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不等式への招待 第2章

1 :不等式ヲタ:05/01/17 06:40:16
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

不等式スレッド (前スレ)
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/l50

不等式の本
[1] 不等式、ハーディ・リトルウッド・ポリヤ、シュプリンガー、2003年
[2] 不等式、大関信雄・青木雅計、槇書店、1967年、絶版
[3] 不等式への招待、大関信雄・大関清太、近代科学社、1987年
[4] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版、2004年
[5] 不等式(モノグラフ4)、染取弘、科学新興新社、1990年

不等式の埋蔵地
[1] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/index.html
[2] IMOリンク集 http://imo.math.ca/

603 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 01:22:28
【Jensenの定理】
[a,b]で定義された実関数fが
 f((x+y)/2) ≧ (f(x)+f(y))/2     … (1)
を常に満たすとする.このとき,α≧0, β≧0, α+β=1なるすべてのα,βに対し,
 f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)    … (2)

分かスレ231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139159696/436

604 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 01:26:53
>603
 (1)を [x,(x+y)/2] に適用すれば f((3x+y)/4) ≧ {f(x)+f((x+y)/2)}/2 ≧ {3f(x)+f(y)}/4.
 また、[(x+y)/2,y] に適用すれば f((x+3y)/4) ≧ {f((x+y)/2) +f(y)}/2 ≧ {f(x)+3f(y)}/4.
 で、[x,y] の4等分点についても成り立つ。
 同様にして [x,y] の 2^n等分点についても成立つことを示せる。
 fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/3.
 アルキメデスの原理より、(2^n)|y-x|δ >1, (2^n)(ε/3)/f(x) >1, (2^n)(ε/3)/f(y) >1 となる自然数nがある。
 α:βに最も近い2^n等分比をa:bとすると、|α-a| < 1/(2^n) より、|z-(αx+βy)| < δ,
 ∴ f(αx+βy) ≧ f(ax+by) -ε/3 ≧ af(x) +bf(y) -ε/3 ≧ αf(x) + βf(y) -ε.
 ∴ f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)  … (2).


 大関: >>1 の参考書[3] 第3章, p.96-97 (1987)
 C.Alsina: "General Inequalities 2", Birkhauser Verlag, p.419-427 (1980)

605 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 08:54:10
fは連続なの?

606 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 20:10:16
>604
すみません,連続性は仮定してないんです.反例はありますか?

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