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Lebesgue積分ゼミ 2

1 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 20:13:00
前スレ
Lebesgue積分ゼミ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109910304/

2 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 20:45:52
測度って、有限測度、ルベーグ測度、ハウスドルフ測度の他に
何あんの?

3 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 20:51:06
>>2

実変数実数値の右連続関数から定まるスティルチェス測度があります。
確率論でよく使われます。

4 :132人目の素数さん:2006/12/19(火) 02:12:55
スレタイの「ゼミ」は要らんだろ。
前スレの最初のほう見てみりゃ分かるが。

5 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 01:36:46
そんなのいろいろあるにきまってるだろ。

ちょっと考えれば、速度なんか無限にあることが分かるのではないか?


6 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 03:04:15
ぽいんと めじゃー

7 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 16:29:47
(gaugeの定義)
Rの開集合系をθとおく。写像γ:R→θのうち、各t∈Rに対してt∈γ(t)が
成り立っているものを(R上の)gaugeと呼ぶ。例えばφ(t)=(t−1,t+1)で定義
されるφ:R→θはgaugeである。gauge全体の集合系をΓと表すことにする。

(目印付き分割の定義)
I=[a,b] (-∞<a<b<∞)とする。ある自然数mに対し
Δ={ (ξi,Ii)|ξi∈I (i=1〜m),I1〜Imは非重複な 区 間 塊 で∪Ii=I}
と表される集合Δを「Iの目印付き分割」と言う。例えば、
集合Δ={ (0,[0,1/3]∪[2/3,1]), (1/2,[1/3,2/3]) }は閉区間[0,1]の
目印付き分割である。Iの目印付き分割全体の集合族をD(I)と表すことにする。

(γ−fineな目印付き分割の定義)
γ∈Γ,Δ={ (ξi,Ii)|i=1〜m}∈D(I)とする。γ,Δが次の条件を
満たすとき、このΔはγ−fineであるという。
・各iについてIi⊂γ(ξi)が成り立つ。
γ-fineなIの目印付き分割全体の集合族をD(I;γ)と表すことにする。
定理:任意のγ∈Γに対して、D(I;γ)は空でない。
証明:閉区間のコンパクト性の証明とほとんど同じだが、書くのがマンドクセ。

(積分)
f:I→Rが次の条件*を満たすことと、fがI上でルベーグ可積分であることは同値。
・∃A∈R, ∀ε>0, ∃γ∈Γ s,t Δ∈D(I;γ) → |S(f;Δ)−A|<ε …*
ただしS(f;Δ)=Σ[i=1〜m]f(ξi)|Ii| (つまりリーマン和)と定義する。
また、区間塊Jに対して|J|はその長さとする。
証明:マンドクセ。長文スマソ。

8 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 11:03:22
AMS-LaTeXで書けヴぉけ

9 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 12:46:14
AMSって言いたかったの?

10 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 10:50:43
>>9
お前はAMSとAMS-TeXとAMS-LaTeXの違いもわからんのかヴぉけ

11 :132人目の素数さん:2007/01/04(木) 22:02:36
AMS = American Mathematical Society ?

12 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 17:11:03
312

13 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 22:21:53
移動してきた。本スレでの会話。

615 名前:132人目の素数さん 投稿日:2007/02/17(土) 20:51:20
>>604
>積分域の置換写像については、有界可積分(例えば連続)としている。明らかに絶対連続を意識している。

逆写像が微分可能ってのが、ルベーグの意味ではラドン・ニコディム微分可能であるということか。
上のほう(>>555)の確率解析の話に出てきたギルサノフ変換にも繋がるんだな。フムフム。

ルベーグ積分ってなんかピンと来なかったんだよね。


616 名前:132人目の素数さん 投稿日:2007/02/17(土) 21:03:23
有界変動じゃないとルベグ化石じゃない


617 名前:132人目の素数さん 投稿日:2007/02/17(土) 21:14:06
>>616
あ、ヤパーリ違うニョ?kwskオシエレ!

14 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 22:22:58
618 名前:132人目の素数さん 投稿日:2007/02/17(土) 21:27:54
ルベッグ積分ってスイカを自由にみじん切りにチョップして、種があれば1、
なければ0でスープを取る操作。


619 名前:132人目の素数さん 投稿日:2007/02/17(土) 21:53:57
>>618
えっと、
「種があれば1」というのが絶対連続函数、
「種がなければ0」というのが特異函数、
ということ?たしかルベーグの分解定理。はて、話がまだ見えん。

621 名前:132人目の素数さん 投稿日:2007/02/17(土) 22:07:12
「可積なラドン・ニコディムの密度関数をルベーグ積分したらμに関して絶対連続な加法的集合函数である。」ダターよね?

15 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 22:24:36
今、思ったが
「種があれば0」というのが特異函数、
「種がなければ1」というのが絶対連続函数だ。

16 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 22:25:41
種は零集合でしょ。

17 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 22:29:09
で、「可積なラドン・ニコディムの密度関数をルベーグ積分したらμに関して絶対連続な加法的集合函数である。」が積分値を持つのは、
ラドン・ニコディムの密度関数が『有界変動』なの?

18 :132人目の素数さん:2007/02/17(土) 22:34:45
ということは、絶対連続な加法的集合函数がラドン・ニコディム微分可能だからといって、
逆の「密度関数がルベーグ可積」はいえない。密度関数が有界変動であってはじめて値を持つということでいい?

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