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不等式への招待 第2章

213 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 12:29:33
>>208
(1) 0<x<π/2において sin(x)<x<tan(x) となる。各辺の逆数を取って二乗すれば
cot^2(x)<1/x^2<cosec^2(x) が得られる。これから
cot^2(kπ/(2n+1))<1/(kπ/(2n+1)^2<cosec^2((kπ/(2n+1)) (k=1,・・・,n)が成り立つ。
k=1,…,nとして和を取れば
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<Σ[k=1,n]cosec^2((kπ/(2n+1)) 

1+cot^2(kπ/(2n+1))=cosec^2((kπ/(2n+1)) であるので
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))の値を求めると、
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3 となる。(計算略)
よって
n(2n-1)/3<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<2n(n+1)/3
が得られるので、これを適当に変形すれば
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<Σ[k=1,n]1/k^2<A{1-1/(2n+1)^2}
が得られる。

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