを等号で結ぶ → A かつ 否A を導出。(A=等しい、否A=等しくない)
→ 好きなことを演繹して喜ぶ。

下らんな。パラドックス成立の基本原理が分かっているのなら
こんなことは常識。

290 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 14:53:05
>>278>>280
正則ではなく外延性では?(extensionality)
よく外延性なしの場合にはどうのこうの語ってる人がいるけど
宇宙語にしか聞こえない・・・w

291 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 14:57:27
言葉を弄んで自己矛盾にで陥って悦に入る。
ころぞまさしく、てっちゃんの愉しみ。

292 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 15:13:11
>>290
外れ

293 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 15:18:02
等号の意味があいまいになるのは外延性公理でしょ。
正則性を抜くとあいまいになるのは無限降下列があるかどうか。
たしか、x={x}みたな集合が無いことが必ずしも言えないみたいな・・・

294 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 15:32:15
だから今の話なら正則性は関係在るじゃん

295 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 16:58:08
外延性を仮定して、正則性を仮定しないだけだったら
等号の意味に曖昧性は生じない。∀x,y(∀z(z∈x⇔z∈y)⇔x=y)が成り立つから。
正則性を外して生じる可能性は、無限に元の元の元の・・・という列が取り出せる
変な集合があるかないか。・・・そんなのは話題になってない。
251が言ってるのは、はじめにA={1,2,3}とおいてから、A∈Aがでるというパラドックス(???)
なので、無限降下列は関係しない。
しかし、251は{Aの要素}=Aと読めば全然問題ない気がする・・・・

296 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 17:27:02
http://world.std.com/~franl/crypto/rsa-guts.html
をつかって以下の文章をRSA変換しなさい。

花子さんがころんだー>

297 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 17:43:42
>>295
ん?Aの要素をAに属する条件と解釈するということか?

298 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 19:19:28
まあ、はっきり言っちゃうと集合論の未定義述語は∈だけなので、
その自然言語への翻訳(の部分)である"要素"という単語に問題が生じた
と言われても、はっきり言ってどうでもいい。べつに"要素"という単語を
使わなくても集合論の命題をすべて述べることができるので、
"要素"に問題があるなら"要素"を捨てればいい。

299 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 19:29:06
>>298
帰属関係 ∈ なしでは集合論は展開でない。しかし、これは
論理式 「x ∈ y」 を 「xはyの要素である」と自然言語に
翻訳するかしないかとは関係がない。人間の思考は論理式だけでは
成立しないだろうが、「ZFC集合論」そのものは論理式以外必要としない。

300 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 21:06:26
どうでも良いけど、Aristotelesの
空集合φと{φ}を同一視するかのような議論が
西欧の論理学の足を大いに引っ張った、西欧でゼロの概念が
生まれなかったのとも無縁ではないとかどっかで聞いたような。

301 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 21:33:45
>>300
言葉の綾に足を引っ張られてな。実は高校の数学の教諭にも零の概念が
良く分かっていないのが結構いる。

302 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 02:45:47
>>287
質問だが、犬は生物の要素か部分集合かどっち?


303 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 02:58:11
両方

304 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 06:29:56
>>293
正則公理抜きの集合論の本を読めば分かる

305 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 14:34:17
>>303
B={{1,2},{1,3},{2,3}}とすると
1や2もBの要素ということか?

306 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 15:51:54
>>305
なんでやねん。
部分集合かつ一要素ってのはめずらしくないだろ、有限順序数とか。

307 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 16:39:01
>>306
集合論というものを知らないんだよ。

308 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 17:44:05
よくさ、犬だの生物だのを例にして部分集合や要素の違いが判らないとかいう
くだらないことをいう奴がいるんだが、>>251に始まる一連のレスに、たとえば
> 251は{Aの要素}=Aと読めば全然問題ない
とあるように、集合名詞ってのは、集合そのものの意味だったり
集合に属するという符牒の意味だったりといった多重性があるので、
その多義性を無視して、集合論の記法と自然言語をごちゃ混ぜにして、
そうやって勝手に混乱しといて、集合論に責任転嫁するのはやめてくれよ。

309 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:32:42
誰も責任転嫁してないと思うけど。

「生物」ってのは全ての生物の集合のことなのか?
だとしたら
全ての生物の集合=全ての「全ての生物の集合」の集合?

310 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:36:36
>>309
○ 論理式が読めない。
○ 古典集合論の基本的結果を知らない。

この条件にあてはまった時点で集合論を語る資格が無い。
この穴を埋めてから再検討されてはいかがですか。

311 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:51:49
>>309
おちょくってるつもりか天然なのかどうかは知らないが
>集合名詞ってのは、集合そのものの意味だったり
>集合に属するという符牒の意味だったりといった多重性があるので、
って言ってるだろうが。
>その多義性を無視して、そうやって勝手に混乱しといて
わけのわからんことを言うなよ。


312 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:53:14
>>310
いやなんで俺に言うの?
>>302と俺は別人だよ。
古典集合論ってどこらへんまで言ってるの。
Mostowskiの補題とか概念の絶対性とかそういうのも含むの?

そういうことって数学の他の分野に対しての
集合論の役割にはあまり関係ないと思うんだけど。

313 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:54:37
>>309ってさ、何度も何度も同じ説明がくりかえして書かれてるのに、
そういうのを一切無視して馬鹿ネタをループさせて、何が面白いのかな。

314 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:54:47
>>311
いや単に「犬」とか「生物」とかいうのは
そもそも集合じゃないんじゃないの?と言いたかっただけだけど。

315 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:59:25
ああ、element云々はそういう意味なのか。
集合名詞をそれに属する元全体の「集まり」と同一視してるんだなw
やっとわかった。

316 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:00:12
でオマイラの結論は
“Aの要素”は集合Aに属するフラグである、ということでFA?


317 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:03:42
数学者の言う集合論では、「いぬ」や「ねこ」、「ビール」、「ジョッキ」とかいう「物の集まり」
は扱わないからね。そういう「集合論」もあるだろうけど、公理的集合論ではない。
ZFとは別物だから、数学者には正しいとも、間違っているとも判断はできない。
公理的集合論の数学外への解釈応用は数学ではないから、数学屋は何も言えないよ。

318 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:09:27
>>316
自然言語のほうに意味や語法の揺れが存在する以上は、FAは永劫できん。

319 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:09:36
それで、素朴集合論では「いぬ」や「ビールジョッキ」を扱えるが
公理的集合論では扱えないから、素朴集合論と公理的集合論は
どちらかは間違っているのである。
そこで私が作った新しい理論がどうのこうの、
とかマチガッテル系の人が言い出すんだよなw

>>316
何だよフラグって。

「Aの要素」は
一般名詞(アルファベットを名詞的に使用)「A」
+助詞(何助詞だったか忘れたw)「の」
+一般名詞「要素」
であってそれ以上の何ものでもないだろ。

別にプログラミングに使う変数でもなし(正用法)、
何か出来事が起きたことの徴し(俗用法)でもなし。

そういえば東大の某先生が数理言語学なんてやってたなあ。
院生の頃は有限単純群の分類やってたらしいけど。

320 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:22:05
>>319
> とかマチガッテル系の人が言い出すんだよなw
>>251がまさにその手の人だなw

321 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:27:53
251は分かっててやってると思う。

322 :251:2007/02/18(日) 23:44:11
分かってる自信はない
俺の考えとしては「Aの要素」を一括りに一名詞として扱うのが
問題だと思ってる

323 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:47:40
>>321
俺も最初はわかっててやってるんだろうと思ったんだけど、
そのあとの展開見てたら、こりゃ天然だろうって思うようになった。
>>322見て確実になった。記号列なら意味が決まるのに、
わざわざ意味に揺れのある自然言語を経由してる思考がアホだと思う。

324 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:59:46
別に「生物」というのは全ての生物の集合、
「Aの要素」というのはAの要素全ての集合と定義するなら問題ないでしょ。

その代わり1∈"Aの要素"
であって、1はAの要素である、と言った言い方は出来なくなる
(というか偽になる)けど。

325 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 00:04:12
> しかし、251は{Aの要素}=Aと読めば全然問題ない気がする・・・・


326 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 00:25:50
{Aの要素}=Aってことは
Aは「Aの要素」だけを元として持つ一元集合?

327 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 00:41:10
>>326
> 263 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2007/02/16(金) 13:04:20
> {“Aの要素”}={1,2,3} ({x : x=“Aの要素”}={1,2,3})
> とおもえばまあわからんこともないんじゃないか?

こんなくだらんことでいつまでループしてるつもりだ、おまえら。

328 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 00:43:44
{群Gの表現}/〜 <- one to one -> {群環ZGの表現}/〜

みたいな書き方ふつうにやってたから>>326みたいなアホなツッコミがくるとは考えてもみなかったな。

329 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 00:47:41
俺はそういうときは括弧をつけるけどね。

>>327
なんか>>327がもっと面白い話題出してくれれば良いんだけど。

330 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 01:15:59
俺が答えを書いてやるよ
太郎という犬がいたとする。
このとき、「太郎は犬」は「太郎∈犬」を意味する
251の「1はAの要素」の意味は「1∈A」
これは「太郎は犬」の場合とは違って「1はA」という言い方が
一般的ではないので、∈の意を強調する目的ででてきた表現が
「1はAの要素」

331 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 01:20:09
つまり「犬」とはある集合のことである、と。
だから犬の濃度は約1億である、だとか
犬から猫への単射が存在する、というのは一般的な語法。

332 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 01:30:56
やっぱり無定義述語∈は罪だなぁ

333 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 01:39:55
自然言語のほうが明らかに先にあるような気がするんだが、
>>330の説によると、数式のために自然言語が生まれたかのようだな。

334 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 01:41:14
バカさ加減で言うと
>>330>>251
は明らかだ。

335 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 01:44:50
罪なのは集合名詞を集合だと看做すこと。
或いは外延的関係と述語を同一視するような集合論的世界観。


336 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 06:10:06
>>324
>その代わり1∈"Aの要素"
>であって、1はAの要素である、と言った言い方は出来なくなる

上の式を普通に読んだら、「1は"Aの要素"である」では?

337 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 11:56:19
1∈"Aの要素" を「1はAの要素である」と読むとか
1∈{ ``Aの要素'' } を「1はAの要素である」と読むとか
そういうことでいいじゃん。つか、いい加減この話題やめようぜ。

338 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 12:22:12
>>335
内包と外延の区別もつかんような椰子がうじゃうじゃいるようだな

339 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 12:56:20
d シィーーー

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