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【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】

1 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 20:27:30
語ろう

2 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 20:28:41
語らん

3 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 20:30:04
語らん

4 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 20:31:58
語らんで数

5 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 20:37:58
語らん予想というのもあるな。
|a^b-c^d|=1の正整数解(a,b,c,d)が(3,2,2,3)に限るとかいうやつ。

6 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 20:39:22
>>5
すでに解かれております。

7 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 21:48:37
猫スレに…

8 :132人目の素数さん:2005/12/04(日) 00:12:40
>5

Paderborn大学のPreda Mih\u{a}ilescu氏により証明されたらしい。。。

"Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture",
P.Mih\u{a}ilescu: J. reine angew. Math., 572, p.167-195 (2004)

★東大入試作問者スレ5
 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/874-876

Waseda Friday Seminar (2004.11.5)
 http://www.math.waseda.ac.jp/NTseminar/2004.html
 講演者: 多田 祐樹 (早大・理工)
 題名:「Catalan予想の証明の紹介」

マセマティカのサイト
 http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
 http://mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html

数セミ増刊(日本評論社)から
 鹿野 健: 「数学100の問題」 p.104-105 (1984)
 吾郷孝視: 「数学・物理100の方程式」p.20-21 (1989)


9 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 13:54:06
age

10 :king of kings:2005/12/25(日) 22:42:03
語らん

11 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/12/25(日) 22:56:29
talk:>>10 何やってんだよ?

12 :speedking ◆chWMuw.JpE :2005/12/31(土) 14:42:20
>>11 あんた誰にでも絡むのな。
でも日本語おかしいよ。

13 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/12/31(土) 20:12:42
talk:>>12 何やってんだよ?

14 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 05:43:55
671

15 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 14:24:15
171 :132人目の素数さん :2006/01/15(日) 07:50:10
次の問題をよろしくお願いします。
連立方程式
 x - y = 1
 x^y - y^x = 1
解が二組あるようです。

172 :132人目の素数さん :2006/01/15(日) 08:54:26
(2,1) , (1,0)

174 :132人目の素数さん :2006/01/15(日) 09:04:37
>>172
(3,2)もある。ほかあるんかな・・・

さくらスレ184
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137072072/171-174

16 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 14:34:43
>15
 x-y=1 みたいな付加条件があったら簡単に解けるyo!

〔補題〕
 x,y,p,q は1より大きい自然数
 x - y = 1
 x^p - y^q = 1
ならば
 x=3, y=2, p=2, q=3.
 (Le Veque(1952), H.B.Yu(1999) )

---------------------------------------------------------

元のカタラン予想:

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html

P.Mihailescu: "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture",
J.reine angew.Math., 572, p.167-195 (2004).


17 :16:2006/01/15(日) 15:24:18
補題の略証 (H.B.Yu,1999)
 x^p - y^q = 1.  …… (*)
 x^p - y^q = (y+1)^p - y^q ≡ py +1. (mod y^2)
 x^p - y^q = x^p - (x-1)^q ≡ (-1)^q・(qx-1). (mod x^2)
 (*)より、y|p, x|q, qは奇数ゆえ xも奇数, y=x-1は偶数ゆえ p=2r.
 y^q = x^p -1 = x^(2r) -1 = (x^r-1)(x^r+1).   …… (**)
 2 ≦ GCD(x^r +1, y) = GCD(x^r +1, x-1) ≦ GCD(x^r +1, x^r -1) = 2.
 y = (2^e)w (e≧1,wは奇数)とおくと、GCD(x^r +1, w) = 1.
 x^r +1 = 2^a.  一方、x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 = y ≧ 2 より、a≧2,
 x^r -1 および y は4の倍数でない。e=1.
 これを用いて (**)を 2ベキ因子 と 奇数因子 に分離する。
  2^q = 2^(a+1) =2(x^r +1).
  w^q = (x^r -1)/2.
 これと x^r +1 > x^r -1 より、2^(q-2) > w^q.
 ∴ w=1, y=2, x=y+1=3.
 3^r -1 = 2 より r=1, p=2r=2, q=3 (終)

 数セミ(1999.6)

18 :132人目の素数さん:2006/01/20(金) 18:42:09
age

19 :132人目の素数さん:2006/01/21(土) 12:56:23
カタラン数ってのは、直角二等辺三角形状の最短経路のことだった希ガス。

20 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 06:36:12
721

21 :132人目の素数さん:2006/02/26(日) 02:45:50
カタラン数ってのは↓のことだった飢餓ス。

K = 納k=0,∞) (-1)^k /(2k+1)^2
 = 0.915965594177219015054603514932…


K = ∫[0,1] arctan(x)/x dx
 = -∫[0,1] log(x)/(1+x^2) dx
 = (1/2)∫[0,1] K(k) dk
 = -∫[0,π/2] log|2sin(t/2)| dt
 = ∫[0,π/4] log|cot(x)| dx
 = (1/2)∫ x/sin(x) dx
 = -(1/4)∫[0,1] log(x)/((1+x)√x) dx
 = -(1/4)∫[0,1] log(x)/((1+x)^2・√x) dx
 = (1/8)∫[0,1] ∫[0,1] 1/{(1-xy)√[x(1-y)]} dxdy
 = 1 - 納n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html

22 :132人目の素数さん:2006/03/01(水) 20:57:55
age

23 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 15:21:27


24 :132人目の素数さん:2006/03/31(金) 12:42:11
語れよ

25 :132人目の素数さん:2006/03/31(金) 14:22:03
語らん

26 :132人目の素数さん:2006/04/02(日) 15:17:45
語る無かれ

27 :132人目の素数さん:2006/04/02(日) 18:04:17
カタラン数について語らんとするに

28 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 23:07:24
841

29 :132人目の素数さん:2006/04/23(日) 17:21:24
                         ┌-―ー-';
                         | (・∀・) ノ
               ____     上―-―'    ____
              | (・∀・) |   /  \      | (・∀・) |
               | ̄ ̄ ̄ ̄   ( ̄ ̄ ̄)       | ̄ ̄ ̄
                 ∧        ([[[[[[|]]]]])     ,∧
            <⌒>        [=|=|=|=|=|=]   <⌒>
           /⌒\       _|iロi|iロiiロi|iロ|_∧ /⌒\_
           ]皿皿[-∧-∧|ll||llll||llll||llll|lll| ̄|]皿皿[_|
           |_/\_|,,|「|,,,|「|ミ^!、|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_  ]
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          /i~~i' l ∩∩l .l ∩ ∩  l  |__| .| .∩| .| l-,
       ,,,,,='~| | |' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
         | l ,==,-'''^^  l  |. ∩. ∩. ∩. |  |∩|   |∩∩|  |~~^i~'i、
      ,=i^~~.|  |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,|   | |~i
     l~| .|  | ,,,---== ヽノ    i    ヽノ~~~ ヽノ   ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
    .|..l i,-=''~~--,,,  \  \  l   /   /    /  __,-=^~
    |,-''~ -,,,_  ~-,,.  \ .\ | ./   /  _,,,-~   /
     ~^''=、_ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
           ~^^''ヽ ヽ  i ジエンキャッスル /  /  ノ
              ヽ  、 l  |  l  l / ./  /
                 \_ 、i ヽ  i  /   ,,=='
                  ''==,,,,___,,,=='~


30 :132人目の素数さん:2006/04/27(木) 07:35:42
age

31 :132人目の素数さん:2006/04/27(木) 22:59:22
n+1個の数を掛け算するとき、掛け算の順序を決める括弧のつけ方の総数はいくらか

32 :132人目の素数さん:2006/04/27(木) 23:13:22
>>31
>>31
お前馬鹿かb
順序の定義のよって違うb
abcd = (ab)(cd) とする時、1通りか?b
ab, cd の積の順番によって2通りか?b
お前馬鹿か?b
この馬鹿b

33 :132人目の素数さん:2006/04/28(金) 00:44:57
209 :132人目の素数さん :2006/04/19(水) 00:25:21

 C[2k,k]C[2n-2k,n-k] が C[n,k] で割り切れることを示せ。
 お長居します。

さくらスレ190
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1145250000/209

34 :132人目の素数さん:2006/05/01(月) 02:00:38
>33
任意の素数pについて
 C(2k,k)・C(2n-2k,n-k) 中のpの巾指数 ≧ C(n,k) 中のpの巾指数.
を示す。
 C(2k,k)・C(2n-2k,n-k) = (2k)!(2n-2k)!/(k!・k!・(n-k)!・(n-k)!),
 C(n,k) = n!/(k!・(n-k)!).

さて、1,2,…,m のうち p^e の倍数は [m/(p^e)] 個(p^e自身も含む)だから
 m!中のpの巾指数 = (e=1,m) [m/(p^e)].
これと補題↓を使うと, 成り立つことを示せる。(終)

※ p進表示 m=(e=0,m) d_e・p^e を使えば pの巾指数 = (e=1,m) d_e・(p^e -1)/(p-1).

(補題)
 [2x] + [2y] - 2[x] - 2[y] ≧ [x+y] - [x] -[y].
(略証)
 x=[x]+{x}, y=[y]+{y} とおく。0≦{x},{y}<1.
 (左辺) = [2{x}] + [2{y}], (右辺) = [{x}+{y}].
  (右辺)=1 ⇒ {x}+{y}≧1 ⇒ 2{x}≧1 or 2{y}≧1 ⇒ (左辺)≧1.
  (左辺)=0 ⇒ 2{x}<1 & 2{y}<1 ⇒ {x}+{y}<1 ⇒ (右辺)=0.
∴ (左辺) ≧ (右辺).

35 :132人目の素数さん:2006/05/03(水) 00:49:42
>34
 それぢゃぁ F(h,k,L) = (h+k+L)!/(h!・k・!L!) とおくとき、
 F(h,h,h) F(k,k,k) F(L,L,L) は F(h,k,L) で割り切れまつか?


36 :132人目の素数さん:2006/05/03(水) 16:22:34
>34
 C(2k,k)C(2n-2k,n-k) = (2k)!(2n-2k)!/{k!k!(n-k)!(n-k)!}, C(n,k) = n!/{k!(n-k)!}.
x=k/(p^e), y=(n-k)/(p^e) とおいて 補題を使うんでつね。

>35
 うん.

37 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 16:24:28
age

38 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 14:22:50
523

39 :132人目の素数さん:2006/06/01(木) 22:04:12
C(n,r)を2項係数とする。Σ[i=0,[n/2]]C(n,i)・C(n-i,i)・4^(-i)=C(2n,n)/2^n を証明したいのですができません。どなたか教えて下さい。

40 :132人目の素数さん:2006/06/02(金) 12:42:28
x^nをかけてnに関して和をとる。
(1-2x)^(-0.5)

41 :132人目の素数さん:2006/06/02(金) 12:51:10
カタラン予想

42 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 01:35:04
265

43 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 08:49:03
あげ

44 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 14:51:19
825

45 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 23:42:38
288

46 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 22:04:10
 C[2k,k]C[2n-2k,n-k] が C[n,k] で割り切れることを示せ。
 お長居します。

47 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 22:19:10
>>46
出展を述べよ。話はそれからだ!

48 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 00:43:26
>>46
http://blog.livedoor.jp/neet_blog/

49 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 04:21:49
>>48
Σ(゚д゚;)!

50 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 02:39:44
509

51 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 08:51:32
 C[2k,k]C[2n-2k,n-k] が C[n,k] で割り切れることを示せ。
 お長居します。

52 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 01:42:22
>>21

 K = 1 - 納n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n). 

(略証)
K = 納k'=0,∞) {(-1)^k'}/(2k'+1)^2
 = 1 - 納k=1,∞) {1/(4k-1)^2 -1/(4k+1)^2}
 = 1 - 納k=1,∞) (1/k) (4k)^2/{(4k)^2 -1}^2
 = 1 - 納k=1,∞) (1/k) 納n=1,∞) n・(1/4k)^(2n)     (← r/(1-r)^2 = 馬・r^n )
 = 1 - 納n=1,∞) {n/(16^n)} 納k=1,∞) (1/k)^(2n+1)
 = 1 - 納n=1,∞) nζ(2n+1)/(16^n).

K = 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 07741 49374 28167 …


53 :132人目の素数さん:2007/01/31(水) 14:34:30
もっとわかりやすくできませんか?

54 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 18:04:11
516

55 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 18:09:38
ベクトル空間Vの部分空間W1,…,Wkについて
V=W1+W2+…+Wkとする。この時次の三つの命題は同値であることを示せ。
(1)∀v∈Vに対しwi∈Wi(i=1,…,k)でv=w1+w2+…+wkとなる
{w1,…,wk}がただ一組存在する。
(2)任意のi∈{1,2,…,k}に対し
Wi∩(W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk)={0}が成り立つ。
(3)dimV=dimW1+dimW2+…+dimWkが成り立つ。

(2)⇒(3)は示せたのですが(1)⇒(2)、(3)⇒(1)はどう示せばいいのでしょうか?

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