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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問

1 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 05:00:00
理系で数学が得意な高校生が25〜50分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

 過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/


2 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 05:04:00



3 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 05:25:41
king愛してる

4 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 06:14:04
「勉強は誰でもやればできる」と言ってる人達に聞きたい。
いったい何をどうやれば誰でもできるようになるのか?
例えば、
「任意の実数Xに対して、不等式1+KX^2≦CosXが成り立つような定数Kの範囲を定めよ(制限時間20分)。」
という問題(入試問題としては「やや難」程度か?)を題材に、試験場での思考手順を実況中継風に、
なおかつその手順がどうして誰にでも身に付くのかを詰め将棋の解説風に参照文献も交えつつ、具体的かつ詳細に教えてほしい。
「ターゲットを暗記して、英文解釈教室を読めば受かる」とか「駿台行って、Z会やれば受かる」とかの
無意味な抽象的方法論やら「親がどうしたこうした」とかの根性論は一切不要。
誰でもできるようになるプログラムがあるなら、それで一儲けさせてほしいんだが。


5 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 07:36:40
スレ違い

6 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/24(日) 09:07:17
talk:>>3 私と■■するのか?

7 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 09:09:01
a^2+b^2+c^2=abc.
(bc-a)^2+b^2+c^2=(bc-a)bc.
(a,b,c)->(bc-a,b,c).

3^2+3^2+3^2=3x3x3.
(3,3,3)->(6,3,3).
(6,3,3)->(6,15,3).
(6,15,3)->(39,15,3).
(6,15,3)->(6,15,87).


8 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 10:27:26
6 名前:KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [] 投稿日:2006/12/24(日) 09:07:17
talk:>>3 私と囲碁するのか?

9 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 11:44:49
1+kx^2-cosx<=0
k<=(cosx-1)/x^2 0->-2(-π)^-2

10 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 11:48:32
1億寄付するといえばOAで入れてくれるだろう。

11 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 11:49:32
100億寄付すれば名誉学位が授与される。
100億あれば学校なんかいく必要もない。


12 :132人目の素数さん :2006/12/24(日) 12:18:34
>>11 名誉学位を何百もかき集めている I.氏なんてのがいる。

13 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 19:07:51
>>4
マクローリン展開を考えると-1/2が怪しいから、答えにめどをつけてから
あとは確認のつもりで解く。

14 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 21:47:44
C****C(0)は原点を中心とする半径1の円板である
C(n)とx軸との交点を中心として,C(n)の半径を1/2倍した半径を持つ円板C(n+1)を描いていき
x軸を軸に回転した立体の体積をV(n)としたとき,lim[n→∞]V(n)を求めよ

15 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 00:13:35
とりあえず前スレの未解決問題。
1.(1)eを無理数とする。
このときaを0でない有理数として、aeは必ず無理数であることを証明せよ。
(2)eを無理数とする。
e^eが有理数でかつe^(1/e)が無理数である。
このようなeは存在するか。
(3)eを無理数とする。
e^e^eが有理数でe^eが無理数であるようなeは存在するか。
(4)eを自然対数の底とする。eの定義を述べた上で、eは2.4より大きいことを証明せよ。
※(1)のみ解決。

2.素数pについて次のことが成り立つか。成り立つなら証明し、成り立たないなら
反例をひとつ挙げよ。
(1)pが素数ならばp^2+1も素数とは限らない。
(2)pが素数でないならばp^2+1は素数かもしれない。
(3)pが素数でないとすればp^2-1は素数にならないかもしれない。
(4)pとp^3+2p^2+3p+1が共に素数になることはない。

3.tan1°+tan2°は有理数か。

4.問題(D****)
平面Hは3点A,B,Cを通る。
Dは、AD^2+BD^2+CD^2を最小にする点である。
A(1,0,0)B(1,0,1)C(0,0,1)とするとき、Dの座標を求めよ。



16 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 00:14:56

5.不等式
(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)≧a^6+b^6+c^6
を常に成り立たせるような(a,b,c)の条件のうち、最も広いものを答えよ。


6.α、β、γ、δを4次方程式f(x)=0の解とする。またα、β、γ、δはすべて素数である。
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eとする。
(1)a+b+c+d+eの最小値はいくらか。
(2)abcdeの最小値はいくらか。
(3)a^5+b^5+c^5+d^5+e^5とα^4+β^4+γ^4+δ^4の大小を比較せよ。

7.コインを投げて最初から表がk回連続で出たら2^k円もらえるゲームを考える。
このゲームは何度でもチャレンジできる。但し、1回やるたびごとに参加料金として
100,000,000円払う必要がある。このゲームには参加すべきか。期待値で
100,000,000円より多いなら参加すべきと答えよ。そうでないなら参加すべきでないと答えよ。

8.f(x)=xe^xとする。
(1)f'(x)を求めよ。
(2)I(a,b)=∫[a,b]{f'(x)}^2dxとおく。I(-1,1)を求めよ。
(3)J=I^2+2aI+bとする。Iの2次方程式J=0が相異なる2つの実数解を持つような
(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ。


17 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 00:17:28
a,b,cは次の3つの条件を満たしている。
条件1 a^2+b^2+c^2=3
条件2 2a+b+4c=4
条件3 (a+b)(b+c)(c+a)=1/64
このとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cがすべて虚数で条件1〜条件3を満足するものが存在することを示せ。
(2)aのみが虚数で、b,cが実数であるような(a,b,c)で条件1〜条件3を満足する
ものは存在しないことを示せ。

10.f(x)=x^3-3xとする。
f(f(f(x)))をf(f(x))で割った余りをg(x)、
f(f(x))をf(x)で割った余りをh(x)、
g(h(x))をh(g(x))で割った余りをi(x)とする。
このとき、
{i(x)}^2+{f(x)}^2={g(x)}^2+{f(x)}^2
は常には成り立たないことを示せ。

11.f(x)、g(x)、h(x)は3次関数で
f(1)=g(2)=h(3)=1
f(2)=g(3)=h(1)=2
f(3)=g(1)=h(2)=3
が成り立っている。このとき、f(x)+g(x)+h(x)は最大値も最小値も持たないことを
示せ。

12.次の問いに答えよ。
(1)y=1/xとy=1/x^2(x>0)とで囲まれた部分の面積を求めよ。
(2)y=1/x^2とy=1/x^3(x>0)とで囲まれた部分の面積を求めよ。
(3)y=1/x^nとy=1/x^[n+1](x>0)とで囲まれた部分の面積を求めよ(nは自然数)。
(4)AV=SEXで、A=1/a V=1/v、S=1/s E=1/e X=1/xのときavをs e xで表せ。
(5)以上によりeの値を求めよ。
※(4)のみ解決。


18 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 00:20:52

13a,b,c,x,y.zはすべて自然数で、
a^x+b^y=c^zを満たすとする。このとき、自然数N_1,N_2,N_3の最大公約数を
G(N_1 N_2 N_3)と書くことにすると、
G(a b c)≧G(x y z)
であることを示せ。

14.
500円玉がn枚、100円玉がm枚ある。(n,mは自然数)
k個取り出すとき、500円のほうが100円玉より多く取り出せる確率をp_kとする。
任意のp_kにたいし、p_k>1/2となるような、n,mの条件を求めよ。


15.xyz空間上において、点(3,5,7)に光源がある。この光源は四方八方に光を放つ。
今、xy平面上において、
y≦x^2
x≦y^2
なる部分に、光を遮断する壁を設置した。
この空間をyz平面で切ったとき影の(光の当たらない)面積はいくらか。

新作問題
C:16≦x^2+y^2≦25を満たす領域とし、Cと合同な板を用意し、Dと書くことにする。
Dの重心をGとする。GがC内を動くように、Dを動かすときDの動く領域をEとする。
Eをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。



19 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 01:08:22
e^π>21を証明しろ

20 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 01:41:43
e>2.7
π>3.1を既知とする。
e^π>2.7^3.1=21.738・・・より
成立する。 (終)

√n(nは自然数)が有理数であるための必要十分条件はnが平方数であること
を証明せよ。

21 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 01:43:05
任意の自然数a,bにたいし、
23a^4+17b^2は平方数でないことを示せ。

22 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 01:46:09
以下の条件(a)(b)(c)をすべて満たす(a,b,c)の組の個数を求めよ。

(a)a^2+b^2=c^2
(b)a,b,cは1000以下の自然数
(c)a,bは奇数


23 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 01:48:39
すべての点が格子点である正五角形は存在するか。

24 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 01:58:25
>>16
Σ[1,∞](1/2)^k*2^k = ∞  期待値は∞

25 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 02:48:23
解いてみたけど
1.D*****2.C****3.C*****4.D****5.D♯6.D♯7.B**8.C******
9.D***10.C**11.D**12.D#13.D#14.C***15.D*****新作C***
くらいかと



26 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 02:55:09
>>20
地道に場合わけすれば容易に証明可能。
>>21
あるわけがない。無限工加法でもやれば。(終)
>>22
0
>>23
ない

27 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 02:58:33
8と13は使えそう。問題文長いのは読むのマンドイ。


28 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 03:01:54
>>15
4. ベクトルOAをa,ベクトルOBをb,ベクトルOCをc,ベクトルODをdとおく。このとき
AD^2+BD^2+CD^2=3|d|^2−2d・(a+b+c)+|a|^2+|b|^2+|c|^2
=3|d-(a+b+c)/3|^2+|a|^2+|b|^2+|c|^2−|a+b+c|^2/3
=3|d-(a+b+c)/3|^2+{|a−b|^2+|b−c|^2+|c−a|^2}/3
となるから、d=(a+b+c)/3のときにAD^2+BD^2+CD^2は最小値{|a−b|^2+|b−c|^2+|c−a|^2}/3
を取る。よって特に、A(1,0,0)B(1,0,1)C(0,0,1)とするとき、Dの座標は(1/3,1/3,1/3)となる。

29 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 03:38:32
13
2^4+3^2=5^2、…氏ね
>>25
問題間違ってるのによく解けたね

30 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 05:19:45
4がDって時点でたかが知れてる

コテハンの作問者カモン

31 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/25(月) 07:53:24
talk:>>8 私に何か用か?

32 :体積馬鹿一代:2006/12/25(月) 15:42:16
ネタ切れの予感が

【xyz空間内の原点O、点Pは次を満たす。

 中心が点P、半径1/OP^2の球は、xy平面とz軸の両方に共有点を持つ。

 このとき点P全体がなす立体の体積を求めよ。】


33 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 16:52:54
2.素数pについて次のことが成り立つか。成り立つなら証明し、成り立たないなら
反例をひとつ挙げよ。
(1)pが素数ならばp^2+1も素数とは限らない。
(2)pが素数でないならばp^2+1は素数かもしれない。
(3)pが素数でないとすればp^2-1は素数にならないかもしれない。
(4)pとp^3+2p^2+3p+1が共に素数になることはない。

(1)p=3ならp^2+1=10よりtrue
(2)pは素数という仮定があるからtrue
(3)pは素数という仮定があるからtrue
(4)p=2なら23になるのでfalse

34 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 16:53:49
5.不等式
(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)≧a^6+b^6+c^6
を常に成り立たせるような(a,b,c)の条件のうち、最も広いものを答えよ。

a,b,cは0以上の数

35 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 16:55:36
6.α、β、γ、δを4次方程式f(x)=0の解とする。またα、β、γ、δはすべて素数である。
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eとする。
(1)a+b+c+d+eの最小値はいくらか。
(2)abcdeの最小値はいくらか。
(3)a^5+b^5+c^5+d^5+e^5とα^4+β^4+γ^4+δ^4の大小を比較せよ。

(1)解2,3,5,7のとき-A(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)=0
Aを大きくすればいくらでも大きくなるので最小値はない。
(2)(1)と同様
(3)ケースbyケース場合わけはできない。

36 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 16:56:57
7 やるべき

9a,b,cは次の3つの条件を満たしている。
条件1 a^2+b^2+c^2=3
条件2 2a+b+4c=4
条件3 (a+b)(b+c)(c+a)=1/64
このとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cがすべて虚数で条件1〜条件3を満足するものが存在することを示せ。
(2)aのみが虚数で、b,cが実数であるような(a,b,c)で条件1〜条件3を満足する
ものは存在しないことを示せ。

(1)ない。
(2)条件2を満たさないから。

37 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 16:57:57
10.f(x)=x^3-3xとする。
f(f(f(x)))をf(f(x))で割った余りをg(x)、
f(f(x))をf(x)で割った余りをh(x)、
g(h(x))をh(g(x))で割った余りをi(x)とする。
このとき、
{i(x)}^2+{f(x)}^2={g(x)}^2+{f(x)}^2
は常には成り立たないことを示せ。

x=1を代入すれば成り立たないことがわかる。


11.11.f(x)、g(x)、h(x)は3次関数で
f(1)=g(2)=h(3)=1
f(2)=g(3)=h(1)=2
f(3)=g(1)=h(2)=3
が成り立っている。このとき、f(x)+g(x)+h(x)は最大値も最小値も持たないことを
示せ。

前すれ参照

38 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 16:59:54
12.次の問いに答えよ。
(1)y=1/xとy=1/x^2(x>0)とで囲まれた部分の面積を求めよ。
(2)y=1/x^2とy=1/x^3(x>0)とで囲まれた部分の面積を求めよ。
(3)y=1/x^nとy=1/x^[n+1](x>0)とで囲まれた部分の面積を求めよ(nは自然数)。
(4)AV=SEXで、A=1/a V=1/v、S=1/s E=1/e X=1/xのときavをs e xで表せ。
(5)以上によりeの値を求めよ。
※(4)のみ解決。

(1)(2)(3)∞
(5)e=lim[n→∞](a+1/n)^n
 eの値は∫[0,1]e^xdx+1

39 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 17:01:03
14.
n>m

15.
光は回折するから0


40 :すべてを超えしもの:2006/12/25(月) 17:01:39
まともな問題を作れるやつはいないのか。

41 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 20:11:05
君が作問者になればよい

42 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 21:19:14
ここまで愚問作れるのもある意味才能だよな。

43 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 21:39:27
場違いなのはわかってますが、もう、ここにくるしかありませんでした。
どなたか教えていただけませんでしょうか?
V=π*h^2(3r-h)/3
での、hを求めるh=の式を出したいのですが全然分かりません。
お願いします。


44 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 21:52:22
>>43
向こうでも答えたけど、こっちでも答えておこう。
中学レベルの問題ではない。

問題文を確認しろ。それで合ってるのなら、カルダノの解法でぐぐれ

45 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 21:57:52
時空は曲がっているから、時間がたてば全部の面が照らされる

46 :体積馬鹿一代:2006/12/25(月) 22:20:19
>>18

15 ttp://up.spawn.jp/file/up61164.jpg
   考え中。。。

16 400π^3/3

>>32 解かれる前から愚問扱いされちゃ困る

47 :体積馬鹿一代:2006/12/25(月) 22:22:25
16は 400π/3だった スマソ

48 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 23:01:31
>>43よ、前のスレで俺の君に対する指摘は見てくれたかね。
一応俺なりの解を考えてみたよ。

V=π*h^2*(3r-h)/3と書き直せる。
V = (3πrh^2-πh^3) / 3
3V = 3πrh^2-πh^3
πh^3 - 3πrh^2 + 3V = 0となるのでこれをhについての3次方程式と
みなすことができる。しかし、中学校の問題でこんな問題を出すとは
考えられない。難しいのではなくて、問題としての意義がないから。
だからたぶん>>43は問題を間違って全部書かなかったのか、問題が
間違ってるのかのどちらかだろう。


49 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 00:08:39
>>18
15
点A(3,5,7)とする。
yz平面上のP(0,a,b)について、線分PAに遮蔽物がある条件を求める。
遮蔽物はxy平面上にあるからb<0で、線分PAとxy平面の交点Qは
Q(-3b/(7-b),(7a-5b)/(7-b),0)
よって遮蔽物がある条件は
b<0,√(-3b(7-b)) + 5b≦7a≦b(4b-35)/(7-b)
2曲線が交わるのは(a,b)=(-1,-7/2),(0,0)のとき
b(4b-35)/(7-b) - √(-3b(7-b)) - 5b を-7/2から0までbで積分して7で割ればよい
計算して
(7/4)(9+log(3/2)+(√3)log(2+√3)) ≒ 20.45
計算自信なす(´・ω・`)

50 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 00:14:30
>>15
ところで4はa,b,cがすべてxz平面上にあるけど
B(0,1,0)の間違いだろ?

51 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:24:09
x<y<zを満たす実数x,y,zについて次の問いに答えよ。
(1)1/x+1/y+1/z=1を満たすものは無限に存在することを証明せよ。
(2)1/x^2+1/y^2+1/z^2=1を満たすものは無限に存在することを証明せよ。
(3)1/x^n+1/y^n+1/z^n=1を満たすものは無限に存在することを証明せよ。



52 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:29:07
↑17番

18番
方程式f(x)=0はn次方程式(nは自然数とする)であることがわかっている。
(1)この方程式は、高々n個しか解を持たないことを示せ。
(2)この方程式の解のうち虚数の数が奇数ということはありうるか。
(3)kを0以上の実数とし、g(x)をn個の単項式a(1)x^(b(1))〜a(n)x^(b(n))の和からなる
方程式とする。b(1)〜b(n)はすべて実数であり、max{b(1),b(2)、・・・b(n)}=kであるという。
このとき、g(x)=0は高々[k]個しか解を持たないことを示せ。ただし[x]はxを超えない最大の整数
とする。


53 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:31:07
酷い問題だな

54 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:32:18
19番

平面上にn個の点A(1)〜A(n)がある。ただし、これらの点は互いに異なる点であり、
どの3点も同一直線上にない。任意のkとiについて、線分A(k)A(i)でこの平面を切断
したとき、この平面は最大でいくつの部分に分かれるか。




55 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:35:55
20
1辺の長さがそれぞれ1,2,3である直方体Sを考える。
(1)Sの内部または周に2点A,Bをとる。線分ABの最大値はいくらか。
(2)Sの内部または周に4点A,B,C,Dをとる。AB+BC+CD+DAの最大値を求めよ。


56 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:37:34
21番
(1)a^2+b^2-2abを因数分解せよ。
(2)a^3+b^3+c^3-3abcを因数分解せよ。
(4)a^4+b^4+c^4+d^4-4abcdを因数分解せよ。

57 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:39:54
21訂正(4)→(3)
 すまない
22番

定数a,bに対し、(y-b)^2=(x-a)^2を満たす曲線をC(a,b)とする。
(1)C(1,1)を図示せよ。
(2)C(a,b)とC(c,d)が無数に交点を持つためのa,b,c,dの必要十分条件を求めよ。

58 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:41:02
23番(京大向け)
自然数n,rについて(n≧r)、
(n!)C(r!)とnCrの大小を比較せよ。

59 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:44:10
24番
f(x)=∫[0,x]xsin(t^2)dt、g(x)=∫[0,x]x(sint)^2dtとする。
(1)f'(x)、f''(x)、g'(x)、g''(x)をそれぞれ求めよ。
(2)0≦x≦aを満たすすべてのxに対して、f(x)≦g(x)が成立するようなaの最大値を求めよ。

60 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:46:04
24訂正
f(x)=∫[0,x]xsin(t^2)dt、g(x)=∫[0,x]x(sint)^2dtとする。

f(x)=∫[0,x]tsin(t^2)dt、g(x)=∫[0,x]t(sint)^2dtとする。

ごめん。

61 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:50:23
25番
(1)a,bは実数である。xの方程式ax=bを解け。
(2)a,bは虚数である。xの方程式ax=bを解け。
(3)a,b,cは実数である。xの方程式ax^2+bx+c=0を解け。
(4)a,b,cは複素数である。xの方程式ax^2+bx+c=0を解け。


62 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 01:51:13
25番問題文追加

「ただし、適宜文字を置いて説明してもよい。」
をつけたしてください

63 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 02:13:23
>>52
単項式だからb(i),kは非負整数。


64 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 02:28:27
17:明らか。非常にクダラナイ。消えろクズ。

18:クダラナイ。しかも問題が間違っている。消えろクズ。
(1)因数定理から明らか。
(2)f(x)=x−iとすれば、f(x)=0の虚数解は奇数個。
(3)>g(x)をn個の単項式a(1)x^(b(1))〜a(n)x^(b(n))の和からなる方程式とする。
この文章は間違い。「g(x)=0」という式に対しては”方程式”という用語が使えるが、
「g(x)」そのものに対しては”方程式”という用語は使えない。あと、「単項式」という
用語はxの指数が非負整数のときしか使わない。例えば、x^2は単項式だがx^(1/2)は単項式
ではない。さらに、g(x)=x^(√2)−1とすれば、方程式g(x)=0の解(複素数解)は無限個ある
から、解が高々[k]個なんて大間違い。

19:ここは「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問 」です。消えろクズ。

20:非常にクダラナイ。消えろクズ。
(1)直方体の対角線の長さが最大。つまり√14が最大。
(2)AB+BC+CD+DA≦4√14 等号はA=C=P,B=D=Qのとき。ただし、
直方体の対角線を1つ選び、その両端点をP,Qとした。

65 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 02:51:07
>>62
>>29>>50についてレスよろ
あと解答書いてるの合ってるかよろ

66 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 04:01:50
21から25は解けないのかw

67 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 07:07:01
a^2+b^2-2ab=(a+b)^2.
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3.
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=(a+b+c+d)^4.


68 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 11:41:40
既出問題や入試問題をそのまま貼ったり、
理解できていない(解けていない)のに貼ったり、
分からない問題を質問代わりに貼ったり、
なにかとクズの多いスレですね。

(゚Д゚)≡゚д゚)、カァー ペッ!!

69 :すべてを超えしもの:2006/12/26(火) 14:23:31
>>64
18の問題の書き方の悪さには同感だが、
17や18(1)や20はどう見ても明らかな問題をどのように説明するかを要求している
のではないだろうかと思う。よってその解答はお世辞にもいいとはいえない。



>>67
右辺を展開してみよ


70 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 17:18:37
26番
s(n)=1^n+2^n+・・・100^nとする。
(1)s(2)を7で割った余りを求めよ。
(2)あなたの好きなnを1つ決めて(ただしnは自然数)、s(n)を10で割った余りを
2倍した数を答えよ。なお、その答をこの問題におけるあなたの得点とする。


71 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 17:23:23
27番
3円C1、C2、C3は中心がそれぞれ(a,0)、(0,b)、(a,b)で半径がそれぞれr1、r2、r3(r1>0、r2>0、
r3>0)である。r1+r2+r3=1を満たしている。
(1)うまくr1、r2、r3を定めるとC1、C2、C3のどの2つも共有点を持つような(a,b)の範囲をA
とする。Aの面積を求めよ。
(2)どのようにr1、r2、r3を定めてもC1、C2、C3のどの2つも共有点を持つような(a,b)の範囲
をBとする。Bの面積を求めよ。

72 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 17:25:16
28番京大向け
sin1°は0.01より大きいことを示せ。

73 :体積馬鹿一代:2006/12/26(火) 17:40:04
制限時間:今年中 Aは改題。


 頂点:(0,0,2),底面:x^2+y^2≦4/3,z=0の円錐と、円柱y^2+z^2=1の側面との交線をCとする。

 @ 円柱の側面のうちCによって囲まれている曲面Sの面積を求めよ。

 A 円錐の側面と曲面Sとで囲まれた立体Vの体積を求めよ。

 B 円錐の側面のうちCによって囲まれている曲面Tの面積を求めよ。


どうせまたスルーされるんだろうな……

74 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 17:56:28
糞問解答者にもスルーされる問題

75 :体積馬鹿一代:2006/12/26(火) 18:45:00
>>74
能書きはいらない

まずは空間ベクトルと円錐曲面の連立方程式を使って交線Cを割り出す


76 :体積馬鹿一代:2006/12/26(火) 18:53:13
……なんかもういいや

77 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 20:06:58
29番
2次の正方行列A,B,Xには次のような関係式がある。
AB=BX
BA=AX
BX=XA
このような、A,B,Xを3つ求めよ。


78 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 20:11:06
29追加
ただしどれも零行列、単位行列の実数倍ではない。

30番
l(n):y=(tannθ)xとする(nは自然数)。
(1)l(m)とl(m+1)(mは自然数)のなす角αを求めよ。ただしαは直角または鋭角である。
(2)l(a)とl(b)のなす角をβ、l(c)とl(d)のなす角をγ(a,b,c,dはそれぞれ異なる自然数)
とするとき、常にβ≠γであることを示せ。


79 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 20:14:57
31番
楕円C:x^2/a^2+y^2/b^2=1、D:x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>0、b>0)は4つの交点を持ち、それらの交点を
P,Q,R,Sとする。
(1)4点P,Q,R,Sを通る円が存在することを証明し、その円の中心の座標、半径を必要ならばa,bを用いて表せ。
(2)あなたの好きなようにP,Q,R,Sを定めて、1/PQ+1/RSの値を必要ならばa,bを用いて表せ。

80 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 20:35:05
>>65
>>29
すいませんでした。出題ミスでした。もうしわけない。
この問題は無視してください。以後気をつけます。
>>50
いいえ、それで合っていますよ

解答とは>>64のことですか?
17 ×
18(1)×説明がない。証明問題でこれはひどい。(2)○(4点)(3)◎(10点)(出題側にミスがあったから)
19 ×
20 答のみで説明が全くない。どうしてそれが最大なのかという説明
がない。(1)×(2)×

君の得点は14点/80点

81 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 20:41:57
>>33->>39
2 ◎(20点)
5 ×説明欠ける
6 (1)○(4点)(2)(3)××答になっていない
7 ×答のみ
9 (1)×答のみ(2)○(7点)
10△説明不足、具体的な説明を(3点)
11×答になっていない
12(1)(2)(3)△△△説明不足(3点)(5)×書き換えただけ
14×答のみ
15×題意誤解

君の得点は37点/200点


82 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 20:56:00
指摘するのも馬鹿らしくなってきた…
>>76
東大生の方ですか?

83 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 21:15:27
いい加減、体積の問題は専用のスレ作ってそこに掲示してほしいもんだ。

84 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 21:58:00
だが体積以外のほとんどどれも東大らしくない問題ばかりな件

85 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 22:12:12
>>84がいいこと言った!
体積ヲタクは別スレ立てて隔離しろ!

86 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 23:38:49
東大対策にはどんな問題集がいいですか。
理系東大数学があんまり解けません

87 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 23:44:49
スレ違い

88 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 23:50:59
>>86
馬鹿か、スレ違いな質問をする時点で、猿未満の知能しかないことに気づけ!
さっさと練炭買いに行け!

89 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:03:16
B**さいころをn個同時に投げるとき,出た目の数の最大公約数が1になる確率を求めよ
C***半径1,高さ1の円錐を底面に垂直で中心から1/2離れた平面で切断する.断面積を求めよ

90 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:08:16
>>89
最初のはA***くらい?
二つめのは、何の中心かわかんない。

91 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:10:44
正弦定理を証明せよ

92 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:11:11
>>89
100年ROMってから出題をお願いします

93 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:12:58
>>91
おまいさんは、さっさとペプ…(ry

94 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:30:17
>90Aでいいかもね,円の中心
>86新数演,過去問を記述で約20年分解いた
東大模試ではSS70いった

95 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:47:35
ペプ…シ?

96 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:49:47
ペプ・・・チド結合

97 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 00:54:32
>>94
何の中心かわかったけど、出題意図がさっぱりわかんない。
直円錐限定なら減点して遊ぶ、ということ?

98 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 01:02:32
【ペプシ工場】
 いつのころからか、数学板では考える力の弱い、或いは考えることを放棄した馬鹿の就職先として使われるようになる。
(用例) ペプシキャップを詰めていろ!など

99 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 01:06:36
意図は式で表すことと(x^2+y^2=(1-z)^2、0≦z≦1をy=1/2の平面で切断)積分出来るか

100 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 01:10:08
直円錐限定かよ!

101 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 01:13:27
x^2+y^2=z^2、0≦z≦1 ならさらに簡単に。

102 :132人目の素数さん :2006/12/27(水) 01:24:20
e~π-1>20を示す
∫[x=0,π] (e^x)dx=e~π-1
∫[x=0,π] (e^x)dx>∫[x=0,3] (e^x)dx+0.14*e~3
=1.14*e~3-1
>21.49
>20
よってe~π-1>20よりe~π>21

103 :132人目の素数さん :2006/12/27(水) 01:28:10
不完全な状態で書き込んでしまった
今更ながら>>19への答え
>>20の2.7^3.1は試験会場で起算するのは無理だろう

e^π-1>20を示す
∫[x=0,π] (e^x)dx=e^π-1
∫[x=0,π] (e^x)dx>∫[x=0,3] (e^x)dx+0.14*e^3
=1.14*e^3-1
>21.49
>20
よってe~π-1>20よりe~π>21

104 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 01:29:02
>>102
π=0.3の怨念Part2としては良い問題だね。
言われりゃサルでも分かるけど、試験じゃS級の難問だと思う。

105 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 01:33:45
あ、、、
π=3.の間違いだ

106 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 02:28:27
東大のパクリ

107 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 03:37:44
>>94
4,5,6は1通り、3は2^n-1通り、2は3^n-2通り
∴1-(1/2)^n-(1/3)^n
切断面は0≦z≦1-√(x^2+1/4)=f(x)
S=∫[-√3/2,√3/2]f(x)dx=√3-1/2∫[0,π/3](1/cos^3θ)dθ

108 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 04:01:02
e~π≒e~3×e~0.14 e~x>1+x+x~2 /2 +x~3 /6

109 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 07:01:34
>>19
 π - 4.5*log(2) > 3.1415 - 4.5*0.6932 > 0.022 ,
 e^π > 2^4.5 = 16√2 > 16*1.4 = 22.4

>>70

[26](1)
 m^n + (m+1)^n + …… + (m+6)^n ≡ (-3)^n + (-2)^n + (-1)^n + 0^n + 1^n + 2^n + 3^n (mod 7)
 nが2 or 奇数のとき ≡0 (mod 7),
 ∴ (与式) ≡ 1^2 + 2^2 =5 (mod 7).

>>72

[28]
 f(x) = sin(x) - (3/π)x とおく。
 f(0) = f(π/6) = 0,
 f "(x) = -sin(x) <0 (0<x<π/3)
∴ f(x) >0
 sin(1゚) = sin(π/180) > 1/60.

110 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 07:04:23
双子の素数の小さいほうの逆数の和は双子の素数が無限にあっても
発散しないこと とか?

111 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 09:34:11
e^πの問題は99年に東大で出てるけど…

112 :すべてを超えしもの:2006/12/27(水) 15:49:54
番号付けで糞問連発しているものよ、お前の問題がどれだけ幼稚か私が教えてやる。
22
(y-b)^2=(x-a)^2⇔y-b=±(x-a)より2直線。
(1)y=±(x-1)+1=x,-x+2を図示。
(2)2直線が無数に交点を持つから一致する。
傾きが常に1か-1だからa=c、b=dが条件。

24
(2)a=0


25
適宜文字を置いてよいので、答の集合をAとおく。
(1)〜(4)x=A


29
A   B   X
(0,0) (0,0) (0,0)
(0,1) (0,1) (0,1)

30
(1)y=(tan(n+1)θ)x、y=(tannθ)xのなす角よりθ。
(2)n=1、2、3のときβ=少しは考えろ






113 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 16:00:25
a,b,cを正の実数として、abc=1を満たすとき
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3) +(b^2+c^2)a/(b^3+c^3)+(c^2+a^2)b/(c^3+a^3)
の取り得る値の範囲を求めよ

114 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 16:40:55
>>113
ニヤニヤ…

115 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 16:57:35
>>114
何だよ?

116 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 17:02:38
32番
(1)a,bの連立方程式
{a^2+a+1=b-1
{b^2+b+1=a-1
を解け。
(2)x,yの連立方程式
{y=x^3-1
{x=y^3-1
を解け。

117 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 17:06:19
33番
正方形ABCDは1辺の長さが1である。線分AB、BC、CD、DA上にP,Q,R,Sをとり、
AP=x、BQ=y、CR=z、DS=wとおく。
(1)四角形PQRSが正方形のとき、x,y,z,wに成り立つ関係式を求めよ。
(2)四角形PQRSが長方形のとき、x,y,z,wに成り立つ関係式を求めよ。

118 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 17:10:38
34番
∫[0,1]e^(-x^2)dx>0.6を示せ。



119 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 17:18:28
35番
ある町には、4つの八百屋A,B,C,Dがあり、品揃えは次のようである。但し種類の同じものは
すべて同じものとする。
A キャベツ4、レタス2、トマト3、
B キャベツ3、レタス3、トマト3
C キャベツ2、レタス4、トマト4
D キャベツ3、レタス2、トマト2
5人の客P,Q,R,S,Tがこの店を自由に行き来して買い物をする。
買い方は何通りあるか。買い方は全くの自由である。またここで買い方
とは、店に行く順序も考慮するものとする。

120 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 18:08:02
※愚問を解くと相手に調子づかせます

121 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 19:58:57
>>116
ちゃんと解けることを確認したか?


122 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 21:18:39
彼は天才良問作成者なんだから解いたに決まってんじゃん

123 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 22:40:52
>73x=tで切断?

124 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 23:54:03
ダメだ体積馬鹿の問題とは相性が悪いorz

125 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 14:29:19
36番
(1)f(n)=12345678910111213・・・・n(nは自然数)は,自然数を小さい順に並べていってできる数
である.n≧2のとき、f(n)の中に平方数は存在しないことを証明せよ。
(2)n≧2において、f(n)は立方数となることがあるか。

126 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 14:33:27
37番
(1)
n
婆(k+1)を計算せよ。
k=1

(2)
n
婆(k+1)(k+2)を計算せよ。
k=1

(3)
n
婆^4を求めよ。
k=1

127 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 14:35:47
38番
楕円x^2/2+y^2=1を原点を中心に45°回転してできる曲線をCとする。
Cをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

128 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 14:43:33
39番
(1)次の等式を示せ。
 log(a)b=log(c)b/log(c)a
また、このときa,b,cに成り立つ条件をすべて答えよ。
(2)a,bに、(1)の条件が成立しているとき、a^log(a)bの値を求めよ。


129 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 14:46:12
40番
a,b,cは正の実数で、a+b+c=1が成り立っているとき、
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)の最大値を求めよ。

130 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 14:50:46
41番
∫[0, π]sinxf(t)dt+sinx+cosx=f(x)を満たすような関数f(x)を求めよ。

131 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 15:10:34
1レスにつき4〜5問くらい いっぺんに書いてくれ。1レスに1問とかウザイ。

132 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 15:46:34
逆に俺は一問一レスでないと読む気がせん。

133 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 17:14:37
ついに、クズの質問スレになったな
>>126


134 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 18:28:50
逆に糞問君に出題したらどうかな?

135 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 19:55:06
ab(a+b+c-c)+bc(b+c+a-a)+ca(c+a+b-b)

136 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 20:01:41
abc(a+b+c-c)/c+abc(b+c+a-a)/a+cab(c+a+b-b)/b
abc(1/c+1/b+1/a-3)

137 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 20:12:46
あれ?>>121はスルーっすかw?

138 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 20:22:33
>>137
解けないと思うなら証明してください
そうすれば正解です

139 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 20:47:49
↑x^3-x-1=0を解いて(高校レベルの道具で

140 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 21:11:54
カルダノやればいいじゃん
高校範囲で簡単に導けるだろ

141 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 21:40:16
>118
[34]
 exp(-x^2) > 1-x^2,
 (左辺) > ∫[0,1] (1-x^2)dx = [ x -(1/3)x^3 ](x=0,1) = 2/3.
 ( 0.746824… ぐらい)

>>126
[37]
(1) k(k+1) = {k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)}/3 より n(n+1)(n+2)/3.
(2) k(k+1)(k+2) = {k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)}/4 より n(n+1)(n+2)(n+3)/4.
(3) (1/30)n(n+1)(6n^3 +9n^2 +n-1).


>>128
[39]
(1) 左辺に log_a(x) = ln(x) / ln(a) を代入する。a>0,a≠1, b>0, c>0, c≠1.


>>130
[41]
∫[0,π] f(t)dt =C とおくと、f(x) = (C+1)sin(x) +cos(x).
∫f(t)dt = -(C+1)cos(t) +sin(t) より 2(C+1)=C, C=-2.
 f(x) = -sin(x) + cos(x).

142 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 23:19:03
30番θ=0で矛盾だけど、成り立つことを示せってどういうこと?

それと君この問題解いてみてくれ、入試問題としては簡単な方だから
xy平面においてx≦y≦x^2-100xの領域に存在する格子点の個数は何個か?

143 :132人目の素数さん:2006/12/28(木) 23:26:45
はいはい

144 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:27:38
G=(ab+bc+ca)-3abc-r(a+b+c-1)
Ga=b+c-3bc-r=0
ab+bc+ca=2/3-r
ab+ac-3abc-ar=0
2(2/3-r)-9abc-r=0
abc=4/27-r/3,3abc=4/9-r
K=2/3-r-4/9+r=2/9


145 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:30:36
42番
媒介変数tを用いて
x={t^2+t}/{t^2+t+1}、y={t^3+t^2}/{^3+t^2+1}
と表される曲線をCとする。tは実数全体を動くものとする。
(1)Cの概形を書け。
(2)変曲点の座標を求めよ。
(3)C、x軸、x=1で囲まれる部分の面積と1/2との大小を調べよ。
>>142
x^2-100x=xを解くとx=0,101
0≦x≦101で考えればよい。f(x)=x^2-100x
x=a→f(a)というふうに書くことにする。
x=1→-99、x=2→-196、x=3→-291、x=4→-384、x=5→-475、x=6→-564
x=7→-651、x=8→-736、x=9→-819、x=10→-900、x=11→-979、x=12→-1056
x=13→-1131、x=14→-1204、x=15→-1275、x=16→-1344、x=17→-1411
x=18→-1476、x=19→-1539、x=20→-1600、x=21-1659、x=22→-1716
x=23→-1771、x=24→-1824、x=25→-1875、x=26→-1924、x=27→-1971
x=28→-2016、x=29→-2059、x=30→-2100、x=31→-2139、x=32→-2176
x=33→-2211、x=34→-2244、x=35→-2275、x=36→-2304、x=37→-2331
x=38→-2356、x=39→-2379、x=40→-2400、x=41→-2419、x=42→-2436
x=43→-2451、x=44→-2464、x=45→-2475、x=46→-2484、x=47→-2491
x=48→-2496、x=49→-2499、x=50→-2500、
よって、格子点の数は、
2×(99+196+291+384+475+564+651+736+819+900+979+1056+1131
+1204+1275+1344+1411+1476+1539+1600+1659+1716+1771+1824+2875+1924
+1971+2016+2059+2100+2139+2176+2211+2244+2275+2304+2331+2356+2379
+2400+2419+2436+2451+2464+2475+2484+2491+2496+2499)+2500+100+(1+2
+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26
+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48
+49+50+51+52+53+54+55+56+57+58+59+60+61+62+63+64+65+66+67+68+69+70
+71+72+73+74+75+76+77+78+79+80+81+82+83+84+85+86+87+88+89+90+91+92
93+94+95+96+97+98+99+100)+1=171801個


146 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:36:31
>>145
それだとx^2-100x≦y≦x
x≦y≦x^2-100xだと無限個

147 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:36:56
すげぇ・・・

148 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:37:54
>>146
 なぜ無限と言い切れる?

149 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:48:00
>>140
高校の範囲じゃ無理。


150 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:49:09
x≦y≦x^2-100x
x^2-99x

151 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:49:49
>>148
n<0について点(n,n)は条件を満たす

152 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:52:20
半径rの円の中の整数座標の数をrであらわせとか?

153 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 00:57:21
>>149
お前が無理なだけ

154 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:01:02
>xy平面においてx≦y≦x^2-100xの領域に存在する格子点の個数は何個か?
x≦y≦x^2-100xだから、特にx≦x^2-100xが成り立つ。これを満たすxの範囲は
x≦0またはx≧101となり、求める格子点は無限個。

155 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:02:15
>>149
カルダノの公式自体は高校範囲外だけど導出は高校範囲で容易

156 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:04:03
カルダノを使うような悪問なんて東大は出さないよ。

157 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:04:30
そんなのどこも出すわけない

158 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:07:00
>>153
>>155
無理じゃないというならカルダノの公式を使う入試問題があるの?


159 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:08:32
>>158
アホですか?
出題の有無と公式の導出に何の関係がある

160 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:09:53
>>159
無理だからだされない

161 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:12:26
>>160
それはギャグで言ってるんだよね?
ちょっとびっくりしたよw

162 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:14:37
>>145
無限個が正解
俺が順番ミスっただけだけど
試験でもいちいち調べるんすかw?

163 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:15:00
>>159
>>161
ない?


164 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:15:51
>>162
お前は遊ばれてることに気付いたほうがいい

165 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:17:17
>>163
お前はアホなだから不精するな
意味不明だぞ

166 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:23:00
171802.


167 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:24:45
いい感じに糞スレになってきたな
糞出題者のせいでアホしか残ってないしな

168 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:31:09
誤魔化して終わりか

169 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:32:25
自己紹介イラネ

170 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:34:20
アホが恥を晒しただけだろ
誤魔化せてもいない

171 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:37:39
カルダノの公式を高校の範囲で証明しなさい

172 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 01:59:09
>>113
くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(47桁略)0582
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163520000/977
分からない問題はここに書いてね269
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1167229683/103


173 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 06:59:26
直接じゃないがカルダノ使う問題あったよ

わかりやすくPowerPointにした
http://p.pita.st/?fmps3oij
2時間掛かったぜ…

174 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 09:10:34
たかがこんなものに2時間もかけるなんて究極の素人だな。

175 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 14:42:32
>>129

40番
a,b,c≧0, a+b+c = s とする。
 (左辺) = s(ab+bc+ca) -3abc = (1/4)(s^3 -F_1 -3abc) ≦ (1/4)s^3.
ここに F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) ≧ 0. (←Schur不等式) >>38 >>399-401
等号は (a,b,c) = (s/2,s/2,0) のとき。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/896-897
不等式スレ2

176 :175:2006/12/29(金) 15:23:02
>175 のアンカーは間違いですた。取消しまつ。


177 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 15:25:11
43番
曲面:x^2+y^2-z^2=1と立方体|x|≦1,|y|≦1,|z|≦1とで囲まれた立体の体積を求めよ

178 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 17:02:12
>>177
2^3=8

179 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 17:22:59
x^3-x-1=0
(x^2-1)=1/x
(x+1)(x-1)=1/x
x=z
zz-1=z^-1
r^3e^i2t-1=e^-it
r^3=(1+e^-it)/e^2it


180 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 17:28:11
zz-1=z^-1
r^3e^i2t-r=e^-it
r^3=(r^2+1)^.5
arctan(rsint/(r+rcost)=2t


181 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 18:02:37
懲りずにまた来たよwwリアル工房か?ww

182 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 18:50:52
>>181
お前の脳内面白いな

183 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 19:05:14
このスレ別所でwatchされて,住民馬鹿にされてるぞ

184 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 19:26:37
Let D be a symmetric connexion on a manifold M. Prove the Bianchi identity: Ri;jhk|p+Ri;jkp|h+Ri;jph|k=0

185 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 19:28:20
connection が connexion になってるよこの本、bishop

186 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 19:29:10
糞問ばかり出してる奴は馬鹿にされても仕様がない

187 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 19:35:16
フランス語か。カルタンめ

188 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 19:41:40
高校生も終わりならリーマン幾何ぐらい冬休み中に終わらせておけよ。

189 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 20:28:16
45 中学問題?

190 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 20:51:06
44番
[x]はxをこえない最大の整数を表す。
f(x)=cosx-cos[x]とおく。
(1)-5≦x≦5の範囲で、y=f(x)の概形を描け。
(2)f(x)のとりうる値の範囲を答えよ。
>>162
2×(99+196+291+384+475+564+651+736+819+900+979+1056+1131
+1204+1275+1344+1411+1476+1539+1600+1659+1716+1771+1824+2875+1924
+1971+2016+2059+2100+2139+2176+2211+2244+2275+2304+2331+2356+2379
+2400+2419+2436+2451+2464+2475+2484+2491+2496+2499)+2500+101+(1+2
+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26
+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48
+49+50+51+52+53+54+55+56+57+58+59+60+61+62+63+64+65+66+67+68+69+70
+71+72+73+74+75+76+77+78+79+80+81+82+83+84+85+86+87+88+89+90+91+92
93+94+95+96+97+98+99+100)+1=171802個
の間違い。
そろばんやってたから計算はかなり得意。これも1分かからなかった。
あと速記も。
打つのは苦労した
試験でもやると思うお


191 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 20:53:16
45番
3つの整数a,b,cはa^2+b^2+c^2=10000を満たしている。
(1)(a,b,c)は有限個であることを示せ。
(2)a,b,cのうち少なくとも1つは4の倍数であることを示せ。
(3)これを満たす(a,b,c)は何個あるか。ただし、(1,2,3)と(2,1,3)のように順番が違うものも
異なるものとして数えよ。


192 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 20:54:43
46番(45が物足りない人向け)
3つの整数a,b,cはa^b+b^c+c^a=10000を満たしている。
(1)(a,b,c)は有限個であることを示せ。
(2)これを満たす(a,b,c)は何個か。ただし、(1,2,3)と(2,1,3)のように順番が違うものも
異なるものとして数えよ。


193 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 20:57:40
47番
台形ABCDはAD//BCで、AB=CD=1、AD=a、BC=bであるという。
(1)3≦a≦5のとき、bのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)台形ABCDは円に内接することを証明せよ。
(3)台形ABCDの外接円の半径を求めよ。


194 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 21:01:52
48番(47が物足りない人向け)
1辺の長さがa+b、a+c、a+d、b+c、b+d、c+d、である六角形ABCDEFがある。
ただし、a,b,c,dはすべて実数である。
(1)a,b,c,dが満たすべき条件を答えよ。
(2)六角形ABCDEFがある円に内接するためのa,b,c,dの満たすべき
条件を答えよ。また、そのときの外接円の半径をa,b,c,dで表せ。


195 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 21:03:46
49番

     ∞
無限級数蚤^(2k+1)/(2k+1)をaを用いて簡単にせよ。ただし、-1<a<1である。 
     k=0

196 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 21:10:49
50番
f(x)=x^3-x-1=0とおく。
(1)f(x)=0の実数解は1つであることを示せ。
(2)f(x)=0の実数解をαとする。αはe/2より小さいことを示せ。
(3)∫[0,β]f(x)dx=0を満たす実数β(>0)を求めよ。
(4)(3)より、-∫[0,α]f(x)dx=∫[α,β]f(x)dxが成り立つことがわかる。
これにより、αを決定せよ。

197 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 21:16:56
51番
a,bを異なる正の実数とする。
ある有限の点集合を、どの二点間の距離もaまたはbのどちらかになる集合とする。
この時、点集合として考えられるものを全て求めよ。

198 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 21:23:03
52番(51番が物足りない人向け)
a,b,cを異なる正の実数である。
ある有限の点集合を、どの2点間もaまたはbまたはcのどちらかになる集合とする。
このとき、点集合として考えられるものをすべて求めよ。


199 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 21:25:27
52訂正
冒頭「a,b,cを異なる正の実数とする。 」にしてください
53番
3つの実数a,b,cはa^6+b^6+c^6=1を満たしている。
このとき、F=a^4bc+b^4ca+c^4ab-a^3b^2c-b^3c^2a-c^3a^2bの最大・最小を求めよ。


200 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 21:27:30
54番
任意の実数xに対して、cos(sinx)>sin(cosx)が成り立つことを示せ。

201 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 22:16:33
>191
45番
 絶対値は (48,60,64) (36,48,80) (0,60,80) (0,28,96)

>195
49番
 (1/2)log{(1+a)/(1-a)} = arctanh(a) のマクローリン展開
 ∵ log(1-x) = -納n=1,∞) (x^n) /n.

>200
54番
 |sin(x)| ≦1, |cos(x)| ≦1,
 |sin(x)| + |cos(x)| = √{1+sin(2x)} ≦ √2 < π/2.
 cos(sin(x)) = cos(|sin(x)|) ≧ cos(π/2 -|cos(x)|) = sin(|cos(x)|) ≧ sin(cos(x)).

202 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 23:24:07
>184
共変微分は一般に可換でない。
すなわち 任意のベクトル Va↑ に対して ∇m∇n Va↑ -∇n∇m Va↑ は 0↑とはならない。
これを計算すると
 [∇m,∇n] Va↑ ≡ ∇m∇n Va↑ -∇n∇m Va↑= Ra;bmn Vb↑.     (25.1)
となる。ここで
 Ra;bmn ≡ ∂mΓa;nb - ∂nΓa;mb + Γa;mt・Γt;nb - Γa;nt・Γt;mb  (25.2).
は Riemann-Christoffel の曲率テンソル(curvature tensor)と呼ばれる。
まず (25.1) から
 ∇L[∇m,∇n] Va↑ = Ra;bmn|L Vb + Ra;bmn Vb|L.
また少し面倒な計算をすると
 [∇m,∇n]∇L Va↑ = Ra;bmn Vb|L + Rt;Lmn Va|t.
となる。そこで両者の差を求めると
 [∇L[∇m,∇n]] Va↑ = Ra;bmn|L Vb + Rt;Lmn Va|t.         (25.6)
L,m,nを順々におきかえれば
 [∇m[∇n,∇L]] Va↑ = Ra;bnL|m Vb + Rt;mnL Va|t,
 [∇n[∇L,∇m]] Va↑ = Ra;bLm|n Vb + Rt;nLm Va|t.
これら3個の式を加えると 左辺はJacobiの恒等式のために0となる。したがって
 0 ≡ (Ra;bmn|L + Ra;bnL|m + Ra;bLm|n)Vb + (Rt;Lmn + Rt;mnL +Rt;nLm) Va|t.
時空内の任意の点において、Vb および Va|t の成分の値は全く任意に、また互いに独立に選びうる。
したがって 上の恒等式は
 Ra;bmn|L + Ra;bnL|m + Ra;bLm|n = 0,               (25.7)
 Rt;Lmn + Rt;mnL + Rt;nLm = 0.                  (25.8)
という2組の恒等式に分かれる。
(25.7)はBianchiの恒等式と呼ばれ、これは非常に重要な恒等式である。

(参考書)
 内山龍雄: 「相対性理論」 岩波全書292, p.147-151 (1977) 第Y章 25 曲率
 山内恭彦・内山龍雄・中野薫夫: 「一般相対性および重力の理論」 裳華房 物理学選書10, p44-47 (1967)
     第U章 §13 Riemann-Christoffel テンソル

203 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 23:46:14
ここは既出?
http://homepage2.nifty.com/enjoying_math/index.htm

204 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 00:21:00
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1160364871/
>>200ここの住人はここよりはるかにレベル高いからここに書き込んでみては?

205 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 00:21:12
>177

43番
xy平面で切れば 半径√(1+z^2) の円と正方形の共通部分だから
S(z) = 4|z| + (1+z^2){π-4arctan(|z|)},
∫[0,z] S(z')dz' = (8/3)z^2 + {z+(1/3)z^3}{π-4arctan(z)} + (4/3)log(1+z^2).
V = 2∫[0,1] S(z')dz' = (8/3){2+log(2)} = 7.181725815…


>193

47番
(1) a-2 < b < a+2.
(2) a=b, AB//CD すなわち平行4辺形になる場合は除くんだろうな…
(3) √{(1+ab)/(4-(a-b)^2)}.

206 :132人目の素数様:2006/12/30(土) 00:33:53
>>205
すまない。47番でa≠bがぬけていました。
55番(54番が物足りない人向け)
(1)y=cosxは周期関数であることを示し、基本周期は2πであることを証明せよ。
(2)y=sin(cosx)+cos(sinx)は周期関数であることを示せ。ただし、基本周期は求めなくてよい。




207 :132人目の素数様:2006/12/30(土) 00:38:33
表現が悪かったです。書き直します。
47番 改
台形ABCDはAD//BCで、AB=CD=1、AD=a、BC=bであるという。また、台形ABCDは
平行四辺形ではないという。
(1)3≦a≦5のとき、bのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)台形ABCDは円に内接することを証明せよ。
(3)台形ABCDの外接円の半径を求めよ。

56番
(1)e^π >π^eを証明せよ。ただし、e=2.7・・・・、π=3.1・・・・である。
(2)a=e^π、b=π^eとおく。a^bとb^aの大小を比較せよ。


208 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 00:51:58
>>207

56番は
f(x) = log(x)/x が e<x で単調減少であることを示せばお終い、だよね。

209 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 00:55:16
>e^π >π^e

これ、散々既出なんだけど……

210 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 01:27:50
上で話題が出てたけど、3次方程式はCardanoの公式知らなくても
3倍角の公式知ってりゃ解ける場合も多いですよ。

答えが実解だという前提は必要だけど。

211 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 01:39:44
>196

50番
α = {(1-b)/2}^(1/3) + {(1+b)/2}^(1/3) ≒ 0.337726750973 + 0.986991206271 = 1.324717957245
b = √(1 - 4/27) ≒ 0.9229582069909

212 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 06:41:58
>>207
a,b,cがこの順に等差数列をなしsina,sinb,sincがこの順に等比数列をなすときは
どのようなときか

213 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 09:43:17
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214 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 15:41:38
>207-208

56番
 e^y > 1 + y,  (y≠0)
 e^{(x/e) -1} = x/e,  (x≠e)
 e^(x/e) > x,
 e^x > x^e.
 e^(1/e) > x^(1/x).
 f(e) = 1/e > log(x)/x = f(x).

215 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 16:18:20
>19

 20+π > e^π > 23

は無理かな?

216 :132人目の素数様:2006/12/30(土) 16:45:50
>>212

(sinb)^2=sina sinc
2b=a+cを解いて
nを整数として、
b=a+nπ
c=a+2nπ


a,b,cがこの順に等比数列をなしsina,sinb,sincがこの順に等差数列をなすときは
どのようなときか。



217 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 01:59:05
>216

 f(x) = sin(e^x) とおくと
 f '(x) = (e^x)cos(e^x) > 0,
 f "(x) = (e^x)cos(e^x){1-(e^x)tan(e^x)}
e^x =y とおけば
 f "(x) = y・cos(y){1-y・tan(y)}
 零点は y0 = 0.86033358901938…
 y < y0 では f "(x) > 0,
 y0 < y < π/2 では f "(x) < 0.
 a < y0 < c.

(例)
 a = 0.375285736340592…
 b = 0.750571472681184…
 c = 1.501142945362369…
は等比数列(公比2)で
sin(a) = 0.366538393973000…
sin(b) = 0.682056788895123…
 sin(a) = 0.997575183817245…
は等差数列

218 :132人目の素数様:2006/12/31(日) 02:09:59
57番
f(x)は3次関数である。
(1)f(f(x))は6次関数であることを証明せよ。
(2)f(f(f(x)))は9次関数であることを証明せよ。
(3)f(f(x))=a(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(aは正の実数)となるf(x)は存在するか。


219 :132人目の素数様:2006/12/31(日) 02:13:38
58番
すべての正の実数xにたいし、x^a≦a^xを満たすようなaの値の範囲を求めよ。


220 :132人目の素数様:2006/12/31(日) 02:18:01
59番
数列sinx、sin2x、sin3x、・・・、sin(nx)、・・・
を考える。
この中からある3つを取り出して、適当な順に
並べると等差数列になるような3つが存在する
ようなxの条件を求めよ。

221 :132人目の素数様:2006/12/31(日) 02:23:01
60番
4数α、β、γ、δはすべて実数で
α+β=γ+δ
α^2+β^2=γ^2+δ^2
α^3+β^3=γ^3+δ^3
α^4+β^4=γ^4+δ^4
を満たしている。(α、β、γ、δ)をすべて求めよ。

222 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 03:03:48
B**関数f_n(x)=f_[n-1](x)+1/(x+n) f_0(x)=0とする
lim[n→∞]f_n(n)を求めよ
B**(n^2+8n+7)/(2n+1)が整数となるような整数nを全て求めよ
C***2n+1人が硬貨を1枚ずつ投げ,表裏の少ない方を勝者とする
a_n=C[2n,n]/4^nとし,このときの勝者の人数の期待値E(n)をa_nを用いて表せ

223 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 03:16:42
>>222
f_1(x)=1/(x+1)
f_2(x)=1/(x+1)+ 1/(x+2)
f_n(x)=1/(x+1) + 1/(x+2) + ・・・ + 1/(x+n)
f_n(n)=1/(n+1) + 1/(n+2) + ・・・ + 1/(n+n)
=Σ[k=1,n]{1/(n+k)}=(1/n)*Σ[k=1,n]{1/(1+k/n)}
lim[n→∞]f_n(n)=∫{0to1}(1/(x+1))dx=log2

224 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 04:10:34
>>18
問題15
壁の範囲は y≧x^2, x≧y^2 の間違いでしょ

A(3,5,7), Q(x,y,0) とし、
QA↑ 方向の単位ベクトルを u↑、
x軸、z軸方向の単位ベクトルをそれぞれ i↑、k↑とする。

点Qの周囲の微小面積 dxdy が作る影の面積 dS は
dS = (3^2/(3-x)^2)(u↑・k↑)/(u↑・i↑) dxdy
= 63/(3-x)^3 dxdy

S = ∫[0≦x≦1, x^2≦y≦√x] 63/(3-x)^3 dxdy
= 63∫[0≦x≦1] ((√x)-x^2)/(3-x)^3 dx
= (7/8)*(33 - 72*log(3/2) - (√3)*log(2+√3))
≒ 1.33478995


>>49
被積分関数間違ってる
(1/7)∫[-7/2,0] {√(-3b(7-b)) + 5b - b(4b+35)/(7-b)} db
≒ 1.33478995

225 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 13:01:40
双子素数(5・7、11・13)は無限にあることを証明せよ。

226 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 14:43:47
>689文系チックに
@‐Aよりcos(2x+ρ)=-sin(2x-θ)B
x=0を代入しても=は成り立つのでBは
cosρ=-sin(-θ)=sinθ
cos30゚=sin60゚,cos0゚=sin90゚…のように足したら90゚になるので90゚

227 :214:2006/12/31(日) 16:40:30
>219

58番
 x^a ≦ a^x,
 x^(1/x) ≦ a^(1/a),
 f(x) = log(x)/x ≦ log(a)/a = f(a),   >214
∴ a=e.

228 :132人目の素数さん:2006/12/31(日) 18:07:33
>>127

38番
 x=(X+Y)/√2, y=(Y-X)/√2 を与式に代入して
 Y(+) = {X + 2√(3-2X^2)} /3,
 Y(-) = {X - 2√(3-2X^2)} /3.
ただし |X|≦√(3/2).
 Y(-) の零点は Xo = 2/√3,
V = 2π∫[0, Xo] Y(+)^2 dX + 2π∫[Xo, √(3/2)] {Y(+)^2 - Y(-)^2}dX
  = (2π/9)∫[0,Xo] {12 -7X^2 +4X√(3-2X^2)}dX + (8π/9)∫[Xo,X1] 2X√(3-2X^2) dX
  = (2π/27)[ 36X -7X^3 -2(3-2X^2)^(3/2) ](X:0→Xo) + (2π/27)[ -4(3-2X^2)(3/2) ](X:Xo→X1)
  = (2π/9√3)(24 -56/9 -2/9 +6) + (2π/9√3)*36
  = 2(2 + 50/81)π/√3 + (8/81√3)π
  = (16/3√3)π.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/127
東大入試作問者スレ8

229 :132人目の素数さん:2007/01/01(月) 00:19:21
>>14
 C****

V(0) = (4/3)π.
V(1) = V(0) + π∫[7/8,1] {(1/4)-(x-1)^2 -(1-x^2)}dx + π/12
  = V(0) + π∫[7/8,1] (2x -7/4)dx + π/12
  = V(0) + π[ x^2 -(7/4)x ](x=7/8,1) + π/12
  = V(0) + π/64 + π/12
  = V(0) + (19/(24・8))π.
V(2) = V(0) + (19/(24・8))π + (19/(24・8^2))π,
V(n) = V(0) + (19/(24・8))π + (19/(24・8^2))π + … + (19/(24・8^n))π 公比1/8の等比級数,
   = V(0) + (19/(24・7))π * {1 - (1/8)^n},
Lim[n→∞) V(n) = V(0) + (19/(24・7))π = (81/56)π.

230 :132人目の素数さん:2007/01/01(月) 22:38:17
n!≧n(n-1)の関係を上手く使った問題作れないかな

231 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 00:42:31
   ∧_∧  ノロウイルス撒いてやんよ
  ( ・ω・)ノ>゚+。:.゚
  C□ / ゚。:.゚.:。+゚
  /  . |
  (ノ ̄∪

   ∧_∧   彡
  ( ・ω+。:.゚ 彡
  C□゚。:.゚.:。+゚
  /  . |
  (ノ ̄∪

   <⌒/ヽ-、 ___
 /<_/____/

232 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 01:17:17
>>230
そんな甘すぎる評価式では、たとえ問題を作っても別解が出来てしまう。

233 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 15:05:39
>>199

53番
 -0.358831700744616… ≦ F ≦ 0.40354678557889…
等号成立は
左側: (a,b,c) = (-0.60180089, 0.719539815, 0.96622635)
右側: (a,b,c) = (-0.74912440, -0.55987256, 0.961974165) 
と その巡回置換 と 反転。


234 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 17:03:46
>>218
>>220
>>221
解いた上で出してるか?


235 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 18:18:19
解けないなら解けないことを証明してください。正しければ正解ですみたいなこと言ってた。
実際解いてるとは思えないが。

236 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 23:18:40
このすれってちょっと難しい問題が出たら「解いた上で出してるか?」が口癖なのなwww

237 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 23:23:27
(x^3)^3=x^9って難しいのか?

238 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 23:35:11
>>236
問題不成立の場合もあるから言ってるんだろ

239 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 00:10:41
せめて答書いてから煽れよw

240 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 00:36:27
>218

57番
 f(x) がn次の多項式 なら
 f(x) = a・x^n + b・x^(n-1) + …… + r (a≠0)
 f(f(x)) = a^(n+1)・x^(n^2) + …… + f(r), だから (n^2)次式
 f(f(f(x))) = a^((n+1)n+1)・x^(n^3) + …… + f(f(r)), だから (n^3)次式

>221

60番
 α^i + β^i = γ^i + δ^i  …… (i)
とおく。ただし i = 1,2,3,4.
 2*(2) - (1)^2 より
 (α-β)^2 = (γ-δ)^2
∴ α-β = γ-δ または α-β= -(γ-δ).
これと(1)から
 α=γ,β=δ または α=δ, β=γ.
なお、
 (3) = (1)*{3*(2) - (1)^2} /2,
 (4) = (2)^2 - {(1)^2 -(2)}^2 /2.
も成立する。
(実数に限る必要もないかと…)

241 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 08:14:56
>>238
神大入試であったな。問題不成立。
もちろん頭のいい奴はそれを証明した奴もいたわけだが。

242 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 12:58:36
>>241
問題キボンヌ

243 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 19:21:20
次の方程式で表されるxy平面上の3直線l_1, l_2, l_3を考える。
l_1 : x+y-1=0
l_2 : x-y+1=0
l_3 : x+k=0
(ただしkは0でない定数)
このとき、次の各問いに答えよ。
(1) 1次変換fによりl_1がl_2に、l_2がl_3にうつされるとき、この1次変換fを表す行列Mをkを用いて表せ。
(2) 3直線l_1, l_2, l_3でつくられる3角形の重心が、(1)の1次変換fにより原点にうつされるとき、kの値を求めよ。
(82 神戸大)

244 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 20:59:40
B**中心Oの単位円に内接する正n角形の頂点をX_1,X_2,…X_nとする
このとき↑OXの異なる2つのベクトルの内積の和を求めよ
B***x>0とし,xの小数部分が1/x等しいものを小さい順にx_1,x_2,…とし,S(n)=Σ[k=1,n]x_kとする
lim[n→∞]S(n)/n^2を求めよ

245 :132人目の素数様:2007/01/03(水) 22:24:42
>>240
57番は問題ミスを指摘したので正解。
60番は説明不足。部分点5点。

61番
3数a^2+2b^2、b^2+2c^2、c^2+2a^2(a,b,cは整数)について、次の問いに答えよ。
(1)「3数がすべてp(pは自然数)の倍数になる」ようなa,b,cが存在するような最大のpを求めよ。
(2)「3数がすべてq(qは自然数)の倍数になる」が常に成り立つような最大のqを求めよ。


246 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 22:30:14
>>243
ありがとう

247 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 22:31:32




248 :132人目の素数様:2007/01/03(水) 22:34:13
62番
f(x)=x^3-3px^2+qx+1について、y=f(x)は定点P(1,a)を通る(a>0)。Pにおけ
るy=f(x)の接線lとy=f(x)の交点をQとする。ただし、Qのy座標は負である。
PQとy=f(x)とで囲まれる面積をS1とする。x=1、x軸、PQとで囲まれる面積をS2
とする。また、接線lに平行な直線でlとは異なるy=f(x)上の接線をmとする。
mとx軸との交点をRとし、mとx軸、y=f(x)とで囲まれる面積をS3とする。
S1=S2=S3=S(定数)が成り立つとき、a,p,q、Sの値をそれぞれ求めよ。


249 :132人目の素数様:2007/01/03(水) 22:38:18
63番
N=100!、M=10!、L=20!とおく。
(1)pを自然数とする。N/(M^p)が整数となるようなpの最大値を求めよ。
(2)qを自然数とする。N/(L^q)が整数となるようなqの最大値を求めよ。
(3)r,sを自然数とする。N^10/(M^r L^s)が整数となるようなr,sのうち、
rsを最大にするr,sの値を求めよ。

250 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 22:45:08
素数様氏ね

251 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 22:52:01
197 名前: 132人目の素数さん [sage] 投稿日: 2006/12/29(金) 21:16:56
51番
a,bを異なる正の実数とする。
ある有限の点集合を、どの二点間の距離もaまたはbのどちらかになる集合とする。
この時、点集合として考えられるものを全て求めよ。

198 名前: 132人目の素数さん 投稿日: 2006/12/29(金) 21:23:03
52番(51番が物足りない人向け)
a,b,cを異なる正の実数である。
ある有限の点集合を、どの2点間もaまたはbまたはcのどちらかになる集合とする。
このとき、点集合として考えられるものをすべて求めよ。

---

ここら辺の流れをみて、ろくに考えずに問題出してるんだなぁって気がした。
51番は解けたんだろうか……

252 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 23:29:50
素数様もそろそろネタ切れだなww

253 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 02:50:41
素数様は東大後期系で難しすぎて誰も解けない

254 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 04:27:52
>東大後期系

むしろ30〜40年前の入試問題みたいな雰囲気だけど。

255 :132人目の素数様:2007/01/04(木) 14:14:06
64番
(1)1次関数y=f(x)で、f(α)=β、f(β)=αを満たす。f(x)をα、βを用いて表せ。
(2)2次関数y=g(x)で、g(α)=β、g(β)=γ、g(γ)=αを満たす。g(x)をα、β、γを用いて表せ。
(3)3次関数y=h(x)で、h(α)=β、h(β)=γ、h(γ)=δ、h(δ)=αを満たす。h(x)をα、β、γ、δを用いて表せ。
(4)n次関数y=i(x)で、異なる定数p_1、p_2、p_3、・・・・、p_nに対して、
i(p_n)=p_1
i(p_j)=p_[j+1](j=2,3,4,・・・・,n-1)
を満たす。このようなi(x)は唯1つ存在することを証明せよ。

256 :132人目の素数様:2007/01/04(木) 14:17:54
素数pのうち、p^p+2が素数であるとき、pを超素数ということにする。
(1)最も小さな超素数を求めよ。
(2)超素数は無限に存在することを証明せよ。ただし、素数が無限に存在することは証明なしに使ってよい。

257 :132人目の素数様:2007/01/04(木) 14:21:23
↑65番

66番
f(x)=x^2-2x+5、g(x)=-x^2+x/2a+a+4とする。(a≠0)
(1)任意の整数α、βに対し、f(α-β)>g(α+β)が成立するようなaの値の範囲を求めよ。
(2)任意の整数α、βに対し、f(α√2)>g(β√3)が成立するようなaの値の範囲を求めよ。

258 :132人目の素数様:2007/01/04(木) 14:27:23
64番
(1)〜(3)でα〜δはすべて異なる定数。


67番
P(x)をn次式の整数係数多項式とする。このとき、どのようなP(x),自然数mに対しても、P([m]√3)=√2となり得ないことを証明せよ。ただし、[m]√3=3^(1/m)である。


259 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 15:23:04
>>249
N=100!=2^97*3^48*5^24*7^16*11^9*13^7*17^5*19^5*...
M=10!=2^8*3^4*5^2*7
L=20!=2^19*3^8*5^4*7^2*11*13*17*19 だから

(1) 8p≦97, 4p≦48, 2p≦24 ,p≦16 より 求める最大値は12
(2) 19q≦97,8q≦48 4q≦24, 2q≦16, q≦9,q≦7,q≦5,q≦5より
求める最大値は5
(3) 8r+19s≦97かつ4r+8s≦48かつ2r+4s≦24かつr+2s≦16かつs≦5
のときのrsの最大値を考える。
(r,s)=(5,3)のときrs=15で最大。


260 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 15:54:19
>>255
64番(4)
定数の数が一個足りなくないですか?
(修正案)
異なる(n+1)個の定数p_1、p_2、p_3、・・・・、p_n、p_[n+1]に対して、
i(p_[n+1])=p_1
i(p_j)=p_[j+1](j=2,3,4,・・・・,n)



261 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 20:24:17
>>260
素数様が間違えるわけないだろ!!氏ね!!

262 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 20:52:43
A=B,B=CならばB=Cとなるが

俺=人間、イケメン=人間ならば俺=イケメンとならないのはなぜか

263 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 20:54:35
お前と人間はイコールでないから。

264 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 21:00:02
すげえ、正論じゃん。

265 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 22:10:17
>A=B,B=CならばB=Cとなるが

266 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 22:17:08
>>262
次の命題を考えてみろ!
「俺∈人間、イケメン∈人間 ⇒ 俺=イケメン」

それにしても、いつからココは高校生の自由研究スレになったんだ?

267 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 22:22:52
はじめからじゃね?

268 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 22:32:00
問題を作れない解けない雑魚がwww

269 :132人目の素数様:2007/01/05(金) 02:26:03
>>261
 ありがとう。でも>>260のほうが正しかった。深く謝罪します。


65番
4定点A,B,C,Dは同一円周上にあるという。この円をPとし、Pと同じ半径で、Pとは異なる円であり、かつA,Bを通る円をQとする。Qは唯1つしか存在しないことを証明せよ。

270 :132人目の素数様:2007/01/05(金) 02:31:08
66番
(1)3つの正の数a,b,cが与えられたとき、その3つの数を3辺の長さとする三角形が存在するためのa,b,cの必要十分条件を求めよ。
(2)4つの正の数a,b,c,dが与えられたとき、その3つの数を4辺の長さとする四角形が存在するためのa,b,c,dの必要十分条件を求めよ。ただし、その四角形をABCDとすると、AB=a,BC=b,CD=c,DA=dになるとする。

271 :132人目の素数様:2007/01/05(金) 02:37:03
66番(2)3つの数→4つの数

67番
(1)極限値lim[x→∞]sin(logx)/xを求めよ。
(2)不等式∫[0,10]sin(logx)/xは0より大きいことを示せ。ただし,e>2.718、π>3.141を使ってもよい。
(3)極限lim[x→∞]exp(sinx)sinx/x^2の収束・発散を調べよ。収束するときは極限値を求めよ。ただし、exp(x)=e^xである。


272 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 02:56:00
>>271
大学入試問題で広義積分は出ないし収束もしてない。


273 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 03:09:47
素数様は高校何年生ですか?

274 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 04:18:56
>>273
高校中年生です。

275 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 14:11:16
>>255
64(4)
i(x)がn-1次以下になる可能性が排除できません。
素数様教えてください。


276 :132人目の素数様:2007/01/05(金) 16:16:30
>>275
馬鹿野郎!!!!!問題文を嫁!!!n次関数と書いてあるだろうが!!お前はいつもそうだ!!お前は100点を取れる実力は持っているのにつまらないミスでそれを逃してしまう!!もっと落ち着け!!!!お前ならできるはずだ!頑張れ!!

>>272
 しまった。広義積分は範囲外だった!!収束はする。
 67番改
67番
(1)極限値lim[x→∞]sin(logx)/xを求めよ。
(2)不等式∫[1,10]sin(logx)/xは8/5より大きいことを示せ。ただし,e>2.718、π>3.141を使ってもよい。
(3)極限lim[x→∞]exp(sinx)sinx/x^2の収束・発散を調べよ。収束するときは極限値を求めよ。ただし、exp(x)=e^xである。

68番
 a,b,cを3辺とする三角形の3頂点がすべてy=x^2上にあるようにできないためのa,b,cの条件を求めよ。


277 :132人目の素数様:2007/01/05(金) 16:28:42
>>273
 俺は浪人生2だ。

67番改2
(1)極限値lim[x→∞]sin(logx)/xを求めよ。
(2)不等式∫[1,10]sin(logx)/xdxは8/5より大きいことを示せ。ただし,e>2.718、π>3.141を使ってもよい。
(3)極限lim[x→∞]exp(sinx)sinx/x^2の収束・発散を調べよ。収束するときは極限値を求めよ。ただし、exp(x)=e^xである。
 
69番
 5000個のおもりがあり、4999個は1000gで、1個は999gであるという。天秤を使って、この999gのおもりを見つけたい。ここで、方法はおもり
を無作為に二つとって、天秤の両側に1つずつ乗せるという方法のみとする。999gのおもりを見つけるまでに天秤を使う回数の期待値を求めよ。ただし、皿の重さは等しいものとし、天秤は正確であるとする。




278 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 16:35:00
67の(1)と(3)は瞬殺。(2)はcos(log 10)の評価が必要になるので面倒。

279 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 17:53:36
素数様はどこの大学志望ですか?数学は得意な方ですか?

280 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 23:27:06
n次関数と書いてあるからこそn次の係数が0でないことを
示さなくちゃいけないってことも分からないのか。
(成り立たないから示せるわけないけど)


281 :132人目の素数さん:2007/01/05(金) 23:33:32
70
pを2以上の整数とする。
αがcosαπ=1/(2p) , 0<α<1をみたすとき
αが無理数であることを示せ。

282 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 00:16:27
(RRBW)p_n (RBWW)q_n (RBBW)r_n (RRBB)s_n (RBBB)t_n (BBWW)u_n (BBBW)v_n (BBBB)w_n
p_n+1=1/4p_n q_n+1=1/4q_n r_n+1=1/2r_n+1/2p_n+1/2q_n+1…v_n+1=1/4r_n u_n+1=1/4q_n
白2の確率はΣ[k=1,n]u_k
白1の確率はΣ[k=1,n]v_k以下略

283 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 00:35:58
http://rose.eek.jp/911/loosechange.html

284 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 01:34:39
二回で終わる確率より白2が小さいはずない

285 :282:2007/01/06(土) 02:54:50
>284
白2(1-4(1/4)^n)/6
白1(1-6(1/2)^n+8(1/4)^n)/3 って出たか?

286 :132人目の素数様:2007/01/06(土) 16:02:32
71番
y=x^2+ax+bが-1<x<1、2<x<3の範囲で常に正となるような(a,b)の範囲を図示せよ。


287 :132人目の素数様:2007/01/06(土) 16:07:15
72番
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a>0)とする。f(-1)=2,f(0)=1,f(2)=3であり、y=f(x)はx軸と3点で交わっている。
この3点をx座標の小さい順にA,B,Cとする。線分ABとy=f(x)で囲まれた面積をS1、線分BCとy=f(x)で囲まれた面積をS2とするとき、
S1+S2のとりうる値の範囲を求めよ。

288 :132人目の素数様:2007/01/06(土) 16:11:16
73番
2次の正方行列A,B,Cがある。これらはすべて逆行列を持つ。
「AB=BA、AC=CA、BC=CB」がすべて成り立つことがわかっている。
(1)A,B,Cに成り立つ関係式を求めよ。
(2)
(1 0)=A
(1 2)
のとき、自然数nにたいし、A^n+B^n+C^nの値を求めよ。

289 :132人目の素数様:2007/01/06(土) 16:13:40
行列Aは、ある自然数nに対して、A^n=Oを満たしている。
(1)A^2を求めよ。
(2)Aを求めよ。
(3)(2)で求めたAのうち、逆行列を持つものをBとする。
B+2B^2+3B^3+4B^4+・・・+100B^100を求めよ。


290 :132人目の素数様:2007/01/06(土) 16:18:42
↑74番
75番
(1)任意の自然数nに対して、n(n+1)(n+2)/6は自然数であることを証明せよ。
(2)任意の自然数nに対して、nとn-1は互いに素であることを証明せよ。
(3)任意の自然数nに対して、2^n+3^n+5^nを割り切る最大の自然数を求めよ。
(4)pを無理数とする。2^pを有理数にするpは存在するか。
(5)pを無理数とする。2^p+3^p+5^pを有理数にするものは存在するか。
(6)pを無理数とする。p^pを有理数にするものは存在するか。
(7)pを無理数とする。p√2+p^2√3+p^3√5を有理数にするものは存在するか。


291 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 16:33:05
>>289
つまり、Bは逆行列を持ちつつも、B^n = 0を満たす奇特な行列な訳だな?

292 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 17:42:44
素数様センター前ですよ!多浪になりますよ!

293 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 19:20:41
素数様!四角形に外接円が存在する条件教えてください!

294 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 21:50:29
各辺長が1桁の整数で、かつ一つの角が60゚であるような、正三角形でない三角形をすべて求よ。

295 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 00:54:45
B**a^b=b^c=c^aを満たす組(a,b,c)を求めよ
B**p!+q!=r!を満たす組(p,q,r)を求めよ
B**1/a+1/b=1/cを満たす素数の組(a,b,c)は存在しないことを示せ

296 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 00:56:33
>>295
a,b,c
p,q,rの条件は?


297 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 01:00:11
1番目0以上,2番目は自然数

298 :295:2007/01/07(日) 01:07:34
すまんどっちも自然数(^_^;)

299 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 03:36:21
>293

 外接円の中心をOとおけば
 ∠ABC + ∠ADC = (1/2)∠(O-弧ADC) + (1/2)∠(O-弧ABC) = (1/2)*360゚ = 180゚

http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html

>294
 A=60゚, cos(A) =1/2.
 第二余弦定理より
 a^2 = b^2 +c^2 -2bc・cos(A) = b^2 +c^2 -bc.

>295
(1) a=b=c の他には…
(2) min(p,q,r)=s とし、各項をs!で割る。項の一つが1になる。
(3) 与式より a,b>c.
 両辺にabcを掛けると (a+b)c = ab.
 左辺はcの倍数だが、右辺はそうでない(矛盾)。 

300 :295:2007/01/07(日) 04:16:01
正解です、久々に解いてくれた人が現れた〜
(1)はa<bとして矛盾を導きます

301 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 17:00:38
>>197-199, >>251

51番
 正8面体(6) 1 : √2, (正方形も含む),
 正5角形(5) 1 : (1+√5)/2,
 2等辺3角形(3).

52番
 正20面体(12) 1 : (1+√5)/2 : √{(5+√5)/2},
 正7角形(7) 1 : 2cos(π/n) : 4cos(π/n)^2 -1,
 正6角形(6) 1 : √3 : 2,
 立方体(6) 1 : √2 : √3,
 菱形(4),
 不等辺3角形(3).

302 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 18:59:22
>271, >277-278

67番
(1) |sin(log(x))| ≦1, | 与式 | ≦ 1/x → 0.
(2) x = exp(t) とおくと、
 I = ∫[0,log(10)] sin(t)dt = [ cos(t) ] = 1 - cos(log(10))
  = 1 - cos(3π/4 - 0.0536…) > 1 - cos(2π/3 -1/18) = 1 - cos(2π/3 -a)
  = 1 - cos(3π/4)cos(a) - sin(3π/4)sin(a) = 1 - {-cos(a)+sin(a)}/√2
  > 1 - {-1 +(1/2)a^2 +a}/√2 = 1 + 611/(81*8*√2) > 1 + 432/(81*8) = 5/3.
(3) -1 ≦ sin(x) ≦ 1, 1/e ≦ exp(sin(x)) ≦ e, | 与式 | ≦ e/x^2 → 0.

303 :301:2007/01/08(月) 18:42:46
>>197-199, >>251 (追加)

51番
 2つの正4面体の底面を貼り合せた物(5) 1 : √(8/3),
 正3角錐(4)
 正3角形 + 中心(4) 1 : √3

52番
 立方体(8) 1 : √2 : √3,
 正8面体 + 中心(7) 1 : √2 : 2,
 正5角錐(6)  1 : (1+√5)/2 : ?,
 正5角形 + 中心(6) 1 : √{(5-√5)/2} : √{(5+√5)/2},
 正4角錐(5) 1 : √2 : ?,
 正方形 + 中心(5) 1 : √2 : 2
 3方両錐(5) (2つの合同な正3角錐の底面を貼り合せたもの)

304 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 20:45:22
>255, 258, 260
64番
(1) f(x) = {f(α)(x-β) - f(β)(x-α)}/(α-β) = α+β-x,
(2) g(x) = g(α)(x-β)(x-γ)/{(α-β)(α-γ)} + g(β)(x-γ)(x-α)/{(β-γ)(β-α)} + g(γ)(x-α)(x-β)/{(γ-α)(γ-β)},
(3) h(x) = h(α)(x-β)(x-γ)(x-δ)/{(α-β)(α-γ)(α-δ)} + h(β)(x-γ)(x-δ)(x-α)/{(β-γ)(β-δ)(β-α)}
     + h(γ)(x-δ)(x-α)(x-β)/{(γ-δ)(γ-α)(γ-β)} + h(δ)(x-α)(x-β)(x-γ)/{(δ-α)(δ-β)(δ-γ)},
(4) i(x) = Σ_(j=1〜n+1) i(p_j)・Π_(k≠j) {(x-p_k)/(p_j-p_k)},   但し p_[n+2]=p_1.

http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html


>269
65番
 Pの中心を O(P), Qの中心をO(Q) とすると、3辺相等により △ABO(P) ≡ △ABO(Q).
 O(Q)≠O(P) だから O(Q)は 直線ABに関して O(P)と対称の位置にある。


>270
66番
(1) a+b+c > 2max(a,b,c).
(2) a+b+c+d > 2max(a,b,c,d).


>294
 a =7, b=3, c=8, cos(B)=13/14, cos(C)=-1/7.
 a =7, b=5, c=8, cos(B)=11/14, cos(C)=1/7.
と その置換え。

305 :301:2007/01/09(火) 23:55:46
>>197-199, >>251 (追加)

51番
 @側面が正方形の正3角柱(6) 1 : √2,
 Aアンチプリスム, h=a√(2/3),(6) 1 : √2,

52番
 @ + 中心(7) 1 : 2√(3/7) : 2√(6/7),
 A + 中心(7) 1 : √2 : 2,
 正3角柱(6)
 アンチプリズム(正3角柱の上底or下底だけを60゚回したもの)(6)

306 :301:2007/01/10(水) 00:48:50
>>197-199, >>251 (追加)

52番
 5方両錐(2つの合同な正5角錐の底面を貼り合わせたもの)で、
 (i) 10面の正3角形からなるもの。 1: √{2(1-√(1/5))} : (1+√5)/2.
 (ii) 2h=a (hは高さ、aは1辺の長さ)。
 (iii) 2h=a√{2(1-√(1/5))} のもの。

307 :301:2007/01/10(水) 01:09:04
>306 の訂正

 (iii) 2h=a(1+√5)/2 のもの。 1 : √{(7+9/√5)/8} : (1+√5)/2,

308 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 01:30:53
東大系…微積分重視、計算量多い
京大系…文章も解答量もコンパクト、最近易化
東工大系…問題数少、微積分重視
阪大系…?

309 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 12:10:56
>197
点集合は面上にあるのか、3次元空間なのかで、答も難易度も変わるが。
平面上の点なら「初等的に解いた高等数学の問題」(東京図書、絶版)に解答が載ってる。つか、過去スレと同じ問題だ。

310 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 14:22:12
1辺が1の正20面体の対角線の長さを求めよ

311 :おいら:2007/01/10(水) 22:39:22
宣伝に来ました。

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312 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 23:36:05
>>290
75
(1)どれかひとつ以上2の倍数と3の倍数が因数に含まれる
(2)1より大きい共通因数が存在すると仮定するとその数で割った2整数の差が1より小さくなる
(3)n=1のとき2+3+5=10=2*5 , n=2のとき4+9+25=38=2*19
2^nは偶数で3^n,5^nはだから2^n+3^n+5^nは偶数
よって2^n+3^n+5^nを割り切る最大の自然数は2
(4)log_2(3)=m/lと仮定すると、3^l=2^mとなるのでlog_2(3)は無理数
よってp=log_2(3)とすればよい
(5)存在するだろうけど・・・
(6)pはp^p=2をみたすとする。中間値よりpは存在し、pが自然数でないのは明らか、p>1
p=m/l(m,lは互いに素,m>l>1)と仮定すると
m^m=2^l*l^mよってmとlは1より大きい公約数lをもつので矛盾
よってp^p=2をみたすpは無理数
(7)pはp√2+p^2√3+p^3√5=1をみたすとする。pの実数解は少なくともひとつ存在し、
p=m/lと仮定すると
ml^2 √2+lm^2 √3+m^3 √5=l^3
何乗かしたり整理したりして√2=(係数が有理数の有理式)の形になるので矛盾
よってp√2+p^2√3+p^3√5=1をみたすpは無理数

313 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 15:40:50
C**sin10゚は有理数か

B***さいころをn個(n≧2)同時に投げるとき,どの二つのさいころをとっても出た目の数の差が2以下になる確率を求めよ

314 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 22:11:58
素数様の問題をみんなが解かないから、難問題スレに貼りまくってるじゃないか。(´・ω・`)

315 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 22:44:46
>>281

70番
 背理法による。 α = m/n (0<m<n 自然数) と仮定する。
 cos(nθ) = T_n(cosθ) = (1/2){(2cosθ)^n - n(2cosθ)^(n-2) + …… },  
 cos(n(απ)) = T_n(cos(απ)) = T_n(1/2p) = = (1/2){(1/p)^n - n(1/p)^(n-2) + …… } = {1/(2p^(n-2))}{(1/p^2) + (整数) } ≠ (整数).
これは cos(mπ) = (-1)^m = 整数, に矛盾。

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

>>197-199, >>251 (追加)
51番
 正4面体 + 中心(5) 1 : √(8/3),

316 :132人目の素数さん:2007/01/12(金) 01:30:36
>>309
 51番 ここら辺にも解凍↓

「数学の問題」第(3)集, 数セミ増刊, 日本評論社 (1988) 第78問

>>305
 Aは8面の正3角形より成るから、正8面体だお。

317 :132人目の素数様:2007/01/12(金) 23:35:05
76番
f(x)=log(x)log(1/x)とおく。ただし、x>0とする。
(1)y=f(x)のグラフの概形を図示せよ。
(2)limf(x)/x^pが0でない極限値に収束するとき、pの値とその極限値を求めよ。
   x→∞


318 :132人目の素数様:2007/01/12(金) 23:38:34

77番

3辺が1、√3、2である三角形の3角は30度、60度、90度であることを証明せよ。

319 :132人目の素数様:2007/01/12(金) 23:41:11
78番
(a,b)を次の規則1か規則2に従って、順番に変化させていくものとする。
規則1 (a,b)を(a^2+b^2、a^3+3b^3)にする
規則2 (a,b)を(a^2-b^2、a^3-2b^3)にする
(1)最初(1,0)から始めるとき、規則1か規則2を何回か好きなように使用して、
(1000,1001)を作れるか。
(2)最初(p,q)から始めるとき、(r,s)が作れるための4つの実数p,q,r,sの必要十分条件を求めよ。



320 :132人目の素数様:2007/01/12(金) 23:45:41
79番
(1)f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)とする。y=f(x)の頂点が(p,q)でf(a)=b、f(b)=a、f(c)=c
が成り立つという。a,b,c,p,qに成り立つ関係式を求めよ。
(2)f(x)=ax^2+bx+c、g(x)=px^2+qx+r(ap≠0)とする。y=f(x)、y=g(x)が異なる2点のみで交わり、
その2点をP、Qとするとき、PQの長さをa,b,c,p,q,rのうち必要なものを用いて表せ。
(3)(2)でa,b,c,p,q,rをすべて1以上2以下の範囲で動かすとき、PQの長さの最大値を求めよ。


321 :132人目の素数様:2007/01/12(金) 23:46:40
80番
自然数xに対し、
f(x)=sin1°+sin2°+sin3°+・・・+sinx°
と定義する。y=f(x)に格子点は存在するか。

322 :132人目の素数様:2007/01/12(金) 23:48:09
81番
2次行列A、Bは
A^2B+B^2A=E
A^2+B^2=B^3
A^5+B^5=A^4B
を満たしている。A,Bとして考えられるものをすべて求めよ。


323 :132人目の素数さん:2007/01/12(金) 23:55:03
条件が足らない問題はどうすればいいんだよ。

324 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 03:36:38
77ゴミ問,中学に戻って三平方の定理でも勉強してろカス

80カス問,x=360のとき明らか。だから浪人なんだよカス

325 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 05:15:23
>>324
釣れますか?

326 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 05:30:30
いや324の解答は正しいけど。

327 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 05:54:15
素数様の問題、解く気全くしないんだがお前ら解いてる?

328 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 06:20:25
俺も解く気しない。
ありがちな問題だし、面白みがない。

329 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 09:30:37
NG登録してるから見えない

330 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 10:32:59
>>329
お前は俺か!

331 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 10:42:51
>>330
いや。俺は俺であって、お前ではないはずだ。

332 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 10:57:19
>>331
お前は俺で俺はお前だろ?

333 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 11:55:27
それだったらいる意味なくね?

334 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 12:16:00



     \    |       ,,...-‐‐‐--、,      l    /
     |、  /  |   ,.べ;;;;;::、--- 、:::;;`ヽ、   ''‐-‐'゙/
   、,_,.! ゙'-'゙(.    //::/´       ``ヾ、      l 
    )    (.  /:,`!ヾ、.      ,      ゙>-    ヽ、_,,
   '゙"`ヽ, /``/::;:゙;゙::!:.:| ``'''‐--‐''゙   '-‐'゙ ゙、       /
     ヽ ヾ /:;'/:.:!:::l  、,r''"゙`'ヾ    ,:',-‐-、,'l      /
   -=,'゙   ./:::/:.:.|::::l  /  (・),.    ヾ,_(・) ,'゙l      (
     `ヽ ,゙:::,'::::;':!::::l   `"´ ''"´     | ̄__,,l,,...,,_   \   ひぃっ! 
     -='゙ l::::l::::;':. l:::::l               ` ゙、.,,_,,.``ヽ、
     __) l!゙,l:::;'-、 ';::::!          ,.-‐‐:、    l `ヽ、  \   つまり329は、いらない子。
      ヽ. !:l:::l/-ヽ.゙;::',    U    /:::::::::::r=‐'''"´`''‐,.-゙'‐-、ヽ.
       ) ゙!::l l"''、l ヾ゙:、   u     l:::::::::::::::`'''‐‐''''‐i'゙  ,,..、  `\
         l:::l,ヽ、_,  ヾ;\       ゙、.,,_ノ/ ̄ ̄ノ /ヽ. `   \     ____
     /    !::l:゙ヽ、. ,、 ヾ、;、         ゙'‐''"7'゙/ /゙ヽ       \ _,./´-、ヽ
   / /  l::l``;::,`´:ヽ、  `ヾ:;、.,__   ::::   / `'''゙  \   ゙、   ヾ;‐、''-、゙;
    /  / l:l ";'::;'::';';! `''‐ 、.,_` ̄      / r'゙´ ̄ ̄``'''‐、 ゙、    ' l  l:::!
.       /  l:!  !:;'::!::::;!     ``'''‐‐---┬'゙   `'''''''''‐-、      ゙、   ./  l:::l

335 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 13:11:58
>313

C***
 sin(10゚) が有理数でないことを 背理法で示す。
 sin(10゚) = m/n (0<m<n, 自然数) と仮定する。n≧2.
 m/n は既約であるとしてよい。(可約のときは約分すればよい.)
 さて、sin(3θ) = 3sinθ -4(sinθ)^3 より
 1/2 = 3(m/n) - 4(m/n)^3,
 8m^3 = (6m-n)n^2,
 nは偶数となるから、n=2n' とおく。
 m^3 = (3m-n')n'^2,
・n'=1 のとき
 n=2, m=1 しかないが、上式に代入しても不成立。
・n' ≧2 のとき
 n'の素因数をpとすれば p|n', p|m より, m/n' が既約であることと矛盾する。


>318
 http://science5.2ch.net/test/read.cgi/math/1168096620/
算数チャチャチャ

336 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 14:10:33
>>313

B***
 A: どの目も {1,2,3} に属する。
B: どの目も {2,3,4} に属する。
C: どの目も {3,4,5} に属する。
D: どの目も {4,5,6} に属する。

P = P(A∪B∪C∪D)
 = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(A∩B) -P(A∩C) - P(B∩C) - P(B∩D) - P(C∩D) + P(A∩B∩C) + P(B∩C∩D)
 = 4*(3/6)^n - 3*(2/6)^n - 2*(1/6)^n + 2*(1/6)^n
= 4*(1/2)^n - 3*(1/3)^n.


>>318

77番
 a=1, b=√3, c=2 について a^2 + b^2 = c^2,
 3平方の定理の逆から、長さcの辺に対する角Cは直角。
 これは辺が a:b = 1:√3 の長方形ACBXの2辺と対角線である。
 2本の対角線はそれらの中点Mで交わる。
 ∴ BM = CM = AB/2 = c/2,
 題意より、BC = a = c/2,
 ∴ BC = CM = BM,
 ∴ △BCM は正3角形、3つの内角は等しい。
 一方、△の内角の和は180゚ だから 各々 60゚

337 :315:2007/01/13(土) 17:20:25
>>281

70番 (補足)
 cos(nθ) = (1/2){(2cosθ)^n - n(2cosθ)^(n-2) + (整数)(2cosθ)^(n-4)},
は和積公式
 cos((n+1)θ) = 2cosθcos(nθ) - cos((n-1)θ),
を使って nについての帰納法で出せる。(n>1)

338 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 18:59:20
個人的に上の人に問題出してほしい。

339 :132人目の素数さん:2007/01/14(日) 18:14:32
B***nは自然数で,グラフy=0 (0≦x<n),x=n {k-1<y<k (k=1,2…n)}をy軸の周りに回転させた容器がある
容器を水で満たした瞬間,水面の高さをy=hとして,y=k(k=0,1…n-1)の側面から単位時間あたりh-k(h≧k)の水が漏れ出す
水を満たしてからy=n-1の側面から水が出なくなるまでの時間をT(n)とするとき,lim[n→∞]T(n)を求めよ

340 :132人目の素数さん:2007/01/14(日) 18:17:14
B***って元ネタ大数か何かな

341 :336:2007/01/14(日) 20:03:47
>>313

B***
 X = max{出た目の数の差} とおくと Xの分布は
 P(X=k) = (M-k){((k+1)/M)^n - 2(k/M)^n + ((k-1)/M)^n},
 P(0≦X≦k) = (M-k)((k+1)/M)^n - (M-1-k)(k/M)^n,
になるらしい。ただし, 6面なので M=6.

342 :132人目の素数さん:2007/01/14(日) 22:31:22
>340難易度表示は大数表示で書いた
>341さいころ→1からNまでのカードは考えてたけど,max-min≦k(問いはk=2)までは考えてなかったお

私の過去の問題で解答の指針書いて欲しいのある?

343 :132人目の素数さん:2007/01/14(日) 22:39:45
四次元をtと考えると、t<Cの場合はどうなるか。考えよ。

344 :132人目の素数さん:2007/01/14(日) 22:42:35
考えますた

345 :132人目の素数さん :2007/01/14(日) 23:33:22
2点(0,0,1)、(2,2,5)を直径の両端とする球面をS、
2点(-1,0,3)、(3,4,1)を直径の両端とする球面をPとする。
SとPの交わりの円Cの中心と面積を求めよ。

346 :132人目の素数様:2007/01/15(月) 15:21:44
私の過去の問題で解答の指針書いて欲しいのある?
 
80番をくず問題といったものへ
82番
(1)自然数xにたいし、
f(x)=納k=1,x]k^4 sink°と定義する。y=f(x)上に格子点は存在するか。
(2)自然数xにたいし、
g(x)=納k=1,x]k(sink°)^kと定義する。y=g(x)上に格子点は存在するか。

347 :132人目の素数様:2007/01/15(月) 15:26:03
>>327>>328
愚痴を言っていいのはちゃんと解けた人だけだと思います

83番
x,は0<x<1、0<y<1、0<x+y<1をすべて満たす。
(1)このときlogx×logyのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)x^y+y^xのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)x^y×y^xのとりうる値の範囲を求めよ。


348 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 18:11:50
ありがちか?俺は素数様のような問題一度も見たことないぞ

349 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 18:49:36
不成立だったり解けないものはくず問題

350 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 19:04:49
大学入試っぽい問題出すなら高校生が習うはずの範囲を出せよ。
わけわからない記号とか、用語を使うな。

f(t)=t^n (n=1.2.3.…)のラプラス変換を求めよ。

351 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 19:07:08
じゃあ82番の解答の指針をおながいします

352 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 19:07:40
>>346
>>220>>255>>256>>289>>317>>319>>322


353 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 19:31:11
>>350
>ラプラス変換
習わねーよ

354 :132人目の素数さん :2007/01/15(月) 19:51:25
>>350  矛盾しとるよ君

355 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 20:26:43
わかってるよ!
「格子点」なんて習わないだろ、と思って検索かけたら中学校受験でも出てくるのね・・・

356 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 21:59:40
素数様、早く解答の指針書いてこんなやつらギャフンと言わしてくださいよwww

357 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 23:17:53
何を知りたいん?
んで素数様ってだれだよ。
解ける問題であればおいらに解けない問題は、まーないね。

358 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 23:19:39
素数様を知らないとは、新参者か

359 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 23:26:51
あー  〜番って貼り付けてくる奴か。
それにしてもわかりにくいハンドル。

360 :素数様:2007/01/16(火) 01:28:04
84番
(1)y=logxとy=e^(-x)の交点をPとする。Pのx座標をαとするとき、αと1.3との大小を比較せよ。
(2)y=e^(x)+aとy=e^(-x^2)の交点の個数を求めよ。
(3)極限値lim[x→∞]x^(x)e^(-x^2)を求めよ。

361 :素数様:2007/01/16(火) 01:32:23
85番
(1)任意の実数a,b,cに対して、a^3+b^3+c^3≦k(a^4+b^4+c^4)が成り立つようなkの最小値を求めよ。
(2)ある自然数nが与えられている。任意の実数a,b,cに対して、a^n+b^n+c^n≦l(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1))が成り立つようなlの最小値を求めよ。
必要ならば、nを用いてもよい。

362 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 01:36:45
素数様って浪人生なんでしょ?
馬鹿にするわけじゃないけど、自分の勉強がんばったほうがいいよ。

363 :素数様:2007/01/16(火) 01:40:11
いや、もう決まったからいい。


364 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 01:41:01
そりゃ、おめでとうございます。
んでどこの大学?

365 :素数様:2007/01/16(火) 01:50:46
琉球大学

366 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 01:52:07
国立大学ですか。
おめでとうございます。

あと、問題出すなら a や k といった定数?などの定義をしっかりと書いてください。

367 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 01:53:49
早く解答の指針な
あと推薦て現役オンリーじゃなかったけ?

368 :素数様 ◆.Cbdncl/Jc :2007/01/16(火) 01:56:15
>>365は偽者。

369 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 01:59:54
かんころりん

370 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 03:35:06
なあ、これ自分で作った問題じゃないよな?
自分で解けない問題まで出題してるだろ?

371 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 21:34:40
85超糞問a→+0、b=c=0を考えれば存在しないのは明らか、うんこ。

早く指針書けよ。

372 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 21:41:37
>>371
ワロタ
確かにwww

373 :132人目の素数さん:2007/01/16(火) 22:55:39
今頃んなこと言っちゃって。
んなの比喩的に表現すれば2秒でわかるじゃん。
現実的に挑戦しようと思って20秒で3回問題文読めばわかるじゃん。

あえて遠まわしに 〜様批判してるのに。

東大って言ったって様々なんだな、蹴ってよかったよ。

……

374 :素数様:2007/01/16(火) 23:20:19
>>371
正解 よくできましたね

86番

87^92の下4桁を求めよ。また一番上の位を求めよ。ただし、logに関する不等式はどれも知らないものとする。



375 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 00:01:40
昨日こんにゃくオナヌーしたんだが、今日の夕食のおでんに
縦に穴が開いたコンニャクでてきたぞ・・・・
台所に捨てたはずんなんだが・・・
OrZ

376 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 00:03:39
はいはい。

377 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 00:12:26
>>85


378 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 00:21:31
>>375
きもちよかった?

379 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 00:24:38
オナホはシリコンと称していても実際には塩ビ製がほとんど。
あのブヨブヨは可塑剤を大量に添加して実現してるので、
時間と共に可塑剤が抜ける事で縮んでしまうわけ。
新品のオナホってなんか油みたいなのが染み出してくるだろ?あれが可塑剤。

ちなみに可塑剤は数種類あるが、環境ホルモンである事が非常に多いw

380 :素数様 ◆.Cbdncl/Jc :2007/01/17(水) 00:27:04
素数様(゚听)イラネ

381 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 01:06:35
海外の入試問題やFランの入試問題や過去に実際に出された愚問ありますか

382 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 09:30:53
>>381
> Fラン

何ですか、それは?

383 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 11:46:19
>>382
Fast Runner

384 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 13:14:15
>>255 >>304
この答えってn次式なの?
(n次の係数は絶対0にならない?)

385 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 01:14:57
>>346

82番
(1) とりあえず計算した。 a= exp(iπ/180) とおくと、
 f(n) = Im{ Σ[k=1,n] (k^4)・a^k }
   = Im{ a[ (1+a)(1 +10a +a^2) - (n+1)^4・a^n + {3n(n+1)^3 -6(n+1)^2 -4(n+1) -1}a^(n+1) - {6(n^2)(n+1)^2 -12n(n+1) +11}a^(n+2) + {4(n+1)n^3 -6n^2 +4n -1}a^(n+3) - n^4・a^(n+4) ] / (1-a)^5 },

ハァハァ

Σ[k=1,n] a^k = a(1 - a^n) / (1-a),
Σ[k=1,n] k・a^k = a[1 -(n+1)a^n + n・a^(n+1) ] / (1-a)^2,
Σ[k=1,n] (k^2)・a^k = a[ 1+a - (n+1)^2・a^n + {2n(n+1) -1}a^(n+1) - n^2・a^(n+2) ] / (1-a)^3,
Σ[k=1,n] (k^3)・a^k = a[ 1+4a+a^2 - (n+1)^3・a^n + {3n(n+1)^2 -3(n+1) -1}a^(n+1) - {3(n^2)(n+1) -3n +1}a^(n+2) + n^3・a^(n+3) ] / (1-a)^4,
Σ[k=1,n] (k^4)・a^k = a[ (1+a)(1+10a+a^2) - (n+1)^4・a^n + {3n(n+1)^3 -6(n+1)^2 -4(n+1) -1}a^(n+1) - {6(n^2)(n+1)^2 -12n(n+1) +11}a^(n+2) + {4(n+1)n^3 -6n^2 +4n -1}a^(n+3) - n^4・a^(n+4) ] / (1-a)^5,


386 :385:2007/01/18(木) 01:19:15
>>346

蛇足だが、 |a| < 1 のとき
Σ[k=1,∞) a^k = a / (1-a),
Σ[k=1,∞) k・a^k = a / (1-a)^2,
Σ[k=1,∞) (k^2)・a^k = a(1+a) / (1-a)^3,
Σ[k=1,∞) (k^3)・a^k = a(1+4a+a^2) / (1-a)^4,
Σ[k=1,∞) (k^4)・a^k = a(1+a)(1+10a+a^2) / (1-a)^5,

387 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 04:34:00
>>347
83番

(1) logx×logy > log(1/2)×log(1/2) =(log2)^2
かしら…?

388 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 04:57:13
今、複素数 z = r(cosθ+i_sinθ) に対して z^n = r^n * {cos(nθ)+i_sin(nθ)}が成立することを
(@) n = 0.1.2… の時
(A) n = -1.-2.… の時
それぞれ証明しろ。

389 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 05:39:28
半径 r の円に内接する正n角形(n=3.4…)を考える。

2*3.14*r を Lo 、正n角形のn辺の和を Ln とした時 Lo < Ln となる最小の n を求めよ。

390 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 11:07:06
アルキメデスもびっくり。

391 :理一:2007/01/18(木) 11:10:55
このスレの問題ザーっと見たが、適当に作った問題ばっかとしか思えない。
〜の値を求めよ、〜の大小関係を求めよ、〜は存在するかとか作問者が問題解けてなくても出せるパターンばっか。

392 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 11:36:40
>>391
何をいまさら。
あなたがもっと東大入試っぽい問題出してよ。

393 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 12:16:24
g(n,x)=納k=0,n] an*x^k
g'(n,x)=g(n-1,x),g(n,0)=1
f(n,x)=e^x -g(n,x) ただしe=lim[h→0] (1+1/h)^h

g(n,x)=0はnが偶数のとき解を持たず、奇数のときただ一つの解を持つことを示せ。
lim[n→∞] f(n,x)=0を示せ。

394 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 12:38:40
前問のnは自然数です。書き忘れすみません。

nを自然数とする。
f(n,x)=x^nの係数が1のxのn次式
M(n)= -1≦x≦1での|f(x)|の最大値
M(n+1)=M(n)/2を示せ。(n=1,2,…)

395 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 13:07:35
四面体OABCがあり、その重心を通る平面が辺OA,OB,OCと交わっている。
その交点をそれぞれP,Q,R、四面体OABC、OPQRの体積をV,vとするとき、
その二つの体積比v/Vのとりうる値の範囲を求めよ。

396 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 13:13:01
>>393>>394は京大みたいな問題なので却下。ゴミ箱行き。

397 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 13:20:51
>>393->>395
素数様の問題に比べたらくそだな。もう来るな。

398 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 13:23:30
そうですか。とっさに思いついた問題ではやはりだめでしたか。
失礼しました。

399 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 13:28:14
何この流れ

400 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 14:55:13
俺は彼の問題見たときピンとキタねw彼は○数様だってwww

401 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 16:05:21
おい、みんな。素数様にお願いするんだ
彼(もしかして彼女?)に良心があるなら、本当のことを教えてくれるかもしれない。
素数様、本当のことを教えてください。
あなたがここに書いている問題は本当に解ける問題なのですか。
それとも>>391が言ってるみたいに適当に作って放置しているだけですか。
お願いです。教えてください。




402 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 16:41:36
実は、適当に書いているだけです。
解けるかどうかは分かりません。

403 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 21:34:13
>347

83番
(1) 0 < log(x)・log(y) ≦ ∞, 
 (x,1-x) → (0,1), (1,0) のとき →0.
 (x,x) → (0,0) のとき → ∞.
(2) 1 < x^y + y^x < 2,
 (x,1-x) → (0,1), (1,0) のとき →1, (x,x)→(0,0) のとき →2.
(3) 0 < (x^y)(y^x) < 1,
 (x,1-x) → (0,1), (1,0) のとき →0, (x,x)→(0,0) のとき →1.

>374

86番
 Ver. 27275407070315(150桁略)540741863533281

 ……って、「くだらんスレ」ぢゃなかった......ort.

404 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 23:19:23

ざわざわ…

405 :387:2007/01/19(金) 14:11:14
>>403 なんで?

406 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 17:18:57
平面上に、長さLの線分ABがある。線分上(端を含む)から点P,Q,Rを
それぞれでたらめに選ぶ。

このときAP+AQ+AR≦2L
となる確率を求めなさい。

407 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 17:20:52
すいません、質問なんですが数学の^ってどういう意味ですか?

408 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 17:23:02
(^o^)<ばーか

409 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 17:24:31
笑った顔の半分だよ 2つ書いたら笑顔みたいになるでしょ
^^
ほらね

410 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 17:25:13
^^ワラタオ


411 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 18:05:24
168 名前:名無しさん@4周年[] 投稿日:04/01/17 10:43 ID:X7vkUwRR
いよいよ明日がセンター試験本番ですよ!
むっちゃドキドキしてきた…。
受験生の皆さん、今日くらいは勉強は休んで明日に備えますよね?


169 名前:名無しさん@4周年 投稿日:04/01/17 10:57 ID:zUQVw2G7

>>168

  . .... ..: : :: :: ::: :::::: :::::::::::: : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
       Λ_Λ . . . .: : : ::: : :: ::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::
      /:彡ミ゛ヽ;)ー、 . . .: : : :::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::
     / :::/:: ヽ、ヽ、 ::i . .:: :.: ::: . :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
     / :::/;;:   ヽ ヽ ::l . :. :. .:: : :: :: :::::::: : ::::::::::::::::::
 ̄ ̄(_,ノ  ̄ ̄ ̄ヽ、_ノ ̄
今日と明日だよ
来年こそはがんばってよ
シーズン開幕からこんなことになるなんて


173 名前:168 投稿日:04/01/17 11:10 ID:X7vkUwRR
受験要綱を見た。
どうやら今日と明日、両方とも試験があるらしい…。
親に話したら泣かれた。怒られた。殴られた。
学校の先生に電話したら怒鳴られた。今すぐに学校に来いって言われた。
今から学校に行ってきます……もうだめぽですか

412 :132人目の素数さん:2007/01/19(金) 18:42:18
殺人事件を笑って報道するアナってどう思う?
フジ新人女子アナがやらかしたらしいけど
謝罪も無く、お咎めも無しらしい。

詳しくは
http://ex13.2ch.net/test/read.cgi/tv/1131977130/l50

413 :403:2007/01/20(土) 00:43:02
>347,>405

83番
(1) は略
(2)-右 と (3) は 0<x^y<1, 0<y^x<1 から。

問題は (2)-左 だが、
 (1-x)(1-y)>0 のとき x^y + y^x > 1+xy.
(略証) b>0 としておく。
 f(x) = (1/b)^x は下に凸だから、(1,1/b) - (x,(1/b)^x) の平均変化率は単調増加。
 {(1/b)-(1/b)^x}/(1-x) > (1/b)-1.
 x<1 のとき、 b^x > b/{1-(1-x)(1-b)} = b/(x+b-xb),  (ベルヌーイの不等式)
 ∴ y^x > y/(x+y-xy),
 ∴ x^y + y^x > (x+y)/(x+y-xy) = 1 + xy/(x+y-xy) > 1+xy. (終)

414 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 05:45:38
誰か150分の六問構成の試験作ってくれないか(出来れば完全に東大型か京大型のどちらか

415 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 06:11:22
>>414
ここに近いものはあるが・・・。
http://homepage2.nifty.com/enjoying_math/index.htm

416 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 10:17:48
灯台は蹴落とす試験だから、クイズタイムショックかパネルクイズ25
形式でネットで試験すればいじゃないか。

ち、ち、ち、ち、7から数えて25番目の素数は・・・・

417 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 10:19:07
ち、ち、ち、ち、いま何問目?

418 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 10:54:18
灯台より設備のよさやノーベル賞級の教授が多い欧米の大学のほうが格段にいい。


419 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 11:00:05
青木さやかも絶賛!!アンダーグラウンド
ttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/i.cgi/news/2092/

420 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 15:04:19
>416
 π(7) = π(10) = 4,
 π(100) = 25.
 ∴ 100より大きい (4-1)人目の素数さん >>107

421 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 15:31:40
>406
 AP /L =x, AQ /L =y, AR /L =z とおき、3次元空間で考える。
点(x,y,z) は一辺1の立方体 {(x,y,z)| 0≦x,y,z≦1} に含まれる。
そのうち x+y+z ≦ 2 の領域が占める割合は 1 -(1/6) = 5/6.


422 :132人目の素数さん:2007/01/20(土) 22:52:38
>>421
正解です。

423 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 00:29:42
>>290

75番 (1)
 n(n+1)(n+2)/6 = 納0≦i,j,k, i+j+k<n] 1,
n(n+1)…(n+m-1)/m! = 納0≦x_1,…,x_m, x_1+x_2+…+x_m<n] 1.

424 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 00:42:18
97 :132人目の素数さん :2007/01/17(水) 05:38:55
>>33-47
変な問題が多いな。
2. (1)p=3で成立 (2)(3)p=6で成立 (4)p=2が反例
4. 重心をとるだけ。(2/3, 0, 0)
5. とりあえず任意の実数a,b,cで成立するけど、複素数まで考えろと?
6. α=β=γ=δ=2の場合だけ考えれば終了。(1)(2)非有界 (3)不定
9. (2)条件2より自明
11. f(x)+g(x)+h(x)=6 (定数関数) となるf,g,hが存在するから問題が間違い
12. ネタ。答えが無い
14. n>m
19. 線分で平面を切断するって?
20. (1)√14 (2)C=A,D=Bとして4√14
23. (n!)C(r!)≧n!≧nCr
24. (2)原点のまわりでf(x)≧g(x)なのでa=0
26. (2)任意のnに対し0点
29. A=B=Xなら何でも
39. logの定義
53. F=a^4bc+b^4ca+c^4ab-a^3b^2c-b^3c^2a-c^3a^2b-a^3bc^2-b^3ca^2-c^3ab^2じゃなく?
55. (2)明らかに周期2πが存在
60. 3次、4次の条件は冗長。(γ,δ)=(α,β),(β,α)
61. (1)任意のpが条件を満たす (2)q=1
73. (2)決まらない。例えばB=O, C=kAのときA^n+B^n+C^n=(1+k^n)A^n
74. 行列の次数は?


425 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 04:01:02
素数様は、因数分解が得意な中学生に例えるなら、「そんなもんPCで計算させろよw」と突っ込みを
入れたくなるような、滅茶苦茶な因数分解をさせる問題を出す中学生である。「どうだ難しいだろう」
「これが解けない奴は低脳w」という、間違った難易度感・間違った学力感を持った中学生である。

426 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 04:11:31
お願いだから正しい難易度感・正しい学力感を提示してくれ。

427 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 04:28:04
素数様 玉、国、本、風 力が同じなのは?という無茶ななぞなぞをふっかける

428 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 14:14:04
>399

流 政之(ながれ まさゆき)氏は、世界的に活躍する彫刻家。
 "Samurai Artist"の異名をもつ。
 1923(大正12)年長崎県に生まれ。
 1942年立命館大学法文学部へ進学、その後中退。
 海軍予備学生出身の零戦搭乗員として終戦を迎える。

429 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 14:34:17
>>428
そんなことより、日本アカデミー賞の最優秀賞受賞者に送られるブロンズ像のデザイン者であり、
さらに、「立命館大学」を命名した中川小十郎を父に持つ。
あたりを押さえておいた方が雑学としてはおいしいぞ。

430 :132人目の素数さん:2007/01/21(日) 16:01:08
>>426
体で感じろ。

431 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 06:30:05
妹に「牛タンってウマイよな」って言ったら、
「うん、人間の舌も牛タンだったらいいのにね」って言われた。

「そしたら何も食べてなくても、常に牛タンの味がしておいしいのに」だって。
たしかに、人間の舌っていつも口の中にあるのに味がしないなー。

妹と話し合った結果、それはもしかすると
ずっと同じ味の舌が口の中に入ってるから味覚が麻痺してるんじゃないか?
ということになって、お互いの舌を舐め合って確かめてみることにした。

そしたらすごい!妹の舌おいしい!!まろやか!
お互いに相手の舌を舐めながら「おいしいよー」「おいしいねー」
「デリシャスだよー」「デリシャスだねー」ってやってたら、
だんだんお互いの口の中に唾が溜まってきて
自分の唾はおいしくないけど相手の唾はコクがあっておいしいことに気付いたんだ。

それからは二人とも夢中で唾液を交換してぐちゅぐちゅ混ぜ合わせて共有して
お互いの味をしっかり確かめて味わって、最後に溜まった唾を仲良く半分こして飲んじゃった。
「お兄ちゃんの舌と唾、すっごくおいしくてびっくりしちゃった。」て興奮気味の妹。
二人ともこの味をすっかり気に入っちゃってそれから毎日ぺろぺろちゅぱちゅぱしてます。

432 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 20:32:52
(1)無限に広い碁盤がある。4目並べでは先手必勝であることを証明せよ。
(2)碁盤の広さが5X5マス(石は交点に打つとする)ではどうか。

433 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 20:36:30
>>352
一週間

434 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 20:46:21
1目=先手必勝
n目=先手必勝ー>n+1目は先手必勝

435 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 20:54:45
>>434
理由の厳密な証明をお願いします。あと(2)の答えもお願いします。

436 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 21:25:16
リナックスのおまけのlispでヒューレリステイックで調べるといい。
この手の問題はたいていそれで片が付く。


437 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 00:46:16
3つの連続したピタゴラス数が無限に存在する事を示せ。

438 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 00:51:20
5×5マスで交点に打つってことは線は6本ってこと?

439 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 01:57:22
>>437
n^2+(n+1)^2=(n+2)^2
2n^2+2n+1=n^2+4n+4
n2^-2n=3=0
n=3,-1のみ
氏ね

440 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 02:13:24
>>437
バカですか?

441 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 02:36:12
素数様よりひどいな…

そんな問題を嬉々悠々解いてるのもまぁ、アレだが

442 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 04:51:00
>>438 そのとうり。
4X4マスの場合も考えると面白いが、簡単なので5X5にした。
厳密な証明は結構やっかい。

443 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 05:49:33
>>442
> そのとうり。

余計なお世話だろうが、「そのとおり」 だ!
日本語がなっちゃいねぇ!

444 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 05:54:39
ぇ なんて使う奴に言われたくないって108歳のばあちゃんが言ってた。

445 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 06:07:56
>>442は児玉清さんじゃない?

446 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 10:33:05
そのとうり

447 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 11:33:40
園と瓜

448 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 11:56:36
児玉清の物真似の上手い芸能人がいたよな。

449 :437:2007/01/23(火) 20:24:20
>>439
ごめん。シンプルにしようとする余り問題文がイミフになってた。
これなら大丈夫だろう。

n,n+1,n+2がそれぞれピタゴラス数になるようなnが無限に存在する事を示せ。


450 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 21:04:38
(3,4,5) (-1,0,1)以外に一例挙げて

451 :437:2007/01/23(火) 21:33:04
>>450
3、-1はピタゴラス数ではないだろ。

80=8^2+4^2
81=9^2+0^2
82=9^2+1^2
ってな感じの数が無限にある事を証明して欲しいんだ。81=9^2+0^2みたいな書き方はアリとする。
多分「ピタゴラス数」って書き方がまずかったか・・・。


452 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 21:34:07
>>451
ピタゴラス数の定義ヨロ

453 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 22:28:26
>>451
はやく定義書けよw

つうか、このスレ、素数様以外は、カスしかいねーのな。

454 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 22:32:19
素数様でない⇒カス
素数様はカス
よってみんなカス

455 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 23:02:41
>>454
こちらにおわそう方をどなたと心得る、 畏れ多くも、糞問作りの神様、素数様にあらせられるぞ!!



456 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 23:10:08
センターの結果に悩んでいてもしょうがない。
はやく出てきてくれ素数様。

457 :437:2007/01/23(火) 23:38:07
a^2+b^2=c^2を満たす数をピタゴラス数というんだろ。皮肉のつもりか?
もう最後。

n,n+1,n+2それぞれ2つの平方数の和として書き表せるような自然数nが無限に存在する事を示せ。


458 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 23:42:27
>>457
3^2+4^2=5^2はピタゴラス数だろ。皮肉のつもりか?

459 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 23:47:28
>>457
カスはすっこんでろw

460 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 23:48:55

α+β+γ=πを満たす点(sinα,sinβ,sinγ)全体で囲まれる立体の体積を求めよ


461 :訂正:2007/01/23(火) 23:50:03

α+β+γ=πを満たす点(sinα,sinβ,sinγ)全体がなす曲面で囲まれる立体の体積を求めよ


462 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 23:52:33
無理。囲まれないから。

463 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 00:02:52
明らかに有界だがほんとに囲まれないか?
形が想像できないが

464 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 00:35:24
>>457
a^2+b^2=c^2を満たす 3 つ の 自 然 数 の 組 (a,b,c) を
ピタゴラス数と呼ぶ。c単体でピタゴラス数と呼ぶことは無い。クズは消えろ。

465 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 00:37:52
遠回しに馬鹿をからかうのが面白いのに。すぐムキになる人って嫌だね。

466 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/01/24(水) 10:55:37
要するに、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せばいいのか?

467 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 11:17:08
遠回しに馬鹿をからかうのを面白く感じるような根暗って嫌だね。

468 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 13:05:03
ピ タ ゴ ラ ス 数


469 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 13:11:06
d(m^2−n^2)^2+d(2mn)^2=d(m^2+n^2)^2    d、m,nは自然数



470 :437:2007/01/24(水) 15:15:16
ちょw 書き直したのに未だにピタゴラス数〜〜とか言ってるのかよ。
限りなく粘着だな。まぁ俺もだが。
ピタゴラス数〜〜は忘れて、これを解いてみてくれ。(コピペ)

n,n+1,n+2それぞれ2つの平方数の和として書き表せるような自然数nが無限に存在する事を示せ。

471 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 15:24:03
今年の東大入試にここの問題が!

472 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 16:24:41
>>470
非負整数nに対して、17^(2^n)−1,17^(2^n),17^(2^n)+1という連続する3つの
整数は、それぞれ2つの平方数の和で表せる。これを数学的帰納法で示す。
(n=0のとき)3つの整数は16,17,18である。
16=4^2+0^2
17=1^2+4^2
18=3^2+3^2
であるから、確かに成り立つ。
(n=k≧0のとき成り立つとすると、n=k+1のとき)
3つの整数は17^{2^(k+1)}−1,17^{2^(k+1)},17^{2^(k+1)}+1である。
17^{2^(k+1)}=0^2+{17^(2^k)}^2
17^{2^(k+1)}+1={17^(2^k)}^2+1^2
であるから、あとは17^{2^(k+1)}-1が2つの平方数の和になることが示せればよい。
仮定から、ある非負整数a,b,x,yが存在して
17^(2^k)−1=x^2+y^2
17^(2^k)+1=a^2+b^2
と表せるので、
17^{2^(k+1)}−1={17^(2^k)+1}{17^(2^k)−1}=(a^2+b^2)(x^2+y^2)
=(ax+by)^2+(ay−bx)^2
となり、確かに成り立つ。

473 :472:2007/01/24(水) 16:38:11
結論が抜けていたな。

(>>472の続き)
従って、n,n+1,n+2それぞれ2つの平方数の和として書き表せるような自然数nは確かに
無限に存在し、そのような自然数nは具体的にはn=17^(2^m)−1 (m=0,1,2,…)である。

474 :472:2007/01/24(水) 17:07:35
>>470
これを解いてみてくれ。

kは自然数とし、A={kn+1|nは非負整数}∪{0}とおく。さらに、
自然数mに対してA[m]={x1+x2+…+xm|x1,x2,…,xm∈A}とおく。
(1)A[2]に含まれない自然数が無限に存在することを示せ。
(2)「どんな自然数もA[m]に含まれる」が成り立つ自然数mのうち、最小のものを求めよ。

次に、B={(2^a)(3^b)(5^c)|a,b,cは非負整数}∪{0}とおく。さらに、
自然数mに対してB[m]={x1+x2+…+xm|x1,x2,…,xm∈B}とおく。
(3)B[2]に含まれない自然数が無限に存在することを示せ。
(4)「どんな自然数もB[m]に含まれる」が成り立つ自然数mは存在しないことを示せ。

475 :472:2007/01/24(水) 17:14:46
あかん。またミスってもうた。連投スマソ。

誤:kは自然数とし、A={kn+1|nは非負整数}∪{0}とおく。
正:kは3以上の自然数とし、A={kn+1|nは非負整数}∪{0}とおく。

476 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 19:58:57
>470
釣れたよーって言って溺れてるAAあったよね

477 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 23:15:08
半径1の円に内接する正五角形のある1つの頂点から他の4つの頂点までの距離の積を求めよ。

478 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 23:22:50
ちょ、え、中学レベル。

479 :132人目の素数さん:2007/01/24(水) 23:52:14
>477
 半径1の円に内接する正n角形の辺・対角線の長さは 2sin(kπ/n),  k=1,2,…,n-1
 (辺: k=1, 対角線: k=2,…,n-1)

Π[k=1,n-1] {2sin(x + kπ/n)} = sin(nx)/sin(x) = U_n(cos(x)),   (x≠mπ)
より x→0 として、
 Π[k=1,n-1] {2sin(kπ/n)} = U_n(1) = n.
ここに U_n(x) は第2種チェビシェフ多項式。

480 :素数様:2007/01/25(木) 01:33:41
最近書き込めなくてすまん。
実は事故にあって腕を骨折した。
そのせいでセンターは受けられなかった。
今年の浪人も決定した。
だからもう俺大学に行かないことにした。
大学が俺を拒んでるとしか思えない。
ここで就職探しながらずっと問題を提供して君達の力になろうと思う。

87番
数列{a_n}は等差数列は、初項a、公差dの等差数列で、S_n=a_1+a_2+・・・・+a_nとすると、任意の
自然数m,nに対してS_(m+n)=s_(m)+S_(n)が成り立つという。このような数列{a_n}をすべて求めよ。


481 :素数様:2007/01/25(木) 01:36:36
87番訂正
s_(m)になってるけどS_m_の間違い

88番
任意の自然数nに対して、
 an^2+(2a+3)n+4
―――――――――
a^2n^3-(a+2)n^2+2n+3
が整数とならないような整数aの値を決定せよ。

482 :素数様:2007/01/25(木) 01:40:32
89番

自然数aに対して、T(a)で各桁の自然数の和を表す。たとえばT(243)=2+4+3=9である。
(1)T(x)=10となる自然数xのうち、0が2個以上連続して並ばないものは何通りあるか。
(2)T(y)=nとなる自然数yのうち、0が2個以上連続して並ばないものは何通りあるか。
(3)T(x)+T(y)=10となる自然数x,yのうち、ともに0が2個以上連続して並ばないものは何通りあるか。


483 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 03:23:12
>ここで就職探しながらずっと問題を提供して君達の力になろうと思う

おまえもうここにこなくていいよ。
マジいらない。

484 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 03:44:17
ニートは帰れよ
数学科出てからまた来い

485 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 08:53:14
また素数様叩きですね。ホント、いい加減にしてください><

486 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 14:14:31
以下の条件(1),(2)をともに満たすような自然数の組(x,y)は存在するか。
存在するならば例を挙げ、存在しないならばその事を証明せよ。
 (1)x,y≧2
 (2)x^yの下4桁が2007

487 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 16:50:54
>>486
存在する。x^y≡2007 (mod 10^4)を満たすx,y≧2が存在することを示す。gcd(2007,10^4)=1だから、
オイラーの定理より2007^φ(10^4)≡1 (mod 10^4)となる。φ(10^4)=4000なので、2007^4000≡1 (mod 10^4)
となる。そこで、x=2007,y=4001とおけば、x^y≡(2007^4000)*(2007^1)≡2007 (mod 10^4)となるので、
これが求めるx,yの一例である。

488 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 15:19:15
3つの連続したピタゴラス数が無限に存在する事を示せ。

489 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 15:34:03
3,4,5

490 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 18:17:24
>>488
意味不明

491 :437 人目の素数さん:2007/01/26(金) 20:07:48
>>472
乙。
問題だが、x1,x2・・・はAから任意に選んだのか?

>>488
wwwwww

492 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 21:00:54
>問題だが、x1,x2・・・はAから任意に選んだのか?
>問題だが、x1,x2・・・はAから任意に選んだのか?
>問題だが、x1,x2・・・はAから任意に選んだのか?
>問題だが、x1,x2・・・はAから任意に選んだのか?

集合の表記もロクに知らないときたかwwwwwwwwwwwwwwww

493 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 21:03:51
>486 例
 (x,y) = (7,61), (23,35).

(略証)
7^2 = 50-1,
7^4 = (50-1)^2 = 2400+1,
7^20 = (2400+1)^5 = 79792266297612001 ≡ 12001 (mod 10^5),
7^60 ≡ (12000+1)^3 ≡ 36001 (mod 10^5),
7^61 ≡ 52007 (mod 10^5).


494 :132人目の素数さん:2007/01/26(金) 21:22:48
>480

87番
題意より a_k = a + d(k-1),
 S_n = Σ[k=1,n] a_k = Σ[k=1,n] {a+(k-1)d} = (a - d/2)n + (d/2)n^2,
題意より 
 0 = S_(m+n) - S_m - S_n = (d/2)(m+n)^2 - (d/2)m^2 - (d/2)n^2 = dmn,
これが任意の自然数m,nに対して成り立つから、d=0, a_k=a.


〔問題486’〕
 半径1の円に内接する正n角形のある1つの頂点から他の(n-1)個の頂点までの距離の和を求めよ。

495 :486:2007/01/26(金) 23:22:58
>>487>>493
正解!オイラー使っていいのか知らないけどw
俺は>>493同様に7^61の下4桁が2007である事を示しました

496 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 12:49:48
定期試験入試で過疎

497 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 13:23:09
正方形の頂点を反時計回りにABCDとおく。この頂点上を動く点X,Yがあり、コインを投げて表が出ればXを、裏が出ればYを反時計回りに隣の頂点に移動させる。
X,Yは最初Aにあるとする。n回目の動作の後に同じ頂点にある確率をp(n)とおく。
(1)p(2)を求めよ
(2)p(4)を求めよ
(3)p(n)を求めよ

498 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 13:57:29
>>497は模試の問題。
答えるべからず。

499 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 16:25:04
てか,その程度の問題ぐらい自力で解け

500 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 18:10:36
一辺が1の正方形の内部または周上に存在しうる正五角形の面積の最大値を求めよ。

501 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 22:48:18
>494

 2sin(x) = {1/sin(π/2n)} {cos(x - π/2n) - cos(x + π/2n)}    (← 積和公式)
 L = Σ[k=1,n-1] 2sin(kπ/n)
  = {1/sin(π/2n)} Σ[k=1,n-1] {cos[(k-1/2)π/n] - cos[(k+1/2)π/n]} 
  = {1/sin(π/2n)} {cos(π/2n) - cos((n-1/2)π/n)}
  = 2/tan(π/2n).

>500

最大の正5角形の外接円の半径Rは
 R = 1/{cos(3π/20) + cos(π/20)} = 1/{2cos(π/10)cos(π/20)} = 0.5322844…
 (正5角形の1頂点から対辺への垂線が正方形の対角線上に来るように置く)
 sin(2π/5) = √{(5+√5)/2} = 0.9510565… より
 S = (5/2)sin(2π/5)・R^2 = 2.377641… R^2 = 0.67364926…

502 :501:2007/02/03(土) 22:55:03
>501 の訂正
 sin(2π/5) = cos(π/10) = √{(5+√5)/8} = 0.9510565…

503 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 19:50:33
>>501
「正5角形の1頂点から対辺への垂線が正方形の対角線上に来るように置」
けば良い理由が核だと思うが。

504 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 20:20:17

Problem 256.
 sin(1゚)sin(2゚)……sin(89゚) = (3/2^89)√10.
を示せ。

http://www.math.ust.hk/excalibur/v11_n4.pdf

hint >>479, n=180.

505 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 23:29:31
>>500
5α/4(α+1) (ただしα=cos18°)

発想を転換し、五角形を単位円に内接するものと固定し、
これを回転させるときx座標のとりうる値の幅とy軸のとりうる値の幅のうち大きな方をminimizeすれば良い。
すると、結局、0≦θ≦π/5での
min{cosθ,sin(θ+(2π/5))}
の最小点を調べれば良い。
これはすぐにθ=π/20だと分かる。
これは、>>503のことの証明になっている。

506 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 23:31:35
間違えた

すると、結局、0≦θ≦π/5での
max{cosθ,sin(θ+(2π/5))}
の最小点を調べれば良い。

507 :132人目の素数さん:2007/02/04(日) 23:56:02
3つの連続したピタゴラス数が無限に存在する事を示せ。

508 :132人目の素数さん:2007/02/07(水) 00:31:13
入試も近いので本番形式の問題でも。
1. xy平面上の曲線y=x^2上に点P,Qが、Pのx座標がの値とQのx座標の値の差が4であるように動く。
このとき、線分PQが通過する範囲を図示せよ。
2. α,β,γはどれも実数ではない複素数の定数である。このとき
α+β+γ、α^2+β^2+γ^2、α^3+β^3+γ^3の少なくとも一つは実数でないことを示せ。
3. xyz空間で原点を中心とする半径1の球の内部で
|x^2+2y^2-1|≦(1-x^2)cos(πx/2)を満たす部分の体積を求めよ。

509 :132人目の素数さん:2007/02/07(水) 00:35:47
4. 一辺の長さが1の正三角形ABCの辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rと点Sを、四角形PQRSが長方形となるようにとる。
このとき直線ABを軸として長方形PQRSを回転してできる立体の体積の最大値を求めよ。
5. aを正の実数の定数とし、f(x)=x^3-axとする。xy平面上でy=f(x)で表される曲線をCとする。
原点を中心とし曲線Cと接するような円が二つ存在し、その二つの円の面積の差が4πであるようなaの値を求めよ。
6. 数列{a[n]}はa[1]=ー1、a[n+1]=√(2+a[n]) で定まる。
(1)lim[n→∞] a[n]を求めよ。
(2)(1)で求めた値をαとしkを正の定数とする。このとき lim[n→∞] (αーa[n])*(k^n) が0以外の値に収束するkの値とその時の収束値を求めよ。

510 :132人目の素数さん:2007/02/07(水) 00:41:43
素数様来てくれ!!

511 :132人目の素数さん:2007/02/07(水) 01:27:59
>>509
30分で1,2,5解けた
4と6(1)は半分くらい出来た感じ
あとはわからん

512 :132人目の素数さん:2007/02/07(水) 02:36:51
>508
1.
 P(a-2,(a-2)^2), Q(a+2,(a+2)^2) とおく。
 PQの中点は (a, a^2 +4), PQの傾きは 2a.
 PQ: y= 2a(x-a) + a^2 +4 ≧ -(a+2-x)(x-a+2) + 2a(x-a) + a^2 +4 = x^2 (∵ 下に凸)
 PQ: y= 2a(x-a) + a^2 +4 ≦ (x-a)^2 +2a(x-a) +a^2 +4 = x^2 +4,
∴ 求める領域は x^2 ≦ y ≦ x^2 +4. (2つの放物線の間)

2. 背理法による。
S1 = α+β+γ、S2 = α^2+β^2+γ^2、S3 = α^3+β^3+γ^3 がすべて実数だったと仮定する。
然らば、基本対称式
 α+β+γ= S1, αβ+βγ+γα = (S1^2 -S2)/2, αβγ = (S1^3 -3・S1・S2 + 2・S3)/6,
も実数となる。
 f(x) = (x-α)(x-β)(x-γ) = x^3 - S1・x^2 + {(S1^2 -S2)/2}x - {(S1^3 -3・S1・S2 +2・S3)/6}
は実3次函数だから f(-∞) <0, f(∞) >0.
中間値の定理により、少なくとも一つ実根をもつ。


>509
6.
 a[n] = 2cos(θ[n]), 0≦θ≦π とおくと、題意より
 θ[n+1] = θ[n] /2 = …… = θ[1]*(1/2)^n, θ[1] = 2π/3.
 (1) Lim[n→∞) θ[n] = 0, Lim[n→∞) a[n] =2 =α.
 (2) α- a[n] = 2(1-cosθ[n]) = {2(1-cosθ[n])/θ[n]^2}・θ[n]^2
     = {2(1-cosθ[n])/θ[n]^2}・(θ[1]^2)*(1/4)^(n-1),
    ∴ k=4,  Lim[n→∞) (α- a[n])*(4^n) = 4θ[1]^2.

513 :132人目の素数さん:2007/02/07(水) 04:02:01
>>509
計算ミスがあるかもしれない。
6.(1)
n≧2のときa[n]=2cos{x/2^(n-2)} (x=π/3)となる…*ことを数学的帰納法で示す。
n=2のとき…明らかに成り立つ。
n=k≧2のとき成り立つとすると、n=k+1のときa[n]=a[k+1]=√(2+a[k])
=√(2+2cos{x/2^(k-2)})=2√{(1+cos{x/2^(k-2)})/2}=2√{(cos{x/2^(k-1)})^2}
=2|cos{x/2^(k-1)}|=2cos{x/2^(k-1)} となり、成り立つ。
以上より、確かに*は成り立つ。よって、lim[n→∞]a[n]=2となる。

6.(2)β=lim[n→∞](k^n)*(α−a[n])とおく。α=2であるから、n≧2のときα−a[n]
=2−2cos{x/2^(n-2)}=4{(1−cos{x/2^(n-2)})/2}=4(sin{x/2^(n-1)})^2となる。
よって、(k^n)*(α−a[n])=4(k^n)(sin{x/2^(n-1)})^2となる。簡単のため
c[n]=x/2^(n-1)とおくと、4(k^n)(sin{x/2^(n-1)})^2=4(k^n)(sinc[n])^2
=4{(k^n)/c[n]^2}{(sinc[n])/c[n]}^2 となる。c[n]→0であるから、
{(sinc[n])/c[n]}^2→1となる。これと4(k^n)/c[n]^2=4(k^n){4^(n−1)}/x^2
=(4k)^n/x^2であることより、β=lim[n→∞]{(4k)^n/x^2}{(sinc[n])/c[n]}^2となり、よって
|4k|<1のとき…β=0
|4k|>1のとき…β=∞あるいは不定
4k=−1のとき…β=不定
4k=1のとき…β=1/x^2=9/π^2
となる。以上より、k=1/4,lim[n→∞] (αーa[n])*(k^n)=9/π^2となる。

514 :513:2007/02/07(水) 04:08:11
さっそく間違えたお( ^ω^)

6.(2)(途中から)
簡単のためc[n]=x/2^(n-1)とおくと、4(k^n)(sin{x/2^(n-1)})^2=4(k^n)(sinc[n])^2
=4{(k^n)c[n]^2}{(sinc[n])/c[n]}^2 となる。c[n]→0であるから、
{(sinc[n])/c[n]}^2→1となる。これと4(k^n)c[n]^2=4(k^n){x^2/4^(n−1)}
=(16x^2)(k/4)^nであることより、
β=lim[n→∞]{(16x^2)(k/4)^n}{(sinc[n])/c[n]}^2となり、よって
|k/4|<1のとき…β=0
|k/4|>1のとき…β=∞あるいは不定
k/4=−1のとき…β=不定
k/4=1のとき…β=16x^2=(16π^2)/9
となる。以上より、k=4,lim[n→∞] (αーa[n])*(k^n)=(16π^2)/9となる。

515 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 11:31:32
6.(1)は
Aをある有限値として
lim[n→∞]a[n]=Aとおくと
lim[n→∞]a[n+1]=Aであるから
与式より A=√(2+A)>0
両辺二乗 A^2=2+A
∴A=2 (A=-1<0より不適)
∴lim[n→∞]a[n]=2

では駄目?

516 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 16:51:44
>>515
物理や工学の人はよく使ってるね
数学的にはダメ
収束することの証明が必要

517 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 17:08:16
>>515 値の目星を付けるのにその方法は使えるけど、厳密性にかける。2に収束しそうだなと予想したら
2-a[n+1]=2-√(2+a[n])
=(2-a[n])/{2+√(2+a[n])}
<(2-a[n])/2
とか大雑把に大小関係を評価して2-a[n]が0に収束することを示せばOKかと。

518 :132人目の素数さん:2007/02/08(木) 18:50:07
>>516-517
どうもです

519 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 15:06:57
〔問.479〕
 x,y,z は自然数で、 1/x + 1/y = 1/z, xとzは互いに素とする。
 このとき x+y, x-z, y-z が平方数であることを示せ。

http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2007/prob_jan.pdf
例 (x,y,z) = (x, x(x-1), x-1)

520 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 16:22:17
>>519
例の形以外ないじゃん。

521 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 17:59:58
>>519
なんか、簡単な問題だな……
明らかに、x,y>zが成立する。与式の両辺にxyzをかけて整理すると、条件式は
(x-z)(y-z) = z^2
と変形する事が出来る。
g=gcd(x-z, y-z)とおき、 x-z = a'g、y-z = b'gと置くと、a',b'は互いに素になり
a'b'g^2 = z^2より、a',b'は共に平方数になる。従って、
x-z = a^2g
y-z = b^2g
z = abg
と表せ、
x = a^2g + abg
y = b^2g + abg
z = abg
となる。gcd(x,z)=1より、g=1が成立し
x = a^2 + ab
y = b^2 + ab
z = ab
となり、x+y=(a+b)^2、x-z=a^2、y-z=b^2となって、
多分平方数に近い値をとっている。


522 :132人目の素数さん:2007/02/13(火) 04:19:03
>>520-521
 どうもでつ

523 :132人目の素数さん:2007/02/13(火) 05:09:58
〔問.476〕
p >0, |x_0| ≦ 2p とし、
 x_n = 3x_(n-1) -(1/p^2){x_(n-1)}^3   (n≧1)
と定義する。
 x_n を n と x_0 の函数として表わせ。


〔問.478〕
  √{2+√[2+√(2+x)]} + (√3)√{2-√[2+√(2+x)]} = 2x
  x ≧ 0.
を解け。

http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_dec.pdf

524 :132人目の素数さん:2007/02/15(木) 15:44:07
x_0=2p*sinθ_0とかx=2cosθっておいて3倍角、半角、合成するだけ。
東大の問題っぽくない。

525 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 16:36:53
>>507
無視されてるね
円の方程式になるからってやつ?

526 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 16:47:28
>>524
東大でも、そうやって置くと瞬殺できる問題が出たことあるよ。

527 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 19:10:20
三つの連続したピタゴラス数の意味が分からないからだと思うけど……

528 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 20:55:42
( ^ω^)

529 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 22:29:19
>>525
>>437以降のレスを参照

530 :132人目の素数さん:2007/02/18(日) 23:31:57
>457,>470
 b = 2a^2 +1 として
 n  = b^2 -1,
 n+1 = b^2,
 n+2 = b^2 +1.

531 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 00:15:22
>>457,>>470
d = 2c(c+1) として
n = d^2,
n+1 = d^2 + 1^2,
n+2 = (d-1)^2 + (2c+1)^2.


>530
n = (b-1)^2 + (2a)^2,

532 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 21:48:06
1999年がsin,cosの定義
2003年がπの評価
2007年は…?
今年もこういう系出るかもしれんな。

533 :132人目の素数さん:2007/02/19(月) 22:34:35
2^√2はどのような実数として定義されるか、とか?

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