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確立がわからねえorz

71 :132人目の素数さん:2006/12/19(火) 03:01:30
>>65
L(x)=(x^1+x^2+…+x^6)^3とおくとL(x)=Σ[1≦a,b,c≦6]x^(a+b+c)=Σ[r=0〜7]Ar(x),
Ar(x)=Σ[1≦a,b,c≦6,a+b+c≡r (mod 8)]x^(a+b+c) と書ける。ω=e^(πi/4)として、
k∈Zに対してAr(ω^k)=Σ[1≦a,b,c≦6,a+b+c≡r (mod 8)]ω^{k(a+b+c)}
=Σ[1≦a,b,c≦6,a+b+c≡r (mod 8)]ω^(kr)=ω^(kr)Tr となる。ただし
Tr=Σ[1≦a,b,c≦6,a+b+c≡r (mod 8)]1=「1≦a,b,c≦6,a+b+c≡r (mod 8)を満たす(a,b,c)の個数」
とおいた。このときL(ω^k)=Σ[r=0〜7]Trω^(kr) となるので、Σ[k=0〜7]L(ω^k)
=Σ[k=0〜7]Σ[r=0〜7]Trω^(kr)=Σ[r=0〜7]Σ[k=0〜7]Trω^(kr)=Σ[r=0〜7]TrΣ[k=0〜7]ω^(kr)
=Σ[r=0〜7]TrPr となる。ただしPr=Σ[k=0〜7]ω^(kr)とおいた。明らかにPr=0 (1≦r≦7),8 (r=0)
であるから、Σ[r=0〜7]TrPr=8T0 となる。よってT0=Σ[k=0〜7]L(ω^k)/8となる。一方で
L(ω^k)=(−1−ω^7k)^3=−(1+3ω^14k+3ω^7k+ω^21k) (k=1〜7),6^3 (k=0)であるから、
Σ[k=0〜7]L(ω^k)=6^3 となる。よってT0=6^3/8 となるので、求める確率はT0/6^3=1/8 つまり1/8となる。

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