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☆★初等幾何スレッド★☆

1 :132人目の素数さん:2006/05/18(木) 17:33:47
パズルチックな初等幾何の良問を解きあおう。
まずはあいさつ程度に(自作)

△ABCにおいて,AB=6,BC=7,CA=8とする。
Aの外角の二等分線と直線BCとの交点をMとするとき,AMの長さはいくらか。

2 :132人目の素数さん:2006/05/18(木) 17:44:16
正三角形ABC内に点PがあってAP=3,BP=4,CP=5となる時、ABCの面積はいくつ?

とかか

3 :132人目の素数さん:2006/05/19(金) 20:49:49
π という文字は、周辺・地域・円周などを意味するギリシア語 περιφε´ρεια の頭文字であり、オートレッド(1647年)や
バーローによって円周を表す記号として用いられ、ジョーンズ(1706年)やオイラー(1748年)などによって、円周率の記号として用いられた。



お前は密室殺人でも解決してろバーローwwwwwwwwwwwwwwwww

4 :132人目の素数さん:2006/05/27(土) 06:25:46
Aの内角の2等分線とBCの交点をNとしてAN=dとすれば
(6^2-3^2+d^2)/2*6*d=(8^2-4^2+d^2)/2*8*dよりd=6
NAMが直角でMB=7*6/(8-6)=21よりAM=√(24^2+6^2)=6√15

5 :132人目の素数さん:2006/05/29(月) 17:09:15
まんぼっ!

6 :132人目の素数さん:2006/06/02(金) 23:04:22 ?
四角形ABCDは以下の条件をみたす。
(1)AD=BC=10
(2)∠C=15゚、∠B=110゚
(3)辺CDをD側に延長すると、辺ABと点Mで交わり、点Mは辺ABの中点である。

このとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

7 :132人目の素数さん:2006/06/12(月) 01:31:07
↑∠P=∠Q=15゜、∠R=150゜、PR=QR=10の三角形とたぶん面積同じ

8 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 18:53:29
25

9 :132人目の素数さん:2006/06/17(土) 16:22:54
初等幾何は図がないことには冴えないな

図、図、図・・・・

10 :132人目の素数さん:2006/06/17(土) 20:29:17
ただし図は正確とは限らない。

11 :132人目の素数さん:2006/06/29(木) 19:30:26
平面XとX上にはない点A,B,Cがある
直線AB,BC,CAは3つともXと交わり、その交点をD,E,Fとする
この時D,E,Fは同一直線上にある事を証明せよ

12 :132人目の素数さん:2006/06/30(金) 01:08:18
>>11
D,E,Fは平面X上にもABCが定める平面上にもある。
XとABCが平行でないので、D,E,Fはこの二つの平面の交線上にある。

13 :132人目の素数さん:2006/06/30(金) 15:56:35
9点円定理は凄い。ホントに9点以上はないのか?

14 :132人目の素数さん:2006/06/30(金) 16:17:25
おいらーせん

15 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 22:38:22
クラブの出し物で、学園祭に来たうちの高校を志望する
中3生向けに挑戦問題を出すことになったんですが・・出すなら幾何だろうと思い
実験的に作ってみたんですが、どんなものか判定していただけませんか?
易しすぎるとか難しすぎるとか駄問だとか良問だとか。
うちの高校は、例年東大京大40人くらいと地元地帝60人くらいのレベルです。
中学生対象なので、三角比などはなるべく使わないでください。時間は無制限・・にするつもりです。

△ABCにおいて、AB=5、BC=6、CA=7である。
1.△ABCの面積を求めよ。
2.AB、ACをそれぞれ1辺とする正方形MNBA、正方形ACQPを
△ABCと重ならないように描く。このとき、MPの長さを求めよ。

16 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 22:40:46
↑一行目は「(学園祭の)クラブの出し物で」ってことです。

17 :132人目の素数さん:2006/07/07(金) 01:08:14
>>15
我が母校、岡校程度のレベルかな
そんなつまらん出し物を考えた奴をとりあえず
しばいたほうがいいように思う

18 :15:2006/07/07(金) 20:06:02
一応こっちが用意した解答書きます。

1.
AからBCに下した垂線の足をHとし、BH=xとおくと、三平方の定理より
25-x^2=49-(6-x)^2 これより x=1
よってBH=√(25-1)=2√6
だから△ABC=6*2√6*1/2=6√6

【ポイント】
BからACに垂線を下しても同じようにできるが、CからBCに垂線を下してはいけない。
垂線が辺と交わらない可能性があるからである。
もちろん、それを見据えて場合分けして解けるなら問題ない。

19 :132人目の素数さん:2006/07/07(金) 20:29:08
2.
題意より、∠BAC+∠MAP=180゚、AB=AM、AC=APであるから
Aを軸に、APとACが重なるまで△MAPを回転すると、△MCB(△MPB)ができ、Aは辺MBの中点である。
よって、△ABCと△AMPの面積は等しい。すなわち1より△AMP=6√6
∠MAPは鈍角であるから、PからMAに下ろした垂線の足をKとすると
Kは直線MA上の、Aより右側の位置にある。△MAPの面積について
5*PK*1/2=6√6 よって PK=12√6/5
△APKに三平方の定理よりAK=√{7^2-(12√6/5)^2}=19/5
MK=MA+AK=5+19/5=44/5
△MPKに同様に
MP=√{(44/5)^2+(12√6/5)^2}=4√7

【ポイント】
・2つの三角形の面積が等しいことに気づけるか。
・煩雑な計算に耐えうる計算力があるか。
(ただ√{(44/5)^2+(12√6/5)^2}=4/5*√(11^2+3^2*6)など工夫の余地は結構ある)

20 :132人目の素数さん:2006/07/07(金) 23:33:36
直線a上にBがAとCの間にきてAB≠BCとなるように点A,B,Cを取る。
更に点Bを通りa≠bとなるように直線bを取り、b上に点X,YをYがBとXの間に来るように取る。
直線CYとAXの交点をD、直線AYとCXの交点をE、直線DEとaの交点をZとする。

点Zは直線bと点X,Yの取り方によらない事を示せ。

21 :132人目の素数さん:2006/07/11(火) 02:07:50
チェバとメネラウスで一瞬。
AZ:ZC=AB:BCになる。

つまらん。

11は京大の問題じゃん。問題自体は面白いが、そんなのをここで言う香具師は氏ね。

22 :132人目の素数さん:2006/07/11(火) 02:23:38
円O外の点Pからこの円に引いた2本の接線の接点をそれぞれA、Bとする。優弧AB上に2点C、Dを取り、ACとBDの交点をQ、ADとBCの交点をRとする。
このとき、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明せよ。

23 :132人目の素数さん:2006/07/12(水) 14:32:12
初等幾何マニアはいないのか〜?

24 :132人目の素数さん:2006/07/25(火) 08:09:12
age

25 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 00:59:12
>>22
を解いてくれ。kingよ。

26 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/07/28(金) 17:59:55
talk:>>25 ベクトルで表示してみるか?

27 :132人目の素数さん:2006/07/30(日) 11:37:29
おいおいそれでもKingかよ。
ベクトル表示はないだろ…。

28 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

29 :132人目の素数さん:2006/08/29(火) 03:01:06
>>26
で、ベクトル表示して解けたの?

30 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/08/30(水) 07:20:06
talk:>>27,>>29 大変だが、内積も使えばできるはずだ。

31 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 09:36:07
OA=OBの二等辺三角形OABがあり、底辺ABの中点をMとする。
辺AB上で、MよりA側に、点Pをとり、
辺OA上に∠OPM=∠QPAとなるように点Qをとる。
辺AB上で、MよりB側に、点Rをとり、
辺OB上に∠ORM=∠SRBとなるように点Sをとる。
PQとBOの交点をX、RSとAOの交点をYとすると
AQ:QY=BS:SXを示せ。

♯初等幾何のいいところは自作問題が比較的簡単に作れる事かなぁ…せいみや氏も同じ様な事言ってるけど。
♯このスレが不等式スレみたいにハァハァでいっぱいになりますように。

32 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 09:42:48
簡単すぎか?

△ABCの辺BCの中点をD,∠Aの二等分線と辺BCの交点をEとする。
AB>CAで,△ADEの外接円と辺CA,ABとはそれぞれAと異なる交点F,Gをもつ。
このときBG=CFであることを証明せよ。

33 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 09:48:08
問題投下
△ABC の内部に点 P をとり,
AP と BC の交点を X ,
BP と CA の交点を Y ,
CP と AB の交点を Z とすると
P は △XYZ の重心になった.
P は △ABC の重心であることを示せ.

34 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 14:59:26
>>22解けたんだけど、kingのベクトルによる解法を待ってからの方がいいのかな?

35 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 20:48:22
初頭幾何語るならまず清宮としお先生の本を読破して次に洋書の初等幾何本に手をつけることだね
っていうか初等幾何ってやってもやっても得意にならない・・・

36 :132人目の素数さん:2006/09/01(金) 02:11:15
>>34
kingによるベクトル解法は,とっておきのお楽しみにとっておいて,まずは>>34の解法を紹介してみては?

37 :132人目の素数さん:2006/09/02(土) 02:13:00
>>36
賛成。
>>34 お願いします。

38 :132人目の素数さん:2006/09/02(土) 02:46:28
>>31
AM=BM=1,PM=a,RM=bとおく。
OM,XP,YRは一点で交わる。
あとはメネラウス連発で計算すると
AQ/QY=(1-a)(1-b)/{2(a+b)}
これはa,bに関して対称だから、BS/SXも同じ値になる。

メネラウス連発で計算、ってあたりが美しくないなぁ。

39 :132人目の素数さん:2006/09/02(土) 02:48:51
>>32
方べき+角の二等分線の性質で一発。簡単。

40 :132人目の素数さん:2006/09/02(土) 03:10:51
>>33
YZとAXとの交点をSとおく。
BX:XC=s:t,AP:PX=u:vとおくと、またもやメネラウス連発で計算して
YS:SZ=(s+t)v+tu:(s+t)v+suとなる。
これが1:1になるのはs=tのときに限る。
このことから題意は従う。

41 :132人目の素数さん:2006/09/04(月) 18:54:08
>>40さんへ。>>33の別解。邪道だがベクトル解法のほうが自然に思える。

△ABC の内部に点 P をとり,
AP と BC の交点を X ,
BP と CA の交点を Y ,
CP と AB の交点を Z とすると
P は △XYZ の重心になった.
P は △ABC の重心であることを示せ.

Pは△XYZの重心だから
  ↑PX+↑PY+↑PZ=↑0.
そして↑PX, ↑PY, ↑PZ は実数a,b,cを用いて
  ↑PX=a↑PA, ↑PY=b↑PB, ↑PZ=c↑PC
と表せる.したがって次の3つの等式が成り立つ.
  ↑PX+b↑PB+c↑PC=↑0,
  a↑PA+↑PY+c↑PC=↑0,
  a↑PA+b↑PB+↑PZ=↑0.
ここで3点X,B,C は一直線上にあるから最初の等式により
  1+b+c=0
同様にして2番目,3番目の等式から
  a+1+c=0,
  a+b+1=0.
これらを連立させてa,b,cを求めると
  a=b=c=-1/2.
よって
  ↑PA+↑PB+↑PC=(-1/2)(↑PX+↑PY+↑PZ)=↑0
となるから, Pは△ABCの重心である.

42 :41:2006/09/04(月) 19:08:53
すまん.最後の式は
  ↑PA+↑PB+↑PC=(-2)(↑PX+↑PY+↑PZ)=↑0
と訂正する.

43 :132人目の素数さん:2006/09/04(月) 21:19:19
2006数学オリンピックの問題1

三角形ABCの内心をIとする。
この三角形の内部の点Pが「∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB」を満たすとき、
AP>=AIであることを示せ。
また等号はP=Iに限ることを示せ。

44 :132人目の素数さん:2006/09/05(火) 01:30:54
>>41
たしかに。こういうのはベクトルが自然だね。
ちなみにおれの中での「初等幾何の良い問題」の条件の一つは、
「ベクトル、複素数平面の計算では示せないこと」

45 :132人目の素数さん:2006/09/05(火) 01:32:03
>>43
今月号の大数に載ってる。簡単。

46 :132人目の素数さん:2006/09/11(月) 16:56:16
三角形のそれぞれの内角の三等分線のうち
辺に近いものどうしの交点は、1つの正三角形をつくることを示せ。

47 :132人目の素数さん:2006/09/12(火) 01:33:49
↑漏れの定理

48 :132人目の素数さん:2006/09/15(金) 20:30:01
>>46-47
http://iijima.auemath.aichi-edu.ac.jp/asp/gc/html.asp?00000478
http://www.zusaku.com/ani_FrankMorley.gif
http://www13.plala.or.jp/Archer/mathematics/morley/morley1.html

49 :132人目の素数さん:2006/09/20(水) 11:14:54
ここは質問していいのかが分かりませんが、ちょっと困っているのでお願いします。
線分AB,CDがありそこに接する円の半径が決定しています。
AB,CDと円が接点の座標と、円の中心座標を求める方法をできるだけ
プログラムで計算しやすい式で教えていただければ助かります。

50 :132人目の素数さん:2006/09/20(水) 11:52:21
132です。
ちょっと間違えました。

ここは質問していいのかが分かりませんが、ちょっと困っているのでお願いします。
線分AB,BCがありそこに接する円の半径が決定しています。
AB,BCと円が接点の座標と、円の中心座標を求める方法をできるだけ
プログラムで計算しやすい式で教えていただければ助かります。

51 :132人目の素数さん:2006/09/21(木) 12:46:08
プログラムで計算しやすいってどゆこと?
A,B,Cの座標と円の半径で円の中心の座標を表示すればいいの?

52 :132人目の素数さん:2006/09/29(金) 10:27:56
AB,BCと円が接する点と円の中心座標か必要です。
プログラムで計算しやすいっていうのは、たとえば
AB,BCを通る直線両方に接する円は最大4つあるわけで
どの円を選ぶかを計算結果で判断できるようにしたい
と思っています。

53 :132人目の素数さん:2006/10/03(火) 06:06:12
717

54 :132人目の素数さん:2006/10/08(日) 04:01:56
〔問題〕
BC=a, CA=b, AB=c とするとき、△ABCの
 重心 G
 内心 I
 傍心 Ia,Ib,Ic
 外心 O
 垂心 H
 外接3角形の重心 (de Longchamp点) L
 Gergonne点 Go
 9点円の中心 K
について、
それを ΛA↑ + μB↑ + νC↑ と表わしたときの係数 Λ,μ,ν を求めよ.

 HK:KG:GO:OL=3:1:2:6 (オイラー線)
 Go-I-L も1直線上



55 :132人目の素数さん:2006/10/08(日) 04:26:19
>54
係数のみ示す。
 重心 G: (1/3, 1/3, 1/3)
 内心 I: (a/(a+b+c), b/(a+b+c), c/(a+b+c))
 傍心 Ia: (-a/(-a+b+c), b/(-a+b+c), c/(-a+b+c))
    Ib: (a/(a-b+c), -b/(a-b+c), c/(a-b+c))
    Ic: (a/(a+b-c), b/(a+b-c), -c/(a+b-c))
 外心 O : (L・sin(2A), L・sin(2B), L・sin(2C))    L=(R^2)/(2S).
     = ((1/2)[1 -1/{tan(B)tan(C)}], (1/2)[1 -1/{tan(C)tan(A)}], (1/2)[1 -1/{tan(A)tan(B)}] ).
 垂心 H : (1/{tan(B)tan(C)}, 1/{tan(C)tan(A)}, 1/{tan(A)tan(B)})
     = (h・tan(A), h・tan(B), h・tan(C)),      h=1/{tan(A)tan(B)tan(C)}.
 外接3角形の重心 L : (1-2/{tan(B)tan(C)}, 1-2/{tan(C)tan(A)}, 1-2/{tan(A)tan(B)} ).
 Gergonne点 Go: ( g・tan(A/2), g・tan(B/2), g・tan(C/2)),   g=4S/{2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c-2).
      = (2rg/(-a+b+c), 2rg/(a-b+c), 2rg/(a+b-c)),    r=2S/(a+b+c).
 9点円の中心K: ((1/4)[1 +1/{tan(B)tan(C)}], ((1/4)[1 +1/{tan(C)tan(A)}], ((1/4)[1 +1/{tan(A)tan(B)}] )

56 :55:2006/10/08(日) 14:22:17
>54 (追加)

内心 I: (k・sin(A), k・sin(B ), k・sin(C)),  k=Rr/S, r=2S/(a+b+c), R=abc/4S.

 λ + μ + ν = 1.

57 :132人目の素数さん:2006/10/09(月) 19:31:30
>54

http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html

http://mathworld.wolfram.com/EulerLine.html
http://mathworld.wolfram.com/NagelLine.html
http://mathworld.wolfram.com/GergonneLine.html
http://mathworld.wolfram.com/SoddyLine.html

58 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 01:37:41
327 : ◆BUBuBUIBS. :2006/10/23(月) 03:03:00

 平面α上に正三角形ABCがある。
 また平面α上にない点Oをとる。このとき
 AO + BO > CO をしめせ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/327
東大入試作問者スレ7

59 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 01:42:03
>58

333 :132人目の素数さん :2006/10/24(火) 21:18:56

ABCは正三角形だから、
 BC・AO + CA・BO > AB・CO.
を示せば十分。(トレミーの不等式の3D版)

直線ABのまわりの回転により、点Oを平面α上(ABに関してCと反対側)の点O' に下ろすと、
 AO'=AO, BO'=BO, CO'>CO.
平面α上の4角形BCAO'にトレミーの不等式(2D)を適用する。
 BC・AO' + CA・BO' ≧ AB・CO'.
等号成立は BCAO'が同一円周上にあるとき。(終)

http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/333
東大入試作問者スレ7

60 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 02:36:22
〔トレミーの不等式(2D)〕
   AB・CD + AD・BC ≧ AC・BD.

(略証1)
 ABCDは凸4角形とする(*)。
 まず点Eを ∠BAE=∠CAD, ∠ABE=∠ACD となるようにとれば
 △ABE ∝ △ACD となるから, AB/BE = AC/CD, すなわち
   AB・CD = AC・BE.  …… (3)
 また、AD/AE = AC/AB, ∠DAE = ∠CAB であるから, △ADE ∝ △ACB, よって
 AD/ED = AC/BC, すなわち
   AD・BC = AC・ED.  …… (4)
 こうして得られた (3) と (4) を辺々加えれば
   AB・CD + AD・BC = AC・(BE+ED) ≧ AC・BD.
 ここで等号が成り立つのは, 点Eが対角線BD上にある場合である。
 ところがその場合には ∠ABD = ∠ACD となるから4角形ABCDは円に内接することがわかる。

(*) 点Dが△ABCの内部にあるとき: 点Dを直線ACのまわりの180゚回転により、(ACに関してBと反対側の)点D'に移す。
  ABCD'は凸4角形で、AD'=AD, BD'>BD, CD'=CD.

矢野健太郎: 「幾何のおもしろい定理」 数学ワンポイント双書36, 共立出版 (1981) p.47-48

61 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 02:55:20
〔トレミーの不等式(2D)〕
   AB・CD + AD・BC ≧ AC・BD.

(略証2)
 複素数平面を考え、頂点 A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
  (b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) = (c-a)(d-b).
 という恒等式が成り立つので、各項の絶対値をとる.(終)

「数学100の定理」 数セミ増刊 (1983.10) p.16
 栗田 稔: 「トレミーの定理」

62 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 22:57:16
ある大学のオープンキャンパスで、講師らしき人に
「幾何が好きなのかー、でも大学入るとー、幾何も代数も区別なくなっちゃうからー」と言われました。
この発言をどう思われますか。

63 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 23:55:57
同意する

64 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 20:55:20
普通にその通りだと思うが

65 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:29:27
62です。幾何は幾何、代数は代数で、一緒になるはずないと自分は思うんですが・・
幾何やってる人は幾何が最高級の数学だと考えていて
幾何に対するプライドとか、あるってききました。
代数と一緒にするなーみたいな。ないですか?

66 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:31:37
>>65
今何年?

67 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:32:28
>>66
高3です。

68 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:33:26
微分幾何やトポロジーやってる連中の本音は、
幾何は易しい、泥臭い、レベル低い、だよ
実際その通りなんだろう

69 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:36:27
>>67
ならまあわかんないのも無理はないか
心配しなくても大学行って数学の勉強が順調に進めば分かるときが来るよ

>>68
俺の知り合いの何人かは本当は代数やりたいけど自分じゃ力不足と分かってて
幾何行ったって言ってた,逆は見たことがない

70 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:41:00
なにーそうなのか・・自分は純粋な幾何がしたかったので残念です。
まあそれでも自分の考えは変わらんですが

71 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:42:29
純粋な幾何ってアンタは数ヲタの星清宮先生にでもなるつもりか?

72 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:46:40
>>70
多分おまいの言ってる幾何ってのは補助線引いたりなんやかんやの幾何
なんだろう?

73 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:51:07
>>71
だーれ

>>72
まあそうですね。古典的な幾何の証明とか。

74 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:54:11
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/478531107X

清宮俊雄先生。
もう、かなりいい年だと思ったんだが。初等幾何の色々な問題を数学セミナーに出題したりしている。
初等幾何の問題としては、かなりむずかしめの問題を出す。


で、御大先生が今、いくつかご存知の方いらっしゃいます?

75 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:58:32
>>73
やっぱりな
大学でそんなことやってるところはほとんどないよ

清宮先生に弟子入りする方がよっぽど話が早い

76 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:59:42
>>74
そういう本死ぬほど読みたいんですが、なんせ受験が邪魔で
大学入ったら一日中幾何の問題を解きまくれるんだろうなー夢のようだ。

77 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:01:24
>>75
まあ趣味でもいいんですけど、ちゃんと教えてくれる人はほしいですね。

78 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:03:13
>>76
お前は大学を誤解している。

>>74
失礼な話かも知れないので、あんま言いたくはないが
既に90は過ぎてるような気がする……

79 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:04:46
>>77
趣味ならいいかな,楽しめるしね
多分同好の人は見つかると思うので(見つかりやすさは大学にもよると思うが)
自主ゼミやるのがいいよ

そっちにばかり気を取られて英語の単位が・・・ってことにならんように
気をつけないといかんけど

80 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:04:59
すごいな
初等幾何は長生きの秘訣
アダマールも初等幾何が好きだったらしい
老後にやれよ

81 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:07:17
>既に90は過ぎてるような気がする……
まじ?

82 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:24:18
確かに老後のボケ防止にはいいような

83 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:32:28
ttp://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss0204.htm
ttp://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/anniversary/seimiya-t.htm

高三の受験期は別としても、それ以外の
高校の時期に一日中幾何の問題を解きまくれなかった奴は
大学に入ってもそんな暇は出来ないよ。

84 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:34:05
清宮 俊雄
1910年生まれ。
1934年東京大学数学科卒業。現在、東京学芸大学名誉教授

85 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:34:32
ぐおおおお92歳!

大先生だ・・・

86 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:35:00
>>85
96だろ

87 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:35:29
!?
96か?

もうすぐ100歳?

88 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:36:21
>>86
下の方のリンク先見て勝手に騒いでしまった
スマンカッタ

89 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:37:38
まだ、元気なのかな?
数ヲタとしては、一度お会いしたいんだが。

90 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 03:30:08
〔清宮の定理〕
 3角形ABCの外接円周上の A,B,C と異なる2点を P,Q とし,点Pの 3辺BC,CA,AB に関する対称点をそれぞれ U,V,W とする。
 また, QU,QV,QW と 辺BC,CA,ABまたはその延長 との交点をそれぞれ D,E,F とする。
 このとき, 3点D,E,F は一直線上にある。

 (清宮氏はこの定理を氏が16歳のときに発見したという.
 シムソンの定理の一拡張であり、類似物にターナーの定理がある.)

91 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 04:15:10
清宮氏はある種の天才だよね
ものは初等幾何でも、若くして数学的に完成してる

92 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 04:17:51
〔シムソンの定理〕
 3角形ABCの外接円周上の任意の点を P とする。
 また, Pから3辺BC,CA,ABまたはその延長へ下した垂線の足をそれぞれ D,E,F とする。
 このとき, 3点D,E,F は一直線上にある。これを△ABCの点Pに関するシムソン線という。

〔ターナーの定理〕
 3角形ABCの外接円に関して互いに「反点」である2点を P,Q とし,点Pの 3辺BC,CA,AB に関する対称点をそれぞれ U,V,W とする。
 また, QU,QV,QW と 辺BC,CA,ABまたはその延長 との交点をそれぞれ D,E,F とする。
 このとき, 3点D,E,F は一直線上にある。

証明は↓
 矢野健太郎: 「幾何の有名な定理」,共立出版 (1981) 6章,8章

93 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 18:19:23
>92

〔反点〕
 Oを中心, rを半径とする円をCとする。
 Oから延びる半直線上に2点P,Qがあって OP・OQ=r^2 が成り立つとき、
 点PとQは 円Cに関して互いに反点である, という。

94 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 00:16:38
age

95 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 00:50:20
1組の対辺の長さが等しく,1組の対角の大きさが等しい四角形は
平行四辺形であるか
ないならば反例を挙げよ

96 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 02:13:08
ひし形?

97 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 06:52:33
>>95
正しいと思う
ひし形も平行四辺形に入るし

98 :132人目の素数さん:2007/01/01(月) 12:43:26
>>95
正しそう

99 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 13:15:46
>>95
間違ってる
四角形ABCDでAB=2、BC=5、CA=4、AD=5、sin∠A=4/5、cos∠A=3/5、sin∠C=4/5、cos∠C=3/5
辺CD上に点Eを取ると、△BDEが二等辺三角形になるような四角形ABCD

100 :132人目の素数さん:2007/01/03(水) 13:19:05
99訂正
× 辺CD上に点Eを取ると、
○ 辺CD上に、CE=2となる点Eを取ると、

101 :132人目の素数さん:2007/01/06(土) 03:42:57
スレの流れと関係ないのだが、
なぜ初等幾何って嫌われるんだろうね。

確かに思いつきだけの学問って感じがするけどな。

初等幾何の長所・短所ってなんだと思う?

102 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 23:07:17
長所・数学的思考能力を養える。単純なのでいろいろ自分で考える余地がある。暇がつぶせる
短所・図を描くのがめんどいことがある。現代数学に結びつかない

103 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 23:11:00
他の分野と繋がりが薄いことが、敬遠される一因だろうね

別に嫌われてるわけでもないだろうけど

104 :132人目の素数さん:2007/01/07(日) 23:55:40
あと、古すぎて、研究する分野が残ってない?

105 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 00:16:24
>>104
そう?
円の詰め込み問題とか未解決では?

106 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 00:18:17
初等幾何じゃねーw

107 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 00:19:00
そうなん? 分からんから、>>104の最後に?をつけておいたんだが。
言われてみると、未解決問題は確かに残ってるような……でも、それって初等幾何的なアプローチをするのか?

108 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 00:44:38
>>106
そうなの?
まぁ、モーリーの定理とか、角の三等分関係には
未解決問題がいっぱいあった気がするけど。

109 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 01:13:39
>>108
モーレーの定理は解決済みだが

110 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 02:03:41
>>108
モーリーは解決済みでも、
20世紀近くまで初等幾何に埋もれてた問題があったってこと。
確か、その付近に未解決問題があった気がする。

111 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 08:07:02
埋もれてた問題があるのと未解決問題があるのは別だからね

112 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 15:22:59
初等幾何は思いつきって言うより、とても理詰めの学問って印象なんだけどな
組合せとか整数論のほうが思いつきな気がする

113 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 09:00:02
初等幾何で証明できないけど解析幾何で証明できる定理
またはその逆ってあるのかな?

114 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 14:06:53
そんなもんないんじゃないか?

三角関数と座標の発見で、初等幾何は学問としては死んだ

115 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 14:23:00
18世紀頃までは
「幾何は厳密な理論体系。代数は基礎がはっきりとしていない虚学。代数は幾何によって基礎づけられるべき」
だったのにな。
今じゃ完全に立場は逆転してしまった。

116 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 14:28:00
まあ初等幾何と現代の微分幾何だとか位相幾何だとかは
ほとんど別の学問だしね

昔の代数学と今の代数学もかなり違うし

117 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 15:00:12
>>113
数理論理学的にきちんと考えると面白いかもしれない。
もしかしたら既知かもしれないが。

118 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 19:20:14
なんかaxiomatic projective geometryとかそういう本はあるね
初等幾何も公理的取り扱いは昔から為されているけど、

「解析幾何」はかなり大雑把な言葉だから数理論理学的に
「解析幾何で証明できる定理」の内容をきちんと定められるわけではないような気がする

119 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 19:35:28
ということは、「初等幾何」みたいなクラスから
証明できる問題の集合を得るようなことは
すでに考えられているの?

120 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 19:46:12
初等幾何で証明できる定理のクラスは
「実数論」の定理のサブセットであると見做せる、ということは
はるか昔にHilbertが述べているよ

まあ「実数論」はきちんと定式化されていなかったけど

121 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 21:59:31
理論のレベルによって証明できる問題は決まってくるのかよorz
てっきり俺は初等幾何でリーマン予想やP=NPを解決できるものだとばっかり

122 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 22:13:02
まあそういうこと考えるのはRiemann予想とか
P=?NP予想を初等幾何の言葉に書き直してからにしてね

123 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 22:13:49
>>105
敢えて言うなら組み合わせ幾何とか、そんな名前の分野かな

124 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 22:46:46
>>122
俺ができたらやってるさw
けど、問題の帰着さえできれば
どの理論でも証明できると考えるのは自然じゃないの?

125 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 23:11:25
>>124
そんなことはないと思う。
第二不完全性定理があるから。

126 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 23:24:52
>>125
それって突き詰めたら、数学はおろか、
どんな理論でも証明不可能ってことになるから
今考えてる問題とは関係なくね?

127 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 23:26:30
>>125
「数学で証明できない」と、「ある理論では証明できない」は分けて考えるべき

128 :132人目の素数さん:2007/01/10(水) 23:28:41
124は自然ではあると思うよ。

「証明できる」じゃなくて「解決できる」ならこれまたやはりHilbertが
どっかで述べていたこととそっくり。

129 :125:2007/01/11(木) 00:18:24
どうやら話がかみ合ってないようで。

確認したいんだけど、何度か出てきてる「理論」って公理系によって規定される命題の集合の意味で使ってる?

130 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 00:20:33
>>129
集合じゃなくて要素かもね

131 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 01:09:07
128=122=120=118で118以降の他のレスは私のレスじゃないんで。
124がどういう意味で「理論」と言う言葉を使ってるかは知らない。

132 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 15:09:14
【出題】
△ABCにおいて、各辺を底辺とする三つの正三角形を(△ABCの外部に)描く。
三つの正三角形の重心を結んでできる三角形は、やはり正三角形であることを示せ

133 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 19:05:08
複素数使ってゴリゴリ計算するのが一番簡単ですね

134 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 19:06:52
簡単ですけど、鮮やかな補助線を見つけて解いてくれろ

135 :132人目の素数さん:2007/01/22(月) 00:03:45
ΔABCの外側に作った各辺を底辺とする正三角形を
ΔABC'、ΔAB'C、ΔA'BCとし、それぞれの重心をC''、B''、A''とする。
ΔAC''B''∝ΔABB'が言えるのでC''B''=(1/√3)BB'
 同様にΔBA''C''∝ΔBCC'が言えるのでC''A''=(1/√3)CC'
ΔABB'≡ΔAC'CよりBB'=C'C
以上よりC''B''=C''A''

初等幾何でも簡単に解けるんだ。初めて知りました。

136 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 03:12:58
正の実数p,q,rはpqr=p+q+rを満たす定数とする。
△ABCの辺BC,CA,ABの長さを順にa,b,cとし、
△ABCの面積をSとしたとき
(a^2)/p+(b^2)/q+(c^2)/r≧4S
を示せ。また等号が成立するときの△ABCの形とp,q,rの関係は?

137 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 13:16:17
age

138 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 20:27:36
質問です。
方冪の定理ってどんな成り行きで作られたものなのですか?

例えば、円周角の定理とか、円の内接四角形の角度に関する関係から
相似な三角形が作られて、その相似比から方冪の定理が考えられたとかですか?

139 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 22:40:55
初等幾何の問題をたくさん解いて血中の糖分を消費しないと

140 :132人目の素数さん:2007/02/10(土) 21:49:13
∠A=90゚の直角三角形ABCの辺AB上に点Pを、辺AC上に点D,E,Fを、A,D,E,F,Cがこの順に並び∠ABD=10゚、∠DBF=30゚、∠EBC=40゚、∠ACP=10゚となるようにとる。
このとき、以下のそれぞれの場合について∠APD、∠DPE、∠EPF、∠FPCをすべて求めよ。
(1)∠EBF=20゚
(2)∠EBF=10゚

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