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不等式への招待 第2章

1 :不等式ヲタ:05/01/17 06:40:16
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

不等式スレッド (前スレ)
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/l50

不等式の本
[1] 不等式、ハーディ・リトルウッド・ポリヤ、シュプリンガー、2003年
[2] 不等式、大関信雄・青木雅計、槇書店、1967年、絶版
[3] 不等式への招待、大関信雄・大関清太、近代科学社、1987年
[4] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版、2004年
[5] 不等式(モノグラフ4)、染取弘、科学新興新社、1990年

不等式の埋蔵地
[1] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/index.html
[2] IMOリンク集 http://imo.math.ca/

2 :132人目の素数さん:05/01/17 19:43:14 ,
>>1

類稀なる良スレの続編に期待しております。


3 :132人目の素数さん:05/01/18 00:34:06
【 Majorization Inequality 】
Jenzenの不等式の一般化らしい…。

http://www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, 4
http://www.math.ust.hk/excalibur/v6_n1.pdf Page.4

4 :132人目の素数さん:05/01/18 03:13:13
検索で、こんなサイトを発見した…。
もうそのまんま(笑)
見つけたばかりで、中は覗いてませんが…

JIPAM - Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics
http://jipam.vu.edu.au/index.php

中国不等式研究小組
http://zgbdsyjxz.nease.net/index1.htm

5 :132人目の素数さん:05/01/20 22:28:17
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/

不等式発掘元サイトに追加。

6 :132人目の素数さん:05/01/21 07:02:49
>>1-5
good job !
日本には>>4のような不等式専門の研究サイトって、ここぐらいですか?

7 :風あざみ:05/01/22 00:35:18
前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

解答には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること
を証明なして使います。

解答前に、二つほど補題を示します

(1)
x^4+y^4=z^2には整数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には整数解が存在しない。

8 :風あざみ:05/01/22 00:37:53
>>7
(1)
x^4+y^4=z^2には自然数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しない。
だな、突っ込まれる前に訂正(w


9 :風あざみ:05/01/22 00:52:41
x^4+y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4+y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、zの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod 4で考えると、x_0,y_0の一方が奇数、他方が偶数であることがわかる。
x_0が奇数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

(x_0)^2=m^2-n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2+n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mod 4で考えるとmが奇数でnが偶数でなければならないことがわかる。

(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数

n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。

m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので

r^2=u^4+v^4となるが、z_0>m≧rだから、z_0の最小性に反する。

よって示された。

10 :風あざみ:05/01/22 01:08:21
x^4-y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod 4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合が起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2>u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。

11 :風あざみ:05/01/22 01:09:10
y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2>(y_0)^2≧n>n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。

12 :風あざみ:05/01/22 01:10:42
我ながら、書きまちがいが多いな
>>9
>(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
>(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
の誤りだった。

13 :風あざみ:05/01/22 01:39:17
要するに>>7は、ab/2≧5であることを示せばよい

a^2+b^2=c^2を満たす有理数は
a=(s^2-t^2)(f/g)、b=(2st)(f/g)、c=(s^2+t^2)(f/g)とかけます。
sとtは互いに素で一方が偶数で他方が奇数
fとgは互いに素な整数。

ab/2=M(Mは自然数)とおくと、f^2*st(s^2-t^2)=M*g^2
f^2とg^2は互いに素ですから、Mがf^2で割り切れる。
M=f^2*N

st(s^2-t^2)=N*g^2

Nが平方数のとき
st(s^2-t^2)=(整数)^2
sとtとs^2-t^2は二つずつ互いに素なので、s、t、s^2-t^2が平方数となる。
s=x^2、t=y^2、s^2-t^2=z^2となるが
x^4-y^4=z^2の解が存在することになって、補題(2)に反する。


14 :風あざみ:05/01/22 01:41:21

N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=g^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1 (mod 4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=g^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
よってs=u^2+v^2、t=2uv、r=u^2-v^2
(uとvは互いに素で、u、vの一方が偶数で他方が奇数)
t/2=uvが平方数より、u=x^2、v=y^2
x^4+y^4=z^2の解が存在することになって、補題(1)に反する。

15 :風あざみ:05/01/22 01:43:49
N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1 (mod 4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
よってs=u^2+v^2、t=2uv、r=u^2-v^2
(uとvは互いに素で、u、vの一方が偶数で他方が奇数)
t/2=uvが平方数より、u=x^2、v=y^2
x^4+y^4=z^2の解が存在することになって、補題(1)に反する。


16 :132人目の素数さん:05/01/22 01:45:38
風あざみぐっジョブ。問題はシンプルなのに、証明はひどく大変なんだな。
別解もありそうな気がするね。漏れは無理だ

17 :風あざみ:05/01/22 02:04:56
pをp≡3 (mod 8)となる素数とする。
N=p*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2
sがpで割り切れてtがそうではないと仮定すると、
(s/p)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡r^2
{rt^(-1)}^2≡-1 (mod p)だから不合理

s^2-t^2がpで割り切れると仮定する。
st{(s^2-t^2)/p}=(整数)^2
上と同様な議論により、sとtと(s^2-t^2)/pが平方数となる。
s=u^2、t=v^2
(u^2-v^2)(u^2+v^2)=p*r^2

u^2+v^2≡0 (mod p)と仮定すると、{u*v^(-1)}^2≡-1 (mod p)となって不合理だから
u^2-v^2≡0 (mod p)
ここでu^2+v^2とu^2-v^2は互いに素だから、u^2+v^2は平方数
u^2+v^2=(r')^2、{(r')*u^(-1)}^2≡2 (mod p)となって不合理

18 :風あざみ:05/01/22 02:20:47
以上の議論より
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2とかけるとき
tがpで割り切れてsがそうではないことがわかる。

(t/p)s(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs,t/p,s^2-t^2が平方数となるが、
s=u^2、t=pv^2、s^2-t^2=r^2
s=i^2+j^2、t=2ij、r=i^2-j^2
(i,jは互いに素で一方が奇数、他方が偶数)
iは奇数、jは偶数と仮定する。

u^2=i^2+j^2となるからi=k^2-h^2、j=2kh、u=k^2+h^2
kとhが互いに素で一方が奇数で他方が偶数。

kh(k^2-h^2)=p*v^2

ここでs>j>kよりkはsよりも小さいから

st(s^2-t^2)=p*(整数)^2のsの値がいくらでも小さくなることがわかる。

よって不合理

pをp≡3 (mod 8)となる素数とする。
N=p*(平方数)とはならないことがわかる。

19 :風あざみ:05/01/22 02:24:01
>>13>>15>>17-18の議論より
Nの候補になりうるのは、N≧5しかない

よってM≧5が示され、ab≧10が示された。

20 :132人目の素数さん:05/01/22 03:45:54
グッジョブ
でも、あれ??? 等号成立条件はどこ?


21 :前スレの未解決問題:05/01/22 05:21:51
[前スレ.360(2)]
(D.D.Adamovic) m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
 (m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

[前スレ.563(7)]
自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
[前スレ.705]
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.

[前スレ.565(3)]
[1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
 tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

[前スレ.565(4)]
0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2  [類 : 不等式への招待 P.39 ]

[前スレ.565(5)]
0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

[前スレ.791]
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C>π/2を満たすとき、AB+BC+CA≧77を示せ。

[前スレ.811(1)]
1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
 0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。

[前スレ.908(3)] 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)

[前スレ.992] 「知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形」 を積分に拡張した次式は成り立つか?
【予想】 区間 [a, b] で連続な実関数 f_1, …, f_m に対して
 [∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n

22 :132人目の素数さん:05/01/22 08:06:20
>>21
> [∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n

ただのヘルダー不等式
p_k > 1, Σ1/(p_k) = 1, f_k ∈ L^{p_k}(I) (k=1,2,...,m) ならば Π||f_k||_{p_k} ≧ ||Πf_k||_1
ただし、||・||_{p_k} は L^{p_k} のノルムを表す。
a_k > 0 ならば Σ((a_k)^(p_k))/(p_k) ≧ Πa_k からすぐ証明できる。

23 :132人目の素数さん:05/01/22 14:27:17
>21
【定理】 実関数 f_1, ……, f_n に対して
 {∫_[a,b] f_1(x)^n dx}……{∫_[a,b] f_n(x)^n dx} ≧ {∫_[a,b] f_1(x)……f_n(x) dx}^n
 (略証)
 「コーシー・シュワルツの拡張形」[前スレ989] で
 x(k,i) = f_k(a+(b-a)i/m)・凅, 凅=(b-a)/m とおき、m→∞ とする。
 または、ヘルダーの不等式で p_k=n (k=1,2,…,n) とおく。
 等号成立は、k=2,・・・,n に対して f_k(x) = c_k・f_1(x) のとき.(終)
ぬるぽ

 m=n なら 成立
 m>n なら |b-a|→0 のとき凡例?
 m<n なら |b-a|→∞ のとき凡例?

24 :132人目の素数さん:05/01/22 17:47:06
【問題】[前スレ.387]
 f(x),g(x)は 0≦x≦1で連続とし、f(0)=0, f(x)>x, 0≦g(1)≦1 を満たし、
 f(x)/x, g(x)/x はともに狭義の単調増加であるとする。 このとき
 0<x<1 で f(g(x)) ≦ f(x)g(x)/x ≦ g(f(x)).
 を示してくださいです。〔Ralph P.Boas: Math.Magazine, Vol.52(1979)〕

 題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・

 前スレをまだ保存してない方はドゾー↓  サイズは 400kB ぐらい。
  全部 → ファイル(F) → 名前を付けて保存(A) → Webページ,HTMLのみ → 保存(S)

25 :132人目の素数さん:05/01/22 19:48:57
>>24
>題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・

読みたい…
地方在住の負け犬一般人がその論文を読む方法ってありますか?
去年、地元の大学図書館である論文の取寄せを申請したら、
あんた学生じゃないですから、残念!って斬られましたが… ('A`)

26 :132人目の素数さん:05/01/22 22:37:59
他のスレからのコピーですが、質問してるわけじゃないので
マルチとか言うのは勘弁してください。

 3^k - 2^k + 2 < (2^k - 1)[(3/2)^k]
を満たさない k は有限個しかない。
全て求め、それが全てである事も示せ。

27 :風あざみ:05/01/22 23:16:15
>>20
悪いが等号成立条件はよくわからん。
>>21
>各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C>π/2を満たすとき・・・
全く同じ問題がMathnoriにあるのだが、解答してもいいものだろうか。

28 :23:05/01/23 02:47:24
>21
 n>m のときは [23] で f_k(x)=1 (m<k≦n) とおくと
【系】 n>mのとき, 実関数 f_1, …, f_m に対して,
 {∫_[a,b] f_1(x)^n dx} …… {∫_[a,b] f_m(x)^n dx}・|b-a|^(n-m) ≧ {∫_[a,b]f_1(x)…f_m(x) dx}^n.

29 :風あざみ:05/01/23 18:25:52
>>21
0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき
tan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}>1

まず、0≦(πsin x)/(4sin y)、(πcos x)/(4cos y)<Π/2であることはOK
(πsin x)/(4sin y)>Π/4または(πsin x)/(4sin y)>Π/4の場合は
tan{(π sin x)/(4 sin y)}>1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}>1

(πsin x)/(4sin y)≦Π/4かつ(πsin x)/(4sin y)≦Π/4の場合
0≦sin x≦sin y、0≦cos x≦cos y
sin x<sin yまたはcos x<cos yと仮定すると
1=(sin x)^2+(cos x)^2<(sin y)^2+(cos y)^2=1となって不合理
よってsin x=sin y、cos x=cos y、したがってtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}=2>1

30 :風あざみ:05/01/23 18:27:18
>>29の5行目の
>tan{(π sin x)/(4 sin y)}>1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}>1
はtan{(π sin x)/(4 sin y)}>1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}>1だからtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}>1は明らか
ということ。


31 :132人目の素数さん:05/01/25 17:15:41
>21
 (左辺) ≧ tan[π/(2√3)] = 1.278171491830440… を示す。
 まず π/(2√3) = 0.90689968211711… = α とおく。
 x=y のとき、左辺 = 2 > tanα.
 x<y の場合を考える。[y<x の場合も F(x,y)=F(π/2 -x,π/2 -y)なので同様にできる。]
 左辺 を x/y の函数で評価するのがミソ(補題1,2)。次に補題3より
 (左辺) ≧ tan(πx/4y) + tan{α・cos(πx/6y)} = tan(3u/2) + tan{α・cos(u)} ≧ 3u/2 + tan{α・[1-(1/2)(u^2)]}.
 ここに πx/6y =u とおいた。 0<u<π/6 = 0.5235987756… 補題4より、
 (左辺) ≧ 3u/2 + tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2 = tan(α) + u(3/2 -1.194260986681u) ≧ tan(α), 等号成立はx=0,y=π/6.
ぬるぽ

【補題1】
 0≦x<y<π/2 のとき 1 > sin(x)/sin(y) > x/y.
 (略証) sin( ) は上に凸だから、(平均変化率)= {(0,0)−(x,sin(x))の傾き} = sin(x)/x は単調減少。∴ sin(x)/x > sin(y)/y.
【補題2】
  0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 cos(x)/cos(y) ≧ cos(cx/y)/cos(c) > 1.
 (略証) (y +cx/y) - (c+x) = (y-x)(1 -c/y) ≧0.
     (y -cx/y) - (x-c) = (y-x)(1 +c/y) ≧0, (y -cx/y) - (c-x) = (y+x)(1 -c/y) ≧0
     ∴ |y-cx/y| ≧ |x-c|.
  ∴ 2cos(y)cos(cx/y) = cos(y+cx/y) + cos(y-cx/y) ≦ cos(c+c) + cos|x-c| = 2cos(c)cos(x). 等号成立は y=c または x=y.
【補題3】
  u>0 のとき cos(u)>1 -(1/2)u^2.  (← -cos(u)<-1 を2回積分)
【補題4】
  0<α,α+θ<π/2 のとき tan(α+θ) ≧ tan(α) + θ/[(cosα)^2]. (←tan()は下に凸)

>29-30
 0<y<x ⇒ sin(x)/sin(y) >1 ⇒ 左辺第1項 >1.
 0<x<y ⇒ cos(x)/cos(y) >1 ⇒ 左辺第2項 >1.

32 :31:05/01/25 17:32:41
[31] は [前スレ.565(3)] の別解でつ。。。
 0≦x≦π/2、π/6≦y≦π/3 のとき、tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} ≧ tan(α)
 等号成立は (x,y)=(0, π/6)、(π/2, π/3) のとき。
スマソ。

33 :132人目の素数さん:05/01/25 19:43:17
ソボレフの不等式のような積分に関する不等式キヴォンヌ

34 :132人目の素数さん:05/01/25 21:34:28
>6
 あったYo(但しカキコするには登録が必要...)
 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1096116444/
 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1


35 :132人目の素数さん:05/01/25 22:01:42
>3
2つの単調減少列 {a_i},{b_i} について
 Σ[i=1,n] a_i = Σ[i=1,n] b_i
 Σ[i=1,k] a_i ≧ Σ[i=1,k] b_i  (k=1,2,…,n-1)
のとき aゝb と書いて、a は b の優数列である(a majorizes b)とか言うらしい。([1]の参考文献3)
(a) はばらつきが大きく、(b)は揃っている?

【使用例】(ムーアヘッドの不等式)
 aゝb ならば Σ[sym] x^a_1・y^a_2… ≧ Σ[sym] x^b_1・y^b_2…

http://planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=46


36 :132人目の素数さん:05/01/26 09:58:45
我ながら、書きまちがいが多いな...
>23
  x(k,i) = f_k(a+i凅)・凅^(1/n).

>31
  ∴ y -cx/y ≧ |x-c|.
  ∴ ・・・・・・ ≦ cos(x+c) + ・・・・・・
【補題3】
  ・・・・・・・  (← -cos(u)>-1 を2回積分)

      ∧_∧
     ( ´Д` )    まことに
     /     ヽ
     し、__X__,ノJ

      /´⌒⌒ヽ
    l⌒    ⌒l   すいませんでした。
   ⊂ (   ) ⊃
      V ̄V

>35 (ムーアヘッドの定理)に追加
 Σ[sym] はすべてのx,y,…の入替えについて和をとる意味。
 G.H.Hardy, J.E.Littlewood and G.Polya: "Inequalities", 2nd ed., Cambridge University Press(UK), §2.18 and §2.19, 原著p.44-48 (1988)
 http://mathworld.wolfram.com/MuirheadsTheorem.html
"Encyclopedia"のCD-ROM版にもある...
 http://www.itu.dk/edu/documentation/mathworks/
 http://icl.pku.edu.cn/yujs/MathWorld/math0.htm

37 :132人目の素数さん:05/01/26 12:02:58
>>35 なるへそ! ベリィグッジョブ!

38 :132人目の素数さん:05/01/26 21:13:50
[前スレ.871(1)]
 x,y,z,n≧0 のとき F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n ≧0.

は、シュプリンガーの『不等式』にある定理80でつね。[前スレ.874]で解決.

39 :132人目の素数さん:05/01/26 21:29:41
(参考書)
〇厨房、工房向け
 眉村 卓:「白い不等式」(秋元文庫) 秋元書房, 文庫本/206p, (1978.6) \273
 眉村 卓:「白い不等式」(角川文庫) 角川書店, 文庫本/214p, (1981.4) \273

〇大人向け
 植木不等式:「悲しきネクタイ」地人書館, 新書判/247p, 4-8052-0518-0 (1996.10) \1050
 植木不等式:「悲しきネクタイ」日本経済新聞社, 文庫本/284p, 4-532-19078-9 (2001.8) \630
    〜企業環境における会社員の生態学的および動物行動学的研究〜(日経ビジネス人文庫)
 植木不等式:「こころが疲れたら読む世紀末おとぎ話」 大和書房, B6判/237p, 4-479-39056-1, (1997.10) \1470
    〜トンデモ童話20選〜
 植木不等式監訳、マーク・ミナシ著:「いつまでバグを買わされるのか」ダイヤモンド社, 四六判/346p, 4-478-37296-9 (2000.9) ¥2415
    〜平気で欠陥商品を売る業界の内幕〜

40 :132人目の素数さん:05/01/26 21:42:29
単純な質問なんですが、
|x^2-3|≧x
の解を教えてください。
できれば解説(有)で。
お願いしますm(_ _)m(_ _)m

41 :132人目の素数さん:05/01/26 21:53:20
また荒れ始めたな…。
スレが活性化すると荒らしも多くなる。

42 :132人目の素数さん:05/01/26 21:54:14
    ∧__∧
    (`・ω・´) 馬鹿はとっとと消え失せぇぃ!
   .ノ^ yヽ、
   ヽ,,ノ==l ノ
    /  l |
"""~""""""~"""~"""~"

43 :132人目の素数さん:05/01/27 00:55:25
[31]の方針
 (左辺)=F(x,y) とおき、
 0≦x≦y ⇒ F(x,y) ≧ F(cx/y,c) ≡ F(u,c) ≧ F(0,c) = tan(α).
 を示す。ここに c≡π/6、α≡π/(2√3).

>40
 x ≦ (√13 -1)/2 = 1.302775638…, 2.302775638… = (√13 +1)/2 ≦ x.

44 :風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 :05/01/27 01:52:30
>>24
f(x)が増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)が増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。

45 :風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 :05/01/27 01:53:30
>>44の訂正
f(x)/xが増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)/xが増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。


46 :風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 :05/01/27 03:29:45
>>20
等号成立条件
a=3/2、b=20/3、c=41/6のときa^2+b^2=c^2かつab=10となる。

47 :132人目の素数さん:05/01/27 19:28:17
>3,35
絡まった不等式??
 [1]の参考書3の最後の方
 http://www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, 左中央

48 :47:05/01/27 20:33:55
絡まった不等式
 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/topic-14975.html
 http://www.srcf.ucam.org/~dl267/writeups/MajIneq.pdf

↓からも入れるらしい....
 http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-32.html
 http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=19962

49 :【 Majorization Inequality 】 について:05/01/27 21:46:48
和書にないかなかと、カタカナで探してみた。

統計科学の最前線
http://www1.ocn.ne.jp/~kup/sinkan/805toukei.html
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ | >3、>>35-36>>47-48
 |::::: (● (● | グッジョブ!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

50 :132人目の素数さん:05/01/27 22:38:03
実数x,正整数nに対し
Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}≦2√π

51 :不等式ヲタ:05/01/28 11:37:16
Majorization Inequality なんて初耳だったし、
Ho:lderの不等式なんか証明の仕方を忘れてるのに
平気で使っている横着な自分に気がついた。

それで、三角不等式とか相加相乗などの基本から始めて
証明をつけながら一つ一つまとめてる最中だけど、全然進まない。
相加相乗は、証明の別解が多すぎて後回しにしてるし…。

いま Jensenの不等式をまとめてて、積分形があるのを知った。
しかし証明が載ってない…  (参考文献[2] 第7章 P.187-)
  il||li _| ̄|○ il||li

区間 [α,β] の凸関数 f(x) と、
区間 [a, b] で連続な a(x)、φ(x) が α≦a(x)≦β、φ(x)>0 をみたすとき、
{∫[a, b]a(x)f(φ(x))dx}/{∫[a, b]a(x)dx} ≧ f({∫[a, b]a(x)φ(x)dx}/{∫[a, b]a(x)dx})

52 :132人目の素数さん:05/01/28 12:56:25
参考文献[3] P.125 Karamataの不等式 について、しょうもない疑問。

Karamata って人名? 地名?
検索すると、ギリシャのプロポネソス半島の南端の 町の名にカラマタってのがあるらしい。

53 :132人目の素数さん:05/01/28 16:02:15
>50
 左辺を f_n(x)、その最大値を M_n とおく。
 (1) M_nはnについて単調増加.
 (2) n→∞ のとすると f_n(x) は各点で収束するが、[0,π]で一様収束ではない。
   {極限 は f(x)=(π-x)/2 (0<x<2π), f(0)=0 }
 (3) M_nの上限は G '= Si(π) = ∫_[0,π] sin(x)/x dx = 1.85193705198245...

(1の略証)
 M_1 = f_1(π/2) =1.
 M_2 = f_2(π/3) =(3/4)√3 >1.
 x≠2mπ (mは整数)のとき
f_n '(x) = Σ[k=1..n] cos(kx) = Σ[k=1..n] {sin[(k+1/2)x] - sin[(k-1/2)x]}/[2sin(x/2)]
 = {sin[(n+1/2)x] - sin(x/2)}/[2sin(x/2)] = cos[(n+1)x/2]sin(nx/2)/sin(x/2).
 |f_n| が極大(or停留値)になるのは cos[(n+1)x/2]=0 すなわち x_k=(2k+1)π/(n+1) のとき。
 |f_n| が最大となるx_k を X とおくと、sin[(n+1)x_k]=0 より, M_n = f_n(X) = f_{n+1}(X) < M_{n+1}.
 (注) x0 = π/(n+1), (2n+1)π/(n+1).

あとは任せた。

http://mathworld.wolfram.com/Wilbraham-GibbsConstant.html

54 :31:05/01/28 20:24:51
[43] の方針ならば
 (左辺) ≧ tan((π/2)sin(u)) + tan{α・cos(u)} = F(u,c) ≧ tan(u) + tan{α・cos(u)}
   ≧ u + tan{α[1-(1/2)(u^2)]} ≧ u +tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2
   = tan(α) +(1-1.194260986681u)u ≧ tan(α).
となる。

【補題1】
  0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 sin(x)/sin(y) > sin(u)/sin(c), u≡cx/y.
 (略証) 0<k<1, 0<y<π/2 のとき
  {sin(ky)/sin(y)} ' = [k・tan(y)-tan(ky)]cos(ky)cos(y)/[sin(y)^2] ≧0.
  ∴ sin(ky)/sin(y) はyについて単調増加。
  ∴ sin(x)/sin(y)> sin(cx/y)/sin(c) = sin(u)/sin(c).


55 :132人目の素数さん:05/01/28 20:40:44
>>50訂正
実数x,正整数nに対し
|Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}|≦2√π

56 :132人目の素数さん:05/02/01 12:04:27
閑散としたスレに不等式ヲタ降臨!
主に下のサイトから発掘 (書き間違いがあったらゴメソ)
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/

     凵@    ○   ∇ 、___,、´`゙;~、  ';冫 ☆
           ┏  ━ゝヽ''/  ≧ \━〆A!゚━━┓。
 ╋┓"〓┃  < ゝ\',冫。' |::::  \ ./ |゛△│´'´,.ゝ'┃.      ●┃ ┃┃
 ┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━  ━┛ ・ ・
        ∇  ┠─Σ-  ヽ::::... .ワ.....ノ  冫 そ',´; ┨'゚,。
           .。冫▽ <   ⊂     ./⊃     乙  ≧   ▽
         。 ┃   Σ   (⌒ゞ ,l, 、''  │   て く
           ┠─ム┼   ゝ,,ノ ノゝ. 、,, .┼ ァ Ζ┨ ミo''`
         。、゚`。、   i/   レ' o。了 、'' ×  个o
        ○  ┃   `、,~´+√ ▽   ',!ヽ.◇    o┃
            ┗〆━┷ Z,.' /┷━''o ヾo┷+\━┛,゛;
       ヾ   凵@              '、´    ∇

57 :132人目の素数さん:05/02/01 12:05:34
【問題A】正の数 a, b, c, d, e に対して、次の不等式を示せ。

(1) 4a+5b+6c ≧ 3√(ab) + 7√(bc) +5√(ca)

(2) a+b+c=1 のとき、
 (ab)^(5/4)+(bc)^(5/4)+(ca)^(5/4) < 1/4

(3) a^2+b^2+c^2=1 のとき、
 1/(a^2) +1/(b^2) +1/(c^2) ≧ 3 + 2(a^3+b^3+c^3)/(abc)

(4) a+b+c=3, abc=1 のとき、
 ab/[(a^2+b)(a+b^2)] + bc/[(b^2+c)(b+c^2)] + ca/[(c^2+a)(c+a^2)] ≦ 3/4

(5) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 ≧1 のとき、
 a^2/(b+c+d) + b^2/(c+d+e) + c^2/(d+e+a) + d^2/(e+a+b) + e^2/(a+b+c) ≧ √5/3

【問題B】三角形ABCにおいて、次の不等式を示せ。

(6) (sinA + sinB + sinC)^2 ≦ 6(1 + cosA・cosB・cosC)

(7) 外接円、内接円の半径を R, r とおくとき、(cos{(B-C)/2})^2 ≧ 2r/R

(8) (sinA)^2/A + (sinB)^2/B + (sinC)^2/C の値を求めよ。

(1) Hungary 2005.1
(2) Crux M146 (30n4)
(3) Crux 2532 (26n3)
(4) Crux M137 (30n2)
(5) Crux 3001 (31n1)
(6) Crux 2676 (27n7)
(7) Crux 2382 (24n7)
(8) Crux 2190 (22n8)

58 :132人目の素数さん:05/02/01 12:07:27
【問題C】久々にネタ投下。しょぼいですが… (´д`;)ガクブル

(1) 自然数 m, n に対して、(m+n)!/(m!) ≧ (m+1)^n

(2) 実数 a, b が a-b=1 をみたすとき、a^3-b^3 ≧ 1/4

(3) 0 < θ < π/2 において、sinθ+tanθ > 2θ

(4) x, y >1 のとき、log((x+1)/(x-1))*log((y+1)/(y-1)) ≧ [log((x+y+2)/(x+y-2))]^2

(5) 0 ≦ a_k <1 が, a = √( [(a_1)^2 + … + (a_n)^2]/n ) ≧ 1/√3 をみたすとき、
 (a_1)/[1-(a_1)^2] + … + (a_n)/[1-(a_n)^2] ≧ na/(1-a^2)

(6) Fibonacci数列 F(n) に対して、(Σ[k=1 to n]F(k+1)^2)(Σ[k=1 to n]1/F(2k)) ≧ n^2

【問題D】気分転換に等式の証明とか…

(7) C[n,k] を二項係数とする。a_k = 1/C[n,k], b_k = 2^(k-n) に対して
 Σ[k=1 to n] (a_k)/k = Σ[k=1 to n] (b_k)/k

(8) nは3の倍数でない自然数とする。
n次実正方行列 A, B, C が A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA をみたすとき、
 det(AB+BC+CA-AC-CB-BA)=0

(9) 2xy/(x+y) + √[(x^2+y^2)/2] = √(xy) + (x+y)/2 の実数解の組をすべて求めよ。

(1) 参考文献[4] P.15   (2) Crux M127 (30n1)
(3) Crux 2585 (26n7)   (4) Crux 233 (29n4)
(5) Crux 3001 (30n7)   (6) Crux 2955 (30n5)
(7) Hungary 3771     (8) Crux 2998 (30n8)
(9) Crux 2268 (23n6)

59 :132人目の素数さん:05/02/01 14:13:32
>>4に追加。 ( ゚∀゚) テヘッ

MIA Journal
http://www.mia-journal.com/

60 :132人目の素数さん:05/02/01 22:52:30
みなさん、The Cauchy-Schwarz Master Class は買いましたか?

61 :132人目の素数さん:05/02/02 14:19:46
>57
(問題A)
(1) 3・(a+b)/2 ≧ 3・√(ab)
  7・(b+c)/2 ≧ 7・√(bc)
  5・(c+a)/2 ≧ 5・√(ca)
 辺々たす。

(3) a^2 +b^2 +c^2 =T のとき、 x^2 +y^2 ≧ 2xy より
  (左辺)・T = 3 + (a^2){(1/b)^2 +(1/c)^2} +(b^2){(1/c)^2 +(1/a)^2} +(c^2)/{(1/a)^2 +(1/b)^2}
  ≧ 3 +(a^2)(2/bc) +(b^2)(2/ca) +(c^2)(2/ab) = 3 +2(a^3 +b^3 +c^3)/(abc) = (右辺).

(4) a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、 t≦√(3su).
  (略証)  t^2 -3su = [(a^2)(b-c)^2 +(b^2)(c-a)^2 +(c^2)(a-b)^2]/2 ≧0.
  (b +a^2)(a +b^2)/ab = 1 +(a^3 +b^3)/ab +ab ≧ 1 +(a+b) +ab = (1+a)(1+b).
  (左辺) ≦ 1/[(1+a)(1+b)] +1/[(1+b)(1+c)] +1/[(1+c)(1+a)] = (3+s)/[(1+a)(1+b)(1+c)] = (3+s)/(1+s+t+u)
  ≦ (3+s)/[1+s+√(3su) +u].

(問題B)
(6) {sin(A) +sin(B) +sin(C)}^2 ≦ 3{sin(A)^2 +sin(B)^2 +sin(C)^2}
  = 3{3 -cos(A)^2 -cos(B)^2 -cos(C)^2} = 6{1 +cos(A)cos(B)cos(C)}.
ぬるぽ

62 :132人目の素数さん:05/02/02 14:23:19
>58
(問題C)
(1) m≧0, 自然数n に対して, 左辺 = Γ(m+n+1)/Γ(m+1) = (m+1)(m+2)……(m+n) ≧ (m+1)^n = 右辺.
 等号成立は n=1 のとき。
(2) a-b=d>0 とする。 a^3 -b^3 =(a-b)(a^2 +ab +b^2) = d・{3(a+b)^2 +d^2}/4 ≧ (1/4)d^3.
 等号成立は a+b=0 のとき。
(3) いつものように tan(θ/2) =t とおくと t>0.
 左辺 = 2t/(1+t^2) +2t/(1-t^2) = 4t/(1-t^4) > 4t = 4tan(θ/2) > 4(θ/2) = 2θ.

(問題D)
(9) (x+y)/2 - 2xy/(x+y) = (x-y)^2 /[2(x+y)] = (x-y)^2 /[2f(x,y)].
 √[(x^2+y^2}/2] -√(xy) = (x-y)^2 /{2√[(x^2+y^2)/2] +2√(xy)} = (x-y)^2 /[2g(x,y)].
 ∴ (左辺)-(右辺) = (x-y)^2 {1/g(x,y) -1/f(x,y)}.
 一方、 f(x,y)^2 -g(x,y)^2 = (x+y)^2 -[(x^2+y^2)/2] -(xy) -2√[xy(x^2+y^2)/2]
 = (1/2){(x+y)^2 -4√[xy(x^2+y^2)/2]} = (1/2)(x-y)^4 /{(x+y)^2 +4√[xy(x^2+y^2)/2]} ≧0.
 等号成立は x-y=0 に限る。
ぬるぽ

63 :132人目の素数さん:05/02/02 21:11:49
>58(4)
 x>1 に対して f(x) = log{log[(x+1)/(x-1)]} とおくと、
 g(x) = exp{f(x)} = log[(x+1)/(x-1)] = -log[(x-1)/(x+1)] = -log[1 -2/(x+1)] > 2/(x+1) > 1/x.
 f "(x) = {2/[(1-x^2)g(x)]}^2・[x・g(x)-1] >0 ゆえ f( )は下に凸.
 ∴ f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).

訂正、スマソ↓
>61(4) ab+bc+ca=t とすると、t≧√(3su).
>62(1) 自然数mに対しては Γ(m+1) = m!
>62(3) tan(θ/2) =t とおくと 0<t<1.

64 :132人目の素数さん:05/02/02 21:54:38
>57(2)
 a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると(注)により、
 (左辺) ≦ (ab+bc+ca)(√s)/2 +[ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/(4√s)
   ≦ (1/6)s^(5/2) +(1/14)s^(5/2) = (5/21)s^(5/2).

(注) ab+bc+ca = {2(a+b+c)^2 -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2}/6 ≦ (1/3)s^2.
   ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = (1/7){2[(a+b+c)^3 -6abc]-(a-b)(a^2-b^2)-(b-c)(b^2-c^2)-(c-a)(c^2-a^2)} ≦ (2/7)s^3.
ばらばらで、スマソ。

65 :132人目の素数さん:05/02/03 10:28:44
>>61-64
早っ! 激乙です。
俺もすらすら解けるようになりたい… (ノ∀`)

66 :132人目の素数さん:05/02/03 16:11:55
参考文献[2] P.188の一番下

区間 [a, b] で連続な関数 f(x), g(x)≧0 に対して、p≧1 のとき
 ∫[a, b] {f(x)}^p dx + ∫[a, b] {g(x)}^p dx ≧ ∫[a, b] {f(x)+g(x)}^p dx
は、どうやって証明するんでせうか?
たのも〜。

67 :132人目の素数さん:05/02/03 17:19:19
>66
 p=1 ならば 等号成立。
 p>1 のとき f^p + g^p = f・f^(p-1) + g・g^(p-1) < f・(f+g)^(p-1) + g・(f+g)^(p-1) = (f+g)^p.


68 :132人目の素数さん:05/02/04 19:45:56
>58(6)
 次の補題より、相加・調和平均に持ち込む。便宜上、F(0)=F(2)-F(1)=0 とした。

【補題】 F(2n) = F(n+1)^2 -F(n-1)^2.
(略証)nに関する帰納法による。
 n=1 のとき F(2x1) = 1 = 1^2 - 0^2 = F(2)^2 - F(0)^2.
 n=2 のとき F(2x2) = 3 = 2^2 - 1^2 = F(3)^2 - F(1)^2.
 n=3 のとき F(2x3) = 8 = 3^2 - 1^2 = F(4)^2 - F(2)^2.
 n-1,n に対しては成立したとする。このとき
  F(m+2) = F(m+1) +F(m) = 2F(m) + F(m-1) = 3F(m) -F(m-2) …(*)より
  F(2n+2) = 3F(2n) -F(2n-2) = 3{F(n+1)^2 -F(n-1)^2} -{F(n)^2 -F(n-2)^2}.
  これに、F(n+1) = F(n+2) - F(n),
F(n-1) = F(n+1) -F(n) = F(n+2) -2F(n),
      F(n-2) = 3F(n) -F(n+2)  …(*).
を代入して F(n) と F(n+2) で表わせば、求める式が出る。(終)

 よって、(左辺) ≧ {Σ[k=1,n] 1/F(2k)}{Σ[k=1,n] F(2k)} ≧ n^2.

 (系) F(2n) = F(n){F(n+1)+F(n-1)} は F(n) で割り切れる。
ぬるぽ

69 :132人目の素数さん:05/02/04 20:28:14
>>67
なるへそ。
不等号の向きが逆だったんですね。
ddクス!

70 :132人目の素数さん:05/02/04 22:53:03
x>0, y>0, z>0, x^4+y^4+z^4=1 のとき
(x^3)/(1-x^8) + (y^3)/(1-y^8) + (z^3)/(1-z^8)
の最小値を求めよ

71 :132人目の素数さん:05/02/05 02:55:20
>70
 f(x) = x^3 /(1-x^8), x0=1/[3^(1/4)], x/x0 =X,
 M = f(x0) = (9/8)[3^(1/4)] = 1.48058326… とおくと、
 f(x) - M・x^4 = {1 - M[3^(1/4)]x(1-x^8)}(x^3)/(1-x^8)
  = {1-(9/8)X(1-(1/9)X^2)}(x^3)/(1-x^8) = (1/8)(8-9X+X^9)(x^3)/(1-x^8)
  = (1/8)(1-X)^2・{Σ[k=0,7] (8-k)x^k}(x^3)/(1-x^8) ≧ 0.
 等号成立は X=1, x=x0=0.75983568 … のとき。
 ∴ (与式) = f(x) + f(y) + f(z) ≧ M(x^4+y^4+z^4) = M = 1.48058326 …
ぬるぽ

72 :71:05/02/05 03:41:47
(訂正)、スマソ。
 M = f(x0)/(x0^4) = …

(補足)
 X≧0 ⇒ X^n - nX +(n-1) = (X-1)^2 {Σ[k=0,n-2] (n-1-k)X^k} ≧0.

73 :132人目の素数さん:05/02/05 06:37:17
x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0 が実根を持つならば、a^2+b^2≧8

74 :132人目の素数さん:05/02/05 12:46:14
ココで出題した問題が、yahoo(>>34)のprime_132 にコピペされているな・・・
不等式ヲタの苦労が水の泡ってところか・・・

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=ldbja4rbdpa47a4a2a4a4a4dea47a4ga4a6&sid=1835554&mid=974

75 :132人目の素数さん:05/02/05 23:09:37
>73
 左辺を平方完成(?)すると、
 x^4 +ax^3 +2x^2 +bx +1 = (x^2)(x +a/2)^2 +{(8 -a^2 -b^2)/4}x^2 +(bx/2 +1)^2.
ぬるぽ

76 :132人目の素数さん:05/02/06 03:07:38
>21
[前スレ.565(4)]
 無限乗積表示 sin(πx) = πx・Π[k=1,∞) {1-(x^2)/(k^2)} を使ってみますた。(牛刀
かも)
 f(x^2) = log|sin(πx)/πx| - a・{log(1-x^2) -log(1+x^2)} (0≦a≦1) とおくと、
 f(y) = Σ[k=1,∞) log[1 -y/(k^2)] -a・{log(1-y) -log(1+y)}, f(0) = 0.
 f '(y) = -Σ[k=1,∞) 1/(k^2 -y) +a・{1/(1-y) +1/(1+y)}.
     = -Σ[k=2,∞) 1/(k^2 -y) -(1-a)/(1-y) +a/(1+y) :単調減少(fは上に凸).
 f '(y) < f '(0) = -ζ(2) +2a = -(π^2)/6 + 2a.

 (i) a=1 のとき 上に凸で f(0)=f(1)=0 だから |x| <1 で f(x^2)>0.
 (ii) a≦(π^2)/12 = 0.82246703… のとき f '(0)<0 ∴ f'(x^2)<0, f(x^2)<0.
 ∴ log(1-x^2) -log(1+x^2) < log|sin(πx)/πx| < a・{log(1-x^2) -log(1+x^2)}.
ぬるぽ

77 :132人目の素数さん:05/02/06 09:39:01
( ゚∀゚) ウヒョッ!
そこに痺れる憧れるぅ〜

78 :132人目の素数さん:05/02/06 12:18:58
【Johnstonの不等式】
a_1, …, a_n の相加平均をA、相乗平均をBとする。
0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 G^(Q-P) ≧ P^(Q-A)・Q^(A-P)

  ∧_∧ ッパシャ ッパシャ
  (   )】
  /  /┘ ムッハァ〜 ハァハァ…
 ノ ̄ゝ  

79 :132人目の素数さん:05/02/07 12:07:24
>78
P= a_k =Q のときは等号成立。
P<Q のとき {Ln(Q)-Ln(P)}/(Q-P) =C とおく。 C>0.
 Ln( )は上に凸だから、
 a_k≠P に対して {Ln(a_k) - Ln(P)}/(a_k -P) > C, Ln(a_k) - Ln(P) > (a_k -P)C.
 k=1 to n について加えてnで割ると Ln(G) - Ln(P) > (A-P)C ……(1).
 a_k≠Q に対して C > {Ln(Q) - Ln(a_k)}/(Q -a_k), (Q -a_k)C > Ln(Q) - Ln(a_k)
 k=1 to n について加えてnで割ると (Q-A)C > Ln(Q) - Ln(G) …… (2).
 (1)(2)からCを消去して真数をとれば、求める式が.....
ぬるぽ

80 :132人目の素数さん:05/02/07 21:51:47
x(1)=2, x(n+1)=x(n)^2-x(n)+1 (n≧1) のとき
1-1/2^(2^(n-1)) < Σ[k=1..n](1/x(k)) < 1-1/2^(2^n)

81 :132人目の素数さん:05/02/08 10:12:51
>80
漸化式から 1/x(k) = 1/{x(k)-1} -1/{x(k+1)-1}.
 ∴ (中辺) = Σ[k=1,n] 1/x(k) = 1/{x(1)-1} -1/{x(n+1)-1} = 1 -1/{x(n+1)-1}.
 ここで次の(補題)を用いると、
 1 -1/{2^[2^(n-1)]} ≦ Σ[k=1,n] 1/x(k) < 1 -1/{2^(2^n)}, (等号はn=1).

(補題) n≧1 ⇒ 2^{2^(n-1)} ≦ x(n+1) -1 < 2^(2^n) -1, (等号はn=1).
 (略証) nについての帰納法による。
 n=1 のとき 2 = x(2)-1 < 4-1 で成立。あとは簡単(終).
ぬるぽ

82 :132人目の素数さん:05/02/08 21:34:33
[1]
a(k)∈(0,π/2), k=1,2,3,4, Σa(k)=π のとき
Σ{(√2)*sin(a(k))-1}/cos(a(k))≧0

[2]
z(k)∈C, k=1,2,...,n, Σ|z(k)|=1 のとき
|Σ[z∈S]z(k)|≧1/6 を満たす S⊆{z(1),z(2),...,z(n)}
が存在する

83 :132人目の素数さん:05/02/08 22:13:55
【問題 11127】 ('A`) なす術なし…
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-01-jan05.pdf

84 :Arith ◆Arithtz1sk :05/02/08 22:18:07
>>82([2])
{1, 2, ..., n}を(arg z(k))*2/π(ただしargは[0, 2π)の範囲に取る)の整数部分によって
4つの集合S_0, S_1, S_2, S_3に分ける。
いずれかのjについて農{k∈S_j}|z(k)|≧1/4が成り立つ。
k∈S_jならばarg' z(k)i^{-(j+1/2)}∈[-π/4, π/4)(arg'は[-π, π)の範囲に取った偏角)であることより
 |農{k∈S_j}z(k)|
=|農{k∈S_j}z(k)i^{-j}|
≧Re 農{k∈S_j}z(k)i^{-j}
≧農{k∈S_j}|z(k)|cos(π/4)
≧1/(4sqrt(2))>1/6。

<<OVER KILL>>

85 :132人目の素数さん:05/02/09 15:02:41
>>82 Mathnoriに載ってたんだが。

m(>1)次元ユークリッド空間上のn個の点x(i)=(x(i,1) , x(i,2) , … , x(i,m)) が
Σ[i=1〜n] |x(i)| =1 を満たすならばn個の点から適当にいくつか選び、
それらをy(1),y(2),…,y(k)とすれば
|Σ[i=1〜k] y(i)|≧Γ(m/2)/(2sqrt(π) Γ((m+1)/2))
とすることが可能である。

---

MathNori回答者(つか俺)の答案からコピって来た。

86 :132人目の素数さん:05/02/10 10:09:13
>85
m=1 のとき
 x(k)の符号により二類に分ける。
 x(i)>0 の和を S(+)=Σx(i)=Σ|x(i)|, x(j)<0 の和を S(-)=Σx(j)=-Σ|x(j)| とすると、
 |S(+)| + |S(-)| = Σ[k=1,n] |x(k)| =1.
 ∴ |S(+)| ≧1/2 または |S(-)| ≧1/2.
m>1 のとき
 ある向き(e↑)の成分を考えて、1次元に帰着させる。
 e↑∈Ω(m), ここに「超球面」Ω(m)={e↑∈R^m | ‖e‖=1 }, |Ω(m)|=電ω= {2/Γ(m/2)}π^(m/2)
 いま、f(e↑) = Σ[k=1,n] |(e↑・x(k)↑)| = Σ[k=1,n] |cosθ(e,k)| ‖x(k)‖ とおき、
 あらゆる向きのe↑について平均すると、<|cosθ|> を外へ出すことができ、
 <f(e↑)> = 吐(e↑)dω/|Ω(m)| = <|cosθ|>・Σ[k=1,n]‖x(k)‖ = <|cosθ|> = Γ(m/2)/{Γ((m+1)/2)√π}.
 ∴ f(e_1) ≧ <|cosθ|> となるような e_1 をとることができる。
 以下m=1のときと同様にして |S|≧(1/2)<|cosθ|> が出る。
ぬるぽ
 (例) m=1 のとき |S|≧1/2, m=2のとき |S|≧1/π, m=3のとき |S|≧1/4.

http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html

87 :132人目の素数さん:05/02/10 14:17:35
定数nに対し、項数kの自然数列
1≦a(1)<a(2)<…<a(k)≦n
を考える。この数列をどの二項の和( a(i)+a(j) )
も平方数にならないように定め、kを可能な限り大きくしたとき、
11n/32≦k<n/2  を示せ。

88 :132人目の素数さん:05/02/10 14:18:36
訂正
11n/32≦k  を示せ。


89 :saikorodeka(偽):05/02/10 22:12:00
【78の類題】
正の数 a_1, …, a_n の相加平均をA、調和平均をH とする。
 0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 H ≦ PQ/(P+Q-A).

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=107

90 :89:05/02/10 22:37:15
[89]写し間違い、スマソ.
H ≧ PQ/(P+Q-A).


91 :132人目の素数さん:05/02/10 23:11:42
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ |
 |::::: (● (● | グッジョブ! >>89-90
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//


92 :132人目の素数さん:05/02/12 12:23:35
分かスレにありますた。

nを自然数とし,
A_n(x) = {cos(2x)}^(n/2), B_n(x) = {cos(x)}^(2n) - {sin(x)}^(2n) とする。
0<x<π/4 において A_n(x) と B_n(x) の大小を比べよ。

分かスレ203
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1108110312/4,84

93 : ◆BhMath2chk :05/02/13 02:00:02
逆数の相加平均は調和平均の逆数で
逆数の相乗平均は相乗平均の逆数なので
>>78から
 (1/G)^(1/P−1/Q)
≧(1/Q)^(1/P−1/H)(1/P)^(1/H−1/Q)。
 (P/Q)^(PQ/H)
≧G^(Q−P)P^PQ^(−Q)
≧(P/Q)^(P+Q−A)。


94 :89:05/02/13 06:38:29
グッジョブ! >93

95 :79:05/02/13 07:24:29
>78 (訂正)
 我ながら間違いが多いな・・・後(ry
 Ln(a_k) - Ln(P) ≧ (a_k -P)C, (Q -a_k)C ≧ Ln(Q) - Ln(a_k).
 等号成立は a_k=(P or Q) のとき


96 :zeros_force(偽):05/02/13 18:14:35
(問題)
 0≦x≦y,x+y=1,nは自然数 とするとき、
 y^n -y ≦ x^n -x が成り立つことを示して下さいです。。。

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=131


97 :132人目の素数さん:05/02/15 02:11:38
>>64
> >57(2)
>  a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると

これって、どうやって思いつくんですか?

98 :64:05/02/15 09:07:19
>97
 s>a,b より相加・相乗平均 (ssab)^(1/4) < (s+s+a+b)/4, (ab)^(1/4)・√s < (2s+a+b)/4.

99 :132人目の素数さん:05/02/15 11:52:25
>96 nを実数とする。
n≦0 のとき
 x^n-x は単調減少により成立。等号は x=1/2.
n>0 のとき
 (左辺) - (右辺) = (1-x)^n -x^n +x -(1-x) = f(x) とおくと
 f(0)=0, f(1/2)=0, f "(x) = n(n-1){(1-x)^(n-2) -x^(n-2)}.
 ・0<n<1 or 2<n のとき f "(x)≧0(下に凸), f(x)≦0 により成立. 等号はx=0,1/2.
 ・n=1,2 のとき f "(x)=0, f(x)=0 により等号成立.
 ・1<n<2 のとき f "(x)≦0(上に凸), f(x)≧0 だから逆向き. 等号は x=0,1/2.
ぬるぽ

100 :132人目の素数さん:05/02/15 15:20:58
>>98
なるへそ。ありがとうございます!

>>99
ぐっじょぶ!

101 :132人目の素数さん:05/02/18 04:01:27
問題 1713. nCr (´д`;)ハァハァ
問題 1714 不等式 (´д`;)ハァハァ
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_mag-78-1-feb05.pdf
問題 792 不等式 (´д`;)ハァハァ
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/col_math_jou-36-1-jan05.pdf

(再掲)
問題 11127 三角関数と不等式 (´д`;)ハァハァ
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-01-jan05.pdf

102 :132人目の素数さん:05/02/19 00:57:04
power mien の積分形を考えてて思ったこと。

区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
 lim[r→0] {(∫[a,b] {f(x)}^r dx)/(b-a)}^(1/r)
は、e^{(∫[a,b] \log f(x) dx)/(b-a)} になりますか?

103 :132人目の素数さん:05/02/19 00:57:35
>>102
power mean … ('A`)

104 :132人目の素数さん:05/02/19 01:23:44
>>64

>>57(2)は、ピッタリ最大値が求まらないでしょうか?

105 :132人目の素数さん:05/02/19 01:46:09
求まりそうな気がするけどね
条件が対称だから

106 :132人目の素数さん:05/02/19 02:41:29
ですよねぇ。
最大値は a=b=c のとき 1/(9√3) だろうと思って
こないだから弄ってたんだけど、力不足でだめぽ。
さらりと解いて解答を載せるつもりだったけど、
挫折して聞いてしまった… ('A`)

107 :106:05/02/19 02:45:33
書き間違い… (吊)
a=b=c=1/3のときの 1/(3√3)

108 :132人目の素数さん:05/02/19 02:49:55
>>101
問題1713 は、前スレの終わりのほうで
似たようなやつがあったけど、できそうでまだできてない…。

OS再インストールしたときに、過去ログの保存を忘れててアボーンしてしまった。
dat落ちしてから、見れるようになるまで何ヶ月くらいかかるのでせうか?
 |
 8 < モウ ダメポ…
 '`
  ̄

109 :64:05/02/19 04:24:38
>104-107
 [106-107]が正しいとすると、等号条件が a=b=c =s/3 の不等式しか使えない。たとえば[98]は
 {(s/3)(s/3)ab}^(1/4) < {2(s/3)+a+b}/4, (ab)^(1/4)・√(s/3) < {2(s/3)+a+b}/4.
 としないといけないし、[64]は次のようにする。
(ab)^(5/4) < ab{2(s/3)+a+b}/{4√(s/3)} を循環的に加えると(注)により、
 (左辺) ≦ (ab+bc+ca)(1/2)√(s/3) +[ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/{4√(s/3)}
   ≦ (1/2)t√(s/3) + (1/4)(s^2-t)√(s/3) = (1/4)(s^2+t)√(s/3) ≦ 3(s/3)^(5/2) = {1/(3√3)}s^(5/2).

(注) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = st -3u ≦ (s/3)(s^2 -t).
   ∵ s^3 -4st +9u ≧ 0. (← [前スレ.611]の(1) または "Inequalities"の定理80)

110 :132人目の素数さん:05/02/19 09:17:15
>>109
キタキタキタキタ━━━(゚∀゚≡(゚∀゚≡゚∀゚)≡゚∀゚)━━━━!!!!!!!!!!
そうか! s/3 で置き換えれば ≦ になるのか!
(´д`;)ハァハァ

111 :132人目の素数さん:05/02/19 22:28:37
>101 [1713]
 (問題) Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] 1/C[n,k] = 3/2.
 (解答) (左辺) = Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] …… = Σ[k=2,∞) Σ[n=k+2,∞) …… を使おう。
 1/C[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)} = {k!/(k-1)}{ 1/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] -1/[n(n-1)…(n-k+2)] }
  = {k/(k-1)}{ 1/C[n-1,k-1] -1/C[n,k-1] }.
 ∴ Σ[n=k+2,N] 1/C[n,k] = {k/(k-1)}{ 1/C[k+1,k-1] -1/C[N,k-1] }
  = {k/(k-1)}{ 2/[k(k+1)] -1/C[N,k-1] } = {1/(k-1)}{ 2/(k+1) -k/C[N,k-1] }
  = {1/(k-1)}{1 -(k-1)/(k+1) -k/C[N,k-1] } → 1/(k-1) -1/(k+1).  (N→∞)
  k=偶数(2,4,…)についての和は 1/(2-1) =1, k=奇数(3,5,…)についての和は 1/(3-1) =1/2.
  よって (左辺) = 1/(2-1) + 1/(3-1) = 1 +1/2 =3/2.
ぬるぽ

112 :132人目の素数さん:05/02/20 07:41:58
>>102-103
もっと詳しく!

113 : ◆BhMath2chk :05/02/20 11:00:00
前スレ。

http://mimizun.com:81/log/2ch/math/science3.2ch.net/math/kako/1072/10725/1072510082.dat
http://mimizun.com/cgi/dattohtml.pl?http://mimizun.com:81/log/2ch/math/science3.2ch.net/math/kako/1072/10725/1072510082.dat
http://makimo.to/cgi-bin/html2dat/html2dat.cgi?science3_math/1072/1072510082.html
http://makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html


114 :111:05/02/20 15:55:40
>101 [No.1714]
 (問題) m,n,x,y,z>0, x+y+z=s のとき、
   (x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] + (y^4)/[(my+nz)(mz+ny)] + (z^4)/[(mz+nx)(mx+nz)] ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
 (解答) 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
  = [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).
  4(x^4) = (x^2+y^2)(3x^2 -y^2) + (x^2 -y^2)^2 ≧ (x^2+y^2)(3x^2 -y^2).
  辺々割って、
  (x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] ≧ (1/2)(3x^2 -y^2)/(m+n)^2.
  循環的に加えて、
  (左辺) ≧ (x^2 +y^2 +z^2)/(m+n)^2 ≧ (1/3)(x+y+z)^2/(m+n)^2 ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
ぬるぽ

[111] [No.1713] の補足
 n=4,…,N までの部分和をとる。
  Σ[n=4,N] Σ[k=2,n-2] 1/C[n,k] = Σ[k=2,N-2] Σ[n=k+2,N] 1/C[n,k] = ……
 = 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - Σ[k=2,N-2] {k/(k-1)}/C[N,k-1]
 = 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - { 2/N + 3/(N(N-1)) + Σ[k=4,N-2]O(1/N^3) } → 3/2 (N→∞).

115 :108:05/02/20 20:06:33
>>113
をぉぉっ! ありがとうございます。
助かりました。

116 :24:05/02/20 21:04:20
>>113
をぉぉっ! ありがとうございまつ。
助かりますた。

117 :132人目の素数さん:05/02/20 21:11:44
>101 [No.792]
 一般に、正係数の多項式F(x, y, …) については、
 x_k≧0, y_k≧0, … (k=1,2,…,n) ⇒ Σ[k=1,n] F(x_k, y_k, …) ≧ F(Gx, Gy, …).
 ここにGは相乗平均で、Gx={Π[k=1,n] x_k}^(1/n), Gy={Π[k=1,n] y_k}^(1/n), …
ぬるぽ

118 :132人目の素数さん:05/02/20 22:19:53
「数学オリンピック」 スレより
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091700814/529,562,580
JMO本選3らしい…

529 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:05/02/12(土) 12:30:59
正の実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
 a(1+b-c)^(1/3) + b(1+c-a)^(1/3) + c(1+a-b)^(1/3) ≦ 1

580 名前: ◆BhMath2chk [sage] 投稿日:05/02/16(水) 13:00:02
>>529
−1≦xのとき(1+x)^(1/3)≦1+x/3。
a(1+b−c)^(1/3)≦a+ab/3−ac/3。
b(1+c−a)^(1/3)≦b+bc/3−ab/3。
c(1+a−b)^(1/3)≦c+ac/3−bc/3。

119 :117:05/02/21 00:46:05
>101 (No.792)
 [117] の訂正、すまそ。
 (1/n)Σ[k=1,n] F(x_k, y_k, …) ≧ F(Gx, Gy, …).

 (略証) 項ごとに相加・相乗平均を使う。

120 :102:05/02/21 04:47:53
>>112 [power mean]
正の数 a_1, …, a_n の r次平均 M_r = [((a_1)^r + … + (a_n)^r)/n]^(1/r) について
 lim[r→+∞]M_r = max{a_1, …, a_n}
 lim[r→-∞]M_r = min{a_1, …, a_n}
 lim[r→0]M_r = G (相乗平均)

これが関数もときにも成り立ってるのかなと思ったわけで…
区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
 lim[r→+∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = max[a≦x≦b]f(x)
 lim[r→-∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = min[a≦x≦b]f(x)
が成り立つから、
 lim[r→0] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r)
も何かの値になるのかなと思ったのでした。 ( ゚∀゚) テヘッ

121 :132人目の素数さん:05/02/21 08:04:59
【sin】高校生のための数学質問スレPart20【cos】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1108205751/444

444 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:05/02/21(月) 00:49:38
(問題)
  n,m,x,y,z が正数のとき、
   x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my) >= 3/(m+n)
  となることを数IAの範囲で証明せよ。

122 :132人目の素数さん:05/02/21 08:38:48
>>121
Cauchy の不等式より
 [x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my)]*[x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ (x+y+z)^2 … (1)
ここで、
 x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my) = (m+n)(xy+yz+zx)
であることと、
 (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (1/2)[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] ≧ 0 … (2)
より、[(x+y+z)^2]/(xy+yx+zx) ≧ 3 だから
 [x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ [(x+y+z)^2]/[(m+n)(xy+yz+zx)] ≧ 3/(m+n)
等号成立条件は、(1), (2) の両方で等号が成り立つときで、x=y=z である。
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ |
 |::::: (● (● | なんとか解けたよ!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

123 :122:05/02/21 09:35:12
気のせいかな?
前にも解いたような気がする…

124 :122:05/02/21 10:15:06
前スレにありました ( ゚∀゚) テヘッ

前スレ 903(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)

前スレ 907 に解答
 x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
 循環的に加えて 相加・相乗平均を使うと
 左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.

125 :122:05/02/21 10:16:13
>>124の解法は、ぬるぽ神によるものです。

126 :132人目の素数さん:05/02/21 12:08:23
[前スレ.907] の補足
 「相加・相乗平均を使う」は数TA 辺りでは通用しないかも知れないので・・・

(補題) X,Y,Z>0 のとき Z/X+X/Y+Y/Z ≧ 3, Y/X+X/Z+Z/Y ≧ 3.
(略証) X,Y ≧Z のとき X-Z≧0, Y-Z≧0 ゆえ
 YZ^2 +ZX^2 +XY^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +Y(X-Z)(Y-Z) ≧0.
 ZY^2 +YX^2 +XZ^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +X(Y-Z)(X-Z) ≧0.
 これらを XYZ>0 で割る。 (終)

127 :132人目の素数さん:05/02/21 21:28:04
[1]
連続関数 f:[0,1]→R が任意の x∈[0,1] に対して
∫_{x}^{1}f(t)dt≧(1-x^2)/2 を満たすとき
∫_{0}^{1}(f(t))^2dt≧1/3

[2]
p>1とする。|x|^p+|y|^p=2を満たす任意の実数x,yに対し、
(x-y)^2≦C(p)*{4-(x+y)^2}
が成立するような定数C(p)が存在する

128 :132人目の素数さん:05/02/22 04:51:20
>>114
> 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
>  = [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).

この式変形に激しく (´д`;)ハァハァ

129 :132人目の素数さん:05/02/23 14:06:12
749 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:05/02/23(水) 12:19:56
3^e<e^3
を示す問題なんですけど、

751 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:05/02/23(水) 13:31:31
>>749
3^e<e^3⇔3^(1/3)<e^(1/e)⇔x^(1/x)またはlog(x)/xがx>eで単調減少

130 : ◆BhMath2chk :05/02/23 18:00:00
>>102
log(f(x))が有界のとき
f(x)^r=exp(log(f(x))r)=1+log(f(x))r+O(r^2)。

∫f(x)^rdx=∫dx+r∫log(f(x))dx+O(r^2)。

∫f(x)^rdx/∫dx=1+r∫log(f(x))dx/∫dx+O(r^2)。

(1+cr+O(r^2))^(1/r)=exp(c+O(r))なので
(∫f(x)^rdx/∫dx)^(1/r)=exp(∫log(f(x))dx/∫dx+O(r))。

lim((∫f(x)^rdx/∫dx)^(1/r))=exp(∫log(f(x))dx/∫dx)。


131 :132人目の素数さん:05/02/25 06:26:30
不等式の証明で
 4(a^2+ab+b^2)^3 - 27a^2b^2(a+b)^2
の因数分解がうまくいかんのだけど、コツを教えてけれ!

132 :132人目の素数さん:05/02/25 07:43:56
>>131
a-b=A とおく ( ゚∀゚) テヘッ

133 :132人目の素数さん:05/02/25 10:14:21
>131
 基本に返って (a+b)^2=S, ab=t とおく ( ゚∀゚) テヘッ

 4(S-t)^3 -27(t^2)S = 4S^3 - 12(S^2)t - 15St^2 - 4t^3 = (S-4t)(2S+t)^2
 = (a-b)^2(a^2+5ab+b^2)^2.
∵ a=b のとき0だから、因数定理により S-4t=(a-b)^2 を因子にもつ。

134 :132:05/02/25 11:53:00
>>131
a-b=A とおいた理由は、b に a を代入したら 0 になるから、因数定理よりゴニョゴニョ…。
結局、>>132-133 から、任意の実数 a, b, c に対して
 4(a^2+ab+b^2)^3 - 27[ab(a+b)]^2 = [(a-b)(2a+b)(a+2b)]^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b または 2a=-b または a=-2b のとき。

興味ないだろうけど、参考文献 [2] P.216 問6の解答に同じ問題があるYO!
でも誤植だYO! il||li _| ̄|○ il||li

さらに頼まれもしないのに、不等式の別証をチラシの裏に書いてしまう。
ただし、a, b≧0 の場合ですが…。

4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2
これと相加平均・相乗平均の関係から
 (a^2+ab+b^2)^3 ≧ (27/64)(a+b)^6 ≧ (27/16)ab(a+b)^4 ≧ (27/4)[ab(a+b)]^2 ≧ 27(ab)^3
等号成立条件は a=b。

135 :132:05/02/25 11:56:43
下から4行目に書き間違い
> 4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2

正しくは
  4(a^2+ab+b^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+b^2 ≧ (3/4)(a+b)^2

136 :132:05/02/25 12:05:59
a^2+ab+b^2 絡みで…

非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+ab+c^2)
 ≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3

─────────────‐
━━━mm━━━━━━━━━
 ||| lll | | ./  ≧ \ ガラッ
     | | |::::  \ ./ |  ||| ________
  |||  | | |::::: (● (● |   /
     \\ヽ::::... .ワ......ノ <  ( ゚∀゚) テヘッ
      \     \    \
||| ガラッ  )    ト、ヽ |||  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
   |||   /     ( | |   |||
━━━━━━━━━mm━━━
─────────────‐

137 :132人目の素数さん:05/02/25 12:07:06
ゴメン、また書き間違いしました。

非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
 ≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3



 |
 8 < ダメポ…
 '`
  ̄

138 :132人目の素数さん:05/02/25 16:36:10
>136
 左側: [135]
 中間: (9/8)(a+b)(b+c)(c+a) = (1/8)(a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c)(c+a)
 ≧ √(ab)√(bc)√(ca) + (a+b)(b+c)(c+a) = abc +(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca).
 右側: (1/3)(a+b+c)^2 - (ab+bc+ca) = (1/6){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} ≧0.
ぬるぽ

139 :132人目の素数さん:05/02/25 22:36:23
>>122
正の数 a, b, c, m, n に対して、
 (a+b+c)^2/[(p+q)(ab+bc+ca)] と [1/(pa+qb) + 1/(pb+qc) + 1/(pc+qa)]*(a+b+c)/3
の大小は定まりますか?

140 :132人目の素数さん:05/02/25 22:37:25
>>139
また書き間違った。
> 正の数 a, b, c, p, q です ( ゚∀゚) テヘッ

141 :132人目の素数さん:05/02/27 21:03:50
>139-140
a=b=c のときは等号成立。
a=b=c でないとき、
 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、(左辺)=(s^2)/[(p+q)t].
 p=q のとき (左辺)-(右辺)=(s^2)/(2pt)-s(s^2 +t)/[3p(st-u)] = s{(s^2 -3t) +(t^2 -3su)/t}/[6p(st-u)] >0.
 q/p→0 のとき (左辺)-(右辺)= (s^2)/(pt)-st/(3pu) = -s(t^2 -3su)/(3ptu) < 0.
よって 大小は定まらない...

142 :132人目の素数さん:05/02/27 21:37:29
>>130
ありがとうございまする。 自分では思いつかんす。

>>141
ありがとうございまする。なるへそ。

143 :132人目の素数さん:05/02/28 09:30:59
a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と正の数 m, n に対して、
 (a^m)(b^n)+(b^m)(c^n)+(c^m)(a^n) ≦ (m^m)/[(m+n)^(m+n)]
が成り立つなら証明たのも〜。

144 :132人目の素数さん:05/03/01 13:37:31
>>143の類題 (前スレ603)
[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27

145 :132人目の素数さん:05/03/01 16:18:24
【問題】 公差が負でない等差数列 {a_n} に対して
 Σ[k=2 to n] ≦ (n-1)(a_1*a_n+a_2*a_{n+1})/(2*a_1*a_2*a_n*a_{n+1})

146 :132人目の素数さん:05/03/01 20:07:02
目指せ最下層

147 :132人目の素数さん:05/03/02 10:22:11
>144
 (略証) a,b,c≧0 とし、a^2b +b^2c +c^2a = F(a,b,c) とおく。
 a≧b,c のとき F(a+c/2, b+c/2) - F(a,b,c) = (a-b)bc +ac(a-c)/2 +b(c^2)/4 +(c^3)/8 >0.
 ∴ F(a,b,c) ≦ F(a+c/2, b+c/2, 0).
 相加相乗平均より
 F(a ',b ',0) = (a ')^2・b ' ≦ (1/2){(a '+a '+2b ')/3}^3 = (1/2){2(a '+b ')/3}^3
 = (1/2){2(a+b+c)/3}^3 = (4/27)(a+b+c)^3.

[1999 CanMO 31st] Problem 5
http://www.kalva.demon.co.uk/canada/can99.html


>145
【問題】 a_k≠0 の等差数列 {a_n} に対して
 Σ[k=2 to n] 1/(a_{k+1}・a_{k-1}) = (n-1)[1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})].
(略証)
 公差 d=0 のときは a_k=a_1≠0 より成立つ。
 公差 d≠0 のとき 1/(a_{k-1}・a_{k+1}) = [1/a_{k-1} -1/a_{k+1}]/(2d)
 (左辺) = [1/a_1 +1/a_2 -1/a_n -1/a_{n+1}]/(2d) = [1/a_1 -1/a_n]/(2d) +[1/a_2 -1/a_{n+1}]/(2d)
 = (n-1)[1/(2a_1・a_n) +1/(2a_2・a_{n+1})].

>146
現 在 703位
 最下層 715位

148 :132人目の素数さん:05/03/02 10:41:54
>145
【147系】 a_1・a_{n+1} >0 の等差数列 {a_n} に対して、
 Σ[k=2 to n] 1/(a_k)^2 ≦ (n-1) {1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})}.

 ∵ 0 < a_{k-1}a_{k+1} = (a_k -d)(a_k +d) = (a_k)^2 - d^2 ≦ (a_k)^2 だから.

149 :最下層!:05/03/02 14:06:14
>146
718中 718位 でつ。

150 :132人目の素数さん:05/03/02 14:49:20
>>143の類題
a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と自然数 m に対して、次式を示せ。
 (a^m)b + (b^m)c + (c^m)a ≦ (m^m)/[(m+1)^(m+1)]
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ |
 |::::: (● (● |  最下層記念パピコ問題
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

151 :132人目の素数さん:05/03/02 14:51:17
世俗と隔離された世界で、不等式に (´д`;)ハァハァ する。
なんてキティガ…、素敵なんだろう…

( ゚∀゚) テヘッ

152 :132人目の素数さん:05/03/02 15:52:57
>>150
書き忘れたけど、m≧2 なりよ。

153 :132人目の素数さん:05/03/02 21:05:25
   ┃ ぬるぽ製薬〜♪
   ┃
   |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||\
   |||||||||||||||||||||||||||||||||||||| ||| ||  ヽ
   |||    |||||||| ||||||||| |||| |||   |
   |||||||||| ||| || |||||     ||||   |
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   |||||| |||||| || ||| ||| || || ||||||   |   w  v v   w
   |||| || ||| ||| || |||| || ||| ||||||   |
   || |||||||| |||||  ||| |||| ||| |||||   | w  w  w
   |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||   |w   w w
   |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||   |  w  w  w
   |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||   |w
   |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||   |w  w   w    

http://www6.big.or.jp/~beyond/bbsnews/proxy/erobbs/1103073240/113

154 :132人目の素数さん:05/03/02 21:21:42
>>149
あげるな

155 :132人目の素数さん:05/03/02 21:50:28
【問題】 -1 < a, b, c < 1 かつ a+b+c = -1/2 のとき、
 3/[6^(12)] ≦ a^(12) + b^(12) + c^(12) ≦ 2+ (1/2)^(12)
http://www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, Ex.3

最小値は Jensen から、最大値は majorization すげぇ〜!
ところで majorization 知らない場合の最大値の求め方をたのも〜。


>153-154
荒らさないで下さ(=゚ω゚)ノぃょぅ

156 :132人目の素数さん:05/03/02 22:14:06
最下層にするために他のスレを上げる荒らし

157 :132人目の素数さん:05/03/02 22:24:22
専用ブラウザ使っているから、
最下層とか関係なかったりします
( ゚∀゚) テヘッ

158 :132人目の素数さん:05/03/02 22:28:09
age荒らしの住処はここか

159 :132人目の素数さん:05/03/03 15:01:27
         =≡=
          /
        〆          . .∈≡∋
         ||  γ ⌒ヽヽコノ   ||
         || .|   |:::| ..〓  .||
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\

          ∧_∧
         ( ・∀・) >155 まだぁ〜
         ( ∪ ∪
         と__)__)  旦

160 :132人目の素数さん:05/03/04 10:04:58
>155
 nは正の偶数とするとき、連続函数 f(x)=x^n は[-1,1]で 下に凸(convex)である。
 ∴ f(x) + f(k-x) も下に凸なので、端で最大となる。

ここで 1≧a≧b≧c≧-1 としても一般性を失わない。
3c≦a+b+c≦3a より -1≦c≦-1/6, -1/6≦a≦1
 ∴ -7/6 ≦ a+c ≦ 1/2.
(i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
 f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = 1 +f(b) +f(-b-3/2)
 ≦ 1 +f(-1/2) +f(-1) = 2 +(1/2)^n
(ii) -7/6 ≦ a+c≦0 のとき -1/2 ≦ b ≦ 2/3.
f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(a+c+1) +f(b) +f(-1) = f(-b+1/2) +f(b) +1
 ≦ f(1) +f(-1/2) +1 = 2 +(1/2)^n.

[1997 Chinese M.O.]

161 :132人目の素数さん:05/03/04 16:58:54
>>160
うひょっ、ありがとうございます。
f(c) を f(a+c-1) に置き換えたところが分からないのですが…

> (i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
>  f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = …


nが奇数のときの最大最小も出ますか?
曲線上の(1,1)における接線や、
(-1,-1)における接線で挟むのかなと思うんだけど…
( ゚∀゚) テヘッ

162 :160:05/03/04 17:44:07
>161
1>a>c>c-(1-a), f(x) は下に凸だから
 f(a) ≦ {(1-c)f(1) + (1-a)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
 f(c) ≦ {(1-a)f(1) + (1-c)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
辺々たして
 f(a) + f(c) ≦ f(1) + f(c-(1-a))
 内側の和 ≦ 外側の和

163 :132人目の素数さん:05/03/05 08:54:32
>>162
なるほど。
ありがとうございます。
自分では思いつかないなぁ…

164 :132人目の素数さん:05/03/05 20:21:00
正の数 a, b, c, d に対して
a/sqrt[3]{a^3+63bcd} ≧ (a^p)/(a^p+b^p+c^p+d^p)
をみたす p が 21/16 ってのは、どうやれば出てきますか?

165 : ◆BhMath2chk :05/03/06 07:00:00
b=c=d=asとすると1+3s^p≧(1+63s^3)^(1/3)。
f(s)=1+3s^p−(1+63s^3)^(1/3)とすると
0≦f(s),f(1)=0なので
(df/ds)(1)=3p−63/16=0からp=21/16。

p=21/16のとき
 (1+3w^(p/3))^3
=1+9w^(p/3)+27w^(2p/3)+27w^p
≧1+63((w^(3p))(w^(18p))(w^(27p)))^(1/63)
=1+63(w^(48p))^(1/63)
=1+63w^p。
 (a^p+b^p+c^p+d^p)/a^p
=1+(b/a)^p+(c/a)^p+(d/a)^p
≧1+3(bcd/a^3)^(p/3)
≧(1+63bcd/a^3)^(1/3)
=(a^3+63bcd)^(1/3)/a。


166 : ◆BhMath2chk :05/03/06 07:10:01
>>165
>=1+63w^p。
=1+63w。


167 :132人目の素数さん:05/03/06 10:38:44
>>165
b=c=d=as とおいても一般性を失わないの?

168 :132人目の素数さん:05/03/06 11:33:22
>>167 上が必要条件で、下が十分条件だろが。

169 :132人目の素数さん:05/03/07 09:04:12
>164
(n+1)文字の場合は
a/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ (a^p)/(a^p + b_1^p + … + b_n^p), N=(n+1)^n -1

1/(左辺)^n = 1 + N(b_1…b_n)/(a^n) = 1 + N(G/a)^n, G=(b_1…b_n)^(1/n).
1/(右辺) = 1 +(b_1/a)^p + … +(b_n/a)^p ≧ 1 + n(G/a)^p ≡ 1 + nX.
1/(右辺)^n ≧ (1+nX)^n = 1 + Σ[j=1,n]C[n,j]n^j X^j ≧ 1 + NX^r =1 + N(G/a)^(pr) ← 相加相乗平均
ここに、r = (1/N)Σ(Xの指数) = (1/N)Σ[j=1,n]jC[n,j]n^j = (n/N)Σ[j=1,n]C[n-1,j-1]n^j
 = (n^2 /N) Σ[j'=0,n-1]C[n-1,j']n^j' = n^2・(n+1)^(n-1) /N
両辺を見比べて、p = n/r = N/{n・(n+1)^(n-1)}.

(例) n=3 のとき N=63, r=16/7, p=21/16.

>165 の後半
w=bcd らしい。

170 :160:05/03/07 09:15:01
【155の拡張】 -1 < a,b,c < 1 かつ a+b+c =-1/2 のとき、
 3f(-1/6) ≦ f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(1)+f(-1/2)+f(-1).
 ただし f(x)は (-1,1) で下に凸とする。

171 :169:05/03/07 09:40:03
>164
n=1, 2, 3, 4, 5 のとき p=1, 4/3, 21/(4^2), 156/(5^3), 1555/(6^4). n が大きいとき p≒(n+1)/n.


172 :132人目の素数さん:05/03/07 11:49:53
キタキタキタキタ━━━(゚∀゚≡(゚∀゚≡゚∀゚)≡゚∀゚)━━━━!!!!!!!!!!
165さん、169さん乙です。
印刷して今から解読します。

これで、cyclic に廻して、 Σa/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ 1 が得られました。
( ゚∀゚) テヘッ

173 :132人目の素数さん:05/03/07 13:09:42
>>172
文字が違った。こうか…

Σ(a_1)/{(a_1)^n +N(a_2…a_n)}^(1/n) ≧ 1

174 :169:05/03/07 16:30:21
>172-173
n=2 の例は↓をドゾー。 たしかに p=4/3 となってゐた。

IMO-2001 (USA) Problem 2
http://imo.wolfram.com/problemset/index.html
[前スレ.143,149,157]

175 :172:05/03/07 18:28:43
解読完了。
相加相乗の使い方がうまいですね >>169
( ゚∀゚) テヘッ

>>174
グジョーブ!

176 :132人目の素数さん:05/03/08 13:44:09
正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
 (1+a)(1+b)(1+c) ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c)

177 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/08 18:07:16
Re:>176
9abc-7(ab+ac+bc)+9(a+b+c)-7にc=1-a-bを代入した式
f(a,b)=-9a^2b-9ab^2+7a^2+16ab+7b^2-7a-7b+2が0<a,0<b,a+b<1の範囲で0以上になることを示す。
bを固定するごとに、0<a<1-bの範囲での挙動を調べる。
∂_af(a,b)=(14-18b)a-9b^2+16b-7となる。
b<7/9のとき、a=(9b-7)(b-1)/(14-18b)で極小となる。
以下略(もうめんどくさい。)

178 :132人目の素数さん:05/03/08 18:57:53
>176
(解1)
 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
 (左辺) - (右辺) = (1+s+t+u) -8(1-s+t-u) = -7 +9s -7t +9u
 = (s^3 -4st+9u) + (s^2 -3t) + (s-1)(4t -s^2 -2s+7) ≧0. (←s=1)
(解2)
 f(x) = Ln{(1+x)/(1-x)} = Ln(1+x) - Ln(1-x) とおくと
 f '(x) = 1/(1+x) +1/(1-x) = 2/(1-x^2) は(0,1)で単調増加, f(x)は(0,1)で下に凸.
 ∴ Jensen により f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3).
 ∴ (1+a)(1+b)(1+c)/[(1-a)(1-b)(1-c)] ≧ [(1 +1/3)/(1 -1/3)]^3 = 2^3 =8.
ぬるぽ

179 :132人目の素数さん:05/03/08 22:47:41
>>176-177
改造したくなるのが、不等式ヲタの習性! オラオラオラ!

正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
 64/27 ≧ (1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1-a^2)^2+(1-b^2)^2+(1-c^2)^2 ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c) ≧ 64abc

      //
    / /__
    /  /  ≧ \   パカッ!
   /.∩|:::: \ ./ |
   / | ||::::(● (●.|_  あ、不等式ヲタ インしたお!
  //| |ヽ::::....ワ....ノ/
  " ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄"

180 :179:05/03/08 23:09:29
リンク先間違った。 >>176-178です。
3つレスがあるのに気づかなかった。

181 :132人目の素数さん:05/03/08 23:15:40
プッ。。。
みんなにアボーンされてるんだなking

182 :132人目の素数さん:05/03/09 13:46:43
>177
落書きはチラシの裏に書け。

183 :178:05/03/09 17:56:34
>179
 改造されたんぢゃぁ仕方ねぇ。。。
 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。等号成立は a=b=c.
左側から
 相加相乗平均より (1 +s/3)^3 ≧ (1+a)(1+b)(1+c).

 (1+a)(1+b)(1+c) - {(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2}
 = (1+s+t+u) -3 +2t +2(s^2 -3t) -{s(s^3 -4st +9u) +2t^2 -5su}
 = t(s^2 -3t) + (t^2-3su) + (1-s){(s^3 -4st +9u) +(st-9u)+u +(s^2-3t) -s-2} ≧ 0.

 {(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2} -8(1-a)(1-b)(1-c)
 = 3 -2(s^2 -3t) -2t +{s(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +su} -8(1-s+t-u)
 = (s+1/s)(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +(1-s){-(9+s)u/s -5 +3s} ≧ 0.

 相加相乗平均より (1-a)(1-b)(1-c) = (b+c)(c+a)(a+b) ≧ {2√(bc)}{2√(ca)}{2√(ab)} = 8abc.
ぬるぽ

---------------------------------------------------------------
(注) a^2 +b^2 +c^2 = (s^2 -3t) +t.
 a^4 +b^4 +c^4 = (s^2 -2t)^2 -2(t^2 -2su) = s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su.
 (1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3-2t -2(s^2 -3t) + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.

(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3 -2(a^2 +b^2 +c^2) +(a^4 +b^4 +c^4)
= 3 - 2(s^2 -3t) -2t + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.

184 :67:05/03/09 20:13:34
>>127 [2]
 x+y=s, (x-y)/s =z とおくと、x=(1+z)s/2, y=(1-z)s/2,
(i) p≧2 のとき、 [>>67] により 
 x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ (x^2 +y^2)^(p/2) =(1/2){s^2 + |x-y|^2}^(p/2).
 与式より、 4 ≧ 4^(2/p) ≧ s^2 + |x-y|^2.
 ∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2, C(p)=1.

(ii) 1<p≦2 のとき(補題)より,
 p>1 より 2(s/2)^p ≦ x^p +y^p =2 より s/2 ≦ 1.
 x^p +y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^2
 ≡ {2 + [2/C(p)]z^2}(s/2)^2 = (1/2){s^2 +[1/C(p)]・|x-y|^2}.
 与式より、 4 ≧ s^2 + [1/C(p)]・|x-y|^2.
 ∴ |x-y|^2 ≦ C(p)(4-s^2), C(p)= 2/[p(p-1)].
ぬるぽ

【補題】
  1<p≦2 or 3≦p かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
(略証)
 f(z) = (1+z)^p とおくと、f "(z) = p(p-1)(1+z)^(p-2) は下に凸ゆえ
 ∴ f "(z) + f "(-z) - 2f "(0) ≧0.
 F(z) = f(z) + f(-z) - f "(0)z^2 も下に凸ゆえ
 {F(z)+F(-z)}/2 ≧ F(0) = 2f(0) (終).

185 :132人目の素数さん:05/03/09 21:43:08
不等式ヲタの連中からしたらkingのは鮮やかじゃないってこと?

ぬるぽ神は見ていて思いつきそうにない鮮やかな解答を書いてますな


186 :184:05/03/10 07:42:30
>>127 [2]
 松ヶ枝ますた。[67]は使えそうにないので修正
(i) p≧2 のとき、 z^(p/2)は下に凸より、
 x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ 2{(x^2 +y^2)/2}^(p/2) =2{(s^2 + |x-y|^2)/4}^(p/2).
 与式より、 4 ≧ s^2 + |x-y|^2.
 ∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2, C(p)=1.

>185
 ( ゚∀゚) テヘッ

187 :132人目の素数さん:05/03/10 15:24:35
>185
条件式を使って文字を減らして微分って楽しくないよね?
このスレでは楽しい解法を追求しているんじゃないの?

188 :132人目の素数さん:05/03/12 02:14:23
【問題】 0 < x ≦ π/2 において、(sin x)^3 / x^3 ≧ cos x を示せ。

級数展開して、大雑把に比較すれば出そうですが、
高校レベルでは できませんか?

189 :132人目の素数さん:05/03/12 11:27:32
>>127 [2]
[184] (ii)の改良
 x^p + y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^p
   = 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {4(s/2)^(2-p)}
   ≧ 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {s^2 +(p/2)(4-s^2)}.
 与式より、s^2 + (p/2)(4-s^2) ≧ s^2 + (p/2)(p-1)|x-y|^2.
 ∴ |x-y|^2 ≦ {1/(p-1)}(4-s^2), C(p)=1/(p-1).
ぬるぽ

【補題1】
  1<p≦2 かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
【補題2】
  0<p≦2 かつ s≧0 のとき、4(s/2)^(2-p) ≦ 2{p + (2-p)(s/2)^2} = s^2 +(p/2)(4-s^2).
  (略証) 相加相乗でハァハァと...

190 :132人目の素数さん:05/03/12 20:35:52
>188
 f(x) = sin(x)/[cos(x)^(1/3)] とおくと、
 f(0) = 0.
 f '(x) = cos(x)/[cos(x)^(1/3)] +(1/3)[sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
  = [cos(x)^2 + (1/3)sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
  = [1 + 2cos(x)^2]/[3cos(x)^(4/3)] > 1.  (← 補題)
∴ 0<x<π/2 ⇒ f(x)>x ⇒ {sin(x)/x)}^3 > cos(x).
ぬるぽ

(補題)z≧0 のとき (1 +2z^3) - 3z^2 = (1+2z)(1-z)^2 ≧0.

191 :132人目の素数さん:05/03/14 17:17:32
>>190
dddクス。 ナットク。

192 :132人目の素数さん:05/03/17 22:06:14
>>130
> (1+cr+O(r^2))^(1/r)=exp(c+O(r))なので

ここが分からないのですが、詳しく教えて下さい。

193 :132人目の素数さん:05/03/18 08:08:06
>192
|x|<1のとき、Ln(1+x)= −x +(1/2)x^2 −O(x^3)
x に cr+O(r^2) を入れて、
Ln{1+cr+O(r^2)}={cr+O(r^2)}−(1/2)(c^2)O(r^2)=cr+O(r^2).
∴ (1/r)Ln{1+cr+O(r^2)}=c+O(r).

194 :193:05/03/18 08:10:34
訂正、すまそ。
|x|<1のとき、Ln(1+x)= x −(1/2)x^2 +O(x^3)

195 :132人目の素数さん:05/03/18 17:44:18
>>193-194
ありがたうございます

196 :132人目の素数さん:05/03/19 02:50:22
(tanスレより)
618 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:03/08/29(金) 02:12

3・sinθ/(2+cosθ) < θ < tan(θ/3)+2・sin(θ/3)
Snellius が発見し Huygens が証明したとされる。

たのも〜

197 :132人目の素数さん:05/03/19 05:15:45
>196
左側: g(θ)=(2+cosθ)θ - 3sinθ とおくと、
g(0) = 0,
g '(θ) = 2(1-cosθ) -θ・sinθ = sinθ{2tan(θ/2)-θ} >0.
∴ θ>0 ⇒ g(θ)>0 ⇒ (左辺) <θ.

右側: [>>188] と 相加相乗平均より
θ < 3・sin(θ/3)/[cos(θ/3)^(1/3)] = 3[tan(θ/3)・sin(θ/3)^2]^(1/3) < (右辺).
ぬるぽ

198 :132人目の素数さん:05/03/19 11:20:41
>>197
ありがとうごぜぇます。

狙ったわけでもないのに、>188が使えたとは…
( ゚∀゚) テヘッ

199 :132人目の素数さん:05/03/19 17:50:45
>197 (別法)
 左辺を L(θ), 右辺を R(θ) とすると、
 L(0) = 0 = R(0).
 L '(θ) = 3(1+2cosθ)/(2+cosθ)^2 = 1-{(1-cosθ)/(2+cosθ)}^2 < 1
 < (1+2z^3)/(3z^2) = (1/3)(1/z^2 +2z) = R '(θ), ここに z=cos(θ/3).
 ∴ 0<θ<π ⇒ L(θ) < θ < R(θ).
変わり映えしない。。。

200 :132人目の素数さん:05/03/20 19:06:17
前スレ
931 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:05/01/16(日) 15:49:05

 ★の不等式 「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」 は次にもあるよ。
 微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)

(問題)
 A = {x(1)+x(2)+・・・+x(n)}/n,
 G = {x(1)x(2)・・・・x(n)}^(1/n),
 H = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
 A^(n-1)・H ≧ G^n ≧ A・H^(n-1).
--------------------------------------------------------

この証明が20%くらいできないんですが…。
おねがいします

201 :132人目の素数さん:05/03/20 21:30:38
>200
【Sierpinskiの不等式】
 [>200]のとき、 A^(n-1)・H ≧ G^n ≧ A・H^(n-1).
(略証)
 F ≡ A^(n-1)・H/G^n とおき、F≧1 を示す。
 nに関する帰納法による。
 n=2 のとき AH=x(1)x(2)=G^2 だから等号成立、F=1.
 nに対して成り立つとする。x(n+1)=x ' とおくと n+1 に対しては
 A' = (nA+ x ')/(n+1), G ' = (G^n・x ')^(1/(n+1)), H ' = H(n+1)x '/(H+nx ').
 F/F ' = {A^(n-1)/A'^n}(H+nx ') = {A^(n-1)/A'^n}{nA' -(n-1)A -(A-H)/(n+1)}
 ≦ {A^(n-1)/A'^n}{nA' -(n-1)A} = {nt-(n-1)}/(t^n) ≦ 1, ここに t≡A'/A. (←★)
 ∴ F '≧F≧…≧1.
 x(k) の代わりに 1/x(k) を考えれば、右側も示せる。(終)
ぬるぽ

202 :201:05/03/20 21:37:43
>200 (>201の補足) 

【補題】A≧H.
 (略証) A/H = (1/n^2){Σ[i=1,n] x(i)}{Σ[j=1,n] 1/x(j)}
 = 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)/x(j) +x(j)/x(i) -2}
 = 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)-x(j)}^2 /[x(i)x(j)] ≧ 1. (終)

203 :201:05/03/20 22:05:10
>200 (>201の補足)
【★】 t > -1 ⇒ t^n ≧ nt -(n-1).
(略証)
(i) t≧1のとき
 t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n.
 の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
(ii) -1<t<1のとき
 1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n.
 の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれの場合も t^n ≧ nt-(n-1) が成り立つ。 (終)

204 :132人目の素数さん:2005/03/21 03:38:38(月)
>>201-203
ありがとうごぜぇます、お代官様。今から読みます。


もう一つ質問。
[前スレ903(3)] 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x) の解答 [前スレ909] において

> f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
> f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
> これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).

f(y)=arcsin(arcsin(y)) の逆関数は sin(sin(x)) になるのですか?

205 :204:2005/03/22(火) 02:38:00
>>204
当たり前やわな。すまそ。

206 :132人目の素数さん:2005/03/23(水) 10:47:47
>>31
なるほど、難しいですね。
証明を追いかけるので精一杯ですだ。

207 :31:2005/03/23(水) 15:18:20
>206
 元々の >1 を示す問題はそれ程でも無いんだが >>29-30
 欲張って ≧tan(α) まで出そうとするから大変なことに。。。
 (斜に構えればすぐ見えるかも)
>205
 どう致しまして。

208 :132人目の素数さん:2005/03/23(水) 21:25:56
【1】S(n)=Σ[k=1..n]1/k^2, A=π^2/6 とすると、
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<S(n)<A{1-1/(2n+1)^2}

【2】∫[0..1] x/cos(x) dx < log2

209 :132人目の素数さん:2005/03/23(水) 21:54:03
>>208 【2】
まず、x≧0 において cos x ≧ 1-(x^2)/2 を示す
f(x) = (左辺)-(右辺) とおいて、微分すれば(以下略)
したがって、
 ∫[0..1] x/cos(x) dx <∫[0..1] x/{1-(x^2)/2} dx = log2

( ゚∀゚) テヘッ

210 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 10:27:09
>208 【2】
 調子に乗って下限も出しますた…
 0<a<√2 とする。

〔補題〕 x≧0 のとき 1 -(x^2)/2 +(x^4)/24 ≧ cos(x) ≧ 1 -(x^2)/2.
(略証) cos(x)≦1 を2回積分すると -cos(x)≦(x^2)/2 -1, さらに2回積分すると cos(x)≦(x^4)/24 -(x^2)/2 +1. (終)

x/{1 -(x^2)/2 +(x^4)/24}
 = (√3)[ x/{3-√3 -(x^2)/2} -x/{3+√3 -(x^2)/2} ]< x/cos(x) < x/{1-(x^2)/2}.
∴ (√3)[ log{(3+√3 -(x^2)/2)/(3-√3 -(x^2)/2)} ] < ∫ x/cos(x) dx < [ -log{1-(x^2)/2} ].
∴ (√3)[ log{(3+√3 -(a^2)/2)/(3-√3 -(a^2)/2)} -log{(3+√3)/(3-√3)} ] < ∫_[0..a] x/cos(x) dx < -log{1-(a^2)/2}.

a=1 のとき
 (√3) [ log{(2.5+√3)/(2.5-√3)} - log{(3+√3)/(3-√3)} ] < ∫_[0..1] x/cos(x) dx < log(2).
 0.67508500 < 0.675535 < 0.69314718.

( ゚∀゚) テヘッ

211 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 10:53:46
>>210
Σ(゚Д゚ グッジョブ!

212 :31:2005/03/24(木) 11:50:50
>206
 [>31] はハァハァして書いたので難解。。。
 改良版 [>>43,>>54] の方が分かり易いと思われ。

213 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 12:29:33
>>208
(1) 0<x<π/2において sin(x)<x<tan(x) となる。各辺の逆数を取って二乗すれば
cot^2(x)<1/x^2<cosec^2(x) が得られる。これから
cot^2(kπ/(2n+1))<1/(kπ/(2n+1)^2<cosec^2((kπ/(2n+1)) (k=1,・・・,n)が成り立つ。
k=1,…,nとして和を取れば
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<Σ[k=1,n]cosec^2((kπ/(2n+1)) 

1+cot^2(kπ/(2n+1))=cosec^2((kπ/(2n+1)) であるので
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))の値を求めると、
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3 となる。(計算略)
よって
n(2n-1)/3<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<2n(n+1)/3
が得られるので、これを適当に変形すれば
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<Σ[k=1,n]1/k^2<A{1-1/(2n+1)^2}
が得られる。

214 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 19:00:21
>>208
(1) 別解(三角函数を使わない)

〔補題〕 A - 1/(n+1/2) < S(n) < A - 1/(n+1), ここに A=(π^2)/6.
 S(n) = 1 + Σ[k=2..n) 1/(k^2) ≦ 1 + Σ[k=2..n] 1/(k^2 -1/4)
 = 1 + Σ[k=2..n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = 1 + 2/3 - 2/(2n+1) ≦ 5/3 (上界).
 有界単調列は収束するから、その極限をζ(2) =A とおく。
 S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{k(k+1)} = A - Σ[k>n] {1/k -1/(k+1)} = A - 1/(n+1).
 S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) > A - Σ[k>n] 1/(k^2 -1/4)
 = A - Σ[k>n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = A - 1/(n +1/2). (終)

 A -B(6n+1)/(2n+1)^2 < S(n) < A -C/(2n+1)^2 とおくと、(補題)から
 B=6/7<A, C=9/2>A.
ぬるぽ

215 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 21:37:15
>>208-210 【2】
さらに調子に乗って、簡単な不等式を作りました。 華麗に証明してね。
 log2 < ∫[0, π/3] x/cos(x) dx < 1

( ゚∀゚) テヘッ

216 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 21:41:35
>>208-215
よくみると、それぞれに答案の書き方に違いがあるけど
いったい何人くらい不等式ヲタが生息しているのですか?

217 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 22:03:28
>>216
不等式ヲタは群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだよ ( ゚∀゚) テヘッ
不等式ヲタは1人2人じゃなく、1ヲタ2ヲタと数えるんだよ ( ゚∀゚) テヘッ
不等式ヲタは三角関数や nCr でも ハァハァ しちゃうんだよ ( ゚∀゚) テヘッ

不等式ヲタはデルタ宇宙域からやってきたよ ( ゚∀゚) テヘッ
不等式ヲタは世界中のあらゆるところから不等式を鬼集してるよ ( ゚∀゚) テヘッ
不等式ヲタは集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ ( ゚∀゚) テヘッ

不等式ヲタはちょっとキチガイ入っているよ ( ゚∀゚) テヘッ
不等式ヲタは他スレを荒らさないから安心してね ( ゚∀゚) テヘッ
不等式ヲタのレスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ ( ゚∀゚) テヘッ

不等式を見て興奮した君は、すでに不等式ヲタに同化されているよ ( ゚∀゚) テヘッ
今日から君も不等式ヲタだ ( ゚∀゚)9 テヘッ

218 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 22:28:23
>215
 作られちまったか。生姜ねぇなぁ。
 0<x<π/2 ⇒ sin(x) < x < tan(x) を使うだけだが...
 ∫ sin(x)/cos(x) dx < ∫ x/cos(x) dx < ∫ tan(x)/cos(x) dx.
 log|cos(x)| < ∫ x/cos(x) dx < 1/cos(x)  〔積分定数はry)〕
[0,π/3] で定積分して、
 log(2) < (与式) < 2-1 =1.
ぬるぽ

219 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 23:05:14
非負実数 x, y, z に対して、次式を示せ。
(1) (x^x)*(y^y)*(z^z)*{(x+y+z)^(x+y+z)} ≦ {(x+y)^(x+y)}*{(y+z)^(y+z)}*{(z+x)^(z+x)}
(2) (x^(x^2))*(y^(y^2))*(z^(z^2))*{(x+y+z)^((x+y+z)^2)} ≧ {(x+y)^((x+y)^2)}*{(y+z)^((y+z)^2)}*{(z+x)^((z+x)^2)}
       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    ネタを仕入れてきました
      ヽ::::......ワ...ノ    存分に ハァハァ してください
        人つゝ 人,,         テヘッ!
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

220 :132人目の素数さん:2005/03/25(金) 19:09:01
>>213
> Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3 となる。(計算略)

詳しくおねがいします (:D)| ̄|_

221 :220:2005/03/25(金) 20:27:27
tanスレ読んで理解したからいいです。すまそ。

222 :132人目の素数さん:2005/03/25(金) 20:55:55
>220,221
 N=2n+1 とおく。
 w ≡ cot(kπ/N)^2 = {1+cos(2kπ/N)}/{1-cos(2kπ/N)} ≡ (1+z)/(1-z).
 z=cos(2kπ/N) は f(z)={T_N(z)-1}/(z-1)=0 の根だから、f((w-1)/(w+1))=0.
 両辺に (w+1)^(N-1) を掛けて、w^(N-2) の係数を求めたような稀ガスる。
 ここに T_N(z) は N次のチェビシェフ多項式

 http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cot/23/01/
 http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/23/01/


>219 の参考に(Hlawkaの不等式)
 |x| + |y| + |z| + |x+y+z| ≧ |x+y| + |y+z| + |z+x|.
 http://www.seriousliving.net/new-315722-14.html

223 :214:2005/03/26(土) 20:29:44
[214]の改良
〔補題〕 A - 1/(n +1/2) < S(n) < A - 1/(n +9/16), ここに A = Lim[n→∞) S(n).
 k≧2 より k^2 = (k -7/16)(k +9/16) -(1/8)(k - 63/32) < (k -7/16)(k +9/16).
 S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{(k -7/16)(k +9/16)} = A - Σ[k>n] {1/(k -7/16) -1/(k +9/16)} = A - 1/(n +9/16).
 左側は [214] を参照. (終)

224 :132人目の素数さん:2005/03/26(土) 23:23:24
二次導関数を持つ関数 f : R→R が任意の x に対し f(x) + f ''(x) ≧ 0 を満たすとき
f(x) + f(x+π) ≧ 0

225 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/03/27(日) 12:27:36
Re:>224
初めにf(x)+f''(x)=0のときf(x)+f(x+π)=0であることに注意しよう。
任意の実数xに対してf(x)+f''(x)≥0のとき、
実数aを任意にとり、g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),g(x)+g''(x)=0となるようなgを選ぶんでh(x)=f(x)-g(x)とおくと、
h(a)=h'(a)=0,任意のxに対してh(x)+h''(x)≥0となる。
a=0の場合だけ示して一般性を失わず、
結局任意のxに対してf(x)+f''(x)≥0で、f(0)=f'(0)=0のときf(π)≥0であることを示せばよいことがわかった。
g(x)=f(x)+f''(x)とおいて、f(x)=a(x)cos(x)+b(x)sin(x)とおくと、
(続きは誰かやってくれ。)

226 :132人目の素数さん:2005/03/27(日) 12:38:32
(ܷܵܶ∀ܷܵܶ)

227 : ◆BhMath2chk :2005/03/29(火) 08:00:00
f(x,y,z)をxで偏微分してyで偏微分して
zで偏微分したものをh(x,y,z)とし
[a(0),a(1)]×[b(0),b(1)]×[c(0),(1)]で
0≦h(x,y,z)とする。
f(a(i),b(j),c(k))をF(i,j,k)と略記すると
(p,q,r)∈[a(0),a(1)]×[b(0),b(1)]×[c(0),c(1)]で
 F(1,1,1)−F(1,1,0)−F(1,0,1)+F(1,0,0)
−F(0,1,1)+F(0,1,0)+F(0,0,1)−F(0,0,0)
=(a(1)−a(0))(b(1)−b(0))(c(1)−c(0))h(p,q,r)
となる(p,q,r)があるので
 F(1,1,1)+F(1,0,0)+F(0,1,0)+F(0,0,1)
≧F(1,1,0)+F(1,0,1)+F(0,1,1)+F(0,0,0)。

f(x,y,z)=g(x+y+z)のときh(x,y,z)=D^3g(x+y+z)。

g(w)=wlog(w)のときD^3g(w)=−1/w^2なので
 g(x+y+z)+g(x)+g(y)+g(z)
≦g(x+y)+g(x+z)+g(y+z)+g(0)から
(x+y+z)^(x+y+z)(x^x)(y^y)(z^z)
≦(x+y)^(x+y)(x+z)^(x+z)(y+z)^(y+z)。


228 :132人目の素数さん:2005/03/29(火) 12:00:38
【問題】
任意の正の数 a, b, c と自然数 n に対して、次式を華麗に証明せよ。
 a/(1+a^n) + b/(1+b^n) +c/(1+c^n) ≧ (a+b+c)/{1+(a+b+c)^n}

絶対値の問題で似たようなやつがあったね。

229 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/03/29(火) 12:10:53
Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.

230 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/03/29(火) 12:11:54
Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n)+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.

231 :132人目の素数さん:2005/03/29(火) 12:16:28
>>229
自然数に0を入れなければ

正数 a,b,c と自然数 n に対して、
 a/(1+a^n) + b/(1+b^n) + c/(1+c^n) > (a+b+c)/(1+(a+b+c)^n)
ということですよね。

232 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/03/29(火) 12:17:40
Re:>231 そうだな。しかし、[>228]は何のつもりで書いたのだろう?

233 :ガスト:2005/03/29(火) 12:23:14
>>230-231

正数 a_k (k=1,2,...,N) と非負整数 n に対して、
 Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
 等号はn=0のときのみ
ということですね。


234 :132人目の素数さん:2005/03/29(火) 12:41:01
nが負の整数だったら不等号はどうなりますかいの

235 :BlackLightOfStar ◆7ZwQJFEByU :2005/03/29(火) 12:46:49
Re:>235 お前誰だよ?

236 : :2005/03/29(火) 12:49:44
 

237 :ガスト:2005/03/29(火) 12:58:17
>>234
正数 a_k (k=1,2,...,N) について、

・非負整数 n に対して、
  Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
  等号はn=0のときのみ
・負の整数 n に対して、
 Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)

でつよね。


238 :132人目の素数さん:2005/03/29(火) 13:26:13
>231,233,237
正数 a_k (k=1,2,…,N) について、

・0<n≦1 に対して、
 (Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
 等号成立は a_k=(定数) のとき
・-1≦n<0 に対して、
 (Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
 等号成立は a_k=(定数) のとき

でつよね。

239 :238:2005/03/29(火) 18:10:42
>231,233,237
0< a_k ≦1 (k=1,2,…,N) について、

・正の整数nに対して、
 (Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
・負の整数nに対して、
 (Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).

 等号成立は a_k=(定数) のとき

でつよね。

240 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/03/29(火) 19:20:20
Re:>235 いいからそのハンドルネームをやめろ。

241 :132人目の素数さん:2005/03/29(火) 22:27:04
    ∧__∧
    (`・ω・´) 荒らしはとっとと消え失せぇぃ!
   .ノ^ yヽ、
   ヽ,,ノ==l ノ
    /  l |
"""~""""""~"""~"""~"

242 :132人目の素数さん:2005/03/29(火) 22:36:03
NGネームに登録されてる人は、真面目にレスするときは名無しで発言してくだちゃい。
いちいちIEで見るのはメンドウでつよね。

243 :132人目の素数さん:2005/03/30(水) 00:57:32
>>219
(1) x(x+y+z) < x(x+y+z) + yz = (x+y)(x+z) をx乗する。そして循環的に掛ける。

(2) 例によって x+y+z=s とおく。
 (補題)の式に s^(xy) > (x+y)^(xy) を掛けて、
  z^(z^2)・s^(2xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)・(x+y)^(2xy).
 これを循環的に掛ける。
ぬるぽ

【補題】z^(z^2)・s^(xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)・(x+y)^(xy).
(略証)
 2項定理より、a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
  s^a =((x+y)+z)^a = (1+ z/(x+y))^a・(x+y)^a > (1+az/(x+y))・(x+y)^a = (x+y+az)・(x+y)^(a-1).
 ここで a=1 + xy/(z^2) とおくと
  z・s^(1 +xy/(z^2)) > (x+z)(y+z)・(x+y)^(xy/(z^2)).
 これを z^2 乗する。(終)

244 :243:2005/03/30(水) 08:43:27
↑の補足でつ。。。

【補題】a>1, d>-1 のとき (1+d)^a ≧ 1+ad.
(略証1) f(v) = (1+v)^a とおくと f "(v)=a(a-1)(1+v)^(a-2) >0.
  ∴ f は下に凸、 (1+d)^a = f(d) ≧ f(0) + f '(0)d = 1+ad,
  等号成立は d=0 のとき。
(略証2) aが有理数のときは a=1+(n/m) (m,n は自然数)とおく。
  1,…,1, 1+ad,…,1+ad (n個:m個)の相加相乗平均より、
  1+d = {n+m(1+ad)}/(m+n) ≧ (1+ad)^{m/(m+n)} ≦ (1+ad)^(1/a),
  これを a乗する。(終)

245 :243:2005/03/31(木) 14:40:48
凸函数ヲタ向けの補足。。。

【補題】a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
(略証3) log(1+v) は上に凸だから, Jensenより,
 a・log(1+d) > log(1+ad) + (a-1)log(1) = log(1+ad). (終)

246 :132人目の素数さん:皇紀2665/04/01(金) 19:18:23

414 :お願いします :皇紀2665/04/01(金) 18:34:24
a>0, b>0 のとき
 (a+1/a)^2 + (b+1/b)^2 ≧ 25/2 =12.5
を証明してくださいです。。。

さくらスレ161
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111594072/417

247 :246:81/64/49/36/25/16/09/04/01(金) 20:07:44

415 :414:皇紀2665/04/01(金) 18:38:11
a+b=4 という条件が抜けてました。
これが無けりゃ8になっちゃう。

さくらスレ161
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111594072/414-415

248 :132人目の素数さん:2005/04/02(土) 23:02:59
>>208 【2】
又々さらに調子に乗って上限も改良しますた。 消して鰈ぢゃねゑが。。。
 I ≡ ∫_[0..a] x/cos(x) dx.

〔補題〕x>0 で cos(x) > 1 -(1/2)x^2 +(1/24)x^4 -(1/720)x^6.
(略証) -cos(x) ≧ -1 を6回積分する。始点はx=0とする。(終)

 x^2=X とおくと 右辺は 1 -(1/2)X +(1/24)X^2 -(1/720)X^3 ≡ f(X).
実根を ±r とすると、r = √R = 1.5699058251612… < π/2.
 〔∵ R = 10 + 2{5(3√14 -11)}^(1/3) - 2{5(3√14 +11)}^(1/3) 〜 2.4646 〕

 f(X) = (1 -X/R)g(X) とおける。   (← 因数定理)
 g(X) ≡ 1 - (1/2 -1/R)X + (R/720)X^2 = (R/720){Γ^2 + (Xo-X)^2} > 0.
 g '(X) = -(1/2 -1/R) + (R/360)X.
 ここに、Xo = (360/R)(1/2 -1/R) = 13.767697850062…, Γ = √(720/R -Xo^2) = 10.128506369060… とおいた。
 1/f を部分分数に分けて、
 1/f(X) = 2(b/R)/(1 -X/R) + [bg '(X) - b(3/R -1/2) + 1]/g(X),
 ここに、b = R/[6-2R+(1/12)R^2] = 1.562862462858….
 ∴ I < ∫_[0..a] x/f(x^2) dx = (1/2)∫_[0..a^2] 1/f(X) dX
  =[ -blog(1 -X/R) + (1/2)blog(g(X)) + [b(3/R -1/2)-1](360/RΓ)arctan{(Xo-X)/Γ} ](X:0→a^2)
  = -blog(1 -a^2/R) + (1/2)blog(g(a^2)) + 1.7441051997288…arctan{(Xo -a^2)/Γ}.

a=1 のとき
 0.675085000630… < I < 0.67554170686288… < 0.69314718055994… 〔 I≒0.675535 〕

249 :243-245:2005/04/04(月) 02:07:43
>>219 (1)の系
【系】正の実数 x,y,z に対して x+y+z=s とおくとき、
 C ≦ (s/√3)^(2s) < (x^x)(y^y)(z^z)(s^s) < {(x+y)^(x+y)}{(y+z)^(y+z)}{(z+x)^(z+x)} < (A_x)^x (A_y)^y (A_z)^z < s^(2s).
 ここに A_x=(s^2 +x^2)/2, A_y=(s^2 +y^2)/2, A_z=(s^2 +z^2)/2, C=exp{-2(√3)/e}.
(略証) 左から
 v・Log(v) ≧ -1/e より. (等号は s/√3 = v = 1/e のとき)
 Log は上に凸だからJensenより (x^x)(y^y)(z^z) = -x・Log(1/x) -y・Log(1/y) -z・Log(1/z) > -s・Log(3/s) = s・Log(s/3).
 xs = x(x+y+z) < (x+y)(x+z) < (s^2 +x^2)/2 = A_x < s^2 をx乗する。そして循環的に掛ける。(終)

ハァハァ…

250 :132人目の素数さん:2005/04/05(火) 00:43:36
幾何学的不等式への招待
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hutou1.htm

絵が描けないから、どうしても代数と解析に偏ってしまう...orz

251 :132人目の素数さん:2005/04/05(火) 10:19:52
グッジョブ ( ゚∀゚) テヘッ

252 :132人目の素数さん:2005/04/05(火) 21:13:45
>>250 の入口

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm
→ ■今月のコラム(閑話休題)→ 2002年のコラム → 12,13

253 :132人目の素数さん:2005/04/11(月) 21:04:54
一辺1の正方形ABCDの内部にP、Qをとる。このとき
13(PA+QC)+14PQ+15(PB+QD)>38
って成り立ちますか?

254 :132人目の素数さん:2005/04/12(火) 17:46:48
>253
成田つね。 (左辺) ≧ 2√(13^2 +14^2) = 2√365 = 38.2099463490856…

等号条件が複雑...
 cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13, sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
 cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5, sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
 cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65, sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65.
 PA=QC≒0.595394711946…, PB=QD≒0.556137917752…, PQ≒0.215912368068…

255 :132人目の素数さん:2005/04/12(火) 19:49:32
>>254
どうやったんでつか?

256 :254:2005/04/13(水) 11:05:39
>255
 I(P,Q) = 13(PA+QC) + 14PQ + 15(PB+QD) を P,Qで微分する。
 (grad_P)I = -13e↑(PA) - 14e↑(PQ) - 15e↑(PB)
 点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、grad Iは△の方を向く。∴ Pが△AQBから遠い程Iは大きい。
 点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、Iは極小でない。
 (grad_Q)I = -13e↑(QC) - 14e↑(QP) - 15e↑(QD) についても同様。
 極小位置では (grad_P)I = 0↑ だから、第二余弦定理より、
 cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13,  sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
 cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5,  sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
 cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65, sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65,
 cos(∠BAP) = cos(∠DCQ) = 218/(13√365), sin(∠BAP)= sin(∠DCQ) = 119/(13√365),
 cos(∠ABP) = cos(∠CDQ) = 82/(5√365),  sin(∠ABP) = sin(∠CDQ) = 49/(5√365),
 PA = QC = 91/(8√365), PB = QD = 85/(8√365), PQ = 66/(8√365) (←死んでお詫びを・・・AA省略)
 ∴ (左辺) = { 13(91+91) + 14・66 + 15(85+85) }/(8√365) = 2√365.
ぬるぽ

257 :132人目の素数さん:2005/04/13(水) 11:54:48
一辺1の正方形ABCDの辺上に2点P、Qをとる。このとき
 13(PA + QC) + 14PQ + 15(PB + QD) ≧ 28 + 8√3 (=41.85640646055…)
って成り立ちますか?

258 :132人目の素数さん:2005/04/13(水) 14:29:23
a,b,cが実数で、a^2>bc,ac>b^2ならばa≠bであることを証明するには、どんな考え方をすればよろしいのでしょう?

259 :132人目の素数さん:2005/04/13(水) 14:29:45
サゲ忘れ

260 :132人目の素数さん:2005/04/13(水) 15:16:19
>258
 0 < (a^2 -bc) + (ac-b^2) = (a-b)(a+b+c) ∴ a-b≠0 とか.

261 :BlackLightOfStar ◆mBZJN.ruEw :2005/04/13(水) 16:07:13
あげ

262 :132人目の素数さん:2005/04/13(水) 18:12:16
>258 ↓で

ハイリホー♪
http://hobby5.2ch.net/test/read.cgi/knife/1108152339/8-11
http://that3.2ch.net/test/read.cgi/sepia/1066654353/38
http://www.yomiuri.co.jp/komachi/reader/200409/2004092600079.htm#0008
http://homepage2.nifty.com/-kasi-/200410.htm のスパイシー10/26

263 :253=255 :2005/04/13(水) 22:57:02
>>256
dクスですぬるぽ神。 

264 :132人目の素数さん:2005/04/14(木) 00:54:32
関数 f : R→R が任意のxに対して f(3x)=3f(x)-4f(x)^3 を満たし、
x=0 で連続のとき、 |f(x)|≦1

265 :132人目の素数さん:2005/04/14(木) 01:36:03
>264
g(x) = 1-f(x)^2 とおく。
題意により、 g(3x) = g(x){4g(x)-3}^2 だから、g(x)≧0 ⇒ g(3x)≧0.
(略証)
 g(0)=1 より、あるε>0 があって、 |x|≦ε ⇒ g(x)>0.
 任意のx∈Rに対し、 n > Ln(x/ε) となる n(x)∈N が存在する。(←アルキメデスの原理)
 ところで、g(ε)>0 と上記により、|x| ≦ (e^n)ε < (3^n)ε ⇒ g(x)≧0.
 ∴ x∈R ⇒ g(x)≧0 ⇔ |f(x)|≦1.

266 :265:2005/04/14(木) 01:48:32
(訂正)
 f(3・0)=3f(0)-4f(0)^3 より f(0)^2 =0, 1/2 ∴ g(0)=1, 1/2 ですた。

267 :132人目の素数さん:2005/04/14(木) 02:10:17
「すべてのxに対して、ax^2−x+2a>0」が偽であるようなaの値の範囲は、『−√2/4≦a≦√2/4』であってますか?

268 :132人目の素数さん:2005/04/14(木) 02:48:24
不等式だったら何でもここに書いていいわけじゃないぞ!
質問スレに逝け、クズ!

269 :132人目の素数さん:2005/04/14(木) 10:20:26
>267 ↓のあたりに回答

さくらスレ162
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1113314531/38-39

270 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/04/14(木) 13:31:15
Re:>261 お前誰だよ?

271 :132人目の素数さん:2005/04/15(金) 20:45:24
連続関数 f : I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y)+yf(x)≦1 を満たすとき
∫[0,1]f(x)dx≦π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。

272 :132人目の素数さん:2005/04/16(土) 17:33:01
>271
 x=cosθ, y=sinθ とおき 0<θ<π/2 で積分する。等号成立は f(x)=√(1-x^2) のとき

273 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 12:07:27
>272
 それならfは↓を満たせば十分か?
(x,y)∈C に対して xf(y)+yf(x)≦1, ここに C={(x,y)|x>0, y>0, x^2+y^2=1}

 そうすると等号条件は↓になるか?
  f(x) = p√(1-x^2) + q/{2√(1-x^2)} (ただしp+q=1)

274 :132人目の素数さん:2005/04/23(土) 05:29:47
| a + b√2 + c√3 | < 10^(-11)
を満たす、すべては0でなく、いずれも絶対値が10^6未満の整数 a,b,c が
存在することを示せ。

275 :132人目の素数さん:2005/04/24(日) 01:13:42
>274
A={0,1,2,……,m-1}, S={r+s√2+t√3 | r,s,t∈A} とおく。 #A=m.
r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、#S=(#A)^3=m^3.
Sの任意の要素xは区間 [0,d]の中にある。 d≡(1+√2+√3)(m-1).
この区間を(#S-1)等分すると、Sのある2つの元が同じ小区間内に存在する。 ←鳩ノ巣原理(ディリクレ)
小区間の幅は d/(#S-1) = (1+√2+√3)/(m^2 +m+1) < 4.1462643…/[m(m+1)].
0< |x-y| ≦ d/(#S-1) となるので、x-y, y-xが求めるものである。(終)

秋山+富蘭:[完全攻略] 数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社(1991.11)

276 :132人目の素数さん:2005/04/25(月) 08:07:38
>274 (補足)
> r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、

【補題】{1,√2,√3}はQ上1次独立
(略証) r+s√2+t√3 = 0, r,s,t∈Qとする。
r,s,tのうちの2つが0なら残りも0.
st≠0 のとき √6 = {r^2 -2s^2 -3t^2}/(2st) ∈Q
s=0, t≠0 のとき √3 = -r/t ∈Q
s≠0, t=0 のとき √2 = -r/s ∈Q
いづれも矛盾なので、 s=t=0, r=0 (終)

277 :132人目の素数さん:2005/04/26(火) 22:05:33
【問題】 \sqrt[3]{10} と \sqrt[3]{3/2}+1 の大小を華麗に評価せよ。

278 :ヒラメ:2005/04/27(水) 08:18:53
0<b<1 のとき y=x^b は上に凸ゆえ、2{(a+1)/2}^b > a^b +1. a=3/2, b=1/3 とおく。

279 :132人目の素数さん:2005/04/29(金) 09:30:10
(1) f(x)を無限回微分可能な関数、f(-1)=f(1)=0とする。
|∫[-√3,√3]f(x)dx|≦A
を満たす定数Aの最小値を求めよ。

(2) 辺の長さが1の正方形の内部に n (>2) 個の点を取る。このとき、
これらに適当に P(1) , P(2) , ... , P(n) と名前を付けて、
Σ[k=1,n] |P(k-1)P(k)|^2 ≦ 4 とできることを示せ。 但し、P(0)=P(n)

280 :132人目の素数さん:2005/05/04(水) 14:17:53
>>279
|∫[-√3,√3]f(x)dx|
は幾らでも大きくなりうる

281 :132人目の素数さん:2005/05/10(火) 01:14:51
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…クマー
http://www.springer-tokyo.co.jp/contest/contest8.pdf

282 :132人目の素数さん:2005/05/11(水) 20:01:14
>281
第8回シュプリンガー数学コンテスト
【問題】
 a,b,cを3角形の3辺の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
 3/2 ≦ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≦ 2.

 →詳しくは http://www.springer-tokyo.co.jp/contest.html

283 :132人目の素数さん:2005/05/12(木) 08:21:11
>281-282
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…

[左側](Shapiroの巡回不等式).
 (@) 与式 = 2s{1/(b+c) +1/(c+a) +1/(a+b)} -3 として相加・調和平均.
 (A) f(x)=x/(2s-x) は下に凸. (0<x<2s=a+b+c)

[右側]
 三角不等式から (分母) ≧ (a+b+c)/2 =s.

クマー!

284 :132人目の素数さん:2005/05/14(土) 14:51:40
>281-282

[定理]
 n≦13と正の数a_kに対して
 a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.

 [1] H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, 61, p.571 (1954).
 [2] http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
 [3] 「不等式への招待」, 大関信雄・大関清太, 近代科学社 (1987.10), p.28-30


[類題] [ASU 1969.14]
 正の数a_kに対して
 a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/3.

 [前スレ.497(2) & 501]

285 :132人目の素数さん:2005/05/14(土) 22:01:04
巡回不等式って、なんとなくエロくてたまらん。
(´д`;)ハァハァ

286 :132人目の素数さん:2005/05/17(火) 01:32:14
(1) [Moldova Olympiads 2002]
3≧a≧b≧c≧0 のとき、
  (a- b)/(a^2-9) + (a-c)/(b^2-9) + (b-c)/(c^2-9) ≦ 36

(2) a, b, c > 0、a+b+c=1 のとき、
  1/(a+bc+3abc) + 1/(b+ca+3abc) +1/(c+ab+3abc) ≦ 1/(ab+bc+ca+abc)

(3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
  (2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)

ひさびさの不等式ヲタです ( ゚∀゚) テヘッ

287 :132人目の素数さん:2005/05/17(火) 01:33:12
       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    ネタを仕入れてきました
      ヽ::::......ワ...ノ    存分に ハァハァ してください
        人つゝ 人,,         テヘッ!
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

288 :132人目の素数さん:2005/05/18(水) 23:06:26
>286 (2)
 基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。さらに st+3u=X とおく。
 (左辺) = 1/(a^2・s +X) +1/(b^2・s +X) +1/(c^2・s +X)
 = {(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}/{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3}.
 (右辺) = 2/(st+u) と思われ...
 ∴ 2s{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3} - (st+u){(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}
 = …… = (u^2){4(s^3 -4st+9u) +(st-9u)} + 2(s^2)tu(s^2 -3t) ≧0.
 ∴ (左辺) ≦ (右辺), 等号成立は a=b=c のとき。

ひさびさの ハァハァ です。

 (1) の左辺は分子が正、分母が負になる洋館

289 :286(1)の訂正:2005/05/18(水) 23:50:55
条件を書き間違えていました。 0≦a≦b≦c≦3 でした。 (切腹 AA略)

290 :132人目の素数さん:2005/05/19(木) 18:17:41
>289
 286(1)は
  (b-a)(9-a^2) + (c-a)(9-b^2) + (c-b)(9-c^2) < 36.
 を示す問題ぢゃない?


291 :132人目の素数さん:2005/05/19(木) 22:20:55
実は (1) はまだ解いてないから、右辺がいくらになるのか知らな…

292 :132人目の素数さん:2005/05/20(金) 09:58:09
>290 (286(1)+289)
 左辺は, aについては単調減少, bについては b=b0=(c+a)/2 で極大.
 (左辺) = (c-a){18 -a^2 -b^2 -2b0(c-b)} = (c-a){18 -(3/4)(c-a)^2 -2ac -(b-b0)^2}
 = 18t -(3/4)t^3 - = f(t) - = 24√2 - (3/4)(4√2 +t)(2√2 -t)^2 -.
 ここに t=c-a≧0, =t{2ac+(b-b0)^2}≧0.
∴ (左辺) ≦ 24√2 < 34,
 等号成立は =0 より a=0, b=b0=(c+a)/2, c=a+2√2 のとき。

http://www.mathlinks.ro/Forum/topic-3673.html
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/topic-3673.html

293 :132人目の素数さん:2005/05/20(金) 15:31:10
>>292
グッジョブ!

294 :132人目の素数さん:2005/05/21(土) 22:57:18
【Q2】
 f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k・z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
 このとき |a_2|≦2, 等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotationに限る。
 を示してくださいです。

exp(-iθ)・f(exp(iθ)z) を f(z)のrotationとか言うらしい。

ヒント
【面積定理】
 g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とする。このとき
 Σ[k=1,∞) k・|b_k|^2 ≦ 1.

http://mathworld.wolfram.com/BieberbachConjecture.html
L.Bieberbach: "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln."
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., p.940-955, (1916).

295 :132人目の素数さん:2005/05/21(土) 23:03:14
【Q4】
 f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k・z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
 このとき |a_4|≦4,  等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotation に限る。
 を示してくださいです。

ヒント
【面積定理の拡張】(Grunsky)
 g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とし、
 Ln{[g(w)-g(z)]/(w-z)} = - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(w^j)(z^k)] とおく。このとき
 |ΣΣ[j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)・x_j・x_k| ≦ Σ[k=1,N] (1/k)|x_k|^2.

http://mathworld.wolfram.com/BieberbachConjecture.html
R.Garabedian and M.Schiffer: "A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient." J.Rational Mech.Anal.,4,p.427-465(1955)
L.de Branges: "A proof of the Bieberbach conjecture." Acta Math.,154, p.137-152, (1985).

296 :294:2005/05/22(日) 20:02:26
〔294の補足〕
CをJordan閉曲線とする。Cの内部の面積Sはストークスの公式より
 S = ∬ 1 dxdy = 点C (xdy-ydx) = -(i/2)点C (x-iy)(dx+idy) = -(i/2) z~・dz. (z=x+iy)
また、∂{P'(z)・P(z)~}/∂z~ = P'(z)・P'(z)~ = |P'(z)|^2 より
 0 ≦ ∬_C |P'(z)|^2 dxdy = -(i/2)点C P'(z)・P(z)~・dz.

〔面積定理〕
円周C(r) = {z,| ‖z‖=r>1}とする。w=g(z) によるC(r)の像D(r)の面積は
S(r) = ∬_D 1・dudv = -(i/2)点D w~・dw = -(i/2)点C g(z)~・g'(z)・dz
これに g(z) = z + 納k=0,∞) b_k/(z^k) を代入し、円周C(r) = { z=r・exp(iθ) | 0<θ<2π} で積分すると、
S(r) = π{r^2 - 納k=1,∞) k・|b_k|^2 /r^(2k)}
よって r→1 として所期の不等式を得る。(終)

297 :295:2005/05/22(日) 21:52:57
〔295の補足〕
〔面積定理の拡張〕(Grunsky)
 Ln{[g(ζ)-g(z)]/(ζ-z)} ≡ - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(ζ^j)(z^k)]
は {|z|>1,|ζ|>1} で正則であり、γ_(j,k)=γ_(k,j). (Grunsky係数とか言うらしい.)
さて、これをζで微分することにより
 ζ・g'(ζ)/[g(ζ)-g(z)] = ζ/(ζ-z) + 這納j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[j(ζ^j)(z^k)] ≡ 納j=1,∞) F_j(g(z))/ζ^j,
 を得る。ここに F_j(g(z)) = z^j + j納k=1,∞) γ_(j,k)/(z^k) はg(z)の多項式である。(j次のFaber多項式とか言うらしい.)
 F_1(w)=w-b_0, F_2(w)=(w-b_0)^2 -2b_1, …, F_j(w)=w^j + …
 N次の多項式P(w)を Faber多項式の一次結合に展開する。係数をλ_k として
 P(g(z)) = 納k=1,N] (1/k)λ_k・F_k(g(z)) = 納k=1,N] (1/k)λ_k・z^k + 納k=1,∞) β_j /z^j, β_j = 納k=1,N] γ_(k,j)・λ_k.
 0 ≦ ∬_D |P'(w)|^2 dudv = -(i/2)点D P'(w)・P(w)~・dw = π{納k=1,∞) (1/k)|λ_k|^2・r^(2k) - 納j=1,∞) j|β_j|^2 /r^(2j)} .
 よって r→1 として (左辺) = 納j=1,∞) j|β_j|^2 ≦ 納k=1,N] (1/k)|λ_k|^2 = (右辺) を得る。
 一方、シュワルツの不等式から (左辺)*(右辺) ≧ | 納j=1,N]β_j・λ_j |^2.
 ∴ | 這納j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)・λ_j・λ_k | = | 納j=1,N] β_j・λ_j | ≦ (右辺).
 を得る。(Grunsky不等式とか言うらしい.) (終)

(文献)
 小中澤: 「函数論と不等式」, 数理科学, 33(8), 特集・現代の不等式, p.25-29 (1995.8)
 R.N.Pederson: "On unitary properties of Grunsky's matrix." Arch. Rational Mech. Anal.,29, p.370-377, (1968).

298 :132人目の素数さん:2005/05/23(月) 00:28:34
〔294-295 のヒント〕
f(z) を |z|<1 で正則な一価函数とし、g(z) = 1/√f(1/z^2) と置きまつ。
 g(z) は |z|>1 で正則な一価函数となる(奇函数)。
 ローラン係数の関係は、
  b_1=-(1/2)a_2, b_3=(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3, b_5=(3/4)a_2・a_3 -(5/16)(a_2)^3 -(1/2)a_4,
  b_{2k} = 0.
 Grunsky係数は、
  γ_(1,1) = b_1 = -(1/2)a_2,
  γ_(1,3) = γ_(3,1) = b_3 =(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3,
  γ_(3,3) = (1/3)(b_1)^3 + b_1・b_3 + b_5 = -(13/24)(a_2)^3 + a_2・a_3 -(1/2)a_4.
 ついでに N=3, λ_1:λ_2:λ_3 = λ:0:1 と置くといいらしい。

299 :132人目の素数さん:2005/05/27(金) 11:00:46
三角函数スレにありますた。

【ネタ】 1994 Russian math. olympiad final round
 cos(cos(cos(cos(x)))) > sin(sin(sin(sin(x)))).

 |x| ≧ |sin(x)| ≧ |sin(sin(x))| ≧ …….
 |t|≦1 ⇒ 0 ≦ cos(t) -√(1-t^2) ≦ 2.
 0.0160822310385 = cos(cos(1)) -sin(1) ≦ cos(cos(sin(x))) -sin(sin(x)) ≦ cos(cos(1)) +sin(1) = 1.6990242006543
 0 ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) -cos(cos(sin(x))) ≦ cos(cos(cos(1))) -cos(1) = 0.11398748462964
 0.1095… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(x))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(1)) = 1.60317735751195
 0.16585… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(sin(x)))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(sin(1))) = 1.535983693207

 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/734-735
 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/879

300 :132人目の素数さん:2005/05/27(金) 19:34:49
三角函数スレにありますた。

【ネタ】 x>0 のとき
 sin(sin(sin(sin(x)))) < (1/2){tanh(x) +x/(1+x^2)} < sin(sin(tanh(x))) < tanh(tanh(x)) < (1/2){Arctan(x) +x/(1+x^2)} ≦ Arctan(tanh(x)) < π/4.

 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/880

 x>0 のとき sin(sin(x)) < tanh(x) < Arctan(x) < Min(x,π/2).
  (左) [前スレ.903](3) [前スレ.909]
  (中) {tanh(x)} ' = 1/cosh(x)^2 = 1/{1+sinh(x)^2} < 1/(1+x^2) ={Arctan(x)} '.

>294
 [298]のようにおくと、b_1=-(1/2)a_2. 面積定理から |b_1|≦1. よって|a_2|≦2 (終)

300げとー.

301 :132人目の素数さん:2005/05/27(金) 21:35:10
しょぼいけど、3問

問 A.371
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200504&t=mat&l=en
問 387
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_may.pdf
問 3040
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n4/PDF/v31n4syn.pdf

302 :132人目の素数さん:2005/05/27(金) 22:23:44
        ヽl ヽ l/i ;;;0i`  ヽ_ ! _,.=-、!ヽ l    l    l
         メ   l P''' l      i ,;;0jヽ`l    l    ! 復刊したんですね
         / i  ,' "''''゙゙      jo''' l ` |    l    l 
         i /i '、 ' ' '  ’    "''''‐゙゙ l    l    l
         l l  \  ` ー  ' ' '    i    l    !
         ゝl  人 /` 、 _ _,.   -‐''"l    l   /
        /`ヽ/  ' /  i ノ      /   /! //、
    ,============, l  l -、 ,.-‐‐ / / / !/   \
    '============' i  /`‐--,---'//i/        ヽ
    i 不等式入門 i. | ./  ○i  ヽ   //        i
    l        l. l /     l   \.i/         |
   く丶 .      l. l'ゝ、  ○l    /          /
   く丶j /ヘ;;;;; ⊂ニ` ヽ.   l   く __,.-‐つ    _,.-j
   く_`j  ';=r=‐リ `--、  ヽ ○l    {_________________j-''
   く__j   ヽ二/  `--、   j   l    /      /
    L________________.`-、_   \ l    /      / http://www.morikita.co.jp/cgi-bin/kensaku-bunya2.cgi?id=1456

303 :132人目の素数さん:2005/05/28(土) 20:23:33
■ 数学ライブラリー教養篇 不等式入門 POD版

元慶應義塾大学教授 渡部隆一/著
A5判・162頁・定価2940円
ISBN4-627-01049-4 C3341 1969年2月発行

■目次 
算術平均と幾何平均
凸関数
累乗平均
コーシーの不等式
累乗和
ヘルダーの不等式
ミンコフスキーの不等式
積分に関する不等式
対称式に関する不等式

不等式は数学のほとんどあらゆる部門に現われ,その内容も証明方法もきわめて多種多様である.
しかも,ごく簡単な不等式でさえ,意外に証明のやりにくいものが多い.
本書は,不等式の中でも最も基本的で,かつ,有名な算術平均と幾何平均に関する不等式および,
その仲間と考えられるいくつかの初等的な不等式について解説した.
不等式には,その内容はもちろんであるが,その証明方法にきわめて興味深いものが多いので,
本書ではなるべく多くの証明法を紹介するように努めた.

304 :132人目の素数さん:2005/05/28(土) 20:57:19
>301
問 387.
 a,b,c,d は実数で av-bu=1 のとき a^2 +u^2 +b^2 +v^2 + au+bv ≧ √3 を示せ.

 a^2 +b^2 =c, u^2 +v^2 =w とおく。
 (au+bv)^2 = cw - |av-bu|^2 = cw -1.
 (左辺) = c+w +(au+bv) = 2・√(cw) ±√(cw-1)
 ↓の補題により、 (左辺) ≧ √3,  等号成立は c=w=2/√3, au+bv=-1/√3, av-bu=1 のとき.
  (例) a = -b/√3 = u = v/√3 = ±(1/2)√c.

【補題】 x≧1 のとき 2√x -√(x-1) ≧ √3.
(略証) y=√x は上に凸だから
 √(x-1) + √3 = √(x-1) + 3・√(1/3) ≦ 4・√(x/4) = 2√x, 等号成立は x=4/3 のとき.(終)

305 :132人目の素数さん:2005/05/30(月) 09:23:16
π(n)をnを超えない素数の個数とする。

n^( π(2n)-π(n) ) < 4^n

を示せ

306 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 11:16:15
【問題】 実数値関数 f(x, y) = (x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3)
のとりうる値の範囲の求め方を、いろいろな方法でキボンヌ。

307 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 15:31:59
>306
 とりあえず一つ。
 u=(x+2y)/√6, v=(y-x)√(2/3) のように直交変換すると
 f(x,y) = (u√6 +3)/(2u^2 +v^2 +3) ≡ g(u,v).
 v≠0 のとき |g(u,v)| < |g(u,0)| なので、g(u,0) を考えれば十分。
-(√2-1)/2=a, (√2+1)/2=b とおくと ab=-1.
 b(2u^2 +3) - (u√6 +3) = 2b(u +(a/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≦ b.
  (u√6 +3) -a(2u^2 +3) = -2a(u +(b/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≧ a.
 ∴ a ≦ g(u,0) ≦ b,
 等号成立は (u,v)=(-(b/2)√6, 0) 及び (-(a/2)√6, 0).
 ∴ -0.20710678118655… = a ≦ f(x,y) ≦ b = 1.2071067811865…

308 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 21:59:16
>>306
最大値を求めてみました。 ( ゚∀゚) テヘッ

x+2y = z とおくと、
  x^2 + 2y^2 = (z-2y)^2 + 2y^2 = 6(y- z/3)^2 + (z^2)/3
だから、 x = y = z/3 で最小値 (z^2)/3 をとるから、
  f(x, y) = (z+3)/(x^2 +2y^2 +3) ≦ (z+3)/{(z^2)/3 +3} = 3(z+3)/(z^2 +9) … [1]
実数 z が変化するとき、[1] の右辺の最大値は、z+3 > 0 の場合を考えればよい。
  3(z+3)/(z^2 + 9) = 3(z+3)/{(z+3)^2 -6(z+3) +18} = 3/{(z+3) +18/(z+3) -6} … [2]
z+3 > 0 より、相加平均・相乗平均の関係から、
  (z+3) +18/(z+3) ≧ 2・\sqrt{(z+3)・18/(z+3)} = 6√2
が成り立つ。等号は z+3 = 18/(z+3) かつ z+3 > 0 より z = 3√2のとき。 したがって
  [2] ≦ 3/(6√2 -6) = (√2 +1)/2 … [3]
以上より、 f(x, y) ≦ (√2 +1)/2 である。
  等号成立条件は、 [1]、[3] の両方で等号が成り立つときで x = y = z/3 = √2 -1 のとき。
ゆえに、最大値は f(√2 -1, √2 -1) = (√2 +1)/2

309 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 08:54:54
>301
問 A.371' 実数a,b,cについて a+b+c+1≧0, a+b≦c+1, b+c≦a+1, c+a≦b+1 が与えられている。次を示せ。
 a^2 +b^2 +c^2 ≦ 2abc +1.

(略証) a+b+c+1=s, (a+1)-(b+c)=x, (b+1)-(c+a)=y, (c+1)-(a+b)=z とおくと
 1-c=(x+y)/2, 1+c=(z+s)/2.
  ≡ (2abc +1) - (a^2 +b^2 +c^2) = (1-c^2) - [(1-c)/2](a+b)^2 - [(1+c)/2](a-b)^2
 = [(1-c)/2]{(c+1)^2 -(a+b)^2} + [(1+c)/2]{(1-c)^2 -(a-b)^2}
 = [(1-c)/2](a+b+c+1)[c+1-(a+b)] + [(1+c)/2][b+1-(c+a)][a+1-(b+c)]
 = (1/4)(x+y)sz + (1/4)xy(z+s) = (xyz+xys+xzs+yzs)/4.
 ∴ s,x,y,z≧0 ⇒ 凵0.

 [307]と[308]の関係は: u√2 =(x+2y)/√3 = z/√3, v = (y-x)√(2/3) = (y- z/3)√6.

ハァハァ

310 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 11:39:09
問 366
 正の実数x,y,z, xyz=1 のと狐に次が成立つような最大の数r キボンヌ。
 (x^2 +y^2 +z^2 +xy+yz+zx)/(√x +√y +√z) ≧r.

 http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_feb.pdf

311 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 13:26:26
しょぼいけど、2問

問 B.3821
 正の数a,b,cは正の数で a^2+b^2+c^2=1 とする。次の和の最小値 キボンヌ
 S = ab/c + bc/a + ca/b.

問 B.3829
 a_1,a_2,……,a_n を正の数とせよ。次を示せ。
 Σ[k=1,n] (a_k)^2/(a_k +a_{k+1}) ≧ (1/2)(a_1 + a_2 +……+ a_n).
 a_{n+1} = a_1.

http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200504&t=mat&l=en
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200505&t=mat&l=en

312 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 10:42:15
>301
問 3040
 左辺をF(a,b,c), 1/a-1/b=x, 1/b-1/c=y とおく。
 {a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは a<b<c の場合、を示す。
 F(a,b,c) - F(a,c,b) = (1+1/a)y,
 F(a,b,c) - F(c,b,a) = 2(2+1/b)(x+y),
 F(a,b,c) - F(b,a,c) = (3+1/c)x,
 F(a,b,c) - F(b,c,a) = (3+1/c)x + (1+1/b)(x+y),
 F(a,b,c) - F(c,a,b) = (3+1/b)(x+y) + (1+1/a)y.
 ∴ {a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは x>0,y>0 のとき。
 ∴ a<b<c としてよい。a≦2, b≦3, c≦4. F(a,b,c) は a,b,cについて単調減少だから、
 F(a,b,c) ≦ F(2,b,c) ≦ F(2,3,c) ≦ F(2,3,4) = (3/2)(7/3)(13/4) = 91/8.

( ゚∀゚) ハァハァ

313 :312:2005/06/03(金) 10:47:37
問題は↓ですた。

問 3040
 3つの相異なる自然数 a,b,c>1 について次を示せ。
   (1+1/a)(2+1/b)(3+1/c) ≦ 91/8.

314 :132人目の素数さん:2005/06/03(金) 21:39:00
【abcd不等式(2)】 (saikorodeka)
 a,b,c,d≧0 かつ 右辺の各因子≧0 のとき
 abcd ≧ (a+b+c-2d)(b+c+d-2a)(c+d+a-2b)(d+a+b-2c).

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=175

315 :132人目の素数さん:2005/06/06(月) 07:49:56
21.
 a,b,c≧0 のとき (bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.

30. (USAMO 1977/5)
 0<p≦a,b,c,d,e≦q のとき
 (a+b+c+d+e)(1/a +1/b +1/c +1/d +1/e) ≦ 25 + 6(p/q +q/p -2).

 http://mathcircle.berkeley.edu/inequalities.ps

316 :風あざみ:2005/06/07(火) 00:18:44
y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2>(y_0)^2≧n>n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。


317 :風あざみ:2005/06/07(火) 01:01:14
誤爆スマソ

318 :132人目の素数さん:2005/06/07(火) 18:05:56
このスレは無限に降下する...

【問題】
 u,v,x,y∈Z, u^2+v^2=x^2, u^2-v^2=y^2 ⇒ v=0

さくらスレ166
 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117681200/383


証明は >>395-398 をご覧ください.

>>395で仮定した、x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
 x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
の証明が知りたければ
 http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node25.html
をご覧ください。

319 :132人目の素数さん:2005/06/07(火) 21:41:11
395 :風あざみ :2005/06/07(火) 00:18:26
>>383
x^2-y^2とx^2+y^2が共に平方数ならばx^2-y^2=a^2、x^2+y^2=b^2
したがってx^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(ab)^2
したがって、x^4-y^4は平方数である。

以下で、x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないことをいいます。

証明には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
を証明なして使います。


x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod 4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合のみが起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2>u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。

320 :132人目の素数さん:2005/06/07(火) 21:41:32
396 :風あざみ :2005/06/07(火) 00:19:27
y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2>(y_0)^2≧n>n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。

321 :132人目の素数さん:2005/06/07(火) 21:41:51
398 :風あざみ :2005/06/07(火) 00:26:01
>>395-396より
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないから、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0あるいはz=0でなければならない。
仮定よりy≠0だからz=0ゆえにx=y
したがって2x^2=b^2よってb/x=√2

よって、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0でなければなりません。
したがって、√2が有理数となって不合理。

322 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 16:44:49
>311

B.3821
 A=a^2, B=b^2, C=c^2 の基本対称式をA+B+C=s, AB+BC+CA=t, ABC=u とおく。
 t^2 -3su = (AB)^2 +(BC)^2 +(CA)^2 - (A+B+C)ABC = (1/2){A^2(B-C)^2 +B^2(C-A)^2 +C^2(A-B)^2} ≧0.
 t ≧ √(3su).
 与式 = (AB+BC+CA)/√(ABC) = t/√u ≧ √(3s).

B.3829
 (a_k)^2 /(a_k +a_{k+1}) = (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1} + 兩k ≧ (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1}.
 これを循環的にたす。
 なお、兩k = (a_k -a_{k+1})^2 /[4(a_k +a_{k+1})] ≧ 0.

323 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 16:57:56
>315
【21】a,b,c≧0 のとき
 (bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ (1/3)(a+b+c)^6 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.
(略証) 基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左側)
 s^2 -3t = (a+b+c)^2 -3(bc+ca+ab) = (1/2){(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2} ≧0.
 ∴ t ≦ (1/3)s^2.
(右側)
 9(a^3 +b^3 +c^3) = 9{s(s^2 -3t) +3u} = 9s^3 -27st+27u = s^3 +8(s^3 -4st+9u) +5(st-9u).
 st-9u = (a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc = a(b-c)^2 +b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧0.
 s^3 -4st+9u = a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) = a(a-b)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) +c(b-c)^2 ≧0.
 (↑ bはa,cの間にあるとしてよい. (a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0)
 ∴ s^3 ≦ 9(a^3 +b^3 +c^3).

【30】a_1,…,a_n>0 のとき
 n^2 ≦ (a_1 + a_2 + … + a_n)(1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n) ≦ n^2 + N(p/q +q/p -2), N=[(n/2)^2]
(略証)
 (中辺) -n^2 = Σ[1≦i<j≦n] (a_i/a_j +a_j/a_i -2) ≡ f(a_1,a_2,…,a_n) とおくと、
f(p,a,q) - 2f(p,q) = f(p,a)+f(a,q)-f(p,q) = -(p+q)(q-a)(a-p)/(paq) ≦0 (反・三角不等式)
 また p≦a_1≦a_2≦……≦a_n≦q としても一般性を失わないから
 f(a_1,…,a_n) ≦ f(p,a_2,…,a_{n-1},q) ≦ f(p,p,a_3,…,a_{n-2},q,q) ≦ ……
  ≦ f(p,p,…,p,q,…,q,q) = Nf(p,q) = N(p/q +q/p -2).
 nが偶数のとき N=(n/2)^2, nが奇数のとき N={(n+1)/2}{(n-1)/2}=(n^2-1)/4=[(n/2)^2].

324 :323:2005/06/08(水) 17:04:12
訂正、スマソ
【30】0<p≦a_1,…,a_n≦q のとき


325 :132人目の素数さん:2005/06/13(月) 07:02:57
>>286 (3)
 a=sin(A), b=sin(B), c=sin(C), d=sin(D) とおくと 0≦a,b,c,d≦1.
 (左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a) ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d)
 = 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)] ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)]
 = [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d) ≦ 4・[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4・(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺).
 等号成立は a=c=0, b=d=1 のとき。
ぬるぽ

326 :325:2005/06/13(月) 07:44:07
>>286 (3)
【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
 4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+b+c)/(2+c+d) + (2+c+d)/(2+d+a) + (2+d+a)/(2+a+b) < 4 +3/2 = 11/2.
 (略証)  [325]より、(325の左辺) ≦ 2 + 3(a+c)/[2(a+b+c+d)].

327 :132人目の素数さん:2005/06/20(月) 10:57:51
[前スレ.818]の拡張 (saikorodeka)

△ABCの3辺を BC=a, CA=b, AB=c, f(x)を単調減少函数とするとき、
(b+c)cos(A)f(a) +(c+a)cos(B)f(b) + (a+b)cos(C)f(c) ≧ af(a) + bf(b) + cf(c).

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=219

328 :132人目の素数さん:2005/06/26(日) 19:46:49
>299
 cos(cos(cos(cos(x)))) > |sin(sin(sin(sin(x))))|.

(略証)
 まず cos(cos(u)) ≧ |sin(u)| が成り立つ。
 ∵ |t| > |sin(t)| より 1-t^2 < cos(t)^2.
 これに t=cos(u)を入れると……. ( 等号成立は u= (n+1/2)π のとき)
 |sin(u)| も cos(cos(u)) も 0 ≦ u < π/2 では単調増加.

 (左辺) ≧ cos(cos(|sin(x)|))> |sin(sin(x)| ≧ … ≧ (右辺) または
 (左辺) > |sin(cos(cos(x)))| ≧ sin(|sin(x)|) ≧ … ≧ (右辺). (終)


三角函数スレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/937

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=230


329 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 09:43:28
(続き)
^nでn重合成函数を表わせば

【299の一般化】
 cos^(2n)(x) > |sin^n(x)|.
 n≧4 のとき cos^(2n)(x) ≧ cos^(2n)(0) > sin^n(π/2) ≧ |sin^n(x)|.
(補足説明)
 0≦x≦π/2 では cos^(2n)(x) も |sin^n(x)| も単調増加ゆえ
 cos^(2n)(0) ≧ cos^8(0) = 0.722102425026708…
 sin^n(π/2) ≦ sin^4(π/2) = 0.678430477358956…

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=233


330 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 12:11:28
問題[3](1) n≧2のとき
  π/4 < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1

http://www.math.kyushu-u.ac.jp/gakufu/2004sugakukiso.pdf
九大院、数理学府 H17年度修士 数学基礎科目問題(数学コース)

331 :132人目の素数さん:2005/07/01(金) 19:35:58
>>330
グッジョブ ( ゚∀゚) テヘッ

332 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 17:13:26
>330 ついでに

【類題】n≧1 のとき
  1 -(2-√3)/n < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1

 n=1のときは ∫√(1-x+x^2) dx = (1/2)(x -1/2)√(1-x+x^2) +(3/8)Ln{x -1/2 +√(1-x+x^2)} +c.
 I_1 = 1/2 +(3/8)Ln(3) = 0.9119796082505…
 n≫1では I_n 〜 1 -1/4n らしい.

hint(?)
 3/4 ≦ (3/4) + (1/2-y)^2 = 1-y+y^2 = 1-y(1-y) < 1 (0<y<1).
 1-√(1-z) = z/{1+√(1-z)}.

333 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 10:49:50
【220】(saikorodeka)
(π/4)√2=a とおくとき
cos{a*sin(x)} ≧ |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)}.

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=220
及び 253


334 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 20:30:40
>>333
(´д`;)ハァハァ

335 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 20:40:53
Prob.390
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_jun.pdf
227, 224 など
http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n2.pdf

336 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 08:47:06
>333

【220'】(saikorodeka)
0≦a<(π/4)√2 のとき
 cos{a*sin(x)} > |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)} ≧ -sin(a),
 0 ≦ sin(a) < sin(√2 * π/4) = 0.896018935926807….

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=257

337 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 23:50:36
nCrスレがないので、ここで…
[11164]
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-06-jun05.pdf

338 :132人目の素数さん:2005/07/07(木) 10:17:42
【258'】(saikorodeka)
 0≦a≦π, |x|≦1 のとき、
 2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) + cos{a√(1-x^2)} ≦ 1 +cos(a).

(略証)
 (a/2)|x| ≧ sin{(a/2)|x|} ≧ sin(a/2)・|x|
 1 -(1/2)(ax)^2 ≦ cos(a|x|) = 1 -2sin{(a/2)x}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2・x^2.
 1 -(1/2)(a^2)(1-x^2) ≦ cos{a√(1-x^2)} = 1 -2sin{(a/2)√(1-x^2)}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2・(1-x^2).
 辺々加えて、2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) +cos{a√(1-x^2)} ≦ 2 -2sin(a/2)^2 = 1 +cos(a).


出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=261


339 :132人目の素数さん:2005/07/08(金) 22:49:36
不等式もあるyo.

[11145]
 A(a_1,…,a_n) = (1/n)Σ[i=1,n] a_i
 H(a_1,…,a_k) = k / Σ[j=1,k] 1/a_j
とおく。
 n≧1, a_1,…,a_n>0 ⇒ Σ[k=1,n] H(a_1,…,a_k) ≦ c・n・A(a_1,…,a_n)
が成立つような最小のcをキボンヌ.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.4 (Apr 2005)
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-04-apr05.pdf

deadline: August 31, 1995

340 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 01:20:39
>>339
問題 [11148] と [11149] にも (´д`;)ハァハァ しました。まだできてないけど…

341 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 09:09:20
>337
[11164]
左辺 = Σ[1≦i≦j≦k≦n] (-1)^(k+1) C[n,k] 1/(ij)
  = Σ[i=1,n] 1/i Σ[j=i,n] 1/j Σ[k=j,n] (-1)^(k+1) C[n,k].
  に補題↓を3回適用する。

[補題]
 1≦x≦n のとき  Σ[y=x,n] (-1)^(y+1) C[n,y] = (-1)^(x+1) C[n,x] (x/n).
(略証)
 左辺に C[n,y] = C[n-1,y-1] + C[n-1,y] を代入する。ただし C[n-1,n]=0 とする。
 次に C[n-1,x-1]=C[n,x] (x/n) を使う。(終)
 特に x=1 のとき 1+(1-1)^n =1.

(類題)
 @ Σ[1≦i≦n] (-1)^(i+1) C[n,i] = 1.
 A Σ[1≦i≦j≦n] (-1)^(j+1) C[n,j] 1/i = 1/n.
 C Σ[i≦i≦j≦k≦L≦n] (-1)^(L+1) C[n,L] 1/(ijk) = 1/n^3.
 D Σ[i≦i≦j≦k≦L≦m≦n] (-1)^(m+1) C[n,m] 1/(ijkL) = 1/n^4.

342 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 09:18:20
不等式もあるyo.

[11139]
X_n = {1^p +3^p + … + (2n-1)^p}/{(2n+1)^p + … +(4n-1)^p} は
p>1 または p<0 ⇒ 単調増加,
0<p<1 ⇒ 単調減少.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.3 (2005 Mar)
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-03-mar05.pdf

Y_n = 1 +1/X_n を考え 加比の理を使うらしい...

【加比の理】bd>0 のとき, r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。

343 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 12:46:36
>>341
すげぇょ! ( ゚∀゚) ハァハァ

344 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 12:47:29
>>342
見た瞬間から (´д`;)ハァハァ が止まりません!

345 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 13:28:43
まぁ、予想どおりの証明でしたね。
http://www.springer-tokyo.co.jp/contest/ans_sol8.pdf

346 :132人目の素数さん:2005/07/15(金) 11:28:24
【命題268】(math_board_watcher)
f(x)は|x|≦1で正則な解析函数で、マクローリン展開の係数がすべて非負実数かつ
f(0)=0, f(1)=1 のとき
g(x)=x^r (r>0)とおくと, I=[0,1]において
 r>1  ⇒ f(g(x)) ≧ g(f(x)).
 0<r<1 ⇒ f(g(x)) ≦ g(f(x)).
が成立する。

【系】
f^(-1)(x) [f(x)の逆函数] が命題の条件をみたすなら, I=[0,1]において
 r>1  ⇒ f^(-1)(g(x)) ≧ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≦ g(f(x)).
 0<r<1 ⇒ f^(-1)(g(x)) ≦ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≧ g(f(x)).
が得られる。

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=268

347 :132人目の素数さん:2005/07/15(金) 11:31:26
>346

(証明272) の概略
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k・(x^k) とマクローリン展開されたとする。
f(1)=1 より Σ[k=1,∞)a_k =1.
もし係数a_kがすべて非負実数であれば、Jensenの定理より(収束について適当な条件のもとで)
r>1 ⇒ g(x)=x^r は下に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k・{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k・g(x^k) > g{Σ[k=1,∞) a_k・(x^k)} = g(f(x)).
0<r<1 ⇒ g(x)=x^r は上に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k・{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k・g(x^k) < g{Σ[k=1,∞) a_k・(x^k)} = g(f(x)).
が得られる。

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=272

348 :132人目の素数さん:2005/07/15(金) 12:07:01
>342
【加比の理】
 bd>0 ⇔ r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
(略証)
 ad-bc = とおく。
 (a/b) -r = /{b(b+d)},
 r -(c/d) = /{d(b+d)}.
 を辺々かけて
 {(a/b) -r}{r -(c/d)} = 竸2 /{bd(b+d)^2}. (終)

349 :132人目の素数さん:2005/07/15(金) 12:55:09
ここの住民は神か?俺なんて手も足も出ないよ。orz

350 :132人目の素数さん:2005/07/15(金) 14:33:31
>342 (補足)
X_nの分母・分子は奇数のp乗の和でつ。
分子 = {1^p +3^p +5^p +… +(2n-3)^p +(2n-1)^p}
分母 = {(2n+1)^p +(2n+3)^p + … +(4n-3)^p +(4n-1)^p}


351 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 18:19:29
The Cauchy-Schwarz Master Classから一問。
[Exercise 12.8] (Weierstrass's Polynomial Product Inequality)

複素数 a_1, a_2, …, a_n と b_1, b_2, …, b_n が
1≦j≦nにおいて |a_j|≦1、 |b_j|≦1 を満たすとき、
|a_1*a_2*…*a_n - b_1*b_2*…*b_n| ≦ [1≦j≦n] |a_j - b_j|
の証明キボンヌ。

352 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 21:20:34
>351
(左辺) ≦ Σ[1≦j≦n] |b_1・b_2……a_(j-1)・{a_j-b_j}・a_(j+1)……a_(n-1)・a_n| ≦ (右辺). (終)

「Cauchy-Schwarz不等式」専用スレ
 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/18-19


353 :132人目の素数さん:2005/07/16(土) 21:33:36
>>21
[前スレ.563(7)] [前スレ.973]
 0≦x≦1≦m,n に対して、 (1-x^n)^m + {1-(1-x)^m}^n ≧ 1.

(略証)
 f(x) = 1 - (1-x)^m とおくと (左辺) = {1-f(x^n)} + f(x)^n.
 f(x) の逆函数を f~(x) と書くと、
 f~(x) = 1 - (1-x)^(1/m) = (1/m)x + (1/2m)(1-1/m)x^2 + (1/3m)(1-1/m)(1-1/2m)x^3 + ……
 a_k = {(k-1)/k}・{1 -1/(k-1)m}・a_{k-1} > 0 かつ f~(0)=0, f~(1)=1.
 ∴ f~(x) は >346 の【命題268】の条件をみたす。
 ∴ その【系】から, I=[0,1]において, {1-f(x^n)} + f(x)^n ≧ 1. (終)

>352
  |b_1・b_2……b_(j-1)・{a_j-b_j}・a_(j+1)……a_(n-1)・a_n|

354 :132人目の素数さん:2005/07/17(日) 22:11:12
今年の数オリの不等式たん(´д`;)ハァハァ
解けねーよ!

355 :132人目の素数さん:2005/07/17(日) 22:11:44
>>354
ttp://www.mathlinks.ro/Forum/topic-44481.html

356 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 08:35:08
>354-355
[IMO 2005, Problem 3]
 正の実数x,y,z があって xyz≧1 とせよ。このとき次を示せ。
 (x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 0.

(略証) xyz≧1 を使って分子・分母を同次形に直す。
 x^5 -x^2 ≧ x^5 -(x^2)xyz = x{x^4 -(x^2)yz} ≧ x{x^4 -(x^2)(y^2+z^2)/2}
 ≧ x(2x^2 -y^4 -z^4)/4,
 0 < x^5 + y^2 +z^2 ≦ x^5 + (y^2 +z^2)xyz = x{x^4 +(y^2 +z^2)yz}
 ≦ x{x^4 +(1/2)(y^2 +z^2)^2} ≦ x(x^4 +y^4 +z^4).
 ∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).
 これを循環的にたす。等号成立は x=y=z=1 のとき. (終)

357 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 10:14:18
>>356
さすが神! (3行目は x(2x^4 -y^4 -z^4)/4 でつね)

       |
   \  __  /
   _ (m) _ピコーン
      |ミ|
   /  .`´  \
     ('A`)        相加相乗かぁ! ハァハァ…
     ノヽノヽ
       くく

358 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 20:27:24
>355
 http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-32.html
 ご参考

359 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 08:18:38
> ∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).

ここがよくわからん。負の場合もOKなの?

360 :356:2005/07/21(木) 11:27:22
>359 訂正、スマソ

(略証) (L.Radzivilovsky) 分子の符号によらず,
 (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (x^5 -x^2)/{x^5+(y^2+z^2)x^3} = (x^2 -1/x)/(x^2+y^2+z^2).
 これを循環的にたす。 xyz≧1 を使って、
 (左辺) ≧ (x^2+y^2+z^2 -1/x 1/y -1/z)/(x^2+y^2+z^2) ≧ {(yz-1/x)+(zx-1/y)+(xy-1/z)}/(x^2+y^2+z^2) ≧0.

 または、分母をコーシーして 1/x ≦ yz ≦ (y^2+z^2)/2 を使う。(iandrei2)
   (x^5+y^2+z^2)(1/x+y^2+z^2) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2.

Problem3 IMO2005
http://www.mathlinks.ro/Forum/topic-44480.html

361 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 12:35:13
Σ(゚Д゚) そっか、負の場合を考えてなかった…

362 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 13:11:41
>>360
リンク先の掲示板見て、外国も2chと一緒だなと思った。
夏厨が沸いてるな

363 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 18:07:39
>354-355
n変数の場合は↓かな。。。

A_i = {(x_i)^(2n-1) -(x_i)^(n-1)}/{(x_i)^(2n-1) +Σ[j≠i] (x_j)^(n-1)}
とおけば A_1 +…+ A_n ≧ 0.


364 :356:2005/07/23(土) 18:25:47
>361
[356]の補足(Ra Mla F)
 xyz≧1を使って
 x(x^4+y^4+z^4) ≧ x^5 +y^2 +z^2 ≧ x^4 /yz +y^2 +z^2 ≧ x(x+y+z).
 これらより
 (x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧(x^4)/(x^4+y^4+z^4), x/(x+y+z)≧(x^2)/(x^5+y^2+z^2).
 循環的にたすと Σ'(x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧ 1 ≧ Σ'(x^2)/(x^5+y^2+z^2).

365 :356:2005/07/23(土) 19:34:12
>364
【補題】(Vasc-Petrov)
 x_1・x_2……x_n≧1, p>1のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
 (x_1^p)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +……+ (x_n)^s}.
(略証)
 1<s<p だから (x_2)^s +……+(x_n)^s ≧ (x_2……x_n)^(p-s)・(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)・(x_2+……+x_n).
 これに (x_1)^s を加えて整理する。(終)

366 :132人目の素数さん:2005/07/25(月) 13:43:35
>342,350
[11139]
 X_n = {1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p} / {(2n+1)^p +(2n+3)^p +……+(4n-1)^p},
 Y_n = 1 + 1/X_n = {1^p +3^p +……+(4n-3)^p +(4n-1)^p}/{1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p}
   = (a_1 +a_2 +……+a_n)/(b_1 +b_2 +…… +b_n),
 ここに a_k = (4k-3)^p +(4k-1)^p, b_k = (2k-1)^p とおいた。
 a_k / b_k = (2^p)[(1-δ)^p +(1+δ)^p] = 2^(p+1)f(δ), δ=1/{2(2k-1)} →0 (k→∞).
 p>1 または p<0 ⇒ f(δ)は下に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調減少 → 2^(p+1)、
   加比の理から Y_nも単調減少→2^(p+1)、X_nは単調増加。
 0<p<1 ⇒ f(δ)は上に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調増加 → 2^(p+1)、
   加比の理から Y_nも単調増加→2^(p+1)、X_nは単調減少。

367 :132人目の素数さん:2005/07/26(火) 12:14:25
>>323 の簡略版
 1 ≦ A/H ≦ 1 + L(p/q +q/p -2), L=1/4.
(略証)
 0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
 ∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(p-q)^2 /(4pq) = 1 + (1/4)(p/q +q/p -2).

出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=307


368 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 08:13:13
>365 を拡充しますた。

【補題】(Vasc-Petrov)
 x_k>0, G^n = x_1・x_2……x_n ≧1 とする。
 (i) p>1 ならば (x_1^p)/(x_1^p +x_2 +…… +x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +…… +(x_n)^s}.
  ここに、s={(n-1)p+1}/n.
 (ii) 1<q<n+1 ならば x_1/(x_1^q +x_2 +…… +x_n) ≦ (x_1^r)/{(x_1)^r +…… +(x_n)^r}.
  ここに、r=1 -(q-1)/n.

(略証)
 (i) 1<s<p だから 相加・相乗平均より
 (x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (n-1)(G^n /x_1)^(s/(n-1)).
 に(1 -1/s)を掛ける。また、
 (1 -1/s)・(G^n /x_1)^(s/(n-1)) + (1/s)(x_k)^s ≧ (G^n /x_1)^(p-s)・x_k  (k=2,3,…,n)
 辺々加えて
 (x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (G^n /x_1)^(p-s)・(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)・(x_2+……+x_n).
 これを (x_1)^s で割って 1をたす。
 {(x_1)^s +(x_2)^s +…… +(x_n)^s}/(x_1)^s ≧ {(x_1)^p +x_2 +…… +x_n}/(x_1)^p.

 (ii) 0<r<1 だから 相加・相乗平均より
 (x_1)^q +(1-r)(x_2+x_3+……+x_n) ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1・G^{n(q-1)/((n-1)q+1)} ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1.
 (1-r)x_1 + r・x_k ≧ (x_1)^(1-r)・(x_k)^r    (k=2,3,…,n)
 辺々加えて
 (x_1)^q + x_2 +x_3 +…… +x_n ≧ x_1・{(x_2)^r +(x_3)^r +…… +(x_n)^r}/(x_1)^r. (終)


369 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 13:52:20
すげぇ Σ(゚д゚;)!
さすが神! そこに痺れる憧れるぅ〜

370 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 11:26:33
(問題) 0<r<1, S_k = Σ[n=1,∞) (n^k)(r^n)/(1-r^n) とおくとき
 S_0 > r/(1-r),
 S_1 > r/(1-r)^2,
 S_2 > r(1+r)/(1-r)^3,
 S_3 > r(1+4r+r^2)/(1-r)^4,
 S_4 > r(1+11r+11r^2+r^3)/(1-r)^5,
 S_5 > r(1+26r+66r^2+26r^3+r^4)/(1-r)^6.
を示してくださいです。

---------------------------------------------------
(例) r=exp(-2π) のときは
 S_1 =(1/24)- 1/(3π) = 0.0018779308936928…,
 S_3 = (1/80)(ω/π)^4 -1/240 = 0.0018990120511196…,
 S_5 = 1/504 = 0.0001984126984126984…
らしいです。。。
 ω =∫_[0,1] 2/√(1-x^4) dx = Γ(1/4)^2 /√(8π) = 2.6220575546888…

371 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 12:37:21
>360,363 を拡充しますた。

【補題】(L.Radzivilovsky)
 G^n = x_1・x_2……x_n≧1, 1≦p≦(2n-1)/(n-1) のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
 Σ' (x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ 0

 (略証) x_1 -1 の符号によらず
  (x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^p -x_1)/{x_1^p +(x_2+……+x_n)x_1^(p-1)}
  = {x_1 -x_1^(2-p)}/(x_1 +x_2 +……+x_n).
 ところで s={(n-1)p+1}/n とおくと
  (2-s)x_1 + ((p-1)/n)(x_2 +…+x_n) = (2-p)x_1 +(p-1)A ≧ (2-p)x_1 +(p-1)G
  ≧ x_1^(2-p)・G^(p-1) ≧ x_1^(2-p).
 循環的に加えて、x_1 +x_2 +… +x_n ≧ x_1^(2-p) +x_2^(2-p) +… +x_n^(2-p). (終)


>370
 S_5 = 1/504 = 0.001984126984126984…

372 :132人目の素数さん:2005/08/02(火) 22:58:47
(1) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、
  2 ≦ √{(1-a)/(1+a)} + √{(1-b)/(1+b)}+ √{(1-b)/(1+b)}+ ≦ 1 + 2/√3

(2) 正の実数 a, b, c, d が a+b+c+d=1 をみたすとき、
  abcd/{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)} ≦ 16(abc+bcd+cda+dab)/81

(3) 非負実数 a, b, c に対して
  a^3+b^3+c^3+3abc ≧ ab√(2a^2+2b^2) + bc√(2b^2+2c^2) + ca√(2c^2+2a^2)

(4) 非負実数 a, b, c に対して
  (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}

(5) 0 < a, b, c < 1、ab+bc+ca=1 に対して、a+b+c+abc のとりうる値の範囲をキボンヌ。
  http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2004/n6/PDF/v30n6syn.pdf

(1)は凸不等式だろうけど、エレガントなのはないでしょうか?
       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    軽めのネタを仕入れてきました
      ヽ::::......ワ...ノ       
        人つゝ 人,,        
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

373 :おまけ:2005/08/03(水) 08:15:59
(6) a, b, c≧0、x > 0 のとき、 x^a + x^b + x^c ≦ x^(a+b+c) +2

(7) a, b, c≧1 のとき、 2^(a+b+c+1) ≧ 2^(a+b) +2^(b+c) +2^(c+a) +4

( ゚∀゚) テヘッ

374 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 17:08:51
>>373
(6)の下限は、これでいいですか?
  3・x^((a+b+c)/3) ≦ …

375 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 21:03:54
まず 「おまけ」 から

(6) 相加・相乗平均、
  右側は x^a ≦ {a・x^(a+b+c) +b +c}/(a+b+c) を循環的にたす。

(7) a,b,c≧1 より
 2^(a+b+c-1) ≧ 2^(a+b), 2^(b+c), 2^(c+a), 2^2.
 辺々たす。
ぬるぽ

376 :132人目の素数さん:2005/08/03(水) 22:38:39
>>373
(6) 右側の別解

a, b, c≧0、x > 0 に対し、 x^a + x^b ≦ x^(a+b) + 1 … (☆) を示す。
x = 1 のとき、等号成立
x > 1 のとき、x^a, x^b≧1、x < 1 のとき、x^a, x^b≦1 でどちらの場合も
 x^(a+b) + 1 - (x^a + x^b) = (1-x^a)(1-x^b) ≧ 0

(☆) を2回用いて示すべき不等式をゲット。 ( ゚∀゚) テヘッ

377 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 22:30:16
>372(5) [問.2971]
 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
 題意より、1-s+t-u = (1-a)(1-b)(1-c)>0, ∴ s+u<1+t=2.
 a,b,cのいずれか→1 のとき上限 2.

 I(a,b,c;k) = (a+b+c) +abc -k(ab+bc+ca-1) とおいて極値を求める。
 ∂I/∂a = 1 + bc - k(b+c), などより k=(3+t)/2s = 2/s,
 a=b=c=1/√3 のとき最小値 10/(3√3).

378 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 23:15:40
使えそうで使えない不等式を、チラシの裏に書き留めておこう。
証明は、差を取って Lagrangeの恒等式を…。

 (1+a^2+b^2)(1+c^2+d^2) ≧ (a-c)^2+(b-d)^2

379 :132人目の素数さん:2005/08/06(土) 10:09:22
>378
 ラグランジュの恒等式
 (x^2+a^2+b^2)(y^2+c^2+d^2) = (xy+ac+bd)^2 + {(ay-cx)^2 + (by-dx)^2 +(ad-bc)^2}
 で x=y=1 とおく。

380 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 06:22:13
Lagrangeの恒等式って、n(≧5)文字でも成り立つんだろうか?

381 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 07:10:50
不等式の証明に使えそうで使えない (?) 等式

P=ax+by+cz, Q=ay+bz+cx, R=az+bx+cy のとき、
  (a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) = P^3+Q^3+R^3-3PQR

382 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 20:48:02
>380
 {納i=1,n] (x_i)^2}{納j=1,n] (y_j)^2} = {納k=1,n] x_k・y_k }^2 + 納1≦i<j≦n] (x_i・y_j-x_j・y_i)^2.
>381
 x^3+y^3+z^3-3xyz =
 |x y z|
 |z x y|
 |y z x|

383 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 20:55:04
>380
 http://mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html


384 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 20:59:05
>>382-383
ddクス。

行列式とはエレガントですな。
昼間、置き換えたりしながらゴリゴリ展開して苦戦してたのが馬鹿だった…

385 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 21:09:46
>>377
最小値は、他の方法では出せないでしょうか?

1/a, 1/b 1/c を tanA, tanB, tanC (π/4 < A, B, C < π/2) とおくと
条件式は A+B+C=π となったけど、a+b+c+abc が簡単になりそうにな…

386 :132人目の素数さん:2005/08/10(水) 03:35:53
>>385
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3、 a+b+c > 0 より
  a+b+c ≧ √3
1-a, 1-b, 1-c > 0 より、相加相乗と上述の不等式から
  0 < (1-a)(1-b)(1-c) ≦ (1/27)(3-a-b-c)^3 ≦ 2 - 10/(3√3)
(1-a)(1-b)(1-c) = 2-(a+b+c+abc) を代入してポン!

( ゚∀゚) テヘッ
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?highlight=inequalities&t=16133

387 :132人目の素数さん:2005/08/11(木) 04:24:44
>>372
> (4) 非負実数 a, b, c に対して
>   (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}

a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて
 (左辺) = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+12s^3u
 (右辺) = 2(s^2t^2-stu-2t^3)

 (左辺)-(右辺) = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu+12s^3u+4t^3

ここから、うまくでけん。 次が出てくるように括ればいいんだろうけど
 s^2-3t≧0, st-9u≧0, 2s^3-7st+9u≧0, s^3-4st+9u≧0, t^2-3su≧0, …

388 :132人目の素数さん:2005/08/11(木) 06:02:18
>>387
間違ってた…
 (左辺) = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+36u^2

 (左辺)-(右辺) = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu-4t^3+36u^2

389 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 19:42:27

  (a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3b + b^3c + c^3a)

の証明が20%くらいできません! おねがいします!

390 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 23:39:54
初歩ですみません.次の不等式の導き方が分かりません.

Σ[i=1,n]|a_i| ≦ n^(1/2)(Σ[i=1,n](a_i)^2)^(1/2)

また,こういうものまで網羅している不等式の本てあるのでしょうか?
>>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした.

391 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 06:36:29
>>390
コーシーシュワルツの不等式そのまんま。

つ 参考文献 [5] ほか高校の参考書を嫁

392 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 07:30:59
>>391
ありがとうございます.そのまんまでしたね.

393 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 10:56:52
>>390
> >>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした.

読んでいない証拠
夏休みの宿題は質問スレに行け
二度と来るな

394 :390=392:2005/08/16(火) 16:29:24
>393
初めてなのに釣れたっ!
これからも私の宿題をお願いしますね、電卓さん!

395 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 18:12:26
まあ、工房がシュプリンガー読むわけないわね。

396 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 23:23:51
>>389
見た目は簡単なのに、その証明のなんと難しいことよ。

397 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 00:26:35
>>389
(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 3(a^3b + b^3c + c^3a)
 = a^2(a-b)(a-2b) + b^2(b-c)(b-2c) + c^2(c-a)(c-2a)

これが0以上であることを示せれば…。
とりあえず a≧b≧c≧0 として、Schurの不等式のときみたいに考えたけど、うまくいかない
不等式オタどもはお盆休みなのか?

398 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 11:42:10
>>35-36
ムーアヘッドの不等式がイマイチよく分かりません。
簡単な不等式の例で説明してもらえると嬉しいです。

399 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 22:43:20
>372(4), 387-388

>>38 の補題を使いますた。>>1 の参考書[1]の定理80.
【補題】
 F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b)
 = (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) +(c^n)(b-c)^2 ≧0.
 (略証) bがa,cの中間にあるとすると、 a^n -b^n +c^n ≧0, (a-b)(b-c)≧0. (終)

 (左辺) = (s^3 -3st+6u)^2 = (s^3 -3st+6u)(F_1 +st-3u).
 (左辺) -(右辺) = (s^3 -3st+6u)・F_1 -su・F_0 = F_4 + u・F_1 + R.
 F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0.

残りの項Rも同様にして
 R ≡ ab(a^2 +b^2 -c^2)(a-b)^2 +bc(b^2 +c^2 -a^2)(b-c)^2 +ca(c^2 +a^2 -b^2)(c-a)^2
= X(a-b)(a-c) + Y(b-a)(b-c) +Z(c-a)(c-b)
= X(a-b)^2 + (X-Y+Z)(a-b)(b-c) +Z(b-c)^2 ≧0.
 ここに X={(b+c)a^2 +(b-c)(b^2 -c^2)}a≧0, Y={(c+a)b^2 +(c-a)(c^2 -a^2)}b≧0, Z={(a+b)c^2 +(a-b)(a^2-b^2)}c≧0.
 〔∵ bはa,cの中間にあるとすると X-Y+Z =2ac(a^2 -b^2 +c^2) ≧0, (a-b)(b-c)≧0.〕

>372(3)
 (4)の右辺にコーシーを適用。

400 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 23:20:03
>>398
例えば 「数学ライブラリー教養篇 不等式入門 POD版」(>>303) P.150 問1(1)

2(a^6) + 2(b^6) + 2(c^6)
≧ (a^4)(b^2) + (a^4)(c^2) + (b^4)(c^2) + (b^4)(a^2) + (c^4)(a^2) + (c^4)(b^2)
≧ (a^3)(b^2)c + (a^3)(c^2)b + (b^3)(c^2)a + (b^3)(a^2)c + (c^3)(a^2)b + (c^3)(b^2)a
≧ 6(a^2)(b^2)(c^2)

[p, q, r] = (a^p)(b^q)(c^r) + (a^p)(c^q)(b^r) + (b^p)(c^q)(a^r) + (b^p)(a^q)(c^r) + (c^p)(a^q)(b^r) + (c^p)(b^q)(a^r)

で表すと、(6, 0, 0) ゝ(4, 2, 0) ゝ(3, 2, 1) ゝ(2, 2, 2) だから、Muirhead の不等式から
 [6, 0, 0] ≧ [4, 2, 0] ≧ [3, 2, 1] ≧ (2, 2, 2)

401 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 23:40:16
>>399
キタキタキタキタ━━━(゚∀゚≡(゚∀゚≡゚∀゚)≡゚∀゚)━━━━!!!!!!!!!!
(4)の右辺にコーシー使ったら(3)になるなんて気づきませんでした ( ゚∀゚)!


>>38
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0 について。

〔Schurの不等式〕
任意の実数 r と、正の数 x, y, z に対して
 F_r ≡ (a^r)(a-b)(a-c) + (b^r)(b-c)(b-a) +(c^r)(c-a)(c-b) ≧ 0
証明は、>>1 の参考書[3]のPP.27-28。

402 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 06:42:48
>399
 (左辺) -(右辺) = t・F_2 +(s^3 -3st+4u)・F_1 -su・F_0 = F_4 + u・F_1 + R.

403 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 13:37:36
>>399
それにしても凄いな!
いま計算を追っているけど、とても自分では思いつかないなぁ…

404 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 10:16:42
>389, 396-397
 等号成立は [a,b,c]=[1,1,1] または [a,b,c]=[1, t, (1/t)(1-t)^2] のとき(4つ)

 ただし、tは (t-2)^3 -7(t-2) -7=0 の根、0.307978528369905…, 0.643104132107791…, 5.04891733952231…。

405 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 12:47:54
>>404
グッジョブ!

等号成立条件に変なのが入っているので
 (左辺)-(右辺) = A(a-b)^2+B(b-c)^2+C(c-a)^2 ≧ 0
になるとは限らないんでしょうね
('A`)

406 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 21:39:51
>389
a,b,cの基本対称式をs,t,uとする。
(左辺)-(右辺) = (a^2+b^2+c^2)^2 -3(a^3b+b^3c+c^3a)
 = (s^2 -2t)^2 +3t^2 -3s(u+a^2b+b^2c+c^2a)  ……(1)
 これは対称式ぢゃないんですぅ…。そこで、

>404 のゼロ方向(3つ)は1次独立なので、それをX,Y,Z軸とする(斜交軸)。
 a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
 これを(1)に代入すると、うまく対称式になりますた。
 (左辺)-(右辺) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2} ≧0.
 等号成立は [X,Y,Z]= [1,1,1], [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] のとき.
ぬるぽ

407 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 21:47:03
>406
Q: (a,b,c) ⇔ 反変成分(X,Y,Z) の1次変換
 a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
 に出てくる p,q,r って何?

A:〔補足説明〕
・3軸の向き(ゼロ方位)を
 X軸: [a,b,c]=[p,q,r]
Y軸: [a,b,c]=[r,p,q]
Z軸: [a,b,c]=[q,r,p]
 としますた。
 p=0.34929169541609…, q=0.10757434232607…, r=0.54313396225783…
 ( θ^3 -θ^2 +(2/7)θ -(1/49)=0 の3根.)

・基本対称式の関係
 X,Y,Zの基本対称式をS,T,Uとすると s=S, t=(T+2S^2)/7, u+a^2b+b^2c+c^2a=(U+S^3)/7.
 これを(1)に代入すると
 (左辺)-(右辺) = (1/7)(T^2 -3SU) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2}.

・X,Y,Zは負のこともある。

408 :132人目の素数さん:2005/08/22(月) 22:39:45
>>406-406
まず >404 のゼロ方向や、3軸の向き(ゼロ方位)という言葉がよく分かりません。
つぎに [a,b,c]=[p,q,r] これは、何かの演算が等しいってことですか?

409 :406:2005/08/24(水) 02:47:46
>408
 ゼロ方向は、(1変数の)ゼロ点と同じ意味。
 [a,b,c]はデカルト座標(3Dグラフを考えますた。)

 [1,1,1]方向から見ると、X,Y,Z軸はc,a,b軸から33.6311315…°程ずれている。
 これを一致させて対称性を回復する所が本題のミソ。

410 :132人目の素数さん:2005/08/28(日) 00:49:39
保守あげ

411 :132人目の素数さん:2005/08/28(日) 19:44:24
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問より
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/l50

81 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2005/08/23(火) 15:59:35

> e^{e^(e-1)-e}<(e-1)^{e^e-e^(e-1)} を示せ。ただし、eは自然対数の底


131 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/08/28(日) 16:27:44

> >>81ってホントに問題あってるの?計算機で計算したらすげー値に開きが
> あるんだけど。こんなに開いてるならスゲーラフな評価でできるとおもうんだけど。
> どっかまちがってんじゃね?

412 :406:2005/08/30(火) 06:34:25
>389
こんどは直交軸だけで解いてみますた... 直交変換を次のようにおく。
 a=p'X'+r'Y'+q'Z', b=q'X'+p'Y'+r'Z', c=r'X'+q'Y'+p'Z'
 ここに、p'、q'、r'は θ'^3 -θ'^2 +(1+2√7)/(27√7) =0 の3根.{ [1,1,1]軸のまわりの回転 }

・基本対称式の関係
 X',Y',Z' の基本対称式を S',T',U' とおくと、s=S', t=T'. また u+a^2・b+b^2・c+c^2・a については、
  (X'^2・Y'+Y'^2・Z'+Z'^2・X') の係数 (p'^3+q'^3+r'^3 +6p'q'r') +(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)と
  (X'・Y'^2+Y'・Z'^2+Z'・X'^2) の係数 (p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') +3(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)
 が等しいとおくと、4(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') + 5(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2) = (p'+q'+q')^3, 係数は (4-√7)/9.
 p'q'r'+p'^2・q'+q'^2・r'+r'^2・p'= (1+2√7)/27, (p'^3+q'^3+r'^3 +3p'q'r') + 6(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') = (11+4√7)/9 より、
 u+a^2・b+b^2・c+c^2・a = ((1+2√7)/27)(S'^3 -3S'T'+3U') -((4-√7)/9)(S'T'-3U') +(√7)U'
 = ((1+2√7)/27)S'^3 -{(√7 -1)/3}S'T' +(√7)U' = (1/7)(U +S'^3).

 これを(1)に代入すると
 (左辺)-(右辺) = (S'^2 -2T')^2 +3T'^2 -(3/7)S'(U+S'^3)
  = (1/7){(7T'-2S'^2)^2 -3S'U}
  = (1/2)[X^2(Y'-Z')^2 +Y^2(Z'-X')^2 +Z^2(X'-Y')^2]≧0.
  ここで、X=(X'-S/3)√7 +S/3, Y=(Y'-S/3)√7 +S/3, Z=(Z'-S/3)√7 +S/3.
U = XYZ = (7√7)U'-(7/3)(√7 -1)S'T' +{2(7√7-10)/27}S'^3.
  >406 と同じことだが。

413 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 21:40:33
>>354
大数9月号に解説が載っていたので買っていた (グッジョブ?)

示すべき不等式を
 (x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^5+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≦ 3  … (1)
として、Cauchyの不等式を用いて
 (x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) ≦ (yz+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)
を示し、巡回させて和をとると
 (1)の左辺 ≦ 2 + (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2) ≦ 3

----------------------------------------------------------------------
より強い不等式が載っていた。証明は同様にするらしいけど… ('A`) お願いします。

正の実数x,y,z が xyz≧1 をみたすとき、
 (x^5)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 1 ≧ (x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^2)/(x^2+y^2+z^5)
( ゚∀゚) テヘッ

414 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 21:58:37
>>413
>>364

415 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 00:35:43
Σ(゚Д゚) ハッ!

416 :132人目の素数さん:2005/09/06(火) 12:00:05
ager

417 :132人目の素数さん:2005/09/09(金) 04:24:39
「数学オリンピック2」 スレより
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/134
> 134 名前:sage[] 投稿日:2005/09/08(木) 12:00:58
>
> 微積分不等式
>
> x0, 1, x2, …,xn を x0 + x1 + x2 + … + xn = 1 を満たす正の実数とする.次の不等式を示せ.
>
> ( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) ) < π / 2
>
> 解答
>
> ( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) )
>  < ∫( 0 , 1 ) dt / ( √ ( 1 - t^2 ) )
>   = π / 2

418 :132人目の素数さん:2005/09/10(土) 16:54:49
>417
 (i=0,1,…,n) ぢゃないか?

解答
 x_0 + x_1 + … + x_{i-1} = sin(θ_i) とおくと、0 = θ_0 < θ_1 < … < θ_n < θ_(n+1) = π/2.
 (左辺) = 納i=0,n] {sin(θ_(i+1)) - sin(θ_i)} / cos(θ_i).
 ところで、{sin(A+)-sinA}/cosA = sin - (1-cos)tanA < sin < .
 (左辺) < 納i=0,n] {θ_(i+1)) -θ_i} = θ_(n+1) - θ_0 = π/2.
ぬるぽ

419 :132人目の素数さん:2005/09/12(月) 03:17:01
「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問」
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/221
> m個の正の実数a1,a2,..amと正の整数k,lについて
> (a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦m(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l))

420 :132人目の素数さん:2005/09/12(月) 20:32:14
>>419
Σ[i=1 to m]ti=1、ti≧0、p+q=1、p,q>0とする。x^p,x^qは凸関数なので、
0≦(Σ(1/m)(ti)^p)≦(Σti/m)^p=m^(-p)
0≦(Σ(1/m)(ti)^q)≦(Σti/m)^q=m^(-q)
よって、
(Σ(1/m)(ti)^p)(Σ(1/m)(ti)^q)≦m^(-p-q)=1/m
(Σ(ti)^p)(Σ(ti)^q)≦m
等号はti=1/mのとき成立。

ti=ai^(k+l)/Σai^(k+l)、p=k/(k+l)、q=l/(k+l)とおいて示せる。

421 :132人目の素数さん:2005/09/12(月) 20:37:00
>>420
凸関数→上に凸 or 凹関数に訂正

422 :132人目の素数さん:2005/09/12(月) 23:02:19
チェビシェフそのものって感じもするが

423 :132人目の素数さん:2005/09/13(火) 21:55:07
5ページ目の問題313は既出だっけ?
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n5/PDF/v31n5syn.pdf

424 :132人目の素数さん:2005/09/13(火) 21:58:32
>>422
たしカニ
   *          +
   (V)∧_∧(V)
 +   ヽ(゚∀゚)ノ  サイタマサイタマ    +
   + /  /            +
    ノ ̄ゝ      *
        +            +
                         *
.    +      (V)∧_∧(V)
 +          ヽ(   )ノ  サイタマサイタマ
.       *    /  /  +
   +    .......... ノ ̄ゝ     +

425 :132人目の素数さん:2005/09/16(金) 13:27:44
>>423
Jensenで瞬殺かと思ったけど…、あまいあまいッ! あまいわッ!

426 :132人目の素数さん:2005/09/16(金) 14:55:35
5ページ目の問3073
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n6/PDF/v31n6syn.pdf

見たことあるような、ないような ( ゚∀゚) テヘッ

427 :132人目の素数さん:2005/09/16(金) 15:42:10
正の数 a、b、c が abc=8 をみたすとき、
  (a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3

ABMO 2005
http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo2005.html
( ゚∀゚) テヘッ

428 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 11:21:02
たしか初参加

>>427
AM-GMを繰り返し使って

 (a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)
≧ 3( a^2b^2c^2 / {(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} )^(1/3)
≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
≧ 36 / (3+3abc)
= 4/3

等号は a=b=c=2

429 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 13:03:54
>423
[313]
In 1965 the Romanian mathematician T.Popoviciu proved the following inequality
 f(x) + f(y) + f(z) +3f((x+y+z)/3) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2),
where f is a convex function on an interval I and x,y,z∈I.

(略証) yはxとzの間(端点も含む)にあるとしてよい。このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。
(M-x)/(z-M) = t とおくと 1/2≦t≦2.
(i) yがxとM の間にあるとき、1/2≦t≦1.
 f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2), tf(z) + (2-t)f(M) ≧ 2f((y+z)/2), (1-t)f(z) + (1+t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
 辺々たす。
(ii) yがMとzの間にあるとき、1≦t≦2.
 (1/t)f(x) + (2 -1/t)f(M) ≧ 2f((x+y)/2), f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2), (1 -1/t)f(x) + (1 +1/t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
 辺々たす。

430 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 15:06:58
>426
[3073] Let x,y,z be positive real numbers. Prove that
 1/(x+y+z+1) -1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/8.
and determine when there is equality.

(x+y+z)/3=A とおく。相加相乗平均より (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (A+1)^3, 等号成立はx=y=zのとき.
(左辺) = 1/(x+y+z+1) - 1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/(3A+1) -1/(A+1)^3 = (A^2)(A+3)/[(3A+1)(A+1)^3]
 = 1/8 - (A-1)^2(3A^2 +8A+1)/[8(3A+1)(A+1)^3] ≦ 1/8.
等号成立は x=y=z=1 のとき。

431 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 16:16:29
>>428
pu

432 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 20:41:36
>>428
> AM-GMを繰り返し使って

> ≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
> ≧ 36 / (3+3abc)

不等号の向きが逆になるのでは?

433 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 20:43:43
言葉をつつしみ給え! 君達はラピュタ王の前にいるのだぞ!

   /ヘ;;;;; 
   ';=r=‐リ    | |
   ヽ二/     | | ガッ
 と    )    | |
   Y /ノ    人
    / )    <  >__Λ∩
  _/し' //. V`Д´)/ ←>>431
 (_フ彡        /

434 :132人目の素数さん:2005/09/18(日) 01:37:54
ハズカシス

435 :132人目の素数さん:2005/09/19(月) 09:37:36
1≦a,b,c,d,e≦2のとき、
25≦(a+b+c+d+e)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e)≦28を示せ。


436 :132人目の素数さん:2005/09/19(月) 15:47:54
>435
 >>315, >>323-324
 【30】(USAMO 1977/5) L=6/25.
 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=234
 http://mathcircle.berkeley.edu/inequalities.pdf

L=1/4 なら簡単
 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=307


437 :132人目の素数さん:2005/09/19(月) 17:50:59
>436
 L=1/4, N=(n^2)/4 の方だけ...
 0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
 ∴ A + pq/H ≦ p+q.
 ∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(1/4)(p/q +q/p -2).

438 :132人目の素数さん:2005/09/20(火) 02:09:35
>>430
もし最大値が 1/8 と分かっていなかった場合は、どうするのでしょうか?
微分以外で…。

439 :132人目の素数さん:2005/09/21(水) 00:55:53
LMO 2002 らしい
正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
  (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

( ゚∀゚) 分からんぽよ。

440 :132人目の素数さん:2005/09/22(木) 06:02:07
>>439
こうかな?
s=1/√x、t=1/√y、u=1/√zとして1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)=s/(a/s)+t/(b/t)+u/(c/u)。
y=1/xに関する凸不等式より
(s/(s+t+u))(a/s)+(t/(s+t+u))(b/t)+(u/(s+t+u))(c/u))≧1/((ax+b+c)/(s+t+u))=(s+t+u)/(a+b+c)。
∴1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2/(a+b+c)。
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(a+b+c)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2―(1)。
同様にして
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(x+y+z)≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2―(2)。
(1)+(2)より
3(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))
≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2+(1/√x+1/√y+1/√z)^2
≧(3/(√(abc))^(1/3))^2+(3/(√(xyz))^(1/3))^2
=9/(abc)^(1/3)+9/(xyz)^(1/3)
≧18/(abcxyz)^(1/6)。
∴(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧2/(abcxyz)^(1/6)―(3)。
一方で
1/(abc+xyz)≦(1/2)/√(abcxyz)―(4)。
ここで1/2=(a+x)/2≧√(ax)、1/2=(b+y)/2≧√(by)、1/2=(c+z)/2≧√czであるから
abcxyz≦1/64。∴2/(abcxyz)^(1/6)≧(1/2)/√(abcxyz)―(5)。
(3),(4),(5)より
(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧1/(abc+xyz)。
∴(abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

441 :440:2005/09/22(木) 07:24:02
しまった。(5)の不等号逆だ・・・orz 吊って来る。

442 :132人目の素数さん:2005/09/23(金) 14:43:32
>439
こうかな?
 a+x-1=ξ, b+y-1=η, c+z-1=ζ とおく。
 abc = a(1-y+η)c, xyz = (1-a+ξ)yz より,
 (abc + xyz)(1/ay) = c/y -c +(c/y)η + z/a -z +(z/a)ξ = c/y +z/a -1 -ζ +(c/y)η +(z/a)ξ.
 循環的にたすと、
 (左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/y + y/b) -3 +
  = 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (y-b)^2 /by +
  ≧ 3 + .
 ここに、 = (z/a -b/x -1)ξ +(x/b -c/y -1)η +(y/c -a/z -1)ζ.
 題意より, ξ=η=ζ=0, ∴ =0, ∴ (左辺) ≧ 3.
ぬるぽ

443 :442:2005/09/23(金) 14:52:08
しまった。xがyに変わってる…orz 釣って来る。
 (左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/x + x/b) -3 +
  = 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (x-b)^2 /bx +
  ≧ 3 + .


444 :132人目の素数さん:2005/09/23(金) 16:28:07
>>439
> 正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
>   (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

これですな。しかし harazi の証明が分からんぶー
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?highlight=Leningrad+Olympiads+2002&t=2926

445 :132人目の素数さん:2005/09/23(金) 18:56:29
>444
 abc + (1-a)(1-b)(1-c) = (1-b)(1-c) + ca + ab-a.
これを使って次の式を得る。
 [abc + (1-a)(1-b)(1-c)] * 1/(a(1-b)) = (1-c)/a +c/(1-b) -1.
循環的にたす。
 LHS = {(1-c)/a + a/(1-c)} + {(1-a)/b + b/(1-a)} + {(1-b)/c +c/(1-b)} -3.
Apply now AM-GM for these 6 numbers.


446 :132人目の素数さん:2005/09/24(土) 02:56:04
みなさん、乙です。
シンプルなのに難しいですね。 ハァハァ…

447 :429:2005/10/02(日) 03:38:33
>>423
[429]の改良
(略証) yはxとzの間(端点も含む)にあるとしてよい。 このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。

(i) yがxとM の間にあるとき、 x, y, M, (z+x)/2, (y+z)/2, z の順。
 ∴ 線分(M、f(M))−(z,f(z))は 線分((z+x)/2,f(…))−((y+z)/2,f(…)) より上にある。
 ∴ f(z) + 3f(M) ≧ 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2).
 一方、f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).
 辺々たす。

(ii) yがMとzの間にあるとき、 x, (x+y)/2, (z+x)/2, M, y, z の順。
 ∴ 線分(x、f(x))−(M,f(M))は 線分(x+y)/2,f(…))−((z+x)/2,f(…)) より上にある。
 ∴ f(x) + 3f(M) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((z+x)/2).
 一方、 f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2).
 辺々たす。               (終)

448 :132人目の素数さん:2005/10/04(火) 00:04:23
>>411
 e^(1-t) = 1/e^(t-1) < 1/t より、
 e^{1 -e^(1-x)} < e^{1-(2-x)} = e^(x-1) = {e^(1 -1/x)}^x < x^x.
 両辺を e^(e-1)乗して、x=e-1 とOK.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/446


449 :132人目の素数さん:2005/10/04(火) 02:37:33
>>447
エレガントですね。

450 :132人目の素数さん:2005/10/04(火) 22:59:08
MOCP 2005-9 問406
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_sept.pdf

このタイプは初めてかな…

451 :132人目の素数さん:2005/10/05(水) 08:58:59
>>448
なるへそ! グッジョフビ!
問題の式が複雑なので、どこから手をつけていいか分かりませんでした。

452 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 19:54:45
>450

406. Let a,b,c be natural numbers such that the expression
   (a+1)/b + (b+1)/c + (c+1)/a
 is also equal to a natural number. Prove that the greatest common diviser of a,b and c, gdc(a,b,c),
 does not exceed (ab+bc+ca)^(1/3), i.e.,
   gdc(a,b,c) ≦ (ab+bc+ca)^(1/3).

[略解]
 (与式) = k とおいて通分すると、ca(a+1) + ab(b+1) +bc(c+1) = k・abc.
 ab + bc + ca = k・abc -ca^2 -ab^2 -bc^2 = (a,b,cの3次の整式).
 gcd(a,b,c)=d とし、a=da', b=db', c=dc' とおくと
 a'b'+ b'c'+ c'a' = (a',b',c'の3次の整式)d ≧ d.
 ab + bc + ca ≧ d^3.
 (ab + bc + ca)^(1/3) ≧ d.

453 :132人目の素数さん:2005/10/09(日) 04:40:26
東大スレより

462 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/08(土) 19:39:30
logf(x)=logx /x(x>0)とする。
(1)f(x)の増減表を書け。
(2)99^100と100^99の大小を比較せよ。

465 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/10/09(日) 01:34:05
>462 (2)
 C[n,k] = n(n-1)…(n-k+1)/(k!) < (n^k)/(k!) なので、二項定理より、
 (1 +1/n)^n = 納k=0,n] C[n,k] (1/n)^k < 納k=0,n] 1/(k!) < e.
 (n+1)^n / {n^(n+1)} = (1/n)(1+1/n)^n < (1/n)e <1.  (n≧3)
 ∴ n^(n+1) < n^(n+1).

454 :132人目の素数さん:2005/10/21(金) 23:14:01
非負実数 s(1),s(2),...,s(2004) が
s(1)+s(2)+...+s(2004)=2,
s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(2003)s(2004)+s(2004)s(1)=1
を満たすとき、s(1)^2+s(2)^2+...+s(2004)^2 の最大値、最小値を求めよ。

455 :132人目の素数さん:2005/10/21(金) 23:41:16
x,y∈[0,π/2]のとき
sin√(xy) ≧ √(sin(x)sin(y))
を示せ。

456 :132人目の素数さん:2005/10/21(金) 23:44:05
>>454-455
幼稚園児向けの問題ですか?

457 :園児にあ:2005/10/26(水) 03:19:23
>454
 最大値は s(1)^2+s(2)^2+・・・+s(n)^2 ≦ {s(1)+s(2)+・・・+s(n)}^2 -2{s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(n-1)s(n)+s(n)s(1)} =2^2 -2 =2.
 s↑=(1,1,0,・・・,0) のとき。

 最小値は 3/2, s↑=(1/2,1,1/2,0,・・・,0)のとき、かな??


458 :園児にあ:2005/10/28(金) 18:20:10
>455
 x∈(0,π/2) では 0 < sin(x) < x < tan(x).
 f(x)≡log{sin(x)/x} とおく。
 f '(x) = 1/tan(x) -1/x <0 (単調減少)より、f(√(xy)) > f((x+y)/2).
 f "(x) = -1/sin(x)^2 +1/x^2 < 0 (上に凸)より、f((x+y)/2) > {f(x)+f(y)}/2.
 辺々たすと f(√(xy)) > {f(x)+f(y)}/2, かな??

459 :132人目の素数さん:2005/10/29(土) 03:47:04
>458
 g(t)≡log(sin(e^t)) とおく。
 g '(t) = (e^t)/tan(e^t), g "(t) = -(2e^t -sin(2e^t))(e^t)/{1-cos(2e^t)} <0 (上に凸)
 ∴ g(log√(xy)) > {g(log(x)) + g(log(y)) }/2

460 :132人目の素数さん:2005/11/02(水) 22:13:29
Let x and y denote non-negative real numbers. Prove that sqrt(x/2) + sqrt(y/2) ≦ sqrt(x+y)
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200510&t=mat&l=en

461 :132人目の素数さん:2005/11/03(木) 03:02:16
>460
 {sqrt(x/2)+sqrt(y/2)}^2 + {sqrt(x/2)-sqrt(y/2)}^2 = x+y から。

462 :132人目の素数さん:2005/11/03(木) 14:09:52
>460 の所にありますた。

〔A.380〕
 単位正方形の内部に凸n角形Kがある。
 この多角形の3つの頂点を、それらが 80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすように、
 選べることを示してくださいです。。。


〔A.380〕
 The convex n-sided polygon K lies in the interior of a unit square.
 Show that it is possible to select three vertices of the polygon
 that form a triangle of smaller area than 80/(n^3) units.


463 :132人目の素数さん:2005/11/03(木) 14:33:44
>460
 v↑=(sqrt(x),sqrt(y)), e↑=(sqrt(1/2),sqrt(1/2)) とおくと、
 v↑・e↑ ≦ |v↑|.


464 :132人目の素数さん:2005/11/03(木) 14:53:52
(;´Д`)'`ァ'`ァ
たまらんね。
不等式に萌える自分は異常かもしれない…、だがやめられん。

465 :132人目の素数さん:2005/11/03(木) 14:56:52
>>462
これは、一辺が1の正方形内に凸n角形が入っていれば、
それがどんな凸n角形であろうとも、うまく3点を選べば、
80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすことを示せということですよね?
むじゅ…

466 :132人目の素数さん:2005/11/05(土) 16:07:26
東大入試スレにありますた。

786 :132人目の素数さん :2005/11/05(土) 00:26:13
a>0, b>0のとき、(a^b) + (b^a) >1 を示してくださいです。。。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/786

467 :132人目の素数さん:2005/11/05(土) 16:18:37
>466
 a≧1 のとき a^b≧1, b^a>0 より成立。 b≧1 のときも同様。
 残るは 0<a,b<1 のときである。
 ベルヌーイの不等式で 1+x=1/b とおくと
   (1/b)^a < 1 + a(1/b-1) = (a+b-ab)/b.
   ∴ b^a > b/(a+b-ab),
 同様に a^b > a/(a+b-ab).
 辺々たして a^b + b^a > (a+b)/(a+b-ab) >1. (終)

〔ベルヌーイの不等式〕
 (1+x)^a < 1+ax  if 0<a<1, x>-1.

 http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html

468 :132人目の素数さん:2005/11/07(月) 06:58:09
>>466->>467
( ゚∀゚) ハァハァ

ネタ投下
3ページ目 Prob.239
http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf

469 :132人目の素数さん:2005/11/08(火) 01:43:18
>468
 【Prob.239】
 鋭角三角形 ABC について、次を示せ。
cos{(A-B)/2} + cos{(B-C)/2} + cos{(C-A)/2} ≦ ((√2)/2){(a+b)/√(a^2+b^2) + (b+c)/√(b^2+c^2) + (c+a)/√(c^2+a^2)}.


470 :132人目の素数さん:2005/11/08(火) 02:38:33
1ページ目の問3の関数方程式 (不等式の友達の等式の親戚として大目に見てやって…)
1ページ目の問4の不等式と最大値の問題もサッパリでつよ
http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf

471 :132人目の素数さん:2005/11/09(水) 23:14:17
>468-469
(Prob.239)
倍角公式, cos(C)>0 (C<π/2), 第二余弦定理より
 {2(a^2 +b^2)}sin(C/2)^2 = (a^2 +b^2){1-cos(C)} ≦ a^2 +b^2 -2ab・cos(C) = c^2.
 ∴ sin(C/2) ≦ c/√{2(a^2+b^2)}.
これと補題から
 cos((A-B)/2) ≦ (a+b)/√{2(a^2+b^2)} ≦ 1, 等号は a=b, A=B のとき.  (終)

【補題】
 △ABC に対し cos((A-B)/2) = {(a+b)/c}sin(C/2), など.
(略証)
 ∠C の2等分線とABの交点をD, CからABに下ろした垂線を CH とすると、∠DCH = |A-B|/2.
 △ABC = (1/2)CH・c = (1/2)CD{c・cos[(A-B)/2]}.
 △BCD = (1/2)CD{a・sin(C/2)}.
 △ACD = (1/2)CD{b・sin(C/2)}.
 これを △ABC = △ABD + △ACD に代入する。(終)

※ a>0,b>0 のとき、2(a^2+b^2) ≧ (a+b)^2 ≧ 4ab,  等号は a=b のとき.

472 :132人目の素数さん:2005/11/10(木) 02:08:29
(Prob.232)
 線分AD上に2点B,Cがある。
AB=CD ならば 任意の点Pに対して PA+PD ≧ PB+PC.


473 :132人目の素数さん:2005/11/10(木) 06:33:37
>>472
P が線分 AD 上にある場合や、P が線分 AD の延長線上にある
場合には、題意は明らか。よって以下、そうでない場合を考える。

B (または C)が線分 AD の端点と一致する場合は題意は自明。
よって以下、そうでない場合を考える。

はじめに、B と C が一致しない場合を考える。

示すべき式の形から、4 点 A B C D は、この順に並んでいるとして
さしつかえない。このとき、AD の中点を M とすれば、5 点 A B M C D
はこの順に一直線に並んでいて、また M に関して対称である。

Mに関してPと対称な点をQとすると、対称性から PD = QA、
また PC = QB。したがって我々は 「PA + AQ ≧ PB + BQ」を
示せば十分である。

仮定から、点 B は三角形 APQ の内部にある。したがって、直線
PB を B の側に延長すれば、その延長線は三角形 APQ の周と
共有点をもつ。その点を R として、R が三角形のどの辺上にあるか
考えるが、直線 PR すなわち直線 PB は辺 PA および辺 PQ の
いずれとも一致しないから、R はこれら二辺の辺上にはなく、
したがって R は辺 AQ 上の点である。

三角形 PAR および三角形 BRQ で三角不等式からそれぞれ
PA + AR ≧ PR、BR + RQ ≧ BQ がいえていることに注意すると

 PA + AQ = PA + AR + RQ
        ≧ PR + RQ
        ≧ PB + BR + RQ = PB + BQ

これが示すべきことであった。B と C が一致する場合も同様である。

474 :132人目の素数さん:2005/11/12(土) 01:51:13
>473
 グッジョブ!

 直線ADに関してPと対称な点Rをとって
 凸多角形F ⊂ 閉曲線G ⇒ (Fの周長) < (Gの周長)
 でもいいらしい。

 凸多面体S ⊂ 閉曲面T ⇒ (Sの表面積) < (Tの表面積)
ハァハァ

475 :132人目の素数さん:2005/11/27(日) 21:06:17


476 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 23:02:07
>>58 問題D(7)
これでどうだ? おらっ!

Σ[k=0 to ∞](C[2k,k]/{(2k+1)*16^k})Σ[j=0 to k](-1)^jC[2k+1,k+j+1](2j+1)^(2p+1) = ?

477 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 23:09:56

  ( ⌒ )
   l | /
   ∧_∧  
⊂(*・∀・) ん〜これか? ほしいんだろ、これが!
 /   ノ∪        
 し―-J |l| |   
         人ペシッ!!
       __
       \  \
          ̄ ̄
自然数 m, n に対して、(m+n) !/(m+n)^(m+n) < (m!/m^m)・(n!/n^n) を示せ。

478 :132人目の素数さん:2005/11/30(水) 13:22:44
>>477
ハァハァ…

479 :132人目の素数さん:2005/12/01(木) 20:39:40
おれの解析の参考書(野本久夫著、「解析入門」、サイエンス社)にのってる式
 
 (√n)n^n<e^n・n!/√(2π)<(√n)n^n(1+1/4n) (n≧2)
 
をつかわせてもろたら簡単なんだけどな・・・この式証明まんどくせー

480 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 01:12:31
>477
a>0,b>0 のとき
 {(m+n)!/(m!n!)}(a^m)(b^n) = C[m+n,m](a^m)(b^n) < (a+b)^(m+n).
ここで a:b=m:n と桶。


(参考書)
 ハイゼンベルグ:「部分と全体 −私の生涯の偉大な出会いと対話−」みすず書房
 Werner Heisenberg: "Der Teil und das Ganze −Gesprache im Umkreis der Atomphysik−"

481 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 01:56:34
>>479
>>480
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ | グッジョブ!
 |::::: (● (● | 明日、図書館に行ってみます
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

482 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 02:07:40
>476
 δ_(p,0) らしいYo.

シンプルで難しい問題
 ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/414-417


483 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 02:21:57
不等式の問題 : MOCP (問418、問420)

( ゚∀゚)つ http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_dec.pdf


>>482
どうみてもグッジョブです。本当にありがとうございました。

どう見ても○○のガイドライン
http://ex13.2ch.net/test/read.cgi/gline/1132234454/l50

484 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 03:02:36
>483
[問418]
 (a) Show that, for each pair m,n of positive integers, Min{m^(1/n), n^(1/m)} ≦ 3^(1/2).
 (b) Show that, for each positive integer n, (1+1/√n)^2 ≧ n^(1/n) ≧1.
 (c) Determine an integer N for which n≧N ⇒ n^(1/n) ≦ 1.00002005。 Justify your answer.

[問420]
 Two circles intersect at A and B. Let P be a point on one of the circles.
 Suppose that PA meets the second circle again at C and PB meets the second circle again at D.
For what position of P, is the length of the segment CD maximum ?


485 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 03:19:32
なんか、Pを動かしてもCDの長さは変わらない気がするんだけど

486 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 19:54:31
>483-484
[問418]
(a) 1<m<n としてもよい。Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n).
 f(x) = (1/x)log(x-1) とおくと、f '(x) = {1 +1/(x-1) -log(x-1)}/(x^2) = g(x)/(x^2), g(x) は単調減少。
 x≦4 のとき g(x) ≧ g(4) = (4/3)-log(3) = 0.23472104・・・ >0, f '(x) >0, f(x) ≦ f(4) = (1/4)log(3).
 x≧5 のとき g(x) ≦ g(5) = (5/4)-log(4) = -0.13629436・・・ <0, f '(x) <0, f(x) ≦ f(5) = (1/5)log(4).

 n≦4 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 3^(1/4) = 1.31607401・・・
 n≧5 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791・・・
 ∴ Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791077289・・・

(b) n=1 の場合は明らかゆえ、n>1 とする。 1+x ≦ exp(x) より、
 1 +1/√n = 1/[1 -1/(1+√n)] > exp(1/(1+√n)) = {exp(-1+√n)}^(1/(n-1)) > (√n)^(1/(n-1)) = n^{1/(2(n-1))}.
 ∴ (1+1/√n)^2 > n^(1/(n-1)) > n^(1/n) >1.

(c) 1+1/√n < √1.00002005, 1/√n < 1.002494975・・・×10^(-5), n ≧ 0.9950286628×10^10 =N.


487 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 20:26:14
>483 の所にありますた。

[問421] 次を示してくださいです。。。。
 (a) 平面上の4角形 ABCD について、 AB・CD + AD・BC ≧ AC・BD
 (b) 空間内の4面体 ABCD について、 AB・CD + AD・BC ≧ AC・BD

ヒント
 http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html


488 :132人目の素数さん:2005/12/04(日) 03:32:59
>487
[解421]
(a) ∠A, ∠B, ∠D ≦π としてよい。∠A の内部の点Eを、△ABE と △ACD が等角になるようにとる。  
  △ABE ∽ △ACD  ・・・・・ (1)
 だから、AB:AC = AE:AD そして ∠BAC = ∠EAD. ゆえに二辺夾角の相似定理により
  △AED ∽ △ABC  ・・・・・ (2)
 (1)から AB・CD = AC・BE, (2)から AD・BC = AC・ED を得る。
 辺々加えて、AB・CD + AD・BC = AC・(BE+ED) ≧ AC・BD.

 小平邦彦: 「幾何のおもしろさ」 数学入門シリーズ 7, 岩波書店 (1985), 定理111, p.252-254
 矢野健太郎: 「幾何の有名な定理」 数学ワンポイント双書36, 共立出版 (1981), p.47-48

(a) 複素数平面を考え、A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
 (b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) ≡ (c-a)(d-b).   (← ヤコビの恒等式)
 ∴ |b-a|・|d-c| + |d-a|・|c-b| ≧ |c-a|・|d-b|.

 栗田 稔: 「数学100の定理」 数セミ増刊, p.16 (1983)

(b) AC,BDに平行な平面Π上に射影する。 右辺は減少し、左辺は元のまま。

489 :132人目の素数さん:2005/12/04(日) 06:38:35
>>488
(a) 幾何学的証明と複素数を用いた証明は、どちらも >>1[3] PP.23-24 にも載ってまつ。
(b) なるほど! その手があったか! さっぱり気づかなかったです。

490 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 03:37:08
これは既出ですか?

( ゚∀゚)つ 正の数 a、b、c に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a+b+c)(1/a + 1/b +1/c)

491 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/12/05(月) 07:49:56
talk:>>490
c=1としても一般性を失わない。
(a/b+b+1/a)^2-(a+b+1)(1/a+1/b+1)
=((a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b))/(ab)^2,
(a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-ab(a^2b+a^2+ab+ab^2+ab+b^2+ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-a^3b^2-a^3b-a^2b^3-ab^3-3a^2b^2-a^2b-ab^2
=a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2

新しい問題。
a,bが正の数のとき、a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2≥0を証明せよ。

492 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 09:41:41
talk:>>491
c=1などとして対称性を失わない。
(a/b+b/c+c/a)^2-(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=((ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca))/(abc)^2,
(ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+2(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)
          -abc(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)-abc(ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a(a^3+b^3-b^2a-ab^2)+a^2b(b^3+c^3-b^2c-bc^2)+b^2c(c^3+a^3-c^2a-ca^2)
=c^2a{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}+a^2b{(b+c)(b^2-bc+c^2)-bc(b+c)}+b^2c{(c+a)(c^2-ca+a^2)-ca(c+a)}
=c^2a(a+b)(a-b)^2+a^2b(b+c)(b-c)^2+b^c(c+a)(c-a)^2
≧0

493 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/12/05(月) 15:59:25
talk:>>492 c=1などとしないほうが分かりやすかったのか。

494 :132人目の素数さん:2005/12/06(火) 01:08:17
>476
>>58 問題D(7)
 1/C[n-1,k] + 1/C[n-1,k+1] = n/{(n-1)C[n-2,k]} を使いますた。

与式の左辺を S_n とおくと、
S_n = (1/n)Σ[k=0,n-1] 1/C[n-1,k]
 = (1/2n){納k=0,n-2] 1/C[n-1,k] + 納k=1,n-1] 1/C[n-1,k] + 2}
 = (1/2n)納k=0,n-2] { 1/C[n-1,k] + 1/C[n-1,k+1] } + 1/n
 = (1/2n)納k=0,n-2] n/{(n-1)C[n-2,k]} +1/n
 = {1/2(n-1)}{納k=0,n-2] 1/C[n-2,k]} + 1/n
= (1/2)S_(n-1) + 1/n.
 ∴ (2^n)S_n = {2^(n-1)}S_(n-1) + (2^n)/n = ・・・・・・ = 納k=1,n] (2^k)/k.
 ∴ S_n = 納k=1,n] 2^(k-n)/k = (右辺).
ぬるぽ

495 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 00:02:53
>490
 a,b,c>0 に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9.

(略証) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと xyz=1. 与式の各辺は
 (x^2 +2/x) + (y^2 +2/y) + (z^2 +2/z), (x+1 +1/x) + (y+1 +1/y) + (z+1 +1/z), 3 + 3 + 3.
のように分けられるので、
 x>0 のとき、 x^2 +2/x ≧ x+1 +1/x ≧ 3.
に還元される。これは
 (x^2 +2/x) -(x+1 +1/x) = (1/x)(x+1)(x-1)^2 ≧0,
 (x+1 +1/x) - 3 = (1/x)(x-1)^2 ≧0.
により成立。 等号は x=y=z=1, a=b=c のとき。
ぬるぽ


【類題】
 (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≧ 9.
 [前スレ.704](8), 解答は [前スレ.808]

496 :132人目の素数さん:2005/12/13(火) 01:18:01
29 :132人目の素数さん :2005/12/12(月) 21:58:26
三角ABCの内接円、外接円の半径をそれぞれr、Rとするとき R≧2rを示せ。

30 :132人目の素数さん :2005/12/12(月) 22:25:19
だから宿題をココに投下するなって

東大入試作問者スレ6
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/29


497 :132人目の素数さん:2005/12/13(火) 01:24:13
>496
@ 三角形の3辺を切る円は、内接円を含むから、半径>r.
A 各辺の中点A',B',C'を通る円(つまり△A'B'C'の外接円)の半径は, Rの1/2.
@Aより、R≧2r.
なお、n次元では R≧nr らしい。(清水多門氏)

参考書[3]の p.7〜8 例題4.


498 :132人目の素数さん:2005/12/13(火) 02:44:28
          ___     >>496
    |┃三 ./  ≧ \   懐かしい。
    |┃   |::::  \ ./ |   これは球殻不等式ですね。
    |┃ ≡|::::: (● (● |  
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ    せっかくなので、毒電波入りの別証を…。
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ
------------------------------------------------------------------------------
やっときましたね。おめでとう。

  △ABCの面積 S = (1/2)ab・sinC に正弦定理を用いて、R = abc/(4S)
  △ABCの半周長を s = (a+b+c)/2 とおくと、S = rs
  これより、示すべき不等式は abc ≧ 8S^2/s

なに かんがえてんだ!

  右辺にヘロンの公式 S^2 = s(s-a)(s-b)(s-b) を用いると、上式は abc ≧ 8(s-a)(s-b)(s-c)

どういうことだ?

  ここで x = s-a、y = s-b、z = s-c とおくと、結局、示すべき不等式は、
  x、y、z > 0 の条件下で、(x+y)(y+z)(z+x) ≧ 8xyz となる。

そこで そうかそうじょうへいきんか!

  そう!そのとおり!! わたしは ふとうしきを うちたおす ヒーローが ほしかったのです!

なにもかも あんたが かいた すじがきだったわけだ。

  なかなか りかいが はやい。 (以下略)

神のガイドライン http://ex13.2ch.net/test/read.cgi/gline/1131772534/l50

499 :132人目の素数さん:2005/12/13(火) 02:50:16
ワロス

500 :132人目の素数さん:2005/12/16(金) 10:13:49
三百三十三日三時間三十三分三十三秒。


501 :132人目の素数さん:2005/12/17(土) 09:29:40
>>494
ついでに、こやつめも殺っちゃってください。

( ゚∀゚)つ Σ[n=4 to ∞] Σ[k=2 to n-2] 1/C[n,k] = 3/2

502 :466:2005/12/17(土) 18:32:18
☆東大入試作問者スレ6 にありますた。

154 :132人目の素数さん :2005/12/17(土) 15:07:50
nを自然数とする。
∫[0,n] log(2^(2^x)+1) dx < 2^n を証明せよ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/154-157


503 :132人目の素数さん:2005/12/17(土) 19:50:21
>>502
うほっ! ムズそう!

504 :132人目の素数さん:2005/12/18(日) 10:15:22

  ( ⌒ )
   l | /
   ∧_∧  
⊂(*・∀・) これは、まだ解いてないですよね?
 /   ノ∪        
 し―-J |l| |   
         人ペシッ!!
       __
       \  \
          ̄ ̄
正の数 a、b、c が a+b+c+abc=4 をみたすとき、次を示せ。
a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) ≧ (a+b+c)/sqrt(2)

505 :466,502:2005/12/18(日) 17:24:28
>503
元スレの解答は...
 log(1+y) < y.
 2^x > e・log(2)x > x/log(2) より 2^(2^x) > e^x.
 log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).

∫[0,n] (2^x)log(2) dx < (左辺) < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
∴ [ 2^x ](x:0→n) < (左辺) < [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n)
∴ 2^n -1 < (左辺) < 2^n -e^(-n) < 2^n.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/159

506 :132人目の素数さん:2005/12/18(日) 22:31:42
>501
先にnの和を取る。
 1/C[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)}
 = {1/(k-1)}{ k!/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] - k!/[n(n-1)…(n-k+2)] }
 = {k/(k-1)}{ 1/C[n-1,k-1] - 1/C[n,k-1] }. より
 納n=k+2,∞) 1/C[n,k] = k/{C[k+1,k-1](k-1)} = k/{C[k+1,2](k-1)} = 2/{(k+1)(k-1)} = 1/(k-1) - 1/(k+1).
そこで kの和をとると、
 納k=2,∞) {1/(k-1) -1/(k+1)} = 1 + 1/2 = 3/2.

〔不等式ぢゃねぇのに ハァハァしちまった。今は反省している。〕

507 :132人目の素数さん:2005/12/20(火) 01:18:25
>>506
> 先にnの和を取る。

n と k は別々に極限をとっていいのですか?
その辺がよく分からないので、もう少し詳しくお願いします。
自分は、次のように考えて、止まりました。

lim[m→∞] 納n=4, m] 納k=2, n-2] 1/C[n, k]
= 納k=2, m-2] 納n=4,m] 1/C[n, k]
= 納k=2, m-2] k/(k-1) 納n=4,m] {1/C[n-1, k-1] - 1/C[n, k-1] }
= 納k=2, m-2] k/(k-1)*{1/C[k+1, k-1] - 1/C[m, k-1] }
= 納k=2, m-2] 2/(k-1)(k+1) - 納k=2, m-2] k/{(k-1)*C[m, k-1]}
= 1 + 1/2 - 1/(m-2) -1/(m-1) - 納k=2, m-2] k/{(k-1)*C[m, k-1]}

第2項の変形が、上手くいかね…

508 :132人目の素数さん:2005/12/20(火) 01:36:29
>507
 絶対収束の場合は,収束性が項の順序に無関係になるらしい。。。

高木: 「解析概論」 改訂第三版, 岩波書店, p.173 (1961), 第4章 §50.二重級数


509 :132人目の素数さん:2005/12/20(火) 02:55:48
>>508
なるほど、ありがとうございました。

>>325
その変形が、思いつきそうにないです。差をとって簡単にできないでしょうか?

510 :132人目の素数さん:2005/12/20(火) 02:57:29
> (左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a)
> ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d) = 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)]
> ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)] = [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d)
> ≦ 4・[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4・(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺)

この変形のことです

511 :132人目の素数さん:2005/12/20(火) 22:33:01
>>505
2行目の
>  2^x > e・log(2)x > x/log(2) より …

ここが、さらっと出ないんですけど、どう考えるのですか?
おねげぇしますだ。

512 :132人目の素数さん:2005/12/21(水) 01:10:43
>511
 1行目で 1+y=Y とおくと、log(Y)<Y-1, e・Y<e^Y, 2^x = exp{log(2)・x} > e・log(2)・x,
 e・{log(2)}^2 ≒ 1.3060067 > 1.


513 :132人目の素数さん:2005/12/21(水) 01:26:09
>504
f(x) = 1/sqrt(x) は f>0, f'<0, f">0 を満足する。
よって Jensen により
 (左辺) = a・f(b+c) +b・f(c+a) + c・f(a+b) ≧ s・f(2t/s).
ここに、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいた。
補題↓により t≦s だから
 s・f(2t/s) ≧ s・f(2) = (右辺).
ぬるぽ

〔補題〕a,b,c>0, a+b+c+abc=4 ならば ab+bc+ca ≦ a+b+c.
(略証)
a,b,c の基本対称式を s,t,u とおく。題意により s+u-4=0.
 s^3 -4st +9u ≧ 0.      (← 参考書[1]の定理80 >>38 >>399 n=1の場合)
 (s/3)^3 +s -4 ≧ u +s -4 =0, 左辺は単調増加だから s≧3.
これらより、
 4s(s-t) = (s^3 -4st +9u) +(s^2 -9)u - (s+u-4)s^2 ≧0.
 ∴ t≦s. (終) 

514 :132人目の素数さん:2005/12/21(水) 02:21:50
>>286
> (3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
>   (2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)

>>325
>  a=sin(A), b=sin(B), c=sin(C), d=sin(D) とおくと 0≦a,b,c,d≦1.
>  (左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a) ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d)
>  = 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)] ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)]
>  = [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d) ≦ 4・[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4・(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺).
>  等号成立は a=c=0, b=d=1 のとき。
> ぬるぽ

>>325 をみて、こうやったけどOK?

(右辺) - (左辺)
= 4(2+a+c)/(2+b+d) - (2+a+b)/(2+b+c) - (2+c+d)/(2+d+a)
≧ 4(2+a+c)/(2+1+1) - (2+a+b)/(2+b+0) - (2+c+d)/(2+d+0)
= a+c - a/(2+b) - c/(2+d)
= a{1-1/(2+b)} + c{1-1/(2+d)}
≧ 0

( ゚∀゚) テヘッ
しかし、この方法では >>326 の系の証明に使えない…

> 【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
>  4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+b+c)/(2+c+d) + (2+c+d)/(2+d+a) + (2+d+a)/(2+a+b) < 4 +3/2 = 11/2.
>  (略証)  [325]より、(325の左辺) ≦ 2 + 3(a+c)/[2(a+b+c+d)].

515 :132人目の素数さん:2005/12/21(水) 02:30:00
>>512
嗚呼! 成る程、感謝ナリ
( ゚∀゚) テヘッ

516 :132人目の素数さん:2005/12/21(水) 02:41:29
>>326
つまり、こういうことですか?

1≦a、b、c、d≦2 に対して、
 4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) ≦ 11/2

               _.. ..‐::´/
             _/::::::::::::/
           _/:::::::::::::/ ____
         ,..::::´::::::::::::::::::::: ̄:::::::::::._/
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  _ .. -─':::::::::::::::、::|`'   ,   .!::∠
  `'' ‐-.._:::::::;-‐、`(●)  (●) |::::`::-、   オッス!オラ悟空
 =ニ二::::::::::::::::|6    \___/、| -──` クリスマスを一人で過ごすというのに
    ‐=.二;;;;;`‐t    \/  ノ       なんだかすっげえワクワクしてきたぞ!

517 :132人目の素数さん:2005/12/21(水) 02:42:46
>>516
あ、右辺の不等号を ミスった。書き直し。

1≦a、b、c、d≦2 に対して、
 4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2.

518 :132人目の素数さん:2005/12/22(木) 01:38:55
>514
【系】(>>326)
(略証) 0≦a,b,c,d≦1 より
(2+a+b)/(2+b+c) ≦ (2+a+b)/(2+b) = 1 + a/(2+b) = 1 + 1.5a/(3+1.5b) ≦ 1 + 1.5a/(a+b+c+d).
 循環的にたす。


519 :132人目の素数さん:2005/12/22(木) 07:18:54
>>518
さすがでござるよ、ニンニン。 ( ゚∀゚)

520 :132人目の素数さん:2005/12/22(木) 09:47:33
>>513
> 〔補題〕a,b,c>0, a+b+c+abc=4 ならば ab+bc+ca ≦ a+b+c.

条件式と相加相乗から 1≧abc なので、a+b+c≧3 (等号はa=b=c=1)
対称性から a≧b≧c (>0) としてもヨーシヨシいい子だ。 このとき a≧1≧c (>0)
b = (4-c-a)/(1+ca) より、
a+b+c-(ab+bc+ca) = {(c+a-2)^2 + ca(a-1)(1-c)}/(1+ca) ≧ 0 (等号はa=b=c=1)

アッテマスカ? ( ゚∀゚) テヘッ

521 :132人目の素数さん:2005/12/22(木) 10:05:52
>>513
a, b, c に上限があるから、a・f(b+c) +b・f(c+a) + c・f(a+b) の最大値も求まるでしょうか?

522 :518:2005/12/22(木) 23:39:00
>514
【系】(>>326)
 (2+a+b)/(2+b+c) + …… ≦ 5.
(略証)
0≦a,b,c,d≦1 より (a-c)/(2+b+c) ≦ 1/2, 2-b-c≧0.
加比の理 より、   ( >>348 )
 (2+a+b)/(2+b+c) = 1 + (a-c)/(2+b+c) ≦ 1 + [a-c +(2-b-c)/2]/[2+b+c +(2-b-c)] = 1 + [1+a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
 (左辺) ≦ 4 + [4-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.


523 :513:2005/12/23(金) 00:25:42
>520
まる。
 http://www.hakutsuru.co.jp/maru/index.html

524 :132人目の素数さん:2005/12/23(金) 05:04:59
>>522
おー、すげっ!
でも、等号成立条件が分からないです。
右辺の等号成立条件は a+b+c+d=0 (0≦a,b,c,d≦1) のときだから、a=b=c=d=0
これを左辺に代入すると (左辺)=4 となって…

525 :132人目の素数さん:2005/12/23(金) 05:12:24
>>348の加比の理の証明の中で = ad-bc = 0 のときだから、
>>522の証明の中で (a-c)・(2-b-c) - (2+b+c)・[(2-b-c)/2] = 0 を解いて
 2a=2+b+3c (0≦a,b,c,d≦1) ⇔ a=1, b=c=0
てことは、等号は成立しないってことですね?

526 :522:2005/12/23(金) 11:15:04
>524-525
訂正....

【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
 4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + …… < 5.
 等号成立は a=c,b=d のとき。

527 :513:2005/12/23(金) 22:59:10
>521
a=c=ε, b=(4-2ε)/(1+ε^2) とおいて ε→0 とすると…

もうだめぽ
 ttp://a-cats-yawn1986.seesaa.net/article/10671208.html

528 :132人目の素数さん:2005/12/23(金) 23:47:50
>>527
なるほど。

ΩΩ Ω <ナ、 ナンダッテー

529 :132人目の素数さん:2005/12/23(金) 23:51:58
正の数 a, b, c が ab+bc+ca+abc=4 をみたすとき
1+a+b+c ≦ abc+ 1/a + 1/b + 1/c を示せ。

似たようなのがあったようなハロゲンガス

530 :132人目の素数さん:2005/12/24(土) 00:08:05
連続関数 f(x) に対して、∫[0, 1]e^{f(x)}dx ≦ e^(∫[0, 1]f(x)dx) を示せ。

531 :132人目の素数さん:2005/12/24(土) 01:14:15
>>530
∫[0,1]f(x)dx=aとおく。e^t≧(e^a)(t-a)+e^aが任意のtで成立するゆえ
e^{f(x)}≧(e^a)(f(x)-a)+e^a。∴∫[0,1]e^{f(x)}dx≧∫[0,1]((e^a)(f(x)-a)+e^a)dx=e^a=e^(∫[0,1]f(x)dx)
・・・不等号逆じゃね?

532 :132人目の素数さん:2005/12/24(土) 02:05:48
>>531
> ・・・不等号逆じゃね?


仰せの通りにごぜえます

 |
 8 < シンデ オワビヲ…
 '`
  ̄

533 :531:2005/12/24(土) 02:27:41
>>532
ィ`

534 :132人目の素数さん:2005/12/25(日) 22:53:51
>529
 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
 題意より t + (t/3)^(3/2) ≧ t + u = 4, 左辺は単調増加だから t≧3.
 (右辺) = u + t/u = 3u/4 + [t^2 -(t-u)(t+u-4)]/(4u) +1 = 3u/4 + (t^2)/(4u) +1 だから
 s ≦ 3u/4 + (t^2)/(4u).
 を示せばよい。
 (左辺) - (右辺) = s -(t^2)/(4u) -3u/4 = (4su-t^2)/(4u) -3u/4
 ここで、t^3 -4stu +9u^2 ≧0 (*) を使うと
 (左辺) - (右辺) ≦ 9u/(4t) -3u/4 = -3(t-3)u/(4t) ≦ 0.
ぬるぽ

*) Schur の不等式  >>399 , 参考書[1]の定理80, 参考書[3]のp.28
 F_n = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧0.
 n=-2 の場合は
 F_(-2) = (1/a^2)(a-b)(a-c) + (1/b^2)(b-c)(b-a) + (1/c^2)(c-a)(c-b)
= (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0


535 :132人目の素数さん:2005/12/30(金) 16:11:30
さくらスレ182にありますた。

905 :132人目の素数さん :2005/12/30(金) 10:13:33
絶対値が1より小さい4つの実数a,b,c,dに対し、a+b+c+d < 3+abcd が成り立つことを示せ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134810000/905 ,913


536 :132人目の素数さん:2005/12/30(金) 17:36:54
>>535
|a|, |b| < 1 に対して、(1+ab)-(a+b) = (1-a)(1-b) > 0 より、a+b < 1+ab が成り立つ。

|a|, |b|, |c|, |d| < 1 のとき、|ab|, |abc| < 1 より、上の不等式を繰り返し用いる。
 (a+b)+c+d < 1+ab+c+d < 2+abc+d < 3+abcd

( ゚∀゚) テヘッ

537 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 05:02:02
123

538 :534:2006/01/02(月) 18:09:21
>529
Schurの不等式について (補足)
F_(-n)≧0 と F_(n-1)≧0 は同値
 F_(-n) (a,b,c) = F_(n-1) (1/a,1/b,1/c)
 F_n(a,b,c) = G_n(s,t,u) とおくと、
 G_(-n) (s,t,u) = G_(n-1) (t/u,s/u,1/u)

539 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 00:26:58
( ゚∀゚)つ 「 正の数 a, b, c, d に対して、
       sqrt(a+b+c+d) + sqrt(b+c+d) + sqrt(c+d) + sqrt(d) ≧ sqrt(a+4b+9c+16d) 」

540 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 02:20:05
さくらスレにありますた。

276 :132人目の素数さん :2006/01/04(水) 20:54:36
 π^e とe^3 はどっちが大きいか教えてください。
 計算機に頼らないとき方はないですか?

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136023134/276-280 ,395


541 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 02:50:04
>539
 √(a+b+c+d)=w, √(b+c+d)=z, √(c+d)=y, √d=x とおくと、0≦x≦y≦z≦w.
 (左辺)^2 = (x+y+z+w)^2 = (x^2+y^2+z^2+w^2) + 2x(y+z+w) +2y(z+w) +2zw ≧ 7x^2 +5y^2 + 3z^2 +w^2 = a + 4b + 9c +16d = (右辺)^2.


542 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 11:43:23
>>540
395 :132人目の素数さん :2006/01/06(金) 02:15:34

 9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
 ∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
 ∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.

543 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/01/06(金) 12:13:07
talk:>>540
19/7<e, 28/9<πなので(これも要証明だが省略。)、
19/7*ln(28/9)が3より大きいことを証明すればよい。
exp(21/19)が28/9より小さいことを示すことにしよう。
exp(21/19)<1+21/19+(21/19)^2/2*∑_{n=0}^{∞}((7/19)^n)=467/152<28/9.
よってπ^e>e^3.

544 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 16:50:00
>>540
改造したくなるのが不等式ヲタの…
(
゚∀゚)つ 「 e^π > π^e > e^3 を示せ。」

545 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 19:55:23
>>539
つ 【三角不等式】

546 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 20:17:16
>>542
>  9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
>  ∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
>  ∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.

2行目の 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} を解説お願いします。
もっとスッキリした証明はないのでしょうか?

547 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 20:48:43
>545,539
【n角不等式】
 |x↑| + |y↑| + |z↑| + |w↑| + … ≧ |x↑ + y↑ + z↑ + w↑ + … |

 x↑ = (√d, 0, 0, 0,0,0,…),
 y↑ = (√d,√c, 0, 0,0,0,…),
 z↑ = (√d,√c,√b, 0,0,0,…),
 w↑ = (√d,√c,√b,√a,0,0,…),
を代入する?

>544
 y=exp(x) は下に凸だから exp(x) > 1+x (x≠0),
 p≠e とする。log{log(p)}≠log(1)=0 だから log(p) > 1 + log(log(p)).
 ∴ p > e・log(p)
 ∴ e^p > p^e.

『大学への数学』(1970.11)
「数学の問題 = 第B集」数セミ増刊、日本評論社 (1988.9) 第27問

548 :542:2006/01/06(金) 21:02:45
>546
>547 の exp(x) > 1+x から -log(1+x) > -x.
 これに x=1-(3/e) を代入する。
 もっといい証明があれば うpシロン.

>547 の訂正
 p>1, p≠e とした。 (p≦1 の場合は明らか)


549 :132人目の素数さん:2006/01/06(金) 21:22:05
>>546
> 2行目の 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} を解説お願いします。 … ★


つ ★ ⇔ log{2-(3/e)} < 1-(3/e)

('A`) : なに かんがえてんだ!

つ ★ ⇔ 1-3/e = t とおくと、log(1+t) < t

('A`) : どういうことだ!

つ 【y=log(1+x)の原点における接線】

('A`) : なにもかも あんたが かいた すじがきだったわけだ

つ なかなか りかいが はやい。 (以下略)

550 :132人目の素数さん:2006/01/09(月) 14:40:05
東大スレ [381-313] より。

面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y) の最小値を求めよ。

X = y+z-x > 0, Y = x+z-y > 0, Z = x+y-z > 0 とすると
x = (Y+Z)/2, y = (X+Z)/2, z = (X+Y)/2, x+y+z = X+Y+Z
s = (x+y+z)/2 = (X+Y+Z)/2

三角形の面積が1なので、
√s(s-x)(s-y)(x-z) = √((X+Y+Z)/2)(X/2)(Y/2)(Z/2) = 1
∴ √((X+Y+Z)XYZ) = 4 <=> XYZ(X+Y+Z) = 16 -- (1)

ところで相加相乗調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 3/(XYZ) <= (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) <= 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺辺掛け合わせて
27/(XYZ(X+Y+Z)) <= (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27/16)^(1/4) = 3^(3/4)/2 <= 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/3)

ところで 相加・相乗・調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 27/(XYZ) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺々掛け合わせて
(27・9)/(XYZ(X+Y+Z)) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27・9/16)^(1/4) = 3^(1/4)・(3/2) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/4) のとき。

551 :540:2006/01/09(月) 16:20:51
>542-543
 グッジョビ!

>544
改造したくなるのが不等式ヲタの…
( ゚∀゚)つ 「e^e < 3^e < e^3 < π^e < e^π < 3^3 < π^3 < 3^π < π^π を示せ。」

出題(不等式)
 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=377

552 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/01/09(月) 17:20:57
talk:>>551 難しいのは e^π < 3^3 の部分だけだ。( e^3 < π^e は済み。)

553 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/01/09(月) 18:00:59
talk:>>551
e=∑_{n=0}^{∞}(1/n!)>0かつe=∑_{n=0}^{∞}(1/n!)<1+∑_{n=0}^{∞}(2^(-n))=3より、e^e<3^e.
x>0でxをx^(1/x)に対応させる関数をfとおくと、fの導関数は、(1-ln(x))/x^2*exp(ln(x)/x)なので、
fは0より大かつeより小のところで単調増加、eより大のところで単調減少。よって、3^e=(3^(1/3))^(3e)<(e^(1/e))^(3e)=e^3.
π=4*∑_{n=0}^{∞}((-1)^n/(2n+1))で、π>4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11=10312/3465>3より、
e<3<π.よってπ^e<e^π.さらに、3^3ππ^3<π^3<3^π<π^π.
これでほとんどの部分は示した。
e^π<3^3については、π<13/4を示して、e^(13/12)<3であることを証明すればよい。
π<4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+4/13-4/15+4/17-4/19+4/21=47028692/14549535<13/4であり、
e^(13/12)<1+13/12+169/288*∑_{n=0}^{∞}(3^(-n))=619/216<3.

554 :132人目の素数さん:2006/01/11(水) 22:18:11
>>507
こやつめも、ぜひ、こらしめてください。

( ゚∀゚)つ Σ[k=1 to n] C[n、k]*C[kn、n] = -(-n)^n

MOCP 429
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_jan.pdf

555 :132人目の素数さん:2006/01/11(水) 22:42:14
(1-(1+x)^n)^n = (-x)^n (Σ_[k=0,n-1] (1+x)^k)^n

556 :132人目の素数さん:2006/01/12(木) 01:03:47
>554

>555 の式を展開すると
 納k=0 to n] (-1)^k C[n,k] (1+x)^kn = (-x)^n {n + (xの1次以上の項)}^n.
その x^n の係数は
 納k=1 to n] (-1)^k C[n,k]*C[kn,n] = (-n)^n.


557 :132人目の素数さん:2006/01/12(木) 14:21:47
>>555-556
なるほど、ありがとうごぜいます。( ゚∀゚) ハァハァ

558 :132人目の素数さん:2006/01/12(木) 22:41:14
問題1. 0<x<1 に対して、{1+x^3(1-x)^3}(1-x^2)/(1+x^2) < sin(πx)/(πx)

問題2.複素数 a,b,c に対して、sqrt(a^2+b^2+c^2) ≦ max(|a|+|b|, |b|+|c|, |c|+|a|)
       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|     
      ヽ::::......ワ...ノ     彡
        人つゝ 人,,   
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ      よろしくお願いします。
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

559 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 21:13:44
>554,557

( ゚∀゚)つ Σ[k=2 to n] (-1)^k C[n,k]*C[kn,n+1] = (-1)^n・(1/2)(n-1)・n^(n+1)

( ゚∀゚)つ Σ[k=2 to n] (-1)^k C[n,k]*C[kn,n+2] = (-1)^n・(1/8)(n -5/3)(n+1)(n-1)・n^(n+1)


560 :132人目の素数さん:2006/01/16(月) 00:58:38
問題(1)
nを6以上の自然数とするとき、
 √{7(n+1)}・C(n,[n/2]) > 2^(n+1)
となることを示してくださいです。。。
ただしC(n,k)を二項係数、[x]をガウスの記号としまつ。

整数論の問題を出し合うスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/181 ,230
を改作

561 :132人目の素数さん:2006/01/17(火) 05:10:09
>>559
x^(n+1)、x^(n+2) の係数を比較するのでつね。

562 :132人目の素数さん:2006/01/17(火) 13:38:42
>>560
> n≧6 ⇒ √{7(n+1)}・C(n,[n/2]) > 2^(n+1)
> をnに関する帰納法で示しまつ。
> n=6 のとき 7C[6,3] = 7・20 = 140 > 128 = 2^(6+1) で成り立つ。
> n=7 のとき √(56)・C[7,3] > 7.4・35 = 259 > 256 = 2^(7+1) で成り立つ。
> n=2m-1 のとき成り立てば、
>  C(2m,m) = (2m)!/(m!)^2 = 2*(2m-1)!/{(m-1)!m!} = 2C(2m-1,m-1)
>  C(2m+1,m) = (2m+1)!/{m!(m+1)!} = 4{(2m+1)/(2m+2)}・C(2m-1,m-1) > 4√{2m/(2m+2)}・C(2m-1,m-1) ←(*)
> より n=2m,2m+1 のときも成り立つ。(終)
>
> (*) (2m+1)^2 = 2m(2m+2) +1 > 2m(2m+2) ゆえ {(2m+1)/(2m+2)}^2 > 2m/(2m+2).
>
> なお、左辺は右辺 2^(n+1) の 140/128倍を超えない。


最後の行について、 (35/32)*2^(n+1) > √{7(n+1)}・C(n,[n/2]) の証明をきぼんにゅ。

563 :132人目の素数さん:2006/01/17(火) 14:21:09
>>562
n≧4で成り立つのではアルマジロ?

564 :560:2006/01/20(金) 23:57:21
>562
r(n) = (左辺) / (右辺) = √{7(n+1)}・C(n,[n/2]) / 2^(n+1) ≦ 140/128 を示しまつ。
r(n) = r(n-2)・n√(n^2 -1) /{4[n/2](n-[n/2])},
r(2m) = r(2m-2)・√{(2m)^2 -1} /(2m) < r(2m-2), 単調減少.
r(2m+1) = r(2m-1)・(2m+1) /√{(2m+1)^2 -1} > r(2m-1), 単調増加.
また、r(2m) = r(2m+1)・√{(2m+2)/(2m+1)} > r(2m+1) より有界なので収束する。 (*)
∴ 140/128 = r(6) > r(8) > … > r(2m) > … > √(7/2π) > … > r(2m+1) > … > r(7) > r(5) > 1.

*) 高木: 「解析概論」 改訂第三版, 岩波, p.8 (1961.5), 第T章, §4, 定理6

565 :132人目の素数さん:2006/01/21(土) 03:59:03
>>564
r(n)の極限はどうやるのですか?

566 :564:2006/01/21(土) 16:18:34
>565
( ゚∀゚)つ [ワリスの公式]

 √(2m+1)・C(2m,m) / (2^m)^2
 = √(2m+1)・(2m)! / [(m!)(2^m)]^2
 = √(2m+1)・(2m)! / [(2m)!!]^2
 = √(2m+1)・(2m-1)!! / (2m)!! → √(2/π). (m→∞)

高木: 「解析概論」 改訂第三版, 岩波, p.116 (1961.5), 第3章, §35
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html

r(2m) → (1/2)・√7・√(2/π). (m→∞)
r(2m+1) = r(2m)・√{(2m+1)/(2m+2)} → 同上

567 :132人目の素数さん:2006/01/22(日) 03:05:56
>>566
成程。ありがとうございまふ。

568 :132人目の素数さん:2006/01/23(月) 01:14:59
( ゚∀゚)つ {(n!)^(1/n)} /n > 1/e.

分かスレ228
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137775255/184 ,222
を改作

569 :132人目の素数さん:2006/01/23(月) 02:43:02
>>568
キタキタキタキタ━━━(゚∀゚≡(゚∀゚≡゚∀゚)≡゚∀゚)━━━━!!!!!!!!!!

570 :132人目の素数さん:2006/01/23(月) 04:32:22
>>568
> 対数を考えると、
> (1/n)log(n!) - log(n) = (1/n)Σ[k=1,n] log(k/n) → ∫[0,1] log(x)dx = [ x・log(x) -x ](x=0,1) = -1.
> ∴ 与式 = 1/e.

571 :132人目の素数さん:2006/01/23(月) 04:33:46
>>570
これは lim_[n→∞]{(n!)^(1/n)}/n = 1/e の証明でした…

572 :132人目の素数さん:2006/01/23(月) 21:50:05
>568 を改作

( ゚∀゚)つ ∫[1/n,1] log(x)dx - (1/2n) > log{(n!)^(1/n) /n} > ∫[1/2n, 1-(1/2n)] log(x)dx > -1.


573 :スター林檎:2006/01/24(火) 00:18:33
>572 から
 log{(n!)^(1/n) /n} = (1/n)Σ[k=1,n] log(k/n) > ∫[1/2n, 1+(1/2n)] log(x)dx
 = [ x・log(x) -x ] = (1 +1/2n)log(1 +1/2n) +(1/2n)log(2n) -1 ≧ (1/2n)log(2en) -1.  ←(*)

∴ n! > n^(n+1/2)・e^(-n)・√(2e).
 
*) a>0 ⇒ (1+a)log(1+a) = -(1+a)log{1 - a/(1+a)} ≧ a.

574 :132人目の素数さん:2006/01/24(火) 00:38:06
>573
 n! 〜 n^(n +1/2)・e^(-n)・√(2π) だが...

たまには意味の無いことも
ttp://mash1.or.tv/centerlink/patio/patio.cgi?mode=view&no=37

575 :スター林檎:2006/01/24(火) 01:26:15
遅れましたが自己紹介させていただく
名はリンゴォ・ロードアゲイン
3年ほど前、砂漠で「能力」を身につけた「スタンド使い」…
能力名は「マンダム」
そう認識していただきたい
ほんの「6秒」、それ以上長くもなく短くもなく
きっかり「6秒」だけ「時」を戻すことができる
それが能力  ゴゴゴゴゴ…

576 :574:2006/01/25(水) 01:45:30
スター林檎の不等式は
 n^(n +1/2)・e^(-n +1/12n)・√(2π) > n! > n^(n+1/2)・e^(-n)・√(2π) だが...

高木: 「解析概論」 改訂第三版, 岩波書店, p.258-260 (1961.5) 第5章 §69


たまには意味の無いことも
ttp://centerlink.chu.jp/patio/patio.cgi?mode=view&no=37

577 :132人目の素数さん:2006/01/25(水) 05:48:00
>>576
> たまには意味の無いことも
> ttp://centerlink.chu.jp/patio/patio.cgi?mode=view&no=37

ほんと意味不明。 なにが言いたいのか?

578 :132人目の素数さん:2006/01/25(水) 07:50:04
複素数 a, b に対して、三角不等式 |a+b| ≦ |a|+|b| が成り立ちますが、
この成立条件は 一方が他方の定数倍のときですが、これを繰り返し用いると、

複素数 a, b, c に対して、三角不等式 |a+b+c| ≦ |a|+|b|+|c| が成り立ちますが、
この等号成立条件は一体何でしょうか?

579 :132人目の素数さん:2006/01/27(金) 02:16:44
>578
 n角不等式
 a,b,c,… が互いに非負実数倍のとき。

580 :132人目の素数さん:2006/01/27(金) 08:08:48
>>579
なるほど。ありがとうございます。
非負実数倍じゃないとだめぽですね。

581 :132人目の素数さん:2006/01/31(火) 04:02:55
nを自然数とするとき、次式の大小を比較せよ。
{(2^n - 2)/(n-1)}^(n-1)、 {(2^n - 1)/n}^n、{(2^n)/(n+1)}^(n+1)

よろしくおねがいしまする。

582 :132人目の素数さん:2006/02/01(水) 11:19:43
>>581
わかんね。

583 :132人目の素数さん:2006/02/02(木) 14:00:15
a, b, c, x ,y, z > 0 のとき、a^2/x + b^2/y + c^2/z ≧ (a+b+c)^2/(x+y+z) を示せ。

この不等式って、置き換えたら有名不等式だった〜なんていう秘密はありますか?

584 :132人目の素数さん:2006/02/02(木) 15:26:40
>>583
( ゚∀゚)つ 【Jensenの不等式】

585 :132人目の素数さん:2006/02/02(木) 20:50:23
>>583
( ゚∀゚)つ 【Cauchyの不等式】

∵ (a/√x, b/√y, c/√z) と (√x, √y, √z) の内積は a+b+c.


586 :132人目の素数さん:2006/02/02(木) 21:51:58
>>581
 n=2,3 のときは直接代入する。
 n≧4 のとき  N = 2^n -1 > 3(n+1) > e(n+1).
 補題↓により、 {N/(n-1)}^(n-1) < (N/n)^n < {N/(n+1)}^(n+1)

〔補題〕
 {(n+1)/n}^n <e.
(略証)
 {(n+1)/n}^n = (1 + 1/n)^n= Σ[k=0,n]C[n,k] (1/n)^k = Σ[k=0,n] (1/k!) (1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n) < Σ[k=0,n] 1/k! < e.
 ※ 左辺はnについて単調増加。

587 :132人目の素数さん:2006/02/02(木) 23:30:22
>>584-585
潮騒キボンヌ!

588 :132人目の素数さん:2006/02/03(金) 21:32:25
>>584-585
やっと理解しました。ありがとうございます。
いや、このスレの空気からすると、こういうべきなんでしょうか?
( ゚∀゚) ハァハァ

589 :132人目の素数さん:2006/02/04(土) 07:02:55
>>586
まだ分からないです。

n≧4 のとき  N = 2^n -1 > 3(n+1) > e(n+1).
補題により、{(n+2)/(n+1)}^(n+1) > {(n+1)/n}^n > {n/(n-1)}^(n-1)

ここから、{N/(n-1)}^(n-1) < (N/n)^n < {N/(n+1)}^(n+1) に持っていくやり方をお願いします

590 :586:2006/02/04(土) 17:58:11
>589
 {n/(n-1)}^(n-1) <e.
 1/N < 1/(en).
 を辺々掛けて
 {N/(n-1)}^(n-1) / {(N^n)/n^(n-1)} < 1/n.

 {(n+1)/n}^n <e.
 1/N < 1/{e(n+1)}.
 を辺々掛けて
 (N/n)^n / {N^(n+1)/(n+1)^n} < 1/(n+1).

 ※ 以下は蛇足ですた。

〔別法〕
 f(x) = x^(1/x) とおくと {log f(x)} ' = {(1/x)log(x)} ' = [1-log(x)]/(x^2).
 x>e では f(x)は単調減少なので
 f((N/(n-1)) < f(N/n) < f(N/(n+1)).

591 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 11:03:55
正の数 a, b, 自然数 m, n に対して、次式を示せ。
  a^(m+n) + b^(m+n) ≧ a^m・b^n + aa^n・b^m

592 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 18:38:08
>591
 (左辺) - (右辺) = a^(m+n) + b^(m+n) - (a^m)(b^n) - (a^n)(b^m) = (a^m -b^m)(a^n -b^n),
 a^m -b^m, a^n -b^n の符号は a-b の符号と一致する(*)ので、 右辺≧0, 等号は a=b のとき。
    (m,n が偶数の場合は、実数 a,b に対して成り立つ.)

※ a≠b >0 のとき
 (a^m -b^m)/(a-b) = a^(m-1) + a^(m-2)b + … + ab^(m-2) + b^(m-1) >0.
 (a^m -b^m)/(a-b) = a^(n-1) + a^(n-2)b + … + ab^(n-2) + b^(n-1) >0.

593 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 18:56:41
面積が4√3の鋭角三角形ABCがあり、辺AB,BC,CAの中点L,M,N,においてLM,MN,NLを折り目として折り返してできる四面体の体積の最大値を求めよ。

某スレより


594 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 21:49:17
>>592
さすがです。
ありがとうございまする。
よく見たら、問題文の右辺で aa^n って書き間違ってましたね、すまそん。

595 :592:2006/02/05(日) 23:16:47
>594
 なので こちらも 一番下の行で nの所をmと間違えときますた。(ウソ)

596 :132人目の素数さん:2006/02/07(火) 00:03:12
( ゚∀゚)つ http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/jmo16yq.html 第11問

597 :132人目の素数さん:2006/02/07(火) 00:04:42
(;´Д`)つ http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/apmo17q.html 第2問

598 :132人目の素数さん:2006/02/07(火) 14:51:05
>>590
理解できました。ありがとうございます。

599 :132人目の素数さん:2006/02/08(水) 03:07:58
>596
11. 0以上1以下の実数x,yに対して
    f(x,y) = x(y^2)√(1-x^2) -(x^2)y√(1-y^2)
 とする。次の条件をみたす定数cの最小値を求めよ.

  2以上の任意の整数nと 0 ≦ a_1 < a_2 < …… < a_n ≦ 1 をみたす任意の実数
  a_1,a_2,…,a_n に対して
    f(a_1,a_2) + f(a_2,a_3) + …… + f(a_(n-1),a_n) < c
  が成り立つ.

 第16回(2006年)JMO予選の問題

600 :132人目の素数さん:2006/02/08(水) 03:14:56
>597
2. 正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
  (a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3.

  第17回APMO(2005)の問題

601 :132人目の素数さん:2006/02/08(水) 14:21:39
>>591
プチ改造しました。 もっと面白くできないかなぁ…

正の数 a, b, 自然数 m, n に対して、
 a^(m+n) + b^(m+n) ≧ a^m・b^n + aa^n・b^m ≧ 2(ab)^{(m+n)/2}
 a^(m+n) + b^(m+n) ≧ {(a+b)/2}^(m+n)

上下のどれかを比較できませんか?

602 :132人目の素数さん:2006/02/08(水) 14:41:34
>>601
つまり、(a^m・b^n + a^n・b^m)/2 と {(a+b)/2}^(m+n) の大小比較ですな。

603 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 01:22:28
【Jensenの定理】
[a,b]で定義された実関数fが
 f((x+y)/2) ≧ (f(x)+f(y))/2     … (1)
を常に満たすとする.このとき,α≧0, β≧0, α+β=1なるすべてのα,βに対し,
 f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)    … (2)

分かスレ231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139159696/436

604 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 01:26:53
>603
 (1)を [x,(x+y)/2] に適用すれば f((3x+y)/4) ≧ {f(x)+f((x+y)/2)}/2 ≧ {3f(x)+f(y)}/4.
 また、[(x+y)/2,y] に適用すれば f((x+3y)/4) ≧ {f((x+y)/2) +f(y)}/2 ≧ {f(x)+3f(y)}/4.
 で、[x,y] の4等分点についても成り立つ。
 同様にして [x,y] の 2^n等分点についても成立つことを示せる。
 fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/3.
 アルキメデスの原理より、(2^n)|y-x|δ >1, (2^n)(ε/3)/f(x) >1, (2^n)(ε/3)/f(y) >1 となる自然数nがある。
 α:βに最も近い2^n等分比をa:bとすると、|α-a| < 1/(2^n) より、|z-(αx+βy)| < δ,
 ∴ f(αx+βy) ≧ f(ax+by) -ε/3 ≧ af(x) +bf(y) -ε/3 ≧ αf(x) + βf(y) -ε.
 ∴ f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)  … (2).


 大関: >>1 の参考書[3] 第3章, p.96-97 (1987)
 C.Alsina: "General Inequalities 2", Birkhauser Verlag, p.419-427 (1980)

605 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 08:54:10
fは連続なの?

606 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 20:10:16
>604
すみません,連続性は仮定してないんです.反例はありますか?

607 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 23:26:28
既出は許して

(1)
a>1、x_i>0 (i=1,2,3,...,n)のとき
モ(x_i*log_[a]x_i) ≧ (1/n) * モx_i * モlog_[a]x_i

(2)自明だけど
2^(n-1) ≦ n! ≦ n^n

(3)
n≧2のとき
(√(n/2))^n < n! ≦ (n^n)/(2^(n/2))

(4)ガウスの評価
n^(n/2) ≦ n! ≦ ((n+1)/2)^n

(5)
e(n/e)^n ≦ n! ≦ en(n/e)^n

(6)
n! ≦ e(√n)(n/e)^n

何使おうと人の勝手だけどスターリングはちょっと哀しいかも。

608 :604:2006/02/09(木) 23:38:32
>605-606
 >604 は fを連続と仮定してますた。スマソ.

〔凡例〕
qを1つの無理数として、
 f(x) = 1,  x-q ≠ 有理数 のとき
 f(x) = 0,  x-q = 有理数 のとき

ついでに >604 を修正
 fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/2.
 アルキメデスの原理より、(2^n)δ > |x-y|, (2^n)(ε/2) > |f(x)-f(y)| となる自然数nがある。

609 :132人目の素数さん:2006/02/09(木) 23:49:15
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ |
 |::::: (● (● | グッジョブ! 不等式バンザイ!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

610 :132人目の素数さん:2006/02/10(金) 00:02:26
>>608
反例になってねえだろ

611 :132人目の素数さん:2006/02/10(金) 00:18:55
>>608
 x=有理数, y=2q+有理数 のとき f((x+y)/2) = 0 < 1 = {f(x)+f(y)}/2.
だろ

612 :132人目の素数さん:2006/02/10(金) 02:18:16
>607
(1) 倍同順序積} ≧ 倍乱順序積}

(2) 自明

(3) 1≦k≦n-1 に対して ↓を掛け合わせ、√する。
 2n ≦ (k+1)(n+1-k), k(n-k) ≦ {n^2 - (2k-n)^2}/4 ≦ (n/2)^2.
 (√(2n))^(n-1) < n! ≦ (n^n)/(2^(n-1)).

(4) 1≦k≦n に対して ↓を掛け合わせ、√する。
 n ≦ k(n+1-k) ≦ ((n+1)/2)^2.
 n^(n/2) ≦ n! ≦ ((n+1)/2)^n.

(5) >>570-573 から、
 √(2en)・(n/e)^n < n! < en(n/e)^n


613 :132人目の素数さん:2006/02/10(金) 19:07:00
解析学の基本は不等式。
代数学の基本は等式〜〜〜〜きれいごと。
幾何学〜〜〜〜〜もはや数学ではない。

614 :612:2006/02/11(土) 03:14:56
>>607 (6)
y=log(x) は上に凸なので 折れ線より上側にあるから(>>572 の左側)
 ∫[1/n,1] log(x)dx +(1/2n)log(1/n) > (1/n)納k=1,n] log(k/n) = log{(n!)^(1/n) /n} から
 n! < e(√n)(n/e)^n.

>>573 と合わせて
 √(2en)・(n/e)^n < n! < e(√n)・(n/e)^n.

スター林檎は n! > √(2πn)・(n/e)^n.

615 :132人目の素数さん:2006/02/11(土) 08:46:18
>>607(2)
では俺も一つ。

( ゚∀゚)つ 貧弱な評価ですが、「自然数 n に対して、 (2n+1)! < n^(2n-1)」

616 :132人目の素数さん:2006/02/11(土) 08:53:23
>>614
スター林檎…。
いま気づいて、思わず叫んでしまった。 スターリングのことかー!!!


 「_ ̄フ  ノ^ー┐ ///////////ノ/
 ,-、二、 ーク /  7_/////////^
 `ー‐‐'  `ー'     ///////し
   _l^l_  i^i i^i   ///////
  / ,--┘ U ノ |  //////^
  !__ニコ  lニ.ノ    7///    _,,.. . __
 __l^l__へ  i^i i^i  //^    .. _  `ヽ
 ゙┐r┐T゙ ∪ ノ |  |/     /::/.┬".)   l
  く,ノr'_,ノ  lニ.ノ   7    _iゞ/イ。_ノ    _r'''、
   |    ,へ ,ヘ /    / ニ-''^\¨   ∠.} l
   |    `゙ / / |.   |l、ヾ⌒-|  u  r_ノノ "
   |    ヾ二ノ  |    ヽ |`´_,--|  i、ニイ
   |    /,ニ^\. |     \l<-ニフ ,ノ ,. \、'
  | | | |  | しリj |  \    \ ̄ ,/ノ/ , | Z
  ゚ ゚ ゚ ゚  `ー" ー'  〔      / ̄/ '", /// ,.

617 :132人目の素数さん:2006/02/11(土) 15:28:42
>616,>>575-577
http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC
http://www.yk.rim.or.jp/~y_satou/beatles/news/news96.html#RingoTakaraCM


618 :132人目の素数さん:2006/02/11(土) 16:06:26
>615
k(2n-k) = n^2 - (n-k)^2 ≦ n^2.
 k=1,2,…,2n-1 について掛け合せて√すると (2n-1)! < n^(2n-1).

619 :132人目の素数さん:2006/02/11(土) 20:25:35
>>603-606,>>608-611
反例できた
R を Q係数のベクトル空間と見て、基底を e_1, e_2, … とする
x∈R として x = q_1*e_1 + q_2*e_2 + …
のとき f(x) = q_1 とすれば、これが反例になってることは明らか

620 :132人目の素数さん:2006/02/11(土) 22:10:36
2006年本選
5.任意の正の実数x1,x2,x3,y1,y2,y3,z1,z2,z3に対して不等式

 (x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧A(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)

  が常に成り立つような実数Aの最大値を求めよ。
  またAをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

数学オリンピックスレより
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/l50

621 :132人目の素数さん:2006/02/12(日) 01:08:45
>>620
今年も数ヲリ不等式キタキタキタキタ━━━(゚∀゚≡(゚∀゚≡゚∀゚)≡゚∀゚)━━━━!!!!!!!!!!

622 :132人目の素数さん:2006/02/12(日) 21:02:53


623 :132人目の素数さん:2006/02/14(火) 21:05:21
>620
 A=3/4, x = y = z = (1/6)^(1/3) のとき
かな?

624 :132人目の素数さん:2006/02/22(水) 03:17:37
( ゚∀゚)つ http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n2/PDF/v32n2syn.pdf 問101
どっかで見たことあるよね。

625 :132人目の素数さん:2006/02/28(火) 22:36:23
>>620
(略解)
 f(v1,v2,v3) = v1^3 + v2^3 + v3^3 +1 とおくと、
 F(x,y,z) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - A(x1+x2+x3)(y1+y2+y3)(z1+z2+z3),
変数が9つもあると大変…
 ∂F/∂x1 = (3x1^2)f(y)f(z) - A(s2・s3) =0
 ∂F/∂y1 = f(x)(3y1^2)f(z) - A(s2・s3) =0
 ∂F/∂z1 = f(x)f(y)(3z1^2) - A(s2・s3) =0
等から
 xi = λ√{f(x)/si}, x=(x1,x2,x3)
 yi = λ√{f(y)/si}, y=(y1,y2,y3)
 zi = λ√{f(z)/si}, z=(z1,z2,z3)
 ここに si≡ xi +yi +zi (i=1,2,3)とおいた。辺々加えて
 xi +yi +zi = λ{√f(x) +√f(y) +√f(z)}/(√s_i)
 ∴ (si)^(3/2) = λ{√f(x) +√f(y) +√f(z)}.
 右辺はiによらないから、 s1 = s2 = s3.
 ∴ x1=x2=x3, y1=y2=y3, z1=z2=z3 
 この場合のみを考えればよいので 結局 次の3変数の問題に帰着する。

【5'】任意の正の実数 x, y, z に対して不等式
    (3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) ≧ A(x+y+z)^3
  が常に成り立つような実数Aの最大値を求めよ。
  またAをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

626 :625:2006/02/28(火) 22:59:25
>>620
[625]の続き
3変数の対称式と来れば …… x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおく(基本対称式)。
F~(x,y,z) = (3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) -A(x+y+z)^3
 = 27(xyz)^3 + 9{(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3} + 3(x^3+y^3+z^3) +1 -A(x+y+z)^3
 = 27u^3 + 9{3u^2 + t(t^2-3su)} + 3{3u + s(s^2-3t)} +1 -As^3
 = (3u+1)^3 + 3s(s^2-3t) -As^3 + D_1
 = (81/4)u + 3s(s^2-3t) -As^3 + D_1 + D_2
 = (3/4 -A)s^3 + D_1 + D_2 + D_3.
 ≧ (3/4 -A)(x+y+z)^3.

D_1 = 9t(t^2-3su) = (9t/2){(xy-yz)^2 +(yz-zx)^2 +(zx-xy)^2} ≧0,
D_2 = (3u+1)^3 -(81/4)u = {(3/4)u +1}(6u-1)^2 ≧0,  (9u,3/2,3/2 の相加-相乗平均)
D_3 = (9/4)(s^3 -4st +9u) ≧0,      (Schur不等式,n=1 >>399-401)

 上式が常に ≧0 となるようなAの最大値は 3/4.
 A=3/4 と取るとき、等号が成立する条件は, u=1/6 から x=y=z=(1/6)^(1/3).
ぬるぽ

627 :625:2006/02/28(火) 23:06:45
>>625 の訂正 … スマソ
 F(x,y,z) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - A(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3),


628 :132人目の素数さん:2006/03/03(金) 01:15:05
>>21
[前スレ.360(2)]
 Σ[k=1,m] x_k↑ = s↑, (m-2)Σ[k=1,m] |x_k| +|s| =L, Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j| =R
とおく。まず補題として
 D = (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2 +|s|^2 - Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2 =0.
を示すのだが、これは内積を使えば簡単である。

次に L-R ≧0 を示そう。
(L-R){ Σ[k=1,m] |x_k| +|s| } = (m-2){Σ[k=1,m] |x_k|}^2 +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| + |s|^2 -R{……}
 = 2(m-2)納i<j] |x_i||x_j| +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| - R{……} + (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2 + |s|^2
 = 2(m-2)納i<j] |x_i||x_j| +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| - R{……} + Σ[i<j] |x_i +x_j|^2 +D
 = 納i<j] {(|x_i|+|x_j|)(納k≠i,j] |x_k| +|s|) - {……}|x_i+x_j| + |x_i+x_j|^2 } +D
 = 納i<j] {|x_i|+|x_j|-|x_i +x_j|}・{納k≠i,j] |x_k| +|s| -|x_i+x_j|} +D
 ≧ D =0.
{……} >0 だから L-R ≧0.

*) 納k≠i,j] |x_k| +|s| -|x_i+x_j|
  = (納k≠i,j] |x_k| -|納k≠i,j] x_k| ) + (|s -x_i -x_j| +|s| -|x_i +x_j|) ≧0

参考書[3] の p.34

629 :132人目の素数さん:2006/03/03(金) 23:23:28
>>626
Schur不等式ってなんですか? あと、バンチってのも知りたいんだけど、よかったら教えて。

630 :132人目の素数さん:2006/03/04(土) 02:04:07
>629
 >>399-401
 参考書[1] の定理80
 参考書[3] のp.27-28

"The BUNCH" (Burroughs, UNIVAC, NCR, CDC, Honeywell)。
 汎用コンピューター・メーカーで規模のやや大きいIBM対抗5社の頭文字か?


631 :132人目の素数さん:2006/03/04(土) 02:59:56
(x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧A(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)
G=f(x,y,x)-r(h-a)-s(g-b)-t(k-c)
Gx1=3x1^2f(y)f(z)-s=0->f(y)f(z)=s(3x1)^-2
Gx2=0->f(y)f(z)=s(3x2)^-2
Gx3=0->f(y)f(z)=s(3x3)^-2->x1=x2=x3,y1=y2=y3,z1=z2=z3
(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)>=A27xyz
G=(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)-r(xyz-a)
Gx=9x^2f(y)f(z)-ryz=0->f(y)f(z)=ryz/9x^2=ar/9x^3->(3x^3+1)f(y)f(z)=h=ar/3+ar/9x^3
Gy=0->f(x)f(z)=rxz/9y^2=ar/9y^3->h=ar/3+ar/9y^3
Gz=0->f(x)f(y)=rxy/9z^2=ar/9z^3->h=ar/3+ar/9z^3->x=y=z=a^1/3
Gr=0->xyz=a->f(x)f(y)f(z)=(ar)^3/(9a)^3=(r/9)^3
p=(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)/27xyz=((3a+1)^3)/(27a)
dp/da=((3a+1)^2)/3a-((3a+1)^3)/(27a^2)=0
3a+1=9a->a=1/6
p>=6(3/2)^3/27=6/8=3/4=A

632 :132人目の素数さん:2006/03/04(土) 07:58:47
f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)
f(Ax+By)=f((2ax+2(1-a)y)/2)>=(f(2ax)+f(2(1-a)))/2=(f(Ax)+f(By))/2,A+B=1 (a=0->.5)

633 :132人目の素数さん:2006/03/04(土) 09:19:24
正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3
G=(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)}
+ (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} -r(abc-8)

Ga=2af(a)f(b)-3/2a^4f(a)^3f(b)-3/2a^2c^2f(c)f(a)^3-rbc=0
Gb=2bf(c)f(b)-3/2b^4f(b)^3f(c)-3/2a^2b^2f(a)f(b)^3-rac=0
Gc=2cf(c)f(a)-3/2c^4f(c)^3f(a)-3/2b^2c^2f(b)f(c)^3-rab=0

2a^2f(a)f(b)-3/2a^5f(a)^3f(b)-3/2a^3c^2f(c)f(a)^3-r8=0
2b^2f(c)f(b)-3/2b^5f(b)^3f(c)-3/2a^3b^2f(a)f(b)^3-r8=0
2c^2f(c)f(a)-3/2c^5f(c)^3f(a)-3/2b^3c^2f(b)f(c)^3-r8=0





634 :132人目の素数さん:2006/03/04(土) 09:23:42
2a^2f(a)f(b)-3/2a^5f(a)^3f(b)-3/2a^3c^2f(c)f(a)^3-r8=0
2b^2f(c)f(b)-3/2b^5f(b)^3f(c)-3/2b^3a^2f(a)f(b)^3-r8=0
2c^2f(c)f(a)-3/2c^5f(c)^3f(a)-3/2c^3b^2f(b)f(c)^3-r8=0


635 :132人目の素数さん:2006/03/04(土) 10:03:08
正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3
G=(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)}
+ (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} -r(a^3b^3c^3-8^3)

G=(a^2/3)/√{(1+a)(1+b)} + (b^2/3)/√{(1+b)(1+c)}
+ (c^2/3)/√{(1+c)(1+a)} -r(abc-8^3)

G=(a-1)^2/3(ab)^-.5+(b-1)^2/3(cb)^-.5+(c-1)^2/3(ac)^-.5-r((a-1)(b-1)(c-1)-8^3)

636 :132人目の素数さん:2006/03/04(土) 12:40:14
Rose Ballのパレードの場所をgoogle mapで見てみたい
メーシーズのパレードは終わったのかな?

637 :132人目の素数さん:2006/03/07(火) 01:10:07
さくらスレ187にありますた。

(問題) 自然数n, 実数xに対して
 |納j=1,n] sin(jx) /j | ≦ 2n/(n+1).
を示して下さいです。。。

638 :132人目の素数さん:2006/03/11(土) 22:10:34
>>21
[前スレ.705]
 a,b ≧ 2.
(i) 1/3 < (b-2)/(a-2) < 3 のとき
 a+b < 4(a-1) ≦ 2^a, a+b < 4(b-1) ≦ 2^b.
 1/(a+b) > (1/2)^a,  1/(a+b) > (1/2)^b.
 {1/(a+b)}^(1/a) > 1/2, {1/(a+b)}^(1/b) > 1/2 より成立.

(ii) (b-2)/(a-2) ≦ 1/3 のとき
 a + b ≦ a + (a-2)/3 +2 = (4/3)(a+1) = (a+1)/0.75.
 {1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) ≧ {0.75/(a+1)]}^(1/a) + {0.75/(a+1)}^(1/2) = g(a).
 ここに g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + {0.75/(x+1)}^(1/2) とおいた。
 x>2 では 1 < g(x) ≦ 1.0403408655163817… @x=50.47477… (証明略)

(iii) (b-2)/(a-2) ≧3 のとき
 (ii)と同様。


639 :132人目の素数さん:2006/03/12(日) 19:09:58
603 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/03/12(日) 18:51:49
>>586
それでは今月号のエレファント解答を…

 D = (xy^2 +yz^2 +zx^2)^3 -xyz(xy+yz+zx)^3
 = Axy^2(y-z)^2 + Byz^2(z-x)^2 + Czx^2(x-y)^2,
 A = x^2(y+z)^2 + 3xyz^2 + 2z^4 > 0 
 B = y^2(z+x)^2 + 3yzx^2 + 2x^4 > 0 
 C = z^2(x+y)^2 + 3zxy^2 + 2y^4 > 0 
より D≧0. 題意より xyz>1 だから
 xy^2 + yz^2 + zx^2 ≧ (xy + yz + zx)(xyz)^(1/3) > xy + yz + zx.

604 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/03/12(日) 19:08:40
>>586
今月号のエレガントな(?)解答

相加・相乗平均より
 (2/3)xy^2 + (1/3)zx^2 ≧ xy(xyz)^(1/3) > xy.
これを循環的にたす。

640 :638:2006/03/14(火) 02:07:08
x>2 ⇒ g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + √{0.75/(x+1)} >1

(略証)
 (x/2,x/2,1) の相加・相乗平均から {(x+1)/3}^3 > (x/2)^2.
 ∴ 1/x < 3√{0.75/(x+1)} -1 = 3y-1.
 上式の第2項 √{0.75/(x+1)} =y とおいた。x>2 より 0<y<1/2.
 また (2y/e)^2y ≧ 1/e,
 e^(±(1-2y)) > 1 ±(1-2y)   (← 下に凸)
 8/e >e    (← log(2) > 2/3) より
 y^(2/x) > y^(6y-2) = (2y/e)^(6y-2)・(e/2)^(6y)・(1/y)^2 > e^(-3(1-2y))・e^(2(1-2y))・2^(2-6y)
 = (1/2)・(8/e)^(1-2y) > (1/2)e^(1-2y) > (1/2){1+(1-2y)} = 1-y.
 ∴ g(x) = y^(2/x) + y > 1.
 y=1/2, x=2 のときは等号成立。

おやすみ。

641 :132人目の素数さん:2006/03/15(水) 21:26:18
>640
 1/x > 3√{0.75/(x+1)} -1 = 3y-1.
 y^(2/x) < y^(6y-2).
なので…

642 :638:2006/03/15(水) 21:36:58
x>2 ⇒ g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + √{0.75/(x+1)} >1

(略証)
上式の第2項を y とおくと
 g(x) = y^(2/x) + y = y^{2(y^2)/(0.75-y^2)} + y

h(y) = 2(y^2)log(y) - (0.75-y^2)log(1-y) とおいて
 0<y<1/2 ⇒ h(y)>0 を示す。
h '(x) = 4ylog(y) + 2ylog(1-y) +3y +1 -0.25/(1-y).
h "(x) = 4log(y) + 2log(1-y) +9 -2/(1-y) -0.25/(1-y)^2  (←上に凸)
h "'(y) = 4/y - 2/(1-y) -2/(1-y)^2 -0.5/(1-y)^3    (←単調減少)
   = {-0.5 -1.5(1-y) +6(1-y)^3}/{y(1-y)^3}.
 h "' はただ一つの根 y0 = 0.379994095141187… をもち、(y0-y)h "'(y) ≧0.
 あとは これを元に増減表を作る。

 (y2-y)(y-y1)h"(x) ≧0, y1 = 0.2814220413428536…, y2 = 0.477737467426340…
  h "(y0) = 0.297421638543268… >0 (極大)

 (y3-y)h'(x) ≧ 0, y3 = 0.132713083245667…
  h '(y1) = -0.11691236892110… <0 (極小)
  h '(y2) = -0.077743191346139… <0 (極大)

 h(y) >0     (← h(0) = h(1/2) =0)

*) y0 = 1 - (1/2){(3-√6)/9}^(1/3) - (1/2){(3+√6)/9}^(1/3).

>640 は取り下げまする。スマソ.

643 :132人目の素数さん:2006/03/18(土) 17:13:13
〔相加-相乗平均不等式〕(行列式)

 A, B を正定値対称行列とするとき、
 { det(A)det(B) }^(1/2) ≦ det( (A+B) /2 )

分かスレ235
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142561148/28-29

644 :132人目の素数さん:2006/03/19(日) 16:03:47
絶対不等式
ttp://www.nikonet.or.jp/spring/zettaiti/zettaiti.htm


645 :132人目の素数さん:2006/03/19(日) 19:48:51
>>643
28 :132人目の素数さん :2006/03/18(土) 07:23:18
A, B を正定値対称行列とするとき、相加相乗平均不等式
( (det A)(det B) )^{1/2} ≦ det( (A+B) / 2 )
を出来るだけエレガントに示したいのですが、どうすればいいでしょうか?


29 :132人目の素数さん :2006/03/18(土) 08:44:20
両辺に左右から det(B^(-1/2)) = (detB)^(-1/2) をかけると、示す式は
(det(B^(-1/2)AB^(-1/2)))^(1/2) ≦ det((B^(-1/2)AB^(-1/2)+I)/2)
となる。B^(-1/2)AB^(-1/2)を対角化すればよい。

646 :132人目の素数さん:2006/03/20(月) 00:11:55
>>21

[前スレ.908(3)]
q=1 のとき、 |p-√2| ≧ √2 -1 > 6-4√2.    (← √2 > 7/5)
q≧2 のとき、 √(1+2q^2) ≦ (3/2)q.
 |p-q√2| = とおくと、
 (+2q√2) ≧ (p+q√2) = |p-q√2|(p+q√2) = |p^2 -2q^2| ≧ 1.
 ∴ (+q√2)^2 -1-2q^2 ≧0. 
  ≧ √(1+2q^2) - √(2q^2) = 1/{√(1+2q^2) + √(2q^2)} ≧ 1/{(3/2)q +(√2)q} = 2/{(3+2√2)q} = (6-4√2)/q.
 等号は q=2, p=3 のとき。

http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesApproximationTheorem.html

647 :132人目の素数さん:2006/03/20(月) 02:23:31
>>646
グッジョブです!

648 :132人目の素数さん:2006/03/23(木) 02:42:03
>>21
[前スレ.565(5)]

0<x<1, y=x(1-x) とおくと 0<y≦1/4.
(1+x)(1-y+y^2) = (1+x){1-x(1-x) +(x^2)(1-x)^2} = 1+x^2 -(1-x)x^4 < 1+x^2 …(1)

0<x≦1/2 のとき
sin(πx)/(πx) ≧ 1 -(1/3!)(πx)^2 +(1/5!)(πx)^4 -(1/7!)(πx)^6
  ≧ 1 -(1/3!)(πx)^2 + {(1/5!) - (π^2 /7!)/4}(πx)^4    (← 1-4x^2 ≧0)
  = 1 -2x^2 + 0.355065933151774x^2 + 0.764054469252832x^4
  ≧1 -2x^2 + 1.04170958160908x^3        (←相加・相乗平均)  
  > 1 -2x^2 +x^3 = (1-x)(1+x-x^2) = (1-x)(1+y).        …(2)
この式は x=1/2 に関して対称な形になるから、1/2≦x<1 でも成り立つ。

(1),(2) より,
sin(πx) /(πx) > (1-x)(1+x-x^2) > {(1-x^2)/(1+x^2)}(1-y+y^2)(1+y) = {(1-x^2)/(1+x^2)}(1+y^3).

[791],[811(1)] は未解決でござるな...

649 :132人目の素数さん:2006/03/24(金) 00:22:41
>>21
[前スレ.791]

3辺の長さを AB=c, BC=a, AB=c とおく。
題意により sin(A) = sin(2B) = 2sin(B)cos(B), cos(C) <0.
正弦定理・第二余弦定理を使って、角の関係を辺の長さの関係に直す。
 a/b = 2cos(B) = (c^2+a^2-b^2)/(ca), -2ab < a^2+b^2-c^2 <0.
 (c-b){a^2-b(b+c)}=0, 0 < (a+b)^2 -c^2 < 2ab.
 c>b より (c-b)^2 < b(b+c) = a^2 < c^2 -b^2.
 ∴ c-2b < b < c-b,
 ∴ 2b < c < 3b,
 ∴ 3b < b+c < 4b,
 ∴ (√3)b < a < 2b,
 ∴ a+b+c > (3+√3)b.
 b≧17 ⇒ a+b+c ≧ 17(3+√3) = 80.4448637286709… >77 なので,
 4≦b≦16, (√3)b < a < 2b なる(a,b)を求め、b|(a^2) を満たすものを残す。
 b=16, a=28 のみが該当する。
 c=33, cos(A)=17/32, cos(B)=7/8, cos(C)=-7/128.

注) LCD(b,b+c) = LCD(b,c) =d とすると、b(b+c)=a^2 から d|a.
 本問では最小解が問題なので d=1 に限ってもよい。
 そうすれば b,b+c は互いに素となり 平方数に限られる。

650 :132人目の素数さん:2006/03/24(金) 06:27:22
( ゚∀゚) さすがです。乙!です。

651 :649:2006/03/25(土) 01:35:40
蛇足 >649

 もしも条件 cos(C)<0 が無ければ、a+b+c=15 が最小.
 a=β(β+1)d, b=(β^2)d, c=(2β+1)d のとき a+b+c=(β+1)(2β+1)d, cos(C)=(2β^3-3β-1)/(2β^3), β>1.
 a=15, b=9, c=16 のとき a+b+c=40, cos(C)=5/27.


652 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 02:22:05
〔名前知らず〕 (行列ノルム)

A,B を n次正方行列,A=(a_ij),B=(b_ij)
 ‖X‖= max[j] { Σ[i=1,n] |x_ij| }
と定義するとき,‖A‖・‖B‖ ≧ ‖AB‖ を示せ.

さくらスレ188
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142460000/470 ,496

653 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 02:58:01
>>21 (前スレの未解決問題)

[前スレ.360]  >>628

[前スレ.563(7)] >>353 〔命題268(math_board_watcher)〕を使った。 >346-347

[前スレ.705]  >>638-642

[前スレ.565(3)] >>29-30 (風あざみ)

[前スレ.565(4)] >>76

[前スレ.565(5)] >>648

[前スレ.791]  >>649

[前スレ.811(1)] 未解決?

[前スレ.908(3)] >>646

[前スレ.992]  >>23 (m=nのみ), >28〔系〕

654 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 09:16:12
>>652
解答は出ているん?

655 :652:2006/03/26(日) 17:32:00
>654

さくらスレ188
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142460000/496


三角不等式より
 |(AB)_(ij)| = Σ[k=1,n] a_ik・b_kj | ≦ Σ[k=1,n] |a_ik|・|b_kj|.
Σ[i=1,n] すると
 Σ[i=1,n] |(AB)_ij| ≦ Σ[k=1,n] ( 納i=1,n]|a_ik| )・|b_kj| ≦ Σ[k=1,n] ‖A‖・|b_kj| = ‖A‖Σ[k=1,n] |b_kj|.
max[j] すると
 ‖AB‖ = max[j] {Σ[i=1,n] |(AB)_(ij)| } ≦ ‖A‖・max[j] { Σ[k=1,n] |b_kj| } = ‖A‖・‖B‖.

注)ノルムの記号を変えた。

656 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 20:37:09
>>655
さんくすです。

657 :638:2006/03/27(月) 02:30:55
>>21
[前スレ.705]

(i) a+b ≦ 2^a, 2^b のとき
  {1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) ≧ 1/2 + 1/2 =1.

(ii) a+b ≧ 2^b のとき
 {1/(a+b)}^(1/b) =z とおくと z ≦ 1/2.
 b/(a+b) = b・z^b = {bz/(b-1)}(b-1)・z^(b-1) < (b-1)・z^(b-1) < … < 2z^2   (b>2).
 a/(a+b) > 1 -2z^2.
 {(b/a)log(z) - log(1-z)}*a/(a+b) > (2z^2)log(z) - (1-2z^2)log(1-z) ≡ H(z) とおく.
 0<z<1/2 では H(z)>0 (>658)より
 (b/a)log(z) - log(1-z) >0,
 z^(b/a) + z >1.

(iii) a+b ≧ 2^a のとき
(ii)と同様。

>>638 + >>642 と比べても 変わり映えしねぇ...

658 :657:2006/03/27(月) 02:32:19
>657
 0<z<1/2 ⇒ H(z) >0.
(略証)
 H '(z) = 4zlog(z) +2z +4zlog(1-z) +(1-2z^2)/(1-z)
= 4zlog(z) +2z +4zlog(1-z) +2 +2z -1/(1-z).
H "(z) = 4log(z) +6 +4log(1-z) -4z/(1-z) +2 -1/(1-z)^2
    = 4log(z) +6 +4log(1-z) +4 -4/(1-z) +2 -1/(1-z)^2.   (← H "は上に凸)
 H "'(z) = 4/z -4/(1-z) -4/(1-z)^2 -2/(1-z)^2.         (← H "'は単調減少)
 H "'(z)はただ一つの根z0 = 0.239310146597716… をもち (z0-z)H "'(z) ≧0.
 H "(z) < H "(z0) = -1.800645807939490 <0 ゆえ H(z)も上に凸。
 H(0)=H(1/2)=0 なので H(z)>0.  (終)

*) z0 = 1 -(1/2){1 +√(26/27)}^(1/3) -(1/2){1 -√(26/27)}^(1/3).

659 :657:2006/03/29(水) 23:12:32
>657
 0<z<1/2 ⇒ (2z^2)log(z) > 2(1-log(2))z^2 -z > (1-z)log(1-z) > (1-2z^2)log(1-z).
(略証)
 H_1(z) = { (2z^2)log(z) - 2(1-log(2))z^2 +z }/z = 2zlog(2z)-2z +1 = ∫[z,1/2] {-2log(2z')} dz' > 0,
 H_2(z) = { 2(1-log(2))z^2 -z - (1-z)log(1-z) }/(z^2) = (3/2 -2log(2)) - Σ[k=3,∞) {1/(k(k-1))}z^(k-2) ゆえ単調減少 (← *)
  ∴ H_2(z) > H_2(1/2) =0.
 H_3(z) = (1-z)log(1-z) - (1-2z^2)log(1-z) = -z(1-2z)log(1-z) >0.

*) Maclaurin展開 -log(1-z) = Σ[k=1,∞) (1/k)z^k から。

660 :132人目の素数さん:2006/03/30(木) 21:45:31
東大スレより

725 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/03/26(日) 05:52:34
n次元空間E^n内の点Oを中心とし半径1の超球面上に相異なるn+1個の点がある。
これらが作る超多面体に内接する超球の半径rは1/n以下であることを示せ。

大関: 「不等式への招待」 近代科学社 (1987) p.7-8


726 名前:724[sage] 投稿日:2006/03/26(日) 17:17:50
>725
 超多面体をP, その頂点をP_i (i=1〜n+1) とする。
 P_i以外のn個の頂点からなる超対面の重心をQ_iとすると、
  OQ_i↑ = (1/n)Σ[j=1〜n+1,j≠i] OP_j↑
 Q_i (i=1〜n+1)が作る超多面体Qは、Pの1/nの大きさである。
 {P_i}を通る超球の半径はR=1だから、Qのそれは1/nである。
 {Q_i}を通る超球はPの各超表面と交わる(or接する)から、Pに内接する超球はこれに含まれる(or一致する).
 よって r ≦ R/n = 1/n.                (清水多門氏)

661 :132人目の素数さん:2006/03/32(土) 16:51:12
【補題407】(ritozumy2)
  √(ab) < (a-b)/{log(a) -log(b)} < (a+b)/2.
 勿論,a,b>0 で a≠b です.

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=407 ,414


662 :132人目の素数さん:2006/04/02(日) 03:53:23
>>661
〔補題〕
 √x < (x-1)/log(x) < (x+1)/2.
 勿論, x>0, x≠1 です.

左側:
 1/√x - log(x)/(x-1) ={1/(x-1)}∫[1,√x] (1-1/z)^2・dz > 0.

右側:
 (1/z)log{(1+z)/(1-z)} = (1/z)∫[0,z] {2/(1-z'^2)}dz' > 2.
 z=(x-1)/(x+1) とおくと (x+1){log(x)/(x-1)} > 2.

つ [参考書]

大関: 「不等式への招待」, 近代科学社 (1987) p.46-47 例題6, [注意] (ii)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=415

663 :132人目の素数さん:2006/04/02(日) 05:39:08
〔補題416〕
 s≧1/3, x>0, x≠1 ⇒ (x-1)/log(x) < {(1+x^s)/2}^(1/s).
.            sinh(t) /t < {cosh(st)}^(1/s).

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=416


664 :132人目の素数さん:2006/04/02(日) 17:50:16
>>367, >>436-437

参考書[3] の p.139, 例題1, [注意](ii)


665 :132人目の素数さん:2006/04/02(日) 17:55:26
>663

参考書[3] の p.49, 例題8.
 α=1/s, αA=α'A'=t.

666 :132人目の素数さん:2006/04/02(日) 23:01:06
がんばっとるのぉ
積分ヲタとか恒等式ヲタとか二項係数絡みの和、級数ヲタとか知ってるけど
不等式はヲタが多いのかな?


667 :132人目の素数さん:2006/04/03(月) 01:09:13
>>666
( ゚∀゚) 愚問だ!

668 :132人目の素数さん:2006/04/03(月) 02:19:39
愚問かいな。

669 :132人目の素数さん:2006/04/03(月) 16:51:00
特殊函数ヲタとか積分ヲタは物理や工学の人間に負けたら
恥ずかしいから結構大変だろうと思われる

ラマヌジャンは一種の級数ヲタと言ってよいかな

670 :132人目の素数さん:2006/04/03(月) 16:55:47
スレを維持するだけのネタ出しが困難だった三角関数スレ住人もいます。

671 :132人目の素数さん:2006/04/03(月) 17:45:53
不等式ヲタ かつ 三角関数ヲタ かつ nCrヲタ もいます ( ゚∀゚)テヘッ

672 :666:2006/04/04(火) 00:51:57
いろんなヲタがいるんだな。
自分は学部入ってからM2まで、いわゆる有限群論の分類ヲタだった。
夢中で単純群の分類やってた時期で本当に楽しかったなあ(人には言えない青春なんだが)
でもM2の年に有限単純群の分類完成が宣言されて(年がバレるww)、一気に冷めてしまった。
そして専門変更→失敗→(略

話が全然不等式と関係なくなってるけど、言いたいことは要するに
ヲタになるのはやる気を維持できるので良いと思うけど、できるだけ漠然とした対象にしましょう。
不等式ヲタとか級数ヲタなんてのは理想的だね。廃れる心配がないから。

ちなみに>>666
>積分ヲタとか恒等式ヲタとか二項係数絡みの和、級数ヲタとか知ってるけど
と言った3人は研究者やってますわ。

ってな訳で頑張れ。

673 :663:2006/04/04(火) 02:23:07
>>663の続き (s=1/3の場合)

〔補題419〕t≠0 のとき
 1 < sinh(t)/t < exp{ √(9+t^2) -3 } < cosh(t/3)^3 < cosh(t).

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=419


674 :673:2006/04/04(火) 23:59:07
>673 の続き

〔補題421〕t≠0 のとき
 1< cosh(t/3) < {cosh(t)}^(1/3) < sinh(t)/t.

出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=421

675 :132人目の素数さん:2006/04/07(金) 00:47:10
>>57 問題B

(8) A,B < π/2, C'=Min{C,π-C} としてよい。 0<A,B,C'≦π/2, A+B+C' ≦π.
 f(x)={sin(x)^2}/x とおくと
 (与式) = f(A)+f(B)+f(C) ≦ f(A)+f(B)+f(C') ≦ 3f((A+B+C')/3) ≦ 3f(π/3) = (27/4π) (← *)
  = 2.14859173174058703287993080552894…. 等号はA=B=C=π/3 (正三角形)

*) 0<x≦π/3 では tan(x)/x ≦ √3 だから
 f '(x) = {2-tan(x)/x}cos(x){sin(x)/x} >0, fは単調増加で上に凸 (0<x≦π/3).
 g(x)=sin(x), h(x)=sin(x)/x とおくと補題より f"(x)<0 (0<x≦π/2).

〔補題〕
 f(x)=g(x)h(x), g(x)≧0, h(x)≧0 とするとき
  g "≦0, g 'h '≦0, h "≦0 ⇒ f "≦0.
  g "≧0, g 'h '≧0, h "≧0 ⇒ f "≧0.
(略証)
  ライプニッツの公式 f " = (gh)" = g "・h + 2g '・h ' + g・h " より.

676 :132人目の素数さん:2006/04/07(金) 15:17:16
( ゚∀゚)つ http://www.springer-tokyo.co.jp/contest/contest14.pdf

677 :132人目の素数さん:2006/04/07(金) 23:47:26
>676

第14回シュプリンガー数学コンテスト

問題 次の不等式を示せ. 
    (1/2)(3/4)(5/6)……(999999/1000000) < 1/1000

(原文では,「両辺を平方した後,積についての "telescoping" が使えるように(分子を)わず
かに増やせ」とあります. ただし,このヒントにしたがう必要はありません.)

678 :132人目の素数さん:2006/04/07(金) 23:53:41
>>58 問題C

(5) y=(√x)/(1-x) に直接Jensenの定理を適用したいが、これは原点の近くで上に凸なのでだめ。
  そこで、原点をとおる接線y=Cxをひいて、上に非凸な曲線y=f(x)をつくる。(**)
  f(x) = Cx,     (0≦x≦1/3) ここに C=(1/2)√27 = 2.5980….
  f(x) = (√x)/(1-x) (x≧1/3)
 とおく。 (√x)/(1-x) ≧f(x). またf(x)は上に非凸だからJensenの定理より  (← *)
  (左辺) ≧ f(a_1^2) + f(a_2^2) + …… + f(a_n^2) ≧ nf(a^2) = (右辺).  (← a^2 >1/3)

*) x<4/3 のとき、(1/3)^3 - x{(1-x)/2}^2 = (1/4)(4/3 -x)(x -1/3)^2 ≧0.  (←相加-相乗平均)
  x/{(1-x)^2} -(27/4)x^2 = x{1-(27/4)x(1-x)^2}/(1-x)^2 ≧ 0 ゆえ (√x)/(1-x) ≧ f(x) ≧ Cx.
  f '(x) = (1+x)/{(2√x)(1-x)^2} >0, 単調増加.
  f "(x) = {3(1+x)^2 -4}/{(4x√x)(1-x)^3} >0, 下に凸. (x≧1/3).

**) http://mathworld.wolfram.com/FunctionConvexHull.html 函数凸包

679 :132人目の素数さん:2006/04/08(土) 00:35:59
>>58 問題C ついでに.....

(3) の別法
  cosθ + cosθ + 1/(cosθ)^2 = 2z + 1/z^2 = 3 + (1+2z)(1-z)^2 /z^2 ≧3. (← 相加・相乗平均)
  これをθで積分して 2sinθ + tanθ > 3θ. (Snelliusの式).
  これと tanθ > θ > sinθ から簡単.

680 :132人目の素数さん:2006/04/08(土) 02:32:53
グッジョブ!

681 :132人目の素数さん:2006/04/08(土) 03:53:26
>>677
別スレで見た
(2n-1)!!/(2n)!! ≦ 1/√(3n+1)
を数学的帰納法で証明するらしい

n=1 のとき成立
n まで成立してるとすると
(2n+1)!!/(2n+2)!! ≦ {1/√(3n+1)}{(2n+1)/(2n+2)} < 1/√(3n+4)
で n+1 でも成立

2番目の不等号は
(3n+1)(2n+2)^2 - (3n+4)(2n+1)^2 = n > 0
から言える

682 :681:2006/04/08(土) 04:03:56
その問題は
999999!! / 1000000!! < 0.001√(2/3) を証明せよ
だったから、>>677 はもっと簡単な評価で行けそうだな

683 :132人目の素数さん:2006/04/10(月) 01:40:05
>>57 問題A

(5) a^2=A, b^2=B, c^2=C, d^2=D, e^2=E とおく。
 f(x)=1/√(3x) は下に凸なので、Schwarz と Jensen より
 (左辺) ≧ A/√{3(B+C+D)} + B/√{3(C+D+E)} + C/√{3(D+E+A)} + D/√{3(E+A+B)} + E/√{3(A+B+C)}
     = A・f(B+C+D)} + B・f(C+D+E) + C・f(D+E+A) + D・f(E+A+B) + E・f(A+B+C).
     ≧ (A+B+C+D+E)・f( {A・(B+C+D)+B・(C+D+E)+C・(D+E+A)+D・(E+A+B)+E・(A+B+C)}/(A+B+C+D+E) ),

 一方、(A+B+C+D+E)・f( (3/5)(A+B+C+D+E) ) = (1/3)√{5(A+B+C+D+E)} = (右辺).

 あとは A・(B+C+D)+B・(C+D+E)+C・(D+E+A)+D・(E+A+B)+E・(A+B+C) ≦ (3/5)(A+B+C+D+E)^2 を示すだけ。
 線形代数ヲタに頼もう。
 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134640067/85-87

684 :132人目の素数さん:2006/04/10(月) 22:52:24
>>58 問題D

(9)の別解
 2xy/(x+y)=H, √[(x^2+y^2)/2]=RMS, √(xy)=G, (x+y)/2=A とおく。
 RMS^2 -G^2 = (x^2 +y^2)/2 - xy = (1/2)(x-y)^2 = (1/2)(x+y)^2 -2xy = 2(A^2 -G^2).
   RMS - G ≦ 2(A - G) から、または直接に        (← y=√x は上に凸)
 RMS + G ≦ √[2(RMS^2+G^2)] = 2A.
 辺々割って
 RMS - G ≧ A - (G^2)/A = A-H.
 H + RMS ≧ G + A. (終)

「s乗平均」を f(X,s) = {(1+X^s)/2}^(1/s) とおけば (saikorodeka)
 y・f(x/y,-1) = H, y・f(x/y,0) → G, y・f(x/y,1) = A, y・f(x/y,2) = RMS.
 f(X,-1) + f(X,2) ≧ f(X,0) + f(X,1)
 しかしf(X,s)は s≦0 で下に凸、s≧1/2 で上に凸 なのでJensenは使えない....

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=412

685 :132人目の素数さん:2006/04/11(火) 23:08:16
>681-682
 [前スレ.816]

686 :684:2006/04/13(木) 22:16:41

〔補題〕
 f(X,s) はsについて単調増加.
 sが整数、s≠0,1 のとき f(X,s+1)-f(X,s) < RMS-A < A-G.

 … < f(X,-2) - f(X,-3) < H - f(X,-2) < G - H < A - G > RMS - A > f(X,3) - RMS > f(X,4) - f(X,3) > ….

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=430

687 :132人目の素数さん:2006/04/16(日) 00:47:38


688 :132人目の素数さん:2006/04/17(月) 20:03:44
ささっ、どうぞ。

( ゚∀゚)つ http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n4/PDF/v32n4syn.pdf 問3141

689 :132人目の素数さん:2006/04/18(火) 01:06:06
>688
問3141.
 Let a,b and c be the sides of a scalene triangle ABC. Prove that
 納cyclic] (a+1)bc/{(√a-√b)(√a-√c)} < (a^4 +b^4 +c^4)/(abc).

scalene tringle: 不等辺三角形

690 :132人目の素数さん:2006/04/25(火) 17:44:02
>>633
a^2/√(1+b^3)(1+c^3)+b^2/√(1+a^3)(1+c^3)+c^2/√(1+a^3)(1+b^3)

=2a^2/2√(1+b^3)(1+c^3)+2b^2/2√(1+a^3)(1+c^3)+2c^2/2√(1+a^3)(1+b^3)

≧2(a^2/(2+b^3+c^3)+b^2/(2+a^3+c^3)+c^2/(2+a^3+b^3))=Sとする。 ...(*)

a+b+c≧3(3√(abc))=6 ...(**)

√2+b^3+c^3,√2+a^3+c^3,√2+a^3+b^3
a/√2+b^3+c^3,b/√2+a^3+c^3,c/√2+a^3+b^3にCauchy-Schwarzの不等式を適用すると

(2+b^3+c^3+2+a^3+c^3+2+a^3+b^3)S/2≧(a+b+c)^2

=(a^3+b^3+c^3+3)S≧(a+b+c)^2

≧(3+3*8)S≧(a+b+c)^2

S≧(a+b+c)^2/27≧36/27=4/3.

等号成立条件:
a=b=c=2の時。

正直合ってるかわからん。間違えてたらスマソ

問題:
a^3+b^3+c^3+6abc≧(a+b+c)^3/4を証明せよ。(a,b,c>0).

691 :132人目の素数さん:2006/04/26(水) 01:31:38
>690
 (a^3 +b^3 +c^3 +3)S ≧ (a+b+c)^2.
から
 (3+3*8)S ≧ (a+b+c)^2.
を出すところがムズイ...

解答.
 a^3 +b^3 +c^3 + (15/4)abc ≧ (1/4)(a+b+c)^3.
 (左辺) - (右辺) = (3/4){(a^3 +b^3 +c^3) - (a^2)(b+c) - (b^2)(c+a) - (c^2)(a+b) -2abc} + (15/4)abc
 = (3/4){ (a^3 +b^3 +c^3) - (a^2)(b+c) - (b^2)(c+a) - (c^2)(a+b) + 3abc }
 = (3/4){ a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) }
 ≧ 0.

〔Schur不等式〕
 F_n = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b)
 = (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2   (← bはa,cの中間にあるとしてよい.)
 ≧ 0.

 >>399 ,>>38 参考書[1]の定理80, 参考書[3]のp.28

692 :690:2006/04/27(木) 23:13:27
乙です。あっさりと解かれてしまったようで。

> (3+3*8)S ≧ (a+b+c)^2.
> を出すところがムズイ...

あ〜。そこを減らせないんだったorz 後日、再挑戦します。

問題:
xyz(x+y+z)=1(x,y,z>0)の時、
(x+y)(y+z)の最小値を求めよ。

693 :132人目の素数さん:2006/04/27(木) 23:47:48
>692
解答:
 (x+y)(y+z) = xz + y(x+y+z) ≧ 2・√{xyz(x+y+z)}.

694 :690:2006/04/29(土) 01:13:35
さすがですね。乙です。

問題:
1/√(4+5(x1))+1/√(4+5(x2))+・・・+1/(4+5(xn))≦(n-1)/2を証明せよ。
ただし、
n≧3、(x1)*(x2)・・・*(xn)=1.

難易度はあがったかな・・・と思います。

695 :x^3+y^3+z^3の評価:2006/04/30(日) 16:37:32
いつも、良い御仕事、ご苦労様です。既出であれば、申し訳ないのですが、、、、。

「x,y,xは実数の時、A=x+y+z,B=x^2+y^2+z^2,C=x^3+y^3+z^3に関して、
  -2A^3/9+AB-(B-A^2/3)^(3/2)/√6≦C≦-2A^3/9+AB+(B-A^2/3)^(3/2)/√6 」

解法1.(x,y,z)を座標とみなして、x=y=z方向に新しく、座標Xを取って、この軸と(x,y,z)との距離をr
として座標変換で求まりました。 (x,y,z)=>(X,r,t)
解法2.3次方程式の解法から、ω=(-1+√3)/2とした時、x+ωy+ω^2z=α+iβ,x+ω^2y+ωz=α-iβと置いて、
3次方程式の解法時の√内つまり、差積が負(x,y,zが実数の時)からも求まります。この方が直接計算。

解法1から、x^n+y^n+z^nの時にも同種の式が算出されます。全て-1≦cos(3t)≦1に
帰着されます。
私が知りたいのは、これが、4,5,,,,,∞の際の同種の式です。(つまり、x,y,z,w,v,,,,,,,と増やした場合)
御存知の文献等あれば、御教え下さい。

696 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 17:07:57
ageてしまった事を「舌かんで死んじゃいたい」くらいの後悔の念とともに深く
御詫び致します。

697 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 17:54:47
>694
nに関する帰納法で…
 x_1 ≧ x_2 ≧ … ≧ x_(n-1) ≧ x_n >0 としてよい。題意により x_1 ≧ 1 ≧ x_n.  

(i) n=3 のとき
 まづ x_1 ≧1 を固定して考える。増減表から
 1/√(4+5x_2) + 1/√(4+5x_3) は x_2 = x_3 = 1/√(x_1) で極大となり、両側で単調である。
 次に x_1=x, f(x) = 1/√(4+5x) + 2/√{4+5/(√x)} とおく。
 f '(x) =0 から x=1, x→∞ で極大となり、最大値は1. 等号成立は(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1),(∞,0,0)のとき。

(ii) 次にnについて成り立つことを示す。
 y_i=x_i (i=1,2,…,n-1), y_(n-1) = x_(n-1)・x_n とおいて帰納法の仮定を使うと、結局
 1/{4+5x_(n-1)} ≦ 1/√(4+5y_(n-1)}, 1/√(4+5x_n) ≦ 1/2.
 に帰着する。
 x_n≦1 ∴ y_(n-1) ≦ x_(n-1) ∴ 成立する。等号成立は x_(n-1) = x_n = 0 のとき。(終).


〔類題〕
 0≦y≦1 または 0≦z≦1 のとき 1/√(4+5y) + 1/√(4+5z) ≦ 1/√(4+5yz) + (1/2)
 が成り立ちまつ。 さて y>1,z>1 のときは?

698 :132人目の素数さん:2006/05/02(火) 22:58:03
むかし某所にうpした不等式の劣化バージョン。
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200604&t=mat&l=en A.400

699 :132人目の素数さん:2006/05/04(木) 19:18:03
>695

n変数のときは
-(2/n^2)A^3 +(3/n)AB -k{B-(A^2)/n}^(3/2) ≦ C ≦ -(2/n^2)A^3 +(3/n)AB +k{B-(A^2)/n}^(3/2).
かな. ここに k=(n-2)/√{n(n-1)}.

1〜3次の基本対称式 A, {(A^2)-B}/2, (2C-3AB+A^3)/6 の間の関係から
D = B - (A^2)/n >0, 
AD/(n-1) ≦ C - AB/n ≦ AD,
| (C-AB/n) - (2/n)AD | ≦ kD^(3/2).

700 :132人目の素数さん:2006/05/05(金) 00:52:23
>698

A.400. Prove that
x/(y+2z+3u) + y/(z+2u+3x) + z/(u+2x+3y) + u/(x+2y+3z) ≧ 2/3.
for all real numbers x,y,z,u.

(略解)
 X = 0x +1y +2z +3u,
 Y = 3x +0y +1z +2u,
 Z = 2x +3y +0z +1u,
 U = 1x +2y +3z +0u.
とおくと、
x =(-5X +7Y +Z +U) /24,
 y = (X -5Y +7Z +U) /24,
z = (X +Y -5Z +7U) /24,
u = (7X +Y +Z -5U) /24.
"対角項" 以外は 係数>0 なので、
 (左辺)*24 = (x/X +y/Y +z/Z +u/U)*24
  = -20 + 6(Y/X + X/U + U/Z + Z/Y) + (Y/X + X/Y) + (Z/Y +Y/Z) +(U/Z +Z/U) +(X/U +U/X) +(Z/X +X/Z) +(U/Y +Y/U)
  ≧ -20 + 6・4 + 6・2 = 16      (←X,Y,Z,Uは同符号とした.)
∴ (左辺) ≧ 2/3.

701 :132人目の素数さん:2006/05/05(金) 01:00:29
>698
ついでに....

B.3902. P is an interior point of the triangle ABC. The perimeter of the triangle is 2s. Show that
s < PA + PB + PC < 2s.

(略解)
 Pは△ABCの内部の点だから AB < PA + PB < CA + CB
 循環的にたして2で割る.

702 :132人目の素数さん:2006/05/05(金) 01:01:29
グッジョブでございます。

703 :132人目の素数さん:2006/05/05(金) 17:02:52
【sin】高校生のための数学の質問スレPART62【cos】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146134655/537

537 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2006/05/01(月) 21:19:29
正数a,b,cにたいし、a+b≦c+1、b+c≦a+1、c+a≦b+1であるとする。
このとき a^2+b^2+c^2≦2abc+1 であることを示せ。

手も足も出ません。。。

704 :132人目の素数さん:2006/05/06(土) 14:58:45
>703
 1+a-b-c=2A, 1+b-c-a=2B, 1+c-a-b=2C とおくと題意により A,B,C≧0, A+B+C≦3/2.
 a=1-(B+C), b=1-(C+A), c=1-(A+B) を与式に代入する。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146700446/494-496

705 :132人目の素数さん:2006/05/06(土) 23:20:49
>703
 a≧b>0,b+a-1≦c≦b-a+1 としてよく,そのとき
 a≦1,-(1-b)(1-a) ≦ c-ab ≦ (b+1)(1-a), |c-ab| ≦ (b+1)(1-a).
だから
 a^2 + b^2 + c^2 -2abc -1 ≦ …… ≦ -2(a-b)(b+1)(1-a) ≦ 0.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146700446/537

706 :132人目の素数さん:2006/05/08(月) 02:14:57
〔問題〕
正の整数 n と 0 < c(0) < c(1) < …… < c(n) に対して、方程式
 c(0)z^n + c(1)z^(n-1) + …… + c(n-1)z + c(n) =0 の全ての解は絶対値が1より大きい
ことを示せ。

分かスレ240
 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146985151/51,54,58

ヒント: 非負実数の根がないことは明らか。

707 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 20:51:44


708 :132人目の素数さん:2006/05/21(日) 02:12:09
誰か自分を助けてください。宿題なんですが、
二次方程式2X~2−2KX+K~2−8=0が異なる2つの実数解をもつような定数Kの値の範囲を求めよ。
という問題がとけません。ほんとに困ってます。助けてください。

709 :132人目の素数さん:2006/05/21(日) 03:42:34
うせろカス!

710 :132人目の素数さん:2006/05/21(日) 17:46:11
>708
↓ここら辺に解答.....

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148174572/70-73

711 :132人目の素数さん:2006/05/21(日) 23:17:13
exp[∫(0→q) { -x^6 (t x^2-1)^2 + t^2 x^8} dt ]

は (q,x)∈[0,1] x [0,∞) で上に有界だが、

exp[∫(p→q) { -x^6 (t x^2-1)^2 + t^2 x^8} dt ]

は (p,q,x)∈[0,1] x [0,1] x [0,∞) ( p≦q )で上に非有界である事を示せ。

712 :132人目の素数さん:2006/05/21(日) 23:52:03
96 nを実数とする。
n≦0 のとき
 x^n-x は単調減少により成立。等号は x=1/2.
n>0 のとき
 (左辺) - (右辺) = (´д`)^n -x^n +x -(1-x) = f(x) とおくと
 f(0)=0, f(1/2)=0, f "(x) = n(n-1){(^д^)^(n-2) -x^(n-2)}.
 ・0<n<1 or 2<n のとき f "(x)≧0(下に凸), f(x)≦0 により成立. 等号はx=0,1/2.
 ・n=1,2 のとき f "(x)=0, f(x)=0 により等号成立.
 ・1<n<2 のとき f "(x)≦0(上に凸), f(x)≧0 だから逆向き. 等号は x=0,1/2.
ぬるぽ

713 :711:2006/05/22(月) 07:54:12
exp は意味無かったか。
外してね。

714 :132人目の素数さん:2006/05/22(月) 16:14:49
>>711は不等式の問題なのか?
スレ違い?

715 :132人目の素数さん:2006/05/22(月) 17:35:52
>>714
まだまだだな。

716 :132人目の素数さん:2006/05/22(月) 21:43:57
>>715
では解いてみてください。

717 :132人目の素数さん:2006/05/22(月) 23:23:35
前半なら解けるが。

718 :132人目の素数さん:2006/05/23(火) 01:56:19
[前スレ.951] (2)

a+b+c=sとおくと (a/s) + (b/s) + (c/s) = 1.
重みつき相加・相乗平均を使うと,
{(a+b-c)/a}^(a/s) * {(b+c-a)/b}^(b/s) * {(c+a-b)/c}^(c/s) ≦ (a/s){(a+b-c)/a} + (b/s){(b+c-a)/b} + (c/s){(c+a-b)/c} = 1.
これを s乗する。

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=488


719 :132人目の素数さん:2006/05/23(火) 03:28:19
>711,713,716
 そう言われても… 方針だけ書けば、
 1<a<2 とする。
 |tx^2 -1| < c/(x^a) ⇒ (与式第1項) > -(c^2)・x^(6-2a) … ここら辺に鋭峰がある。
 p=1/(x^2) -c/{x^(2+a)}, q=1/(x^2) +c/{x^(2+a)} とおくと,
 冲=q-p=2c/{x^(2+a)} で (与式第2項) 〜 x^4 ± 2cx^(4-a) 〜 x^4.  
 ∴ 与式 〜 x^4 * 2c/{x^(2+a)} = 2cx^(2-a) → ∞ (x→∞)
 かなぁ。

720 :132人目の素数さん:2006/05/23(火) 08:46:12
>>719
なんかよく分からないけど感動した。
目の付け所が違うって感じですね。

721 :132人目の素数さん:2006/05/24(水) 02:33:21
>711,713,716
上の方は…

F(t,x) = -(x^6)(tx^2 -1)^2 + (x^8)t^2 = (x^6){(1+x)xt-1}{(1-x)xt+1},
I(q,x) = ∫(t=0→q) F(t,x) dt
 = ∫(t=0→q) { -(x^6)(tx^2 -1)^2 + (x^8)t^2 } dt
= [ -(1/3)(x^10)t^3 +(x^8)t^2 -(x^6)t +(1/3)(x^8)t^3 ](t=0,q)
= -(1/3)(x^10)q^3 +(x^8)q^2 -(x^6)q +(1/3)(x^8)q^3.

I(q,x) の増減を知るため、F(t,x)の符号を調べる。
(1) 0 < x ≦ (√5 -1)/2 のとき、
  F(t,x)<0 だから I(q,x) <0.

(2) (√5 -1)/2 < x ≦ (√5 +1)/2 =x0 のとき、
  0<t< (1/x) -1/(1+x) で F(t,x)<0, (1/x) -1/(1+x) ≦t で F(t,x)≧0.
  I(q,x) ≦ I(1,x) または I(q,x)<0.
  I(1,x) = (1/3)(-3x^6 +x^8 -x^10) +x^8 ≦ (17972+4294√19)/(3・5^5) ≒ 3.91350528678012… @ x^2=(8+√19)/5 ≒ 2.47177978870813…

(3) (√5 +1)/2 = x0 < x のとき、tm(x)=1/(x-1) -(1/x) とおく。
  0 < t < (1/x)-1/(1+x) で F<0, (1/x)-1/(1+x) < t < tm(x) で F>0, tm(x) <t で F<0.
  I(q,x) ≦ I(tm(x),x) または I(q,x)<0.
  I(tm(x),x) = -(1/3)(x^5)(x-2)/(x-1)^2 は単調減少で、
  I(tm(x),x) ≦ I(tm(x0),x0) = (1/3)(x0)^5 ≒ 3.69672331458316…

722 :132人目の素数さん:2006/05/24(水) 08:14:35
>>721
凄いパワーに感心するけど、
相加、相乗使えば早いのでは?

I(q,x) ≦ ( 1 - 2/√3 + q/3 ) (x^8)q^2

723 :132人目の素数さん:2006/05/24(水) 22:44:34
>721
 ここでは最大値は不要だから、x>2 のとき
 I(q,x) = -(1/4)(x^6)(qx^2 -2)^2 -(1/12)(x^8)(x^2 -4)q^3 < 0.

>722 q=1 のとき
 I(1,x) ≦ (1 - 2/√3 + 1/3)(x^8) = 0.1786328…(x^8) → ∞ (x→∞)

724 :722:2006/05/25(木) 00:28:22
>>723
そういう意味で書いたんじゃないよ。
q が 1 - 2/√3 + q/3 ≦ 0 を満たす範囲では上に有界。
それ以上の q で上に有界は自明。

725 :132人目の素数さん:2006/05/25(木) 00:40:33
>>723
>I(q,x) = -(1/4)(x^6)(qx^2 -2)^2 -(1/12)(x^8)(x^2 -4)q^3
間違えてないか?


726 :723:2006/05/25(木) 15:21:32
>724
>> それ以上の q で上に有界は自明。
 詳細キボン(x→∞のとき)

>725
 I(q,x) = -(1/4)(x^6)q(qx^2 -2)^2 -(1/12)(x^8)(x^2 -4)q^3 < 0
 訂正、スマソ.

727 :132人目の素数さん:2006/05/25(木) 16:08:29
>>726
0<c<1 なる定数 c に対して、q∈[c,1] のとき

-(1/3)(x^10)q^3 +(x^8)q^2 -(x^6)q +(1/3)(x^8)q^3
≦-(1/3)(x^10)c^3 +(x^8) -(x^6)c +(1/3)(x^8)

これは明らかに上に有界。(x^10の項が効いている)
もっと厳密に言えるけどもういいかな?

728 :726:2006/05/25(木) 18:15:09
>727
 レスありがとうございます。
 なるほど! 納得しますた! dd!

729 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 18:47:15
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148148000/416-417

416 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/05/26(金) 04:35:01
x, yは非負の実数である。
(x^3) + (y^4) <= (x^2) + (y^3) のとき、(x^3) + (y^3) <= 2 であることを示せ。

両辺 y^2 で割って相加相乗とか無意味なことを色々と考えみましたが、わかりませんでした。
お願いします。

417 名前: ◆BhMath2chk [sage] 投稿日:2006/05/26(金) 06:00:00
x^2,y^4を消してx^3,y^3の関係を求める。
4y^3≦3y^4+1。
3x^2≦2x^3+1。
 3x^3+4y^3
≦3x^3+3y^4+1
≦3x^2+3y^3+1
≦2x^3+3y^3+2。

730 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 22:01:41
>>729
ぐじょぶ。

731 :132人目の素数さん:2006/05/27(土) 07:30:36
>>711
>>721のI(q,x)を使わせて貰うと、

I(1/{x(x-1)} , x) - I(1/{x(x+1)} , x) = 4x^5/{3(x^2-1)^2} 〜 x

732 :132人目の素数さん:2006/05/30(火) 03:58:06
Berkeley Math. Circle にあったらしい…

23. 次を証明せよ。 もし a,b,c が三角形の辺の長さならば、
 a^2 b(a-b) + b^2 c(b-c) + c^2 a(c-a) ≧ 0. 

23. Prove that if a, b, c are sides of a triangle, then
 a^2 b(a-b) + b^2 c(b-c) + c^2 a(c-a) ≧ 0.

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=503 ,506
http://mathcircle.berkeley.edu/inequalities.ps

733 :132人目の素数さん:2006/05/31(水) 01:12:35
>732

b+c-a=2x, c+a-b=2y, a+b-c=2z とおくと x,y,z>0.
(左辺) = 2yz(z-x)^2 + 2zx(x-y)^2 + 2xy(y-z)^2 ≧ 0.
を使う.

出題(不等式) [508]

734 :132人目の素数さん:2006/06/05(月) 00:14:34
a,b,cを三角形の3辺の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
3/2≦{a/(b+c)}+{b/(c+a)}+{c/(a+b)}≦2


735 :132人目の素数さん:2006/06/05(月) 00:21:07
>>734
前スレにあったやうな…

736 :132人目の素数さん:2006/06/05(月) 00:43:32
>>734
   , ノ)
  ノ)ノ,(ノi
  (    (ノし
┐) ∧,∧  ノ  いける、俺ならやれる。
..|( ( ....:::::::) (
 ̄⊂/ ̄ ̄7 )
 (/ 川口 /ノ
   ̄TT ̄

737 :132人目の素数さん:2006/06/05(月) 05:29:44
>735
このスレにもあるyo
>>281-283


738 :132人目の素数さん:2006/06/05(月) 19:31:52
鋭角三角形ABCに対して、次の不等式を示せ。
(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)/(cosA・cosB・cosC) ≧ 8(tanA+tanB+tanC)^3/{27(tanA+tanB)(tanB+tanC)(tanC+tanA)}

        ,イ         ━┓¨
       / |         ━┛
   ,r‐、λノ  ゙i、_,、ノゝ    ━┓¨
  ゙l            ゙、_   ━┛
  .j´   ヽ('A`)ノ    (.  ━┓¨
  {     (  )      /  ━┛
   )    ノ |    ,l~

取っ掛かりがさっぱり分からんが、燃えてきた、萌えてきた〜!
この不等式にハァハァした君は、間違いなく不等式ヲタだッ!m9(゚∀゚) ビシッ!

739 :132人目の素数さん:2006/06/05(月) 22:21:16
(右辺)/(左辺)が簡単な形になるだろ

740 :132人目の素数さん:2006/06/11(日) 17:36:06
f(x)を実係数のn次の整式とし、すべての実数xに対して、f(x)≧0とする。
このとき、すべての実数xに対し、f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)≧0で
あることを示せ。(f^(k)(x)はf(x)のk次導関数を表わすとする)

お願いします


741 :132人目の素数さん:2006/06/11(日) 20:00:05
>740
 F(x) = f(x) + f'(x) + f"(x) + …… + f^(n)(x) とおくと、
 F(x) - F'(x) = f(x).
 {exp(-x)F(x)} ' = exp(-x){-F(x)+F'(x)} = -exp(-x)f(x) ≦ 0.  (単調減少)
一方、Lim[x→∞) {exp(-x)F(x)} = Lim[x→∞) a_0・x^n / exp(x) → 0. (ロピタル)
∴ exp(-x)F(x) ≧ 0.
∴ F(x) ≧ 0. でいいのかな?

742 :132人目の素数さん:2006/06/11(日) 22:44:50
>>741
ありがとうございます。

743 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 16:40:47
実数 x, y が 2sin(x)sin(y) + 3cos(y) + 6cos(x)sin(y) = 7 をみたすとき、
tan^2(x) + 2tan^2(y) の値を求めよ。

( ゚∀゚) テヘッ

744 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/06/15(木) 17:28:29
talk:>>743 で?

745 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 21:59:38
荒らすな、馬鹿キング!

746 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 22:05:05
( ゚∀゚) < 荒らしていると言うことは、気づいていない証拠ですな。 kingも落ちたものだ、嘆かわしい。
      ぬるぽの意見を聞こうッ!

747 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 22:07:46
面白い問題おしえて〜な 11問目
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/655-656

任意の関数f:{1,2,...,n}^2→{-1,1}に対してΣ[x,x']Σ[y,y']f(x,y)f(x,y')f(x',y)f(x',y')≧n^3となる事を証明せよ

与式=Σ[x,x']{Σ[i=1〜n]f(x,i)f(x’,i)}^2
=Σ[x=x']{Σ[i=1〜n]f(x,i)f(x’,i)}^2+Σ[x≠x']{Σ[i=1〜n]f(x,i)f(x’,i)}^2
≧Σ[x=x']{Σ[i=1〜n]f(x,i)f(x’,i)}^2
=Σ[x=1〜n]{Σ[i=1〜n]f(x,i)f(x,i)}^2
=Σ[x=1〜n]{Σ[i=1〜n]1}^2
=n^3

748 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 22:34:44
>743
 sin(x) + 3cos(x) = (√10)cos(x-a), a=arctan(1/3) より
 2sin(x)sin(y) + 3cos(y) + 6cos(x)sin(y) = (2√10)cos(x-a)sin(y) + 3cos(y) ≦ √{40cos(x-a)^2 +3^2} ≦ 7.
ところで 題意により
 (x,y) = (a, b), (π+a, -b), b=arctan((2√10)/3),
 {tan(x)}^2 + 2{tan(y)}^2 = (1/3)^2 + 20(2/3)^2 = 81/9 = 9.

749 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 22:55:14
>>748
( ゚∀゚) < 乙ですが、肝心なことを忘れています。
      ここは不等式ヲタの溜まり場なのです。
      我々不等式ヲタを ハァハァ させてください。

750 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/06/15(木) 22:57:59
talk:>>745-746 お前に何が分かるというのか?

751 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 23:17:48
    (゚д゚ ) こたえが でれば いいぢゃないか!

( ゚∀゚) ぉゃぉゃ、いままで なにを まなんで きたのですか?

    (゚д゚ ) なんだと!

( ゚∀゚) すうをたならば、もんだいは とけて あたりまえ。

    (゚д゚ ) うっ…。

( ゚∀゚) このすれを よみなおしたまえ!

    (゚д゚ ) どういうことだ!

( ゚∀゚) といたら それっきりなんて もんだいは ひとつもない!

    (゚д゚ ) たしかに。 かいけつした もんだいの べっかいを わすれたころに だしているし、
        べつの もんだいに うまく りようしているのもあるな

( ゚∀゚) なかなか りかいが はやい。 わたしは はぁはぁ させてくれる かいほうが ほしかったのです!

    (゚д゚ ) なにもかもが おまえの かいた すじがき だったと いうわけだ!

( ゚∀゚) さぁ、わたしを はぁはぁさせる かいほうを かんがえなさい!

752 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 21:00:35
>>743
   , ノ)
  ノ)ノ,(ノi
  (    (ノし
┐) ∧,∧  ノ  ふふふ、そういうことか…
..|( ( ....:::::::) (
 ̄⊂/ ̄ ̄7 )
 (/ 川口 /ノ
   ̄TT ̄

753 :132人目の素数さん:2006/06/18(日) 20:30:42

  人人人人人人
≪  ヽ( "・ω・゛)ノ ≫ ビリビリ
  ^Y^Y^Y^Y^Y^Y 

754 :132人目の素数さん:2006/06/19(月) 15:38:52
でエレガントな解答はまだ?

755 :132人目の素数さん:2006/06/19(月) 22:11:44
>>743,749,751,754

 (6/7, 2/7, 3/7) = e↑,
 (cos(x)sin(y), sin(x)sin(y), cos(y)) = r↑
とおくと、
 |e| = |r| = 1.
与式より
 (e・r) = 1.
 ∴ |r−e|^2 = |r|^2 + |e|^2 -2(e・r) = 2 - 2 = 0.
 ∴ r↑ = e↑.
 ∴ tan(x)=1/3, tan(y)=±(2/3)√10.

ハァハァ....

756 :132人目の素数さん:2006/06/19(月) 22:31:57
   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ | >>755 グッジョブ!
 |::::: (● (● |   そう、それを待っていたのです!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

757 :132人目の素数さん:2006/06/23(金) 20:24:55
有理数c/d(d<100)が存在して、k=1,2,3,・・・,99に対して
[k*(c/d)]=[k*(73/100)]
となることを示せ。

758 :132人目の素数さん:2006/06/23(金) 22:21:40
>757
c/d = 27/37 = 54/74 の希ガス.

759 :132人目の素数さん:2006/06/24(土) 00:42:03
>757
 c=27, d=37 とすると 73/100 = c/d + 1/(100d).
 k*(73/100) = k*(c/d) + k/(100d) ≦ k*(c/d) + (1/d) -1/(100d).
 ところで 0 ≦ { k*(c/d) } ≦ 1 - (1/d).
 ∴ { k*(c/d) } + k/(100d) ≦ 1 - 1/(100d) <1.
 ∴ { k*(37/100) } = { k*(c/d) } + k/(100d).
 ∴ [ k*(73/100) ] = [ k*(c/d) ].

760 :132人目の素数さん:2006/07/04(火) 03:16:07
既出だろうけど、これから何か得られないかな?
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200605&t=mat&l=en 問3916

三角関数ヲタに如何?
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/sol_feb.pdf 問431

(屮゚Д゚)屮カモーン

761 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 02:24:26
>760

〔問B.3916〕
Prove that the inequality
(1/3)(x^2 +xy +y^2) ≦ (1/2)(x+y)√{(x^2 +y^2)/2}
holds for all positive numbers x,y.

(略解) 左辺を L, 右辺を R とおくと、
 (3L)^2 - (xy)^2 = (3L+xy)(3L-xy) = (x+y)^2 (x^2 +y^2) = 8R^2.
一方、相加・相乗平均より、xy ≦ (x+y)/2 ≦ √{(x^2+y^2)/2}, xy ≦ R.
∴ 9L^2 = (xy)^2 + 8R^2 ≦ 9R^2.
∴ L ≦ R 等号成立は x=y.


〔問431.〕
 Prove the following trigonometric identity, for any natural number n:
    sinθ・sin(3θ)・sin(5θ) …… sin((2n-1)θ) = 1/(2^n).
 where θ = π/(4n+2).

762 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 02:57:16
>>761
ぐっじょぶ。

763 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 03:44:04
[1,2]においてf(x)>0のとき
∫[1,2](xlogf(x)-f(x))dx ≦ 2log2-9/4
を示せ。

764 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 03:50:00
xlog(f(x))−f(x)≦xlog(x)−x。
(d/dx)(x^2log(x)/2−3x^2/4)=xlog(x)−x。


765 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 04:12:56
ひゅ〜

766 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 22:14:18
((a_1+a_2)/2)((a_2+a_3)/2)((a_3+a_4)/2)...((a_n+a_1)/2)
≦((a_1+a_2+a_3)/3)((a_2+a_3+a_4)/3)((a_3+a_4+a_5)/3)...((a_n+a_1+a_2)/3)
を示せ。ただし、0<a_i,1≦i≦n.

767 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 22:20:12
相加相乗ですぐできるやん

768 :132人目の素数さん:2006/07/07(金) 22:31:43
>760 ついでに....

〔B.3912〕
 Prove that every convex quadrilateral has a vertex, such that
its inversion with respect to the midpoint of the line segment connecting the two adjacent verteces
does not lie outside the quadrilateral.

 凸4辺形には、次の条件を満たす1つの頂点があることを示せ。
その頂点を、両隣の頂点を結ぶ対角線の中点の周りに反転した点は、
この4辺形の外部にない。

769 :768:2006/07/07(金) 22:41:53
Note: line segment connecting the verteces = diagonal



770 :132人目の素数さん:2006/07/08(土) 05:14:25
>764
 f(x)/x >0 ⇒ log{f(x)/x} ≦ f(x)/x −1 を使ったな?

>767
 すご

>768-769
凸4角形をABCDとする。
対角線BDの中点Nの周りにAを反転した点をA'とする。
 A'⊆△BCD ⇔ ∠CBD−∠A'BD ≧ 0 かつ ∠CDB−∠A'DB ≧ 0.
ところで、
 ∠CBD-∠A'BD = ∠CBD−∠ADB ≡ u, ∠CDB−∠A’DB = ∠CDB−∠ABD ≡ v.  …… (A)
ここに
 ∠CBD - ∠ADB = ∠DAC - ∠BCA = u  (← ∠ADB + ∠DAC = 180゚−∠AXD = ∠CBD + ∠BCA )
 ∠CDB - ∠ABD = ∠BAC - ∠DCA = v  (← ∠ABD + ∠BAC = 180゚−∠AXB = ∠CDB + ∠DCA )
なので、(A)の頂点を循環させると……

771 :766:2006/07/08(土) 15:59:13
>>767
気づかなかったorz
自分は遠回りしたので、意味もなく難しく思ってた。
すまんです。



772 :Peierls:2006/07/09(日) 04:02:21
>766
 n=2m, b≠0, a_k = 1 + {3(-1)^k}b (k=1,2,…,n) のとき

 (左辺) = 1 > (1-b^2)^m = {(1+b)(1-b)}^m = (右辺).

773 :Peierls:2006/07/09(日) 04:31:22
>766
 n=3L, c≠0, |c|<1/2, a_(3k-2) = 1+2c, a_(3k-1)=1-2c, a_(3k)=1, (k=1,2,…,L) のときは

 (左辺) = {1(1-c)(1+c)}^L = (1-c^2)^L < 1 = (右辺).

 で成立してるお。ふむふむ。

774 :766:2006/07/10(月) 20:09:30
766です。

>767
相加相乗で出来ません・・・出来たらやり方教えてくれませんか?

↓自分の証明です。一応。

まず、
補題 a_1/b_1+a_2/b_2+a_3/b_3 ... +a_n/b_n ≧ n(a_1+a_2+a_3+...+a_n)/(b_1+b_2+b_3+...+b_n)
を示します。(b_i≠0、1≦i≦n、a_i≦a_i+1 1≦i≦n、b_j≦b_j+1 1≦j≦n)

証明:Chebychefより、LHS≧(1/n)(a_1+a_2+a_3+...+a_n)(1/b_1+1/b_2+1/b_3+...+1/b_n)
相加相乗より、1/b_1+1/b_2+1/b_3+...+1/b_n≧(n^2)/(b_1+b_2+b_3+...b_n)
なので、証明されました。

次に、与式を
(3/2)^n≦((a_1+a_2+a_3)/(a_1+a_2))...((a_n+a_1+a_2)/(a_n+a_1))
と変形します。さらに、a_i≦a_i+1 1≦i≦n、a_(n+1)=a_1、a_(n+2)=a_2とします。

(a_k+a_(k+1)+a_(k+2))/(a_k+a_(k+1))=(a_k+a_(k+1)+a_(k+2))/(a_k+a_(k+1)+0)
=1/(a_k+a_(k+1)+0)/(a_k+a_(k+1)+a_(k+2))≧3/2(補題により)
なので、kを1≦k≦n内で動かせば示されます。




775 :132人目の素数さん:2006/07/10(月) 20:55:35
>>766,774
 「補題」 は
  {a_1, a_2, …, a_n} の順序と {b_1, b_2, …, b_n} の順序が 平行している
 ことを仮定しているようなので、
 「補題」 を使うときは、そのことを確かめた方がよいでしょう.

>772は、nが偶数のとき凡例がありそうだ、と言ってまつyo.
 b≠0, |b| < 1/3,
 a_1 = a_3 = … = a_(n-1) = 1-3b,
 a_2 = a_4 = … = a_n = 1+3b のとき....

776 :766:2006/07/15(土) 15:05:09
766です。試験で忙しかったので暫く来れませんでした。すいません。

>>772ですが、確かにそうですね・・・。本からのうpでしたが、どうも完全な問題ではないようです。申し訳ありません。

また半年間romってきます。



777 :132人目の素数さん:2006/07/15(土) 18:57:15
数オリスレにありますた。

 | ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) | ≦ (1/4)(a^2+b^2+c^2)^2.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/717
数オリ2

778 :132人目の素数さん:2006/07/15(土) 19:31:41
>>776
元ネタがあるときは、参考文献も書いておくといいよ。
大概は既知の問題だろうけど…。
それに書いてある模範解答以外の答えを出せるときがあるし…。

779 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 17:10:55
972

780 :132人目の素数さん:2006/07/29(土) 20:55:34
今日、たまたま相加平均・相乗平均のいろいろな証明方法が載っている本を見つけて買いました。

( ゚∀゚)つ 「数学トレッキングツアー」 教育出版、2006.7.1、1800円、PP.93-135
http://www.amazon.co.jp/gp/product/toc/4316801988/ref=dp_toc/250-6050543-0532225?ie=UTF8&n=465392

781 :132人目の素数さん:2006/08/03(木) 09:35:44
>>777
これですな。(*゚∀゚)=3 ハァハァ…

問1も不等式だね。問4もハァハァ…
http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/imo47q.html

782 :132人目の素数さん:2006/08/05(土) 08:48:46
実数 a、b、c が a^2+b^2+c^2=1をみたすとき、次式を示せ。
 1/(1-ab) + 1/(1-bc) + 1/(1-ca) ≦ 9/2

実数 a、b、c、d が a^2+b^2+c^2+d^2=1をみたすとき、次式は成り立つか?
 1/(1-ab) + 1/(1-ac) + 1/(1-ad) + 1/(1-bc) + 1/(1-bd) + 1/(1-cd) ≦ 8

( ゚∀゚) ハァハァ…

783 :132人目の素数さん:2006/08/05(土) 17:50:54
>781
Q1. 三角形ABCの内部に点Pがあって, 等式
   ∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB
をみたすとき, AP≧AI を示せ. ここにIは△ABCの内心である.
また、等号成立は P=I のとき。

Q3. 任意の実数a,b,cに対して不等式
  |ab(a^2-b2) + bc(b2-c^2) + ca(c^2-a^2)| ≦ M(a^2+b^2+c^2)^2
が成り立つような, 最小の実数Mを求めよ.

Q4. 以下の等式を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ.
     1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.

A3. M = 12・17^3 / 385^2 ≒ 0.3977466689…  ( a:b:c = 1:(25/8):(-9/8) の辺り.)

A4. (x,y) = (4,23)

784 :132人目の素数さん:2006/08/05(土) 19:58:12
>>782
過去ログに、こんなのあったような…

実数 a、b、c が a^2+b^2+c^2=1をみたすとき、
 1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 9/4

785 :132人目の素数さん:2006/08/06(日) 17:19:47
>782 改造しますた
 n個の実数 x1,x2,…,xn が x1^2 + … + xn^2 =s をみたすとき、次式は成り立つか?
  納1≦i<j≦n] s/(s-xi・xj) ≦ (n^2)/2.

>784
[前スレ.519]
【問題C】正の数 a,b,c が a^2 +b^2 +c^2 =s をみたすとき
(6) 1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 9/(3+s).

 相加・調和平均で瞬殺だった...

http://makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html#519
http://makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html#530

786 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 00:17:10
これどうすか。
{√(bc)+√(ca)+√(ab)}/3≦{(b+c)(c+a)(a+b)/8}^{1/3}

787 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 00:24:36
もちろんa,b,c≧0

788 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 04:39:05
>>786
グッジョブ (*゚▽゚)b

>>780で紹介した本の P.122 に載っていますね (*゚∀゚)=3 ハァハァ…
もしかして、この不等式、このスレには初登場?

789 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 07:42:30
【問題】
ある直方体の6つの面のうち、5面の面積の和がaである。
このような直方体の体積の最大値を求めよ。

【解答】
直方体の3辺をh,k,Lとすると
 a = 2hk+2kL+Lh,
相加・相乗平均で
 (2hkL)^(2/3) ≦ (2hk+2kL+Lh)/3 = a/3.
 hkL ≦ (1/2)(a/3)^(3/2).

【ネタ元】
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問より
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/120-121

790 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 13:02:05
muirheadの不等式って、巡回置換じゃ成り立たないの?

791 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 13:30:00
成り立たない。


792 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 13:34:55
>>791
なるほど さんくす

793 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 14:39:18
本当?

794 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 14:41:54
>>793
優級数って、ひとつの順序でしょ。
巡回置換は(巡回)対称性があるから順序にならんのじゃない?

795 :132人目の素数さん:2006/08/09(水) 18:35:45
>>786 念のため解答

 √(bc)=x, √(ca)=y, √(ab)=z とおくと,
 (左辺) = (x+y+z)/3 ≦ √{(x^2+y^2+z^2)/3} = √{(bc+ca+ab)/3}
 ≦ {(a+b+c)(bc+ca+ab)/9}^(1/3) ≦ {[(a+b+c)(bc+ca+ab) -abc]/8}^(1/3)
 = {(b+c)(c+a)(a+b)/8}^(1/3) = (右辺).
ここで
 √{(bc+ca+ab)/3} ≦ (a+b+c)/3,
 (a+b+c)(bc+ca+ab) - 9abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧ 0,
を使った。

796 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 11:46:52
>>786
やはり、一般化せずには いられまいな ( ゚∀゚)

B.C.Carlson, R.K.Meany, S.A.Nelson (1971)
正の数 a_i (1≦i≦n) に対して、
 (1/n)*Σ[k=1 to n] \sqrt [n-1] {Π[i≠k]a_i } ≦ \sqrt [n] { Π[k=1 to n] {(1/(n-1))*Σ[i≠k]a_i } }

797 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 21:15:30
>>796
ヘルダー使って証明するやつだな。もっと一般化されてたと思うが。同じ論文だったか定かじゃないが。
拡張の証明は、>>795の方法のままで出来ない?ヘルダー使わずに。

798 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 21:29:42
a_1,……,a_n≧0とするとき,
Σ[k=1 to n]√(Σ[i=k to n] a_i) ≧ √(Σ[k=1 to n] (k^2 a_k))

799 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 21:58:34
>>797
> もっと一般化されてたと思うが。

もっとくぁしく!

800 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:04:07
>>799
http://www.ams.org/proc/2004-132-09/S0002-9939-04-07384-8/home.html

801 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:08:42
>>800
C_n^kって何ですか?

802 :800:2006/08/10(木) 22:10:03
あぁ、たぶん nCkのことですね。 失礼。
外国では C_n^kと書くのか…、へんなの!

803 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:28:33
>>802
ヒント: TeX

804 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:28:34
>799
もっといけるで。左辺のkと右辺のkは同じじゃなくても大丈夫。
足してnより大なら。

805 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:39:41
>>803
つまり TeXで _nC_k と書くつもりが、書き間違えたわけだ! なさけない・・・

806 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:40:21
ちげーよw

807 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:41:48
>>801-803,805
nCkをC_n^kと書くのは,日本以外のアジア地域の標準的記法

808 :132人目の素数さん:2006/08/10(木) 22:43:53
>>807
そうでしたか
日本以外のアジアか。
どおりで AMM 読んでも、そんな表記はなかったわけだ。

809 :132人目の素数さん:2006/08/11(金) 07:57:27
>>800
これの証明はどうするのでしょうか?
私は3変数の証明でいっぱいいっぱいです。

810 :132人目の素数さん:2006/08/13(日) 19:44:35
>>797-800,809
ヘルダーを使わずに… (粗筋だけでスマソ)

#A=k, n/2 < k ≦ n
a_1,a_2,…,a_n のj次の基本対称式を S_j とおく。C[n,k]=N とおく.

x_A = {Π[i∈A] a_i}^(1/k) とおくと, 納#A=k] (x_A)^k = S_k,
補題より {(1/N)納#A=k] x_A}^(n-k) ≦ (1/N)S_(n-k).

(左辺)^n = {(1/N)納#A=k] x_A}^n ≦ (1/N^2)S_(n-k)・納#A=k] (x_A)^k
 = (1/N^2)S_(n-k)S(k)
 = (1/N){ [1,1,…,1] + C(n-k,1)C(k,1)[2,1,…,1,0] + C(n-k,2)C(k,2)[2,2,1,…,1,0,0] + … + C(k,n-k)[2,…,2,1(0),…,0] }
 ≦ (1/N){ [1,1,…,1] + (terms of order ≦2) + (terms of orders >2 ) }     (← Muirhead)
 = {1/(n-1)}^n・Π[#A=k] {納i∈A] a_i}
 = (右辺)^n.

(terms of order・・・) の係数は、個別に求めている…


〔補題〕 n/2 ≦ k ≦ n のとき
 {(1/N)納#A=k] x_A}^(n-k) ≦ (1/N)S_(n-k).
 S_(n-k) は a_1,a_2,…,a_n のn-k次の基本対称式。
(略証)
各x_A は (a_j)^(1/k) のk次積なので、左辺を展開すると (a_j)^(1/k) のk(n-k)次積となる。
各a_jは高々n-k個しかないから、重複なくk組に分けられる。(← n-k≦k)
x_A1・x_A2…x_A(n-k) = (k組の相乗平均) ≦ (k組の相加平均).
すべての A1,A2,…,A(n-k) について加えて平均すると対称性によって (1/N)S_(n-k) となる。 (終)

811 :810:2006/08/13(日) 20:21:02
>810 は独立変数を a_1,…,a_n で表わしてまつ.(>800 は別の文字を使ってまつ).

812 :132人目の素数さん:2006/08/13(日) 21:01:03
>804
S_k / C[n,k] = P_k とおくと >810 より
 (左辺)^n ≦ (1/C[n,k]^2)S_(n-k)・S_k = P_(n-k)P_k.
ところで P_k は単調減少で上に凸。P_(k+1)/P_k が単調減少だから
 (左辺)^n ≦ P_(n-k)P_k ≦ P_(n-k+1)P_(k-1) ≦ P_(n-k+2)P_(k-2) ≦ … ≦ P_([n/2])P_(n-[n/2])

813 :132人目の素数さん:2006/08/13(日) 23:21:28
jien otu

814 :132人目の素数さん:2006/08/15(火) 12:23:15
>804,812

【補題】i≦i≦n-1 のとき
 (P_i)/P_{i-1} ≧ P_{i+1}/(P_i).

[前スレ.263(1)], [前スレ.269-271]
http://makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html

815 :132人目の素数さん:2006/08/15(火) 12:28:23
【記号の説明】
n個の正の数 a_1,a_2,…,a_n に対して、
基本対称式(k個ずつの積の和)を s_k で表す
(s_k)/項数 = (s_k)/C[n,k] ≡ P_k とおく

816 :132人目の素数さん:2006/08/15(火) 12:44:54
>804,812
 微分法を使ったのもある…

[前スレ.480]
http://makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082/480

817 :810:2006/08/16(水) 03:14:27
>>797-800,809 粗筋 (その2)

(左辺)^k = {(1/N)納#A=k] x_A}^k ≦ (1/N)納#A=k] (x_A)^k = (1/N)S_k = P_k
 ≦ ……
 ≦ { Π[#A=k] (1/(n-1))納i∈A] a_i }^(k/N)
 = (右辺)^k.

右辺を展開したとき, "terms of higher order" が多く含まれることを示さねば…

818 :132人目の素数さん:2006/08/17(木) 22:44:32
>817 の続き

納i∈A] a_i のiを1づつずらしたn項の積を考える。
nが素数のとき {a_i}の対称式でP_k, P_1・P_(k-1), … の和として表わせるので、
 ≧ (P_k)^(n/k),
これを(N/n)組を掛けあわせて(k/N)乗すると
 P_k ≦ (右辺)^k

819 :132人目の素数さん:2006/08/27(日) 09:02:49
ネタ投下
実数 x , y , z が xy + 2yz + 3zx = 1 を満たすとき |x + y + z| の最小値を求めよ

820 :132人目の素数さん:2006/08/27(日) 17:12:37
保守

821 :132人目の素数さん:2006/08/27(日) 20:38:58
>819
 |x+y+z|^2 = (4/3)(xy+2yz+3zx) + (2/3)(x+y-z)^2 + (1/3)(x-y-z)^2 ≧ (4/3)(xy+2yz+3zx) = 4/3.
 |x+y+z| ≧ 2/√3, 等号成立は x=z, y=0 のとき.

822 :132人目の素数さん:2006/08/27(日) 20:54:24
>>821
どっから、そういう変形を思いつくのですか? ('A`)
コツがあるのですか?

823 :132人目の素数さん:2006/08/27(日) 21:31:09
>>821
ハァハァ
)ハァハァ
`)ハァハァ
Д`)ハァハァ
´Д`)ハァハァ
;´Д`)ハァハァ
(;´Д`)ハァハァ

824 :132人目の素数さん:2006/08/28(月) 01:04:17
>822

線形代数/線型代数3
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134640067/381-382

ハァハァ

825 :132人目の素数さん:2006/08/28(月) 09:29:46
brunn-minkowski不等式ってなんダイ?

826 :132人目の素数さん:2006/08/28(月) 11:18:04
問題投下
正の実数 x , y , z の中で一番小さいものが √3 以上であるとき
不等式 xyz≧x+y+z が成り立つことを証明せよ.

827 :132人目の素数さん:2006/08/28(月) 11:19:09
>>826
工房は立ち入り禁止

828 :132人目の素数さん:2006/08/28(月) 17:26:06
>>826
一応一般化しておく。
x_k ≧ n^{1/(n-1)} (k=1,2,…,n) のとき,
x_1 x_2 … x_n ≧ x_1 + x_2 + … + x_n
を示せ。

829 :132人目の素数さん:2006/08/29(火) 02:13:21
 一応示しとくお。

【命題828】 x_k ≧ a >1 (k=1,2,…,n) のとき
 x_1・x_2…x_j ≧ x_1 + x_2 + … + x_j + (a^j) -ja.
(略証)
 jについての帰納法による。
 j=1 のときは明らかだお。
 j>1 とする。
  j-1 について成り立つとする。
  x_1・x_2…x_(j-1) =y とおくと、
  y ≧ x1 + … + x_(j-1) + a^(j-1) -(j-1)a ≧ a^(j-1) …… (1).
 補題↓より、
  y・x_j ≧ y + x_j + (a^j) -a^(j-1) -a …… (2)
 (1)(2)より、j についても成り立つお。(終)

〔補題829〕
 x≧a>1, y≧b>1 のとき xy ≧ x + y + c, ただし c=ab-a-b.
(略証)
 題意により (x-a)(y-b) ≧0.
 ∴ xy ≧ ay + xb -ab ≧ x + y + (a-1)b + a(b-1) -ab = x + y +ab -a -b.

830 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 17:52:19


831 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 18:11:31
age

832 :132人目の素数さん:2006/09/02(土) 00:21:19
問題投下。
p,q,r>0, x,y,z≧0 のとき,以下の(1)(2)を示せ。
(1) px^2/(q+r) + qy^2/(r+p) + rz^2/(p+q) ≧ xy + yz + zx - (x^2 + y^2 + z^2)/2
(2) pyz/(q+r) + qzx/(r+p) + rxy/(p+q) ≧ xy + yz + zx - (x^2 + y^2 + z^2)/2

833 :132人目の素数さん:2006/09/04(月) 12:30:59
>>832
とりあえず(1)だけ。
Cauchy-Shwarzから
{(q+r)+(r+p)+(p+q)}{x^2/(q+r)+y^2/(r+p)+z^2/(p+q)} ≧ (x+y+z)^2
∴2(p+q+r){x^2/(q+r)+y^2/(r+p)+z^2/(p+q)} ≧ (x+y+z)^2
これを展開して整理すると(1)を得る。

834 :132人目の素数さん:2006/09/18(月) 18:42:39
a,b,c>0 とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ
  a^3/(a^2+ab+b^2) + b^3/(b^2+bc+c^2) +c^3/(c^2+ca+a^2) ≧ (a+b+c)/3

835 :132人目の素数さん:2006/09/19(火) 10:11:39
>>834
(左辺)-(右辺)を通分すると,
(2a^5b^2 + a^4b^3 + a^3b^4 + 2a^2b^5 + 2a^5bc - a^4b^2c - 2a^3b^3c - a^2b^4c +
2ab^5c + 2a^5c^2 - a^4bc^2 - 4a^3b^2c^2 - 4a^2b^3c^2 - ab^4c^2 + 2b^5c^2 + a^4c^3
- 2a^3bc^3 - 4a^2b^2c^3 - 2ab^3c^3 + b^4c^3 + a^3c^4 - a^2bc^4 - ab^2c^4
+ b^3c^4 + 2a^2c^5 + 2abc^5 + 2b^2c^5 ) / (3(a^2 + ab + b^2)(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bc + c^2))

この分子は,
2Σa^5b^2 - 2Σa^4b^2c^2 + Σa^4b^3 - Σa^4b^2c + Σa^5bc - Σa^3b^3c
と書ける。ただし,Σは(a,b,c)の全ての置換(6つ)に関する和を表す。
Muieheadの不等式より,
 第1項≧第2項
 第3項≧第4項
 第5項≧第6項
なので,(左辺)-(右辺)≧0 が成立。

836 :834:2006/09/19(火) 10:15:10
>>834
MuieheadじゃなくてMuirhead

837 :835:2006/09/19(火) 14:11:41
>>835の第2項目の Σa^4b^2c^2 は Σa^3b^2c^2 の間違い。

838 :132人目の素数さん:2006/09/20(水) 02:25:42
>>832の(2)は???

839 :132人目の素数さん:2006/09/21(木) 12:40:17
>>834
ムーアヘッド使わなくても。
a^2+ab+b^2≧3abだから、
(左辺第1項)=a-ab(a+b)/(a^2+ab+b^2)≧a-(a+b)/3
この式をcyclicにまわして足す。

840 :132人目の素数さん:2006/09/28(木) 14:04:08
age

841 :132人目の素数さん:2006/09/28(木) 22:21:36
(1) a、b≧0 が a^2 + b^2 = 1 をみたすとき、a+b ≧ 2^(ab) を示せ。

(2) 3文字以上に拡張できるだろうか?

842 :132人目の素数さん:2006/09/28(木) 23:23:28
1 + 2ab ≧ 2^(2ab), 0 ≦ 2ab ≦ 1

843 :132人目の素数さん:2006/09/29(金) 02:37:26
>>842
分かるように説明してください。

844 :132人目の素数さん:2006/09/29(金) 22:32:41
>>843
>>842さんの証明方法のままn変数に一般化すればこういうこと。

【命題】
x_1,……, x_n ≧ 0 および
(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 = 1 のとき,
 x_1 + x_2 + …… + x_n ≧ n^(S/(n-1))
が成り立つ。
ただし S は x_1, ……, x_n から作られる2次の基本対称式。
例えば n=3 なら S= x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1

【証明】
グラフを描けば,指数関数の凸性から分かるとおり,
 1+x ≧ n^(x/(n-1)) (0≦x≦n-1)  ……(*)
が成り立つ。

相加相乗平均より,x_ix_j ≦ ((x_i)^2 + (x_j)^2) / 2 であり,
これを 1≦i<j≦n なる全ての i,j に関して足し合わせると,
 S ≦ (n-1)( (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 )/2 = (n-1)/2
が得られる。
よって,0≦2S≦n-1 なので,(*) に x = 2S を代入すると,
 1 + 2S ≧ n^(2S/(n-1))
 ∴ (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 + 2S ≧ n^(2S/(n-1))
 ∴ (x_1 + x_2 + …… + x_n)^2 ≧ n^(2S/(n-1))
両辺の平方根をとればOK. (Q.E.D.)


845 :132人目の素数さん:2006/09/30(土) 05:10:35
>>841-844
>>844とは違う方向で>>841を一般化してみた。

【命題】
p,q は 0<p.q<1, p+q=1 を満たす実数とする。
x,y は x,y≧0, x^2 + y^2 = 1 を満たす実数とする。
このとき,
 px + qy ≧ (min{p,q})^(1-x^(2p)y^(2q))
が成立する。

p=q=1/2 の場合,両辺を2倍すると>>841になります。

証明は,解析的手法でできる。
誰かこれをn変数に拡張よろしく。

846 :132人目の素数さん:2006/09/30(土) 19:33:37
>>844
凄い!
ここのスレはレベル高っ!

847 :132人目の素数さん:2006/10/01(日) 13:44:02
>>844
 A = (x_1 + x_2 + … + x_n)/n,
 RMS = √{[(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2]/n}
とおくと
 S = (1/2){(n・A)^2 - n・RMS^2} ≦ (1/2)n(n-1)・RMS^2,

〔命題844〕
 RMS ≧ A ≧ RMS・(1/n)^t,
 ここに t = (1/2) - S/{n(n-1)・RMS^2}, 0≦t≦1/2.

848 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 00:33:19
>>832 (2), >838

(略証)
f(x,y,z) = (1/2)(x^2 +y^2 +z^2) + {p/(q+r) -1}yz + {q/(r+p) -1}zx + {r/(p+q) -1}xy
    = (1/2)(x^2 +y^2 +z^2) + Ayz + Bzx + Cxy.
とおく。A,B,C のうち、正のものは高々1つだけ。
小さい方の2つを A=cosα, B=cosβ とする。α,βは鈍角.
 C < cos(α-β) のときは γ = arccos(C),
 C ≧ cos(α-β) のときは γ = |α-β| ≦ arccos(C).
とおくと 3角不等式 α+β≧π>γ≧|α-β| を満たす。

そこで、互いに角α,β,γをなすように斜交軸 i↑,j↑,k↑ を取る。
r↑= xi↑ + yj↑ +zk↑ とすると
0 ≦ (r↑・r↑)
  = x^2 +y^2 +z^2 + 2{cosα}yz + 2{cosβ}zx + 2{cosγ}xy
  ≦ x^2 +y^2 +z^2 + 2Ayz + 2Bzx + 2Cxy.      (← x,y,z≧0)
  = 2f(x,y,z).

849 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 07:59:06
>>844の証明方法をなぞった>>847の〔命題844〕 の証明

【命題844】
x_1,……, x_n ≧ 0とする。
 A = (x_1 + x_2 + …… + x_n)/n
 M = √{[(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2]/n}
 S = x_1,……, x_n の2次の基本対称式
とおくとき,
 A≧Mn^[S/{n(n-1)M^2}-1/2]

【証明】
グラフを描けば,指数関数の凸性から分かるとおり,
 nM^2 + x ≧ M^2n^[x/{n(n-1)M^2}+1] (0≦x≦n(n-1)M^2)  ……(*)
が成り立つ。

相加相乗平均より,x_ix_j ≦ ((x_i)^2 + (x_j)^2) / 2 であり,
これを 1≦i<j≦n なる全ての i,j に関して足し合わせると,
 S ≦ (n-1)( (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 )/2 = n(n-1)M^2/2
が得られる。
よって,0≦2S≦n(n-1)M^2 なので,(*) に x = 2S を代入すると,
 nM^2 + 2S ≧ M^2n^[2S/{n(n-1)M^2}+1]
 ∴ (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 + 2S ≧ M^2n^[2S/{n(n-1)M^2}+1]
 ∴ (nA)^2 ≧ M^2n^[2S/{n(n-1)M^2}+1]
両辺の平方根をとって両辺をnで割ればOK. (Q.E.D.)

850 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 14:55:30
(*゚∀゚)=3 ハァハァ…

851 :132人目の素数さん:2006/10/03(火) 02:56:36


852 :848:2006/10/04(水) 00:07:12
>848 (続き)

3角不等式のほかに α+β+γ≦2π も示さねば……

γ=|α-β| のときは α+β+γ = 2max{α,β} ≦ 2π.

γ=arccos(C) のとき
 arccos(x) ≦ (2π/3) + (√3){(3/2)/(x+2) -1}, …… (*)
 1/(A+2) + 1/(B+2) + 1/(C+2) =2,
 α+β+γ = arccos(A) + arccos(B) + arccos(C) ≦ 2π.
 ところが、(*) は x<-0.96 では成り立たない …… orz.

853 :132人目の素数さん:2006/10/09(月) 10:47:44
つい出来心で週末に、前スレ295で紹介されてた参考書を注文したら、もう届いたYo!
(*゚∀゚)=3 ハァハァ…

J. M. Steele:
"The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities" (Maa Problem Books Series.)

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/052154677X/qid%3D1090270289/ref%3Dsr%5F8%5Fxs%5Fap%5Fi1%5Fxgl14/249-9112872-5627569

854 :132人目の素数さん:2006/10/09(月) 22:28:50
題名がカッコいいなw

855 :132人目の素数さん:2006/10/10(火) 22:25:42
>>853
俺も買ったけど読み進んでない。  orz

仕事が忙しすぎるんじゃい!!!

856 :853:2006/10/10(火) 23:03:33
>>855
俺も忙しくって、読み始めるのは来月以降になりそうだ。
同士よ、マイペースでハァハァしていこうぜ! ( ゚∀゚)ノ

857 :132人目の素数さん:2006/10/25(水) 16:43:13
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問より
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/l50

平面α上に正三角形ABCがある。
また平面α上にない点Oをとるとき、AO+BO>COをしめせ。


ABCは正三角形だから、
 BC・AO + CA・BO > AB・CO.
を示せば十分。(トレミーの不等式の3D版)

直線ABのまわりの回転により、点Oを平面α上(ABに関してCと反対側)の点O' に下ろすと、
 AO'=AO, BO'=BO, CO'>CO.
平面α上の4角形BCAO'にトレミーの不等式(2D)を適用する。
 BC・AO' + CA・BO' ≧ AB・CO'.
等号成立は BCAO'が同一円周上にあるとき。(終)

って、私釣られてる?!

http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=596

858 :132人目の素数さん:2006/10/25(水) 21:41:57
king来い

859 :132人目の素数さん:2006/10/25(水) 21:44:06
さっきそこの道路でkingが車にはねられていた

860 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/10/25(水) 21:45:12
talk:>>858 私を呼んだだろう?
talk:>>859 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

861 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 09:15:35
>857
〔トレミーの不等式(2D)〕
   AB・CD + AD・BC ≧ AC・BD.

(略証2)
 複素数平面を考え、頂点 A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
  (b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) = (c-a)(d-b).
 という恒等式が成り立つので、各項の絶対値をとる.(終)


「数学100の定理」数セミ増刊 (1983.10) p.16 栗田 稔:「トレミーの定理」
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1147941227/58-61

(別証)
矢野健太郎:「幾何の有名な定理」数学ワンポイント双書36, 共立出版 (1981) p.47-48

862 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 07:17:45
( ゚∀゚)つ a, b, c > 0 に対して、(√a + √b + √c)・√(abc) + (a+b+c)^2 ≧ 4√{3abc(a+b+c)}

863 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:15:52
なぜ、「不等式」であって「非等式」ではないのでしょうか?

864 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:28:59
「不等式」って名詞だろ。
なら、等しからざる式じゃないと駄目じゃん。

865 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 22:02:52
>>862

a+b+c=s, abc=u とおく。相加・相乗平均より、
 (√a +√b +√c)√u + (1/9)s^2 ≧ 3u^(1/6)・√u +(1/9)s^2 = u^(2/3) +u^(2/3) +u^(2/3) +(1/9)s^2
 ≧ 4{u^2・(1/9)s^2}^(1/4) = (4/3)√(3us).
また、(*) より,
 s^2 ≧ 3√(3us).
辺々加える。

(*) s^3 -27u = (1/2){(7a+b+c)(b-c)^2 +(a+7b+c)(c-a)^2 +(a+b+7c)(a-b)^2} ≧0,
  ∴ s ≧ 3u^(1/3).

866 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 16:52:38
分かスレ から…

345 :132人目の素数さん :2006/11/10(金) 22:32:14
 z:複素数のとき、e^(Re{z}) -1 ≦ |e^z -1| ≦ e^|z| -1 が示せません。
 教えてください。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/345

867 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 17:19:33
>866

左側
 z=x+iy, z~=x-iy  … 共軛複素数, 補題より
 |e^z -1|^2 = (e^z -1){e^(z~) -1} = e^(2x) -e^z -e^(z~) +1 ≧ e^(2x) -2e^x +1 = (e^x -1)^2.

右側
373 :132人目の素数さん :2006/11/10(金) 23:42:06
マクローリン展開で,
 |e^z -1| = |Σ[1,∞) (1/n!)z^n | ≦ Σ[1,∞) (1/n!)|z^n| = e^|z| -1.
こうかな?
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/373

〔補題〕 e^z + e^(z~) ≦ 2e^(Re{z}).
 z = x+iy, z~=x-iy とすると、
 e^z + e^(z~) = (e^x){e^(iy) + e^(-iy)} = 2(e^x)cos(y) ≦ 2e^x. (終)
 z + z~ = 2x.

868 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 15:07:48
>866
 左側は三角不等式で一発だお。
 e^Re{z} = |e^z|.

869 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 03:58:39
〔問題〕
a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=t のとき
 1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 ≧ 9/4t.
が成り立つことを示せ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163724421/597
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163970000/153

870 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 04:09:55
>869

a,b,c の基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
 (a+b)(b+c)(c+a) = st-u,
 (左辺) = {(s^2 -t)^2 +4su}/(st-u)^2,
 (s^2 -t)^2 -(9/4t)(st-u)^2 = F_2 + (3t/4s)F_1 + (9u/4s)F_0 + (u/4t)(st-9u) ≧0.
 ここに、F_2 = s^4 -5(s^2)t +4t^2 +6su, F_1 = s^3 -4st +9u, F_0 = s^2 -3t. >>399-401
 ∴ (左辺) ≧ (9/4t).

871 :870:2006/11/23(木) 04:21:50
>870 の訂正、スマソ

 (s^2 -t)^2 +4su -(9/4t)(st-u)^2 = F_2 + (3t/4s)F_1 + (9u/4s)F_0 + (u/4t)(st-9u) ≧0.


872 :870:2006/11/23(木) 17:10:31
>870 (補足)

 (s^2 -t)^2 +4su -(9/4t)(st-u)^2 = F_2 + (3t/4s)F_1 + (5u/2s)F_0 + (3u^2/4st)F_(-1) ≧0.
 F_(-1) = (t^2 -3su)/u.
 でもよい。

873 :132人目の素数さん:2006/12/01(金) 08:51:55
abc=1、a,b,c>0 の時(a+b+c/3)^5 ≧ (a^2+b^2+c^2)/3を示せ。



874 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 07:17:45
問468、469
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_nov.pdf
問462
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_oct.pdf
問3199
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n8/PDF/v32n8syn.pdf
A.411、B.3944、3945、C.871、K100
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200611&t=mat&l=en

       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    クリスマスか…
      ヽ::::......ワ...ノ    
        人つゝ 人,,      ボコボコにしてやるよ…(涙)
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

875 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/09(土) 09:45:08
talk:>>874 貴様反乱軍の一味だな!

ちなみに、私は中立だ。

876 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 10:05:26
>>875
久しぶりに現れたな。せっかくだから解いて行かないか?

877 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 10:49:01
a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=t
 G=1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 ー 9/4t-rt


878 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 10:50:15
abc=1、a,b,c>0 の時
G=(a+b+c/3)^5 ー(a^2+b^2+c^2)/3ーr(abc−1)

879 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 11:46:59
g=0,f>0
G=f-rg
∇G=0
r=fa/ga=fb/gb=fc/gc

g=abc=1
afa=bfb=cfc
a=b=c=1
f=1-1=0
f>=0


880 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 11:53:40
f=c

881 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 11:58:38
a=(x^3-2)^2

882 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 10:58:23
>>874

[469]. Solve for t in terms of a,b in the equation
  √(t^2 -at +a^2) + √(t^2 -bt +b^2) = √(a^2 +ab +b^2).
  where 0 < a, b.

(略解) 根号を開いていくと t = (a+b)/(ab).

[B.3944]. Sketch in the cartesian plane the region consisting of the points (x,y) such that
  x/y + 1/x + y ≧ y/x + 1/y + x.

(略解) 通分すると (左辺) - (右辺) = (x-1)(y-1)(y-x)/(xy) ≧ 0.

[B.3945]. Solve the following simultaneous equations:
 x^3 + y^3 + z^3 = 8 … (1), x^2 + y^2 + z^2 = 22 … (2), 1/x + 1/y + 1/z + (z/xy) = 0 … (3)

(略解) (3)から (x+z)(y+z)=0, すなわち z=-x または z=-y.
 x+z=0 のとき x^3 +z^3 =0, (1)より y=2, (2)より x=-z=±3.
 y+z=0 のとき y^3 +z^3 =0, (1)より x=2, (2)より y=-z=±3.

C.871. Prove that if the expression
(x^2)/(x-y)(x-z) + (y^2)/(y-x)(y-z) + (z^2)/(z-x)(z-y)
is well-defined, then its value is independent of the values x,y and z.

(略解) 通分すると (x^2)(z-y) +(y^2)(x-z) + (z^2)(y-x) になる。
これは交代式だから差積 (x-y)(y-z)(z-x) で割り切れる、というか、差積そのもの。
これを整理して、結局1.

883 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 11:05:49
>>874

[K.100]. Solve the following equation on the set of real numbers:
 x^2 +6 +1/(x^2) = 4x + 4/x.

(略解) (左辺) -(右辺) = (x+1)^4 /(x^2).
 複素数まで考えても x=-1 だけ……ort.

(訂正)
[469]. の解は t=ab/(a+b) ですた。スマソ.

884 :883:2006/12/10(日) 11:12:13
[K.100]. (訂正)

(略解) (左辺) -(右辺) = (x-1)^4 /(x^2).
 複素数まで考えても x=+1 だけ……スマソ.

ハァハァ

885 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 12:23:37
>>873

a,b,c の基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
 s^5 + 81tu +81tu ≧ 81・{s^5・(1/3)t^2・u^2}(1/3),  (← 相加・相乗平均)
 t^2 - 3su = u・F_(-1) ≧0,
より
 s^5 + 81tu +81tu ≧ 81・s^2・u,
 (s/3)^5 ≧ {(s^2 -2t)/3}u.

ゼェゼェ (←かぜにご注意)

886 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 12:35:57
お大事に☆

887 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 02:32:49
>>874
たまには 等式も…

[460]. Given two natural numbers x and y for which 3x^2 +x = 4y^2 +y,
 prove that their positive difference is a perfect square.
 Determine a non-trivial solution of this equation.
 (MOCP/2006/prob_oct)

(略解)
 x-y=d とおくと d>0. 与式より,
 x = 4d +√{d(1+12d)}, y = 3d +√{d(1+12d)}.
 d と 1+12d は互いに素だから、共に平方数.
(例)
 √d=2, √(1+12d)=7, x=2*15, y=2*13,
 √d=28, √(1+12d)=97, x=28*209, y=28*181,
 √d=390, √(1+12d)=1351, x=390*2911, y=390*2521,
 √d=5432, √(1+12d)=18817, x=5432*40545, y=5432*35113.


[465]. For what positive real numbers a, is (2+√a)^(1/3) + (2-√a)^(1/3) an integer ?
 (MOCP/2006/prob_nov)

(略解)
 (2+√a)^(1/3) + (2-√a)^(1/3) = b, (a≧0) とおくと
 b^3 -3{(4-a)^(1/3)}b -4 = 0,
 a = 4-{(b^3 -4)/3b}^3,
(例)
 a =5 のとき b=1,
 a = 100/27 のとき b=2.

ヒューヒュー (←寒風にご注意)

888 :132人目の素数さん:2006/12/12(火) 01:47:24
>>874

[462]. For any positive real numbers a,b,c,d, establish the inequality
  √{a/(b+c)} + √{b/(c+d)} + √{c/(d+a)} + √{d/(a+b)} > 2.
  (MOCP/2006/prob_oct)

(略解)
 √a =A, √b =B, √c =C, √d =D とおけば
 (左辺) > A/(B+C) + B/(C+D) + C/(D+A) + D/(A+B).   (← √(x+y) < √x + √y)
 に帰着する(Shapiroの巡回不等式)  >>284

889 :132人目の素数さん:2006/12/12(火) 01:51:19
>>874

〔Shapiroの巡回不等式〕 >>284
 n≦13 と F = 納i=1,n] A_i /{A_(i+1) + A_(i+2)}, A_(n+1)=A_1, A_(n+2)=A_2 に対して
 F ≦ n/2.
(例証)
 F * 納k=1,n] A_k*{A_(k+1) + A_(k+2)} ≦ (A_1 + A_2 + … + A_n)^2  (←コーシー)
  ≡ (A_1 + A_2 + … + A_n)^2 - (n/2)納k=1,n] A_k*{A_(k+1) + A_(k+2)} ≧0 を示せばよい。
 n=3,5 のとき = (1/(n-1))納1≦i<j≦n] (A_i -A_j)^2 ≧0,
 n=4 のとき = (A_1 -A_3)^2 + (A_2 -A_4)^2 ≧0,
 n=6 のとき = (1/2)納1≦i<j≦3] {A_i +A_(i+3) -A_j -A_(j+3)}^2 ≧0.

890 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 22:25:38
>>874
 >889 の補足

 {A_i}の相関函数を G_k = Σ[i=1,n] A_i・A_(i+k) とおけば、G_(n-k) = G_k,
  = G_0 + G_1 + … + G_(n-1) -(n/2)(G_1 + G_2).
 ただし A_(n+i) = A_i (巡回的)とした。

 n=3 のとき = G_0 - G_1 = (1/2)Σ[i=1,3] {A_i -A_(i+1)}^2 ≧0,
 n=4 のとき = G_0 - G_2 = (A_1 -A_3)^2 + (A_2 -A_4)^2 ≧0,
 n=5 のとき = G_0 - (G_1 + G_2)/2 = (1/4)Σ[i<j] (A_i -A_j)^2 ≧0,
 n=6 のとき = G_0 - G_1 - G_2 + G_3 = (1/2)納i=1,3] {A_i - A_(i+1) + A_(i+3) - A_(i+4)}^2 ≧0,

891 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 22:41:54
>887
 [460] の解法。

 √d = a_n, √(1+12d) = b_n の漸化式は
 a_(n+1) = 7a_n + 2b_n, a_0 =0,
 b_(n+1) = 24a_n + 7b_n, b_0 =1.
∴共通の漸化式
 c_(n+1) = 14c_n - c_(n-1)
を満たす。特性根は (2±√3)^2.
 a_n = {(2+√3)^(2n) - (2-√3)^(2n)}/(2√12),
 b_n = {(2+√3)^(2n) + (2-√3)^(2n)}/2,
 x = {(2+√3)^(4n+1) + (2-√3)^(4n+1)}/24 -1/6,
 y = {(2+√3)^(4n+1) - (2-√3)^(4n+1)}/(16√3) -1/8.

coshθ =2 なる θ>0 をとると exp(±θ) = 2±√3,
 √d = sinh(2nθ)/√12, √(1+12d) = cosh(2nθ),
 x = cosh((4n+1)θ)/12 -1/6,
 y = sinh((4n+1)θ)/(8√3) -1/8.
 θ = arccosh(2) = log(2+√3) = -log(2-√3) = 1.316957896924816708625046347308…
ぬるぽ

892 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 02:06:08
>890 のついでに…

〔補題〕自己相関関数 G_k について
  -G_0 ≦ G_k ≦ G_0.
(略証1)
 左側: {A_i} と {-A_i} について (逆順序積) ≦ (乱順序積).
 右側: {A_i} どうしで (乱順序積) ≦ (同順序積).
(略証2)
 G_0 ± G_k = (1/2)納i=1,n] {A_i ± A_(i+k)}^2 ≧0. (終)

風を集めて (風街ろまん)

893 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 20:23:05
IMO-2004 から

[Q4]
Let n≧3 be an integer, and let x_1, x_2, …, x_n be positive real numbers that satisfy
 (x_1 + x_2 + … + x_n)(1/x_1 + 1/x_2 + … + 1/x_n) < n^2 +1.
Prove that for all i,j,k with 1≦i<j<k≦n,
the numbers x_i, x_j, x_k are the sides of a non-degenerate triangle.

はっぴいえんど

894 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 00:01:13
>893

[Q4]
n≧3 は自然数、x_1, x_2, …, x_n は正の実数で、
 (x_1 + x_2 + … + x_n)(1/x_1 + 1/x_2 + … + 1/x_n) < (n-3+√10)^2.
を満足する。このとき、1≦i<j<k≦n なるすべての (x_i, x_j, x_k) は3角形の辺をなすことを示せ。


街の外れの背伸びした路地を 散歩してたら染みだらけの もやごしに起き抜けの路面電車が 海を渡るのが 見えたんです.
それで僕も 風を集めて、風を集めて、風を集めて……


895 :132人目の素数さん:2006/12/26(火) 00:42:45
>893-894

(略証) 背理法による。
 (x_i + x_j + x_k)/3 = A, 1/x_i + 1/x_j + 1/x_k = 3/H
とおくと
 (左辺) = {3A + 他の(n-3)項}{3/H + 他の(n-3)項} ≧ {3√(A/H) + (n-3)}^2  (← コーシー)
題意より、任意の1≦i<j<k≦n について
 (3A)(3/H) < 10.
となり、n=3 の場合に帰着する。(Sung-yoon Kim)

n=3 のとき
 (左辺) = 9 + (a-b)^2 /(ab) + (a-c)^2 /(ac) + (b-c)^2 /(bc).
ここで a≧b+c と仮定すると、
 (a-b)^2 /(ab) ≧ (a-b)c/(ab) = c/b - c/a,
 (a-c)^2 /(ac) ≧ (a-c)b/(ac) = b/c - b/a,
∴ (左辺) ≧ 9 + (c/b) + (b/c) -(b+c)/a ≧ 9 + 2 -1 = 10.
∴ 題意に矛盾。(billzhao)

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=14091
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=14091&sid=2de9b3f61f5b67d9237ed04b57757ff2

896 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 14:10:51
東大入試作問者スレ8から

[113]
a,b,c >0, abc =1 を満たすとき
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3) + (b^2+c^2)a/(b^3+c^3) + (c^2+a^2)b/(c^3+a^3)
の取り得る値の範囲を求めよ。

[129]
40番
a,b,c ≧0, a+b+c =1 が成り立っているとき、
ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) の最大値を求めよ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/113
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/129

897 :132人目の素数さん:2006/12/29(金) 14:21:42
>896

[129]
40番
a,b,c≧0, a+b+c = s とする。
 (左辺) = s(ab+bc+ca) -abc = (1/4)(s^3 -F_1 -3abc) ≦ (1/4)s^3.
ここに F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) ≧ 0. (←Schur不等式) >>38 >>399-401
等号は (a,b,c) = (s/2,s/2,0) のとき。

898 :897:2006/12/29(金) 15:15:54
>897 の訂正

40番
 (与式) = s(ab+bc+ca) -3abc = …… ≦ (1/4)s^3.

ゴホゴホ … カンキ(寒気・換気)にご注意

899 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 17:39:32
大掃除中に出てきた紙切れから。(元ネタも答えもなかった)

(1) Σ[k=1 to n-1]sin(kπ/n) =
(2) Σ[k=0 to ∞](k!)/{(2k+1)!!} =
(3) Σ[k=0 to ∞]{(2k)!}・k!/{(2k+1)!!} =

不等式ぢゃない? いいんだよ、ハァハァできれば…

       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    バカップルが初詣とな?…
      ヽ::::......ワ...ノ    
        人つゝ 人,,      ボコボコにしてやんよ…
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

900 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 21:30:14
>899

(1) 加法公式から
 sin(kπ/n) = {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)} を代入.
 S = {cos(π/2n) - cos(π-(π/2n))}/{2sin(π/2n)} = 1/tan(π/2n).

(2)
 Σ[k=0, ∞) (k!)/{(2k+1)!!} (1-cosθ)^k = θ/(sinθ),
 Σ[k=0, ∞) (k!)/{(2k+1)!!} (1+cosθ)^k = (π-θ)/(sinθ).
に θ=π/2 を代入. S = π/2.

(3) 発散の悪寒...

皆様 今年も1年間 ありがとう御座いますた。それでは 良いお年を。

901 :900:2006/12/31(日) 00:22:24
>899

>900(2) の補足
 k!/{(2k+1)!!} = (1/2^k)∫[0,π/2] sin(x)^(2k+1) dx = (1/2^k)∫[0,π/2] cos(x)^(2k+1) dx
を左辺に代入すると
 (2/sinθ)∫[0,π/2] t・sin(x)/{1+(t・cos(x))^2} dx = (2/sinθ)∫[0,t] 1/(1+u^2) du = θ/(sinθ).
 ここに t = tan(θ/2).

902 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 23:52:57
問題豆乳

(1) a * b * c ≧ 0 のとき
(a + b + c)^3 ≧ (-a + b + c)^3 + (a - b + c)^3 + (a + b - c)^3 を示せ

(2) a , b , c > 0 のとき
(b + c)^2 * (b - a)/(a + b) + (c + a)^2 * (c - b)/(c + b) + (a + b)^2 * (a - c)/(c + a) ≧ 0 を示せ

903 :132人目の素数さん:2007/01/09(火) 00:58:52
キタコレ!
(1)は、三角形の辺の長さに絡んでるから、図形的に解けるのかな?
(2)は、見たことあるような ないような…

(*゚∀゚)=3 ハァハァ…

904 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 16:51:41
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする

905 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 17:57:36
sorede?

906 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 21:31:45
>902
(1) -a+b+c=A, a-b+c=B, a+b-c=C とおくと a+b+c=A+B+C.
 (左辺) - (右辺) = (A+B+C)^3 -A^3 -B^3 -C^3 = 3(A+B)(B+C)(C+A) = 3(2c)(2a)(2b) = 24abc.
または
 (左辺) - (右辺) = f(a,b,c) とおくと f(0,b,c)=f(a,0,c)=f(a,b,0)=0.
 因数定理により f(a,b,c) = k・abc, k=24.

(2) 左辺を通分すると
 (左辺)*(a+b)(b+c)(c+a)/2
 = (b+c)^3 (c+a)(b-a) + (c+a)^3 (a+b)(c-b) + (a+b)^3 (b+c)(a-c)
 = ab^4 +(a^2 +b^2)c^3 -3ab^2・c^2 + cyclic
 = (a-b)^2・c^3 + ab(b+2c)(b-c)^2 + cyclic
 = {c^2 + a(a+2b)}c(a-b)^2 + {a^2 +b(b+2c)}a(b-c)^2 + {b^2 +c(c+2a)}b(c-a)^2
 ≧ 0.
 等号成立は a=b=c のとき.


>904
 そのとき、
 (a/c ,b/c) = ((m^2-n^2)/(m^2+n^2), 2mn/(m^2+n^2)), m,nは整数
と表わせる?

907 :132人目の素数さん:2007/01/11(木) 21:44:38
>>7
7 名前: 風あざみ [sage] 投稿日: 05/01/22 00:35:18
前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

908 :132人目の素数さん:2007/01/14(日) 20:23:33
>896

[113]
a,b≧c と仮定すると
 x≧c>0 ⇒ (x^2+c^2)/(x^3+c^3) ≧ (x^2+c^2)/{x^3 +(c^2)x} = 1/x
 (左辺) ≧ 0 + a/b + b/a = 2 + (a-b)^2 /(ab) ≧ 2.
が出る。等号成立は (a,b,c)=(1,1,0) のとき


[129]
40番
a+b+c=s とすると
 s^3 - 4{ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)} = a(-a+b+c)^2 + b(a-b+c)^2 + c(a+b-c)^2 ≧0.
 ∴ ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) ≦ (1/4)s^3.
 (数学カテ 不等式トピ saikorodeka 氏による)

909 :132人目の素数さん:2007/01/15(月) 23:55:54
投下するつもりじゃなかったんだけどさ・・・。

p1, p2, ・・・, pn > 0 ;fixed.

a1, a2, ・・・, an をΣpk ak = 1 の条件下で動かしたとき、
Σ ak^2 + ( Σ ak )^2 ≧ 1/ { (n+1)Σpk^2 - (Σpk )^2 }

Cauchy-Schwartzで出るけど、等号成立条件が見えん。
っつーか、この不等式を使う局面が見えん。

もう三十路、衰えを感じるよ・・・。

910 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 18:40:17
二年十二時間。


911 :132人目の素数さん:2007/01/17(水) 22:05:35
>>910
黙れ!

912 :132人目の素数さん:2007/01/18(木) 02:06:35
>909

 兩n = {Σa_i^2 +(Σa_i)^2}{(n+1)Σ(p_j)^2 - (Σp_j)^2} -(n+1)(Σa_k・p_k)^2,
とおく。
 兩2 = {a_1(p_1-2p_2) + a_2(2p_1-p_2)}^2 ≧0,
 等号成立は a_1 : a_2 = (2p_1-p_2) : (2p_2-p_1) のとき。

913 :912:2007/01/24(水) 01:44:57
>909

 兩3 = x^2 + y^2 + z^2,
ここに
 x = (2p_2 +2p_3 -s)(a_1 + a_2) - (2p_1 +2p_2 -s)(a_2 + a_3),
 y = (2p_3 +2p_1 -s)(a_2 + a_3) - (2p_2 +2p_3 -s)(a_3 + a_1),
 z = (2p_1 +2p_2 -s)(a_3 + a_1) - (2p_3 +2p_1 -s)(a_1 + a_2),
 s = p_1 + p_2 + p_3.
等号成立は x=y=z=0 より
 a_i + a_j = const.* (2p_i + 2p_j -s),
 a_i = const.* (4p_i -s) のとき。

一般には
 a_i = const.* {(n+1)p_i -s} のとき. ここに s = p_j.

914 :132人目の素数さん:2007/01/25(木) 23:19:07
>>909

↑を参考にして
 q_j = (n+1)p_j - s, s = 納j=1,n] p_j,
とおく。

>909 の右辺は
 { 納k=1,n] a_k・p_k }^2 / {納j=1,n] (p_j)^2 - (s^2)/(n+1)}
 = { 納k=1,n] a_k・q_k + S・s}^2 / { 納j=1,n] (q_j)^2 + s^2}.
ここに S = 納i=1,n] a_i.

つまり (n+1)-成分のコーシーだな。

915 :132人目の素数さん:2007/01/27(土) 02:59:33
(1) 3208
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2007/n1/PDF/v33n1syn.pdf
しょぼそうだが、3、6、12を文字に変えてみるといいかも。

(2) 3ページ目右下 258
http://www.math.ust.hk/excalibur/v11_n4.pdf

(3) A414
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200612&t=mat&l=en
過去スレで解いたことがあるような…

【おまけ】 不等式じゃないけど気にしない。
472、474、475、477、478
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_dec.pdf
479のタイプは、背景に何かあるのですか?

       ___ 
彡     /  ≧ \    彡 ビュゥ……
  彡   |:::  \ ./ |  彡
      |:::: (● (●|    バレンタインか…
      ヽ::::......ワ...ノ    
        人つゝ 人,,      ボコボコにしてやるよ…(涙)
      Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ    
    .  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡
     `⌒  .U~U`ヾ    丿
             ⌒〜⌒

916 :132人目の素数さん:2007/01/28(日) 16:51:01
>915 (1)

3208. Find the largest number k such that:

for all positive real numbers a,b,c, we have
  (a^3 +3)(b^3 +6)(c^3 +12) > k(a+b+c)^3.


k = 8.09302525347919…

a = 0.90457524553798
b = 1.36887076597586
c = 2.29746180685161
s = 4.57090781836545

917 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 03:15:06
>915 (1)
 a0 = 0.90457524553798…,
 b0 = 1.36887076597586…,
 c0 = 2.29746180685161…,
k = (a0・b0・c0)^2 = 8.09302525347919… ,
とおく。さらに x=a/a0, y=b/b0, z=c/c0 とおく。

 (左辺) = (a^3 +3)(b^3 +6)(c^3 +12)
 = (abc)^3 + 12(ab)^3 + 3(bc)^3 + 6(ca)^3 + 72(a^3) + 36(b^3) + 18(c^3) + 216
 = k・a0・a0・b0・{(xy)^3 + x^3 +1}
 + k・a0・b0・b0・{(xy)^3 + y^3 +1}
 + k・b0・b0・c0・{(yz)^3 + y^3 +1}
 + k・b0・c0・c0・{(yz)^3 + z^3 +1}
 + k・a0・c0・c0・{(zx)^3 + z^3 +1}
 + k・a0・a0・c0・{(zx)^3 + x^3 +1}
 + k・a0・b0・c0・(x^3 + y^3 + z^3)
 + (abc)^3 + k^(3/2) + k^(3/2),
 + k・(a^3 + b^3 + c^3)
 ≧ 3k・a0・a0・b0・(xxy) + 3k・a0・b0・b0・(xyy) + 3k・b0・b0・c0・(yyz) + 3k・b0・c0・c0・(yzz) + 3k・a0・c0・c0・(xzz) + 3k・a0・a0・c0・(zxx)
 + 3k・a0・b0・c0・xyz + 3k・abc + k・(a^3 + b^3 + c^3)
 = k(3aab + 3abb + 3bbc + 3bcc + 3acc + 3aac + 6abc + a^3 + b3 + c^3)
 = k(a+b+c)^3
 = (右辺).
等号成立は x=y=z=1, a=a0, b=b0, c=c0.

918 :132人目の素数さん:2007/01/29(月) 03:25:12
>>917
その a0、b0、c0 の値はどこからひねり出したのですか?

919 :917:2007/01/30(火) 03:24:42
>918

まづ
 (k/18)^3 - (49/8)(k/18)^2 +7(k/18) -2 =0.
から k〜8.093 を出す。次に
 cosα = √{k/(6・12)}, cosβ = √{k/(12・3)}, cosγ = √{k/(3・6)}, α+β+γ = π.
から α,β,γ を出す。されば、
 a0・tanα = b0・tanβ = c0・tanγ = 2.5419287933840…,

920 :917:2007/01/31(水) 00:54:50
>918 (続き)

 k = (3/2)√(7*151)・cosθ + 3(49/4) 〜 8.093,
 θ = (1/3)arccos{97*337/(7*151)^(3/2)} + 2π/3 〜 2.199,

>919 より
 a0 = L/tanα = L/√(72/k -1),
 b0 = L/tanβ = L/√(36/k -1),
 c0 = L/tanγ = L/√(18/k -1).
辺々掛けて 平方すると
 k = (a0・b0・c0)^2 = (L^6)/{(72/k -1)(36/k -1)(18/k -1)},
 L = {k(72/k -1)(36/k -1)(18/k -1)}^(1/6) 〜 2.542.

921 :132人目の素数さん:2007/02/01(木) 01:13:10
>915 (2) は解凍月の希ガス

>915 (3)

[前スレ.858] に習い 基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
= {(左辺) - (9/4)} * 4(st-u)^2
 = 4t{[(z+x)(x+y)]^2 + [(x+y)(y+z)]^2 + [(y+z)(z+x)]^2} -9(st-u)^2
 = 4t{(x^2 +t)^2 + (y^2 +t)^2 + (z^2 +t)^2} -9(st-u)^2
 = 4t{(x^4 + y^4 + z^4) + 2t(x^2 + y^2 + z^2) + 3t^2} -9(st-u)^2
 = 4t{(s^4 -4s^2・t + 4su + 2t^2) + 2t(s^2 -2t) + 3t^2} -9(st-u)^2
 = 4t{s^4 -2s^2・t + 4su + t^2} -9(st-u)^2
 = 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
 = 4t・F_2 +{(3t^2 -su)/s}・F_1 +(s +9t/s)u・F_0   (← [前スレ.874] )
 ≧ 0.

・Schur不等式 (>>38, >>399-401)
 F_n = (x^n)(x-y)(x-z) + (y^n)(y-z)(y-x) + (z^n)(z-x)(z-y) ≧ 0,
(例)
 F_0 = s^2 -3t =(1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
 F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0,
 F_2 = s^4 -5s^2・t +4t^2 +6su ≧ 0.

922 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 04:00:47
>915 【おまけ】

472. Find all integers x for which
 (4-x)^(4-x) + (5-x)^(5-x) + 10 = 4^x + 5^x.

 x=2.

474. Solve the equation for positive real x:
 {2^log_5(x) +3}^log_5(2) = x -3.

 x=5.

476. Let p be a positive real number and let |x_0| < 2p. For n > 1, define
 x_n = 3x_(n-1) - (1/p^2){x_(n-1)}^3.
Determine x_n as a function of n and x_0.

 y_n = {(-1)^n (1/2p)}x_n とおくと |y_0| < 1,
 y_n = 4{y_(n-1)}^3 - 3y_(n-1) = T_3(y_(n-1)),
ここで、T_3(z) = 4z^3 -3z,
 y_0 = (x_0)/(2p) = cosθ とおくと
 y_n = cos{(3^n)θ} = T_(3^n)(y_0),
 x_n = (-1)^n・2p・T_(3^n)((x_0)/2p),
ここに T_m(x) はm次の第1種チェビシェフ多項式。

923 :132人目の素数さん:2007/02/03(土) 04:02:21
>915 【おまけ】

478. Solve the equation
 √{2+√[2+√(2+x)]} + (√3)√{2-√[2+√(2+x)]} = 2x
for x≧0.


 (根号内) ≧0 より 2+x ≧0,
 x>2 とすると 左辺第2項の根号内が負になるから、x≦2.
 x = 2cosθ (0≦θ≦π) とおく。
 √(2+x) = 2cos(θ/2), 
 √[2+√(2+x)] = 2cos(θ/4),
 (左辺) - (右辺) = 2cos(θ/8) + (2√3)sin(θ/8) - 4cosθ
 = 4cos{(θ/8)-(π/3)} - 4cosθ
 = 8sin{(9/16)θ-(π/6)}sin{(7/16)θ+(π/6)},
 sin{(7/16)θ+(π/6)} ≧ sin(π/6) = 1/2 より,
 sin{(9/16)θ-(π/6)} = 0,
 θ = (8/27)π,
 x = 2cos{(8/27)π} = 1.1943171834055723297037043211679…

924 :出題(不等式):2007/02/04(日) 19:54:00

[644] (saikorodeka)
a,b,c >0 のとき
 a + b + c ≦ c^2/b + b^2/a + a^2/c.

925 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 19:27:25
0

926 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 10:20:54
>>924
よくある問題だね。
過去スレで解決済みだったような。

927 :132人目の素数さん:2007/02/21(水) 13:38:52
   / ノ ≧ ヽ
  _|_____|_    わたしが訓練教官のハートマン先任軍曹であるッ!
   |:::  \ ./ |       話しかけられたとき以外は口を開くな。
   |:::: (● (●|       口でクソたれる前と後に『Sir』と言え!!
   ヽ::::......ワ...ノ        分かったか、ウジ虫どもー!
      人つゝ 人,,             ----- sir, yes sir !
    Yノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ   ふざけんな! もっと大声をだせー! 
.  ノ /ミ|\、    ノノ ( 彡       ----- SIR, YES SIR !!!
   `⌒  .U~U`ヾ    丿   よーし、まずは小手調べだ!
           ⌒〜⌒      これを解いてみろー!

【問題】
正の数 a、b、c が ab+bc+ca=1 をみたすとき、
 (1+a^2b^2)/(a+b)^2 + (1+b^2c^2)/(b+c)^2 + (1+c^2a^2)/(c+a)^2 ≧ 5/2

ハートマン軍曹とは
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%CF%A1%BC%A5%C8%A5%DE%A5%F3%B7%B3%C1%E2
Sir! 鬼教官ハートマンのガイドラインです 5 Sir!
http://ex20.2ch.net/test/read.cgi/gline/1170122024/l50

928 :132人目の素数さん:2007/02/22(木) 13:18:14
>>927
Sir! 条件 ab+bc+ca=1 をどう使えばよいか分からないであります、Sir!

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