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不等式への招待 第2章

1 :不等式ヲタ:05/01/17 06:40:16
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

不等式スレッド (前スレ)
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/l50

不等式の本
[1] 不等式、ハーディ・リトルウッド・ポリヤ、シュプリンガー、2003年
[2] 不等式、大関信雄・青木雅計、槇書店、1967年、絶版
[3] 不等式への招待、大関信雄・大関清太、近代科学社、1987年
[4] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版、2004年
[5] 不等式(モノグラフ4)、染取弘、科学新興新社、1990年

不等式の埋蔵地
[1] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/index.html
[2] IMOリンク集 http://imo.math.ca/

323 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 16:57:56
>315
【21】a,b,c≧0 のとき
 (bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ (1/3)(a+b+c)^6 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.
(略証) 基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左側)
 s^2 -3t = (a+b+c)^2 -3(bc+ca+ab) = (1/2){(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2} ≧0.
 ∴ t ≦ (1/3)s^2.
(右側)
 9(a^3 +b^3 +c^3) = 9{s(s^2 -3t) +3u} = 9s^3 -27st+27u = s^3 +8(s^3 -4st+9u) +5(st-9u).
 st-9u = (a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc = a(b-c)^2 +b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧0.
 s^3 -4st+9u = a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) = a(a-b)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) +c(b-c)^2 ≧0.
 (↑ bはa,cの間にあるとしてよい. (a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0)
 ∴ s^3 ≦ 9(a^3 +b^3 +c^3).

【30】a_1,…,a_n>0 のとき
 n^2 ≦ (a_1 + a_2 + … + a_n)(1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n) ≦ n^2 + N(p/q +q/p -2), N=[(n/2)^2]
(略証)
 (中辺) -n^2 = Σ[1≦i<j≦n] (a_i/a_j +a_j/a_i -2) ≡ f(a_1,a_2,…,a_n) とおくと、
f(p,a,q) - 2f(p,q) = f(p,a)+f(a,q)-f(p,q) = -(p+q)(q-a)(a-p)/(paq) ≦0 (反・三角不等式)
 また p≦a_1≦a_2≦……≦a_n≦q としても一般性を失わないから
 f(a_1,…,a_n) ≦ f(p,a_2,…,a_{n-1},q) ≦ f(p,p,a_3,…,a_{n-2},q,q) ≦ ……
  ≦ f(p,p,…,p,q,…,q,q) = Nf(p,q) = N(p/q +q/p -2).
 nが偶数のとき N=(n/2)^2, nが奇数のとき N={(n+1)/2}{(n-1)/2}=(n^2-1)/4=[(n/2)^2].

324 :323:2005/06/08(水) 17:04:12
訂正、スマソ
【30】0<p≦a_1,…,a_n≦q のとき


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