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【ガブリエルのラッパ】表面積が無限だが体積は有限

1 :132人目の素数さん:05/01/13 15:16:57
y = 1/x (1 ≦ x < ∞)を x 軸の周りで回転して得られる回転体を考えると、
体積は有限(π)だが、表面積は無限!

「ガブリエルのラッパ」(または「トリチェルリのラッパ」)というみたいだが、これ不思議じゃね?

参考ページ:
http://mathworld.wolfram.com/GabrielsHorn.html
http://www.h33.dk/gabriel_index.en.html
http://curvebank.calstatela.edu/torricelli/torricelli.htm

2 :132人目の素数さん:05/01/13 15:28:32

 〜〜〜終了〜〜〜

3 :132人目の素数さん:05/01/13 16:11:11
たしかに不思議な感じがするね。計算は簡単だけど。

4 :132人目の素数さん:05/01/13 16:59:22
位相幾何では変な図形がよく出てくる…

5 :132人目の素数さん:05/01/13 17:12:38
>>1
有界じゃなければあんま不思議な気がしないんだけど。
∫[0,∞]f(x)dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。

6 :132人目の素数さん:05/01/13 17:33:50
中を埋め尽くすブロックは有限個あればいいのに、表面を埋め尽くすパネルは無限に必要というパラドックスは
どう解決されるの?

7 :132人目の素数さん:05/01/13 17:58:12
>>5
>∫[0,∞]f(x)dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。
確かに数学的にはそれとあまり変わりがないかも。

ただ、
「面積」有限の領域の断線が「長さ」無限の直線になる
ってのはそれほど不思議な感じがしないんだけど、
「体積」有限の領域の断面が「面積」無限の領域になる
ってのは不思議な感じがするのは何故だろう?
単に慣れの問題か?

8 :132人目の素数さん:05/01/13 18:45:48
フラクタルな図形でいくらでもありそうだ

9 :132人目の素数さん:05/01/13 18:55:08
こういうのがあるから積分可能かどうかのチェックを1、2年の解析できっちりやらされるわけか

10 :伊丹公理 ◆EniJeTU7ko :05/01/13 19:02:26
>>8
なめらかな物もあるよ。
y = x^2*sin^2 (x^(-100))
のグラフの [0, 1] での長さと面積

あるいは
y = sin^2 (x^100)
で、 [1, ∞]

11 :伊丹公理 ◆EniJeTU7ko :05/01/13 19:03:33
後半訂正
あるいは
y = sin^2 (x^100)/x^2
で、 [1, ∞]

12 :伊丹公理 ◆EniJeTU7ko :05/01/13 19:07:18
もし正値がお望みなら、
y = e^(-x) + sin^2 (x^100)/x^2
等色々改造できる。

13 :132人目の素数さん:05/01/14 02:44:22
>>1
不思議でないように解釈する方法もあるから、
もっと勉強してみ

14 :132人目の素数さん:05/01/14 02:50:29
>>13
詳細きぼんぬ

15 :13:05/01/14 03:47:01
天の国からラッパを吹き鳴らす天使ガブリエルの肺活量を考えるんだな

16 :|д゚):05/01/14 04:41:50
そりゃ,数学的には珍しくもなんともなくって不思議じゃないとか言ってもさ,
無限が生み出す変な感じが中学校で習う反比例のグラフを回してつくったラッパみたいな見た目単純な図形でも現す
という意味で面白い例だと思いました

17 :132人目の素数さん:05/01/14 06:26:06
>>13
「不思議でないように解釈する方法」書いてみろよ。
お前本当はわかってねーだろ

18 :132人目の素数さん:05/01/14 08:09:21
体積が有限でも数学では引っ張りまくって表面積を無限にできるってだけの話じゃネーノ?


19 :132人目の素数さん:05/01/14 08:50:59
こういう変な図形ってよくあるよね。エキゾチックな球面とか

20 :132人目の素数さん:05/01/14 09:00:27
表面積が有限で体積が無限っていう図形はあるの?

21 :132人目の素数さん:05/01/14 09:11:58
球の外側

22 :132人目の素数さん:05/01/14 10:21:59
球の外側は囲えきれてない感じだもんなぁ。

23 :132人目の素数さん:05/01/14 11:07:09
じゃあコンパクトの条件を付けたら,あるかな?

24 :132人目の素数さん:05/01/14 12:40:33
>>18
確かにそうなんだけど、なんか「体積」と「面積」だと不思議な感じがするんだよね。
1 と本質的に違う方法で、「体積有限な立体を引っ張りまくって表面積を無限にする」
例をいろいろ挙げてみたら不思議じゃなくなるかも。

25 :132人目の素数さん:05/01/14 12:48:44
表面積じゃなくて、断面の面積が無限っていうほうがより不思議な感じがする。

y = 1/x (1 ≦ x < ∞)と x 軸で囲まれる部分の面積は無限になる、でも、
それをx軸の周りで回転させると体積は有限になる、っていうと、えっ? て
感じしない?

26 :132人目の素数さん:05/01/14 13:03:35
中卒哲厨の1さんがんばれ

27 :1:05/01/14 13:11:41
>>26
院卒数オタなんですけど。

28 :132人目の素数さん:05/01/14 13:14:41
院卒数ヲタさんがんばれ

29 :132人目の素数さん:05/01/14 13:18:25
>>23
ユークリッド空間じゃコンパクト=有界閉集合だから無理じゃないの?

30 :132人目の素数さん:05/01/14 22:34:54
>>25
面積有限の図形を有限距離移動させた軌跡の体積は有限だが、
逆に、面積無限の図形を有限距離移動させた軌跡が有限になるのは何の
不思議でもない。今の場合、管の先のほうほど移動距離が短い。

31 :1:05/01/15 01:02:32
>>30
まあそうなんだけどね・・・
ただ、中高生向けのもっとうまい直感的な説明はないかな?
式で示したり、>>30 のような説明をしても、いまいちこの不思議さは解消できないような気がする。

32 :132人目の素数さん:05/01/15 01:10:26
>>30
> 逆に、面積無限の図形を有限距離移動させた軌跡が有限になるのは何の
> 不思議でもない

エエーッ?!!

33 :挑発痴女:05/01/15 01:13:41
>>30
俺は十分不思議だ
お前はいい素質があるぜ

34 :132人目の素数さん:05/01/15 01:16:04
y=1/(1+x^2) とy=ー1/(1+x^2)の曲線の弧長はそれぞれ無限大だが、
間に挟まれた面積は有限。

35 :132人目の素数さん:05/01/15 01:33:54
「面」(2次元図形)は、3次元以上の空間の中では測度0であるにもかかわらず、
なんとなく「量」を常に持ってる感じがする。

一方、「線」(1次元図形)は、1次元で考えれば長さという「量」を持っているにもかかわらず、
なんとなく「量」を持っていない感じがする。

ここらへんのイメージの違いが関係しているような・・・

36 :132人目の素数さん:05/01/15 01:35:37
凄く難しい問題かと思ったら俺でも理解できた。
不思議。

37 :132人目の素数さん:05/01/15 01:38:10
>>34
だから、それは別に不思議じゃないんだが。

「無限の長さの線から有限の面積の面を作る」のはあんまり不思議じゃないが、
「無限の面積の面から有限の体積の立体を作る」のは不思議な感じがするのは
何故か、ってのを話したい。

38 :伊丹公理 ◆EniJemcBeU :05/01/15 02:28:16
>>37
>「無限の面積の面から有限の体積の立体を作る」のは不思議な感じがするのは

錯覚だろ。

39 :伊丹公理 ◆EniJeTU7ko :05/01/15 02:50:51
>>38
偽者。 私は
>>10-12に書いた。

40 :132人目の素数さん:05/01/15 04:06:24
伊丹公理の偽者は何をしたいんだ・・・?

41 :132人目の素数さん:05/01/15 06:17:26
ちなみに、本物も何がしたいんだい?

42 :132人目の素数さん:05/01/16 01:15:22
表面に水の層でもいいし、分子吸着でもいいのだが、うっすらとどんなの
薄くても有限の厚みの皮膜ができたとたんに、その皮膜の体積は無限大に
なる。ところが皮膜の内側の体積は有限だから違和感がするのかもしれない。

無限に広がった平面を考えてみよう。裏表があるとしてもよいが、とにかく
表面積は無限大だが、体積は0だ。

43 :132人目の素数さん:05/01/16 02:57:09
>>7
Xが面積有限周長無限の面であれば
Xと閉区間[0,1]の直積は体積有限表面積無限の立体になる。
Xの存在が不思議でなければX×[0,1]の存在も
それほど不思議ではないだろう。


44 :132人目の素数さん:05/01/16 22:05:51
>>37
フラクタルなら…

45 :132人目の素数さん:05/01/17 07:04:29
糞スレかなと思ったら、勉強になりました。
知的な糞スレですね。

46 :132人目の素数さん:05/01/17 08:02:55
>>25
しない。∫[0,∞]f(x)dx が無限でも
∫[0,∞](f(x))^2dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。

47 :132人目の素数さん:05/02/16 05:56:51
816

48 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/02/22 20:07:30
sin(1/x),0<x<1
は有界変動ではない。

49 :132人目の素数さん:05/02/22 20:51:53
ddΩ=dA->無限


50 :132人目の素数さん:05/02/24 12:41:43
tanakaのラッパ

51 :132人目の素数さん:05/02/24 13:03:22
太田ラッパ

52 :132人目の素数さん:05/03/06 14:43:50
571

53 :132人目の素数さん:05/03/06 20:03:19
ガブリエルこのラッパ吹けないよな?
仮に吹いたとしても空気の分子がとおrないしな、、、

54 :132人目の素数さん:05/03/06 20:10:44
端がないのにどこから吹くんだよ?


55 :132人目の素数さん:05/03/06 20:12:29
横笛

56 :132人目の素数さん:05/03/17 08:34:15
285

57 :132人目の素数さん:05/03/17 14:33:13
>>55
穴開けるのかよw

58 :132人目の素数さん:2005/03/29(火) 09:53:45
349

59 :132人目の素数さん:2005/04/13(水) 16:31:01
431

60 :BlackLightOfStar ◆BUG4TDA93k :2005/04/13(水) 23:22:43
age

61 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/04/14(木) 14:09:24
Re:>60 お前誰だよ?

62 :132人目の素数さん:2005/05/02(月) 19:33:53
177

63 :132人目の素数さん:2005/05/02(月) 20:52:08
表面積は有限だが体積は無限ってのはあるんか?

64 :132人目の素数さん:2005/05/02(月) 23:52:31
じゃあ、このラッパ(浸透膜でできてる)にペンキを入れると
体積有限→ラッパはペンキでいっぱいに。
表面積無限→浸透膜から染み出てきて、ペンキ足らない・・・?

65 :132人目の素数さん:2005/05/02(月) 23:53:25
なんか物理的に考えるとへんなことになりそうだ

66 :132人目の素数さん:2005/05/04(水) 02:33:22
>>64
有限の時間じゃ表面積が有限の部分までにしかペンキが届かないんじゃないの?

67 :132人目の素数さん:2005/05/04(水) 03:55:19
xに1/xを掛けると有限確定するからさほど不思議じゃない。

無限大の表面積に1/xみたいなのが掛けられるから体積有限確定になるのだろう

68 :132人目の素数さん:2005/05/04(水) 19:30:17
収束する等比数列と似てなくない?
たとえば、1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+・・・=2
項は無限個あるが、値は収束する(総面積は有限みたいな)。

69 :132人目の素数さん:2005/05/07(土) 02:02:29
マンデルブロー集合(の回転体)なんかを考えると大して不思議ではない。

でもこういう簡単な図形だと直感が狂ってくるんだなあ。

70 :132人目の素数さん:2005/05/07(土) 23:35:32
age

71 :132人目の素数さん:2005/05/08(日) 05:36:10
>>69
直感が狂わされるだけでも、十分「不思議」の範疇に入りそうだが。


72 :132人目の素数さん:2005/05/09(月) 20:18:26
>>63
フラクタル

73 :72:2005/05/09(月) 20:19:02
ごめん勘違いスルーして

74 :132人目の素数さん:2005/05/30(月) 22:56:38
352

75 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 02:23:07
「表面積が無限なのに体積が有限」
体積が有限どころか0になる極限メンガースポンジみたいな
フラクタル立体なら却ってわかりやすいんだけど、こういう
素直な形状のものでそうなるってのが日常感覚に反してるので
面白いんだろうね。
日常感覚がダマされる根本原因はx→∞という操作の非日常性、
それに面積と体積ってものの日常的認識の枷にあるんだろう。
∞まで行かなくても、誰も開口部半径1mで長さが10万光年
あるラッパなんて考えもしないだろうから。

良スレage!(・∀・)

76 :132人目の素数さん:2005/06/04(土) 13:22:23
tanakaのラッパ

77 :132人目の素数さん:2005/06/26(日) 00:58:04
356

78 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 12:54:32
>>64
分子よりは小さくなれないでしょ

79 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 19:34:45
age

80 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 20:55:31
ローマン曲面とボーイ曲面を見たいのですが…

81 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 20:57:03
>1のリンク先が全部みれないぞ!

82 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 21:05:06
>>64
納得いく答えは見つかったのですか?

83 :132人目の素数さん:2005/07/04(月) 22:18:29
>表面積は有限だが体積は無限
ないんじゃない?

84 :ogawa:2005/07/05(火) 00:09:42
>>1
体積が収束するなら表面積も収束する気がするけど。
表面積が無限てのはどう計算して出されるの?

収束させて結果を出すという方法のあやな気がする。
そもそも、体積がπというのもあやしい。体積も無限な
気がするけど。どんなに細くなっていっても体積はあって、
その全体の量なんだから無限なんじゃないか?
Σ1/xだって収束しないじゃん。


85 :132人目の素数さん:2005/07/05(火) 02:41:05
( ゚∀゚ ) ニヤニヤ

86 :132人目の素数さん:2005/07/05(火) 03:08:58
そもそも面積ってのは二次元での量で体積ってのは三次元の量だから、相関関係はありそうでないと思っていいな

87 :132人目の素数さん:2005/07/05(火) 21:54:45
( ゚∀゚ ) ニヤニヤ

88 :ogawa:2005/07/06(水) 22:58:52
わかた。
回転しなくてもで考える。線の長さは無限じゃん。
面積はどんどん少なくなるから収束するぽ。
この関係は次元が上がっても変わらない!

こんどルパンのTV映画あるね。みんなみろよー。

どんどん少なくなる長さでないものは収束する!!!
っても、3種類しかないか。長さ、面積、体積。
どんどん少なくなる面積は収束する。
どんそん少なくなる体積は収束する。
この2つを「どんどん定理」という。広く知られているね。
証明は、、、?

長さは収束しない。
だから、僕達は宇宙の果てに行ける!!!!!!!!!
ぶらぼーっ!やっはー!


89 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 23:30:41
(  ゚∀゚  ) ニヤニヤ

90 :ogawa:2005/07/07(木) 00:51:14
また、ちょっと考えた。
0.9+0.09+0.009+・・・って
1に収束するって言うじゃな〜い。
無限級数だからといって、発散するわけでもないね。残念。
1が収束するように無限級数で表されるから、あらゆる数は
無限級数で表されるっていう女、、、。ハァ!?
でも許す。
一方、発散する数は、発散しない数に無限を組み合わせて考えられる。
間違いない。
つまり、発散する数も発散しない数も無限級数で表される。こう思うのって
私だけ〜?
であるからして、結局、ある無限級数が発散するかどうかは半々だな。
だから、不思議ではない。
長さとか面積とか体積とか抜きで、そもそも半々なんだから、
不思議ではない。

押忍。


91 :132人目の素数さん:2005/07/07(木) 12:42:24
このスレも終わりだなぁ…
馬鹿が住み着いたよ

92 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 12:45:27
age

93 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 17:04:32
馬鹿とは誰の事だ?

94 :132人目の素数さん:2005/07/20(水) 21:56:52
>>1
他にも面白いネタをキボンヌ!
(´д`;)ハァハァ

95 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 02:34:35
>>94
面白いネタなら、この板の中に
「シルビンスキー・ギャスケットのおかしい点を挙げる」って言うスレが建ってる
(正式名称はシルビンスキー・ギャスケットじゃなくてシェルピンスキーのガスケットなんだけど)


96 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 18:50:53
381

97 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 21:23:09
体積が無限で面積が有限という図形はないよ。

98 :132人目の素数さん:2005/08/16(火) 21:39:04
コピペスレ 「おいらには解けない4」 にもあった 「ガブリエルのラッパ」

775 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2005/08/12(金) 03:34:44
魔獣ネコマタが1体あらわれた。
http://vista.x0.com/img/vi00975.jpg

┏どうぐ━━━┓
┃ .たたかう. .┃
┃ .はなす . .┃
┃ .あいてむ .┃
┃┏━つかう━━━━━━┓
┃┃  E えんぴつ       ┃
┃┃  E けしごむ       ┃
┗┃  E めがね..      ┃
  ┃  E けいさんようし   ┃
  ┃  かいせきがいろん  ┃
  ┃  ガブリエルのラッパ┏━━━━━━━━━━━━━━┓
  ┃  メビウスのわ     ┃クラインのつぼをつかいますか? ┃
  ┃→クラインのつぼ    ┃→  はい                  ┃
  ┗━━━━━━━━━ ┃   いいえ              .┃
                  ┗━━━━━━━━━━━━━━┛
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ネコマタをクラインのつぼにとじこめた         .┃
┃ネコマタはするりとにげた                 ┃
┃とらえられない…                      ┃
┃ネコマタはさっていった                  .┃
┃             ▼                     ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛

99 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 08:37:22
>>1
がぶり寄りのラッパ に見えた

100 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 11:46:49
579

101 :132人目の素数さん:2005/10/12(水) 02:43:06
>>98
この画像が見たいのでつが…

102 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 10:09:47
412

103 :132人目の素数さん:2005/12/15(木) 15:40:25
722

104 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 03:05:35
215

105 :132人目の素数さん:2006/01/24(火) 23:03:35
king

106 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/01/25(水) 09:08:05
talk:>>105 私を呼んだか?

107 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 06:59:33
860

108 :132人目の素数さん:2006/02/16(木) 20:47:43
無限を持ち出す必要ないだろ
半径が1以下の球で考えてみ。
ミクロな地球儀を色付けしたいなら中も塗りつぶしたほうが節約できるわけ。

109 :132人目の素数さん:2006/02/16(木) 20:50:53
>>108
詳しく

110 :132人目の素数さん:2006/02/16(木) 20:57:55
球の表面積→半径の2乗に比例
球の体積→半径の3乗に比例


111 :132人目の素数さん:2006/02/16(木) 21:42:42
ゲラゲラ

112 :132人目の素数さん:2006/02/16(木) 22:20:19
ま、感覚の話なんで人それぞれだけれども、
このガブリエルのラッパの不思議なところは
"でこぼこしてないのに"ってとこなんだよ。

体積有限で面積が無限ってだけだったら
フラクタル的なのを思い浮かべればいくらでもあるわけで。
でもそういうのってたいてい"でこぼこ"してんじゃん。
でこぼこしてれば体積が小さくても
表面積がすごい大きかったりっていうのは
感覚でも理解できてあんまり不思議じゃない。

球も、そうで、半径が小さくなればなるほど
表面積/体積は大きくなるけど、
その分、でこぼこ具合(曲率)が大きくなってくのね。

113 :132人目の素数さん:2006/02/17(金) 09:32:09
考えてみりゃ当然だな
体積πの粘土を、なるべく表面積がでかい形にしたとき、表面積はいくつか
って問題になおしてみれば無限だってわかる
逆に
表面積がaでなるべく体積をでかくしようとすれば、球になったとき最大
だから表面積一定で体積無限な図形は存在しないことがわかる

114 :132人目の素数さん:2006/02/17(金) 09:42:24
>>6
>>6
>>6
>>6
>>6

115 :132人目の素数さん:2006/02/17(金) 10:01:49
体積が有限でも面積は無限になることは考えられる。
1cm^3のブロックは体積は有限だけど
そのブロックを何枚も無限枚にスライスしていけば無限の面積が作れる。


116 :132人目の素数さん:2006/02/22(水) 03:33:32
良スレage

117 :132人目の素数さん:2006/03/02(木) 18:30:56
855

118 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 13:54:16


119 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 19:49:10
595

120 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 20:11:12
514

121 :132人目の素数さん:2006/05/25(木) 13:34:42
>>king
体積は無限だけど表面積は有限ってないかな?

122 :132人目の素数さん:2006/05/25(木) 15:03:57
>>121
半径1の球の外部を知ってるかね、オービーくん?

123 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/05/25(木) 22:43:12
talk:>>121 R^3の境界は空集合なので、R^3の体積は無限だが表面積は有限。

124 :132人目の素数さん:2006/05/25(木) 22:57:44
>>123
二番煎じイクナイ (・A・)

125 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/05/26(金) 12:56:14
talk:>>124 何が二番煎じだよ?

126 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 16:06:06
お茶

127 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/05/26(金) 18:18:17
talk:>>126 では茶の使い方を教えてくれ。

128 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 23:28:09
殺菌効果があるよ

129 :132人目の素数さん:2006/05/27(土) 06:35:26
急須にお湯といっしょに入れてみる

130 :132人目の素数さん:2006/06/02(金) 16:51:11
シュワルツの提灯とか

131 :132人目の素数さん:2006/06/02(金) 16:57:32
>>130
もっとくわしく!

132 :132人目の素数さん:2006/06/02(金) 16:58:52
>>130
検索しても見つからないですよ

133 :132人目の素数さん:2006/06/02(金) 17:07:18
>>130
このヘタレ! ___ オラッ!      
    ドッカン |   | でてこい!
    ∩∩  |   |   |  ∩∩    
   | | | |  |   |   |  | | | |    
  ..(  ,,) .|   |   | (・x・ )  
  /  .つ━━ロ|ロ ドカン l   |U 
〜(   /   |   |   |⊂_ |〜
  し'∪   |   |   |   ∪ 

134 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 01:35:13
940

135 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 15:53:28
732

136 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 14:58:57
239

137 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 23:44:11
410

138 :132人目の素数さん:2006/10/06(金) 20:29:35
king

139 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/10/07(土) 12:17:42
talk:>>138 私を呼んだだろう?

140 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 00:45:03
622

141 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 16:32:50
177

142 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 16:36:24
>>6
>>6
>>6

143 :132人目の素数さん:2006/12/30(土) 02:52:02
>>6
てことは中を埋めるブロックは無限個に分割されて埋められるんだね。

144 :132人目の素数さん:2007/01/13(土) 15:16:57
二年。


145 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 02:43:41
age

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