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不等式への招待 第2章

562 :132人目の素数さん:2006/01/17(火) 13:38:42
>>560
> n≧6 ⇒ √{7(n+1)}・C(n,[n/2]) > 2^(n+1)
> をnに関する帰納法で示しまつ。
> n=6 のとき 7C[6,3] = 7・20 = 140 > 128 = 2^(6+1) で成り立つ。
> n=7 のとき √(56)・C[7,3] > 7.4・35 = 259 > 256 = 2^(7+1) で成り立つ。
> n=2m-1 のとき成り立てば、
>  C(2m,m) = (2m)!/(m!)^2 = 2*(2m-1)!/{(m-1)!m!} = 2C(2m-1,m-1)
>  C(2m+1,m) = (2m+1)!/{m!(m+1)!} = 4{(2m+1)/(2m+2)}・C(2m-1,m-1) > 4√{2m/(2m+2)}・C(2m-1,m-1) ←(*)
> より n=2m,2m+1 のときも成り立つ。(終)
>
> (*) (2m+1)^2 = 2m(2m+2) +1 > 2m(2m+2) ゆえ {(2m+1)/(2m+2)}^2 > 2m/(2m+2).
>
> なお、左辺は右辺 2^(n+1) の 140/128倍を超えない。


最後の行について、 (35/32)*2^(n+1) > √{7(n+1)}・C(n,[n/2]) の証明をきぼんにゅ。

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