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不等式への招待 第2章

795 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 18:35:45
>>786 念のため解答

 √(bc)=x, √(ca)=y, √(ab)=z とおくと,
 (左辺) = (x+y+z)/3 ≦ √{(x^2+y^2+z^2)/3} = √{(bc+ca+ab)/3}
 ≦ {(a+b+c)(bc+ca+ab)/9}^(1/3) ≦ {[(a+b+c)(bc+ca+ab) -abc]/8}^(1/3)
 = {(b+c)(c+a)(a+b)/8}^(1/3) = (右辺).
ここで
 √{(bc+ca+ab)/3} ≦ (a+b+c)/3,
 (a+b+c)(bc+ca+ab) - 9abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧ 0,
を使った。

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