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位相について語ろう!2

1 :132人目の素数さん:04/12/01 19:59:59
1 名前:通りすがり 投稿日:2001/07/09(月) 23:25
まず位相って一言で言うと?

俺は数学専門じゃないんで言えないけど。
なんか抽象的すぎて難しい

前スレ
位相について語ろう!
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/994688750/


2 :132人目の素数さん:04/12/01 20:01:29
周波のずれだろ?

3 :peni:04/12/01 20:04:29
           _,,.. -──‐- .、.._.
          , '´      ╋   ヽ
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      {ソ{. ニ二|,' / / _! Ll⊥l| .Ll_! } 、.ヽ
     {ソl ニ二.!!イ /´/|ノ_l_,|.ノレ'レ_l`ノ|! | .l }
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  V二ス.Y´|  (( (r个  . ___. イヽ) ))      |  他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
   {. r_〉`! }>'  ) / ゝ 、,,_o]lム` ー- 、     \______________
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4 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :04/12/01 21:00:43
Re:>2 Go the physics board! Phase is not topology.

5 :132人目の素数さん:04/12/01 21:48:54
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6 :132人目の素数さん:04/12/05 20:24:25
位相について語りましょう

7 :132人目の素数さん:04/12/05 20:27:20
ここのスレッドはニセモノっです。
本物はこちら
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1101823185/

8 :132人目の素数さん:04/12/06 21:16:04
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9 :停止しました。。。 :04/12/06 21:33:33
真・スレッドストッパー。。。( ̄ー ̄)ニヤリッ

10 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :04/12/06 22:00:31
そのうち本物のスレストが来るかも。

11 :132人目の素数さん:04/12/13 06:08:42
462

12 :132人目の素数さん:04/12/14 21:27:07
R^m、R^n、R^(n+m)に自然な位相を入れる。
このとき、
R^m×R^nとR^(m+n)は位相同型であることを示せ

って問題なんだけど、実際連続写像をどうやって具体的に作ればいいですか?

13 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :04/12/14 22:33:41
Re:>12
(x,y)→(x,y)
これが一対一上への写像であることは容易に分かる。
連続であることも容易に分かる。
R^m×R^nのある点の近傍のうち、R^mの近傍とR^nの近傍の直積になっているものは、像も近傍であることは容易に分かる。
R^m×R^nの近傍は、R^mの近傍とR^nの近傍の直積になっているものの合併になるから、両連続であることが分かる。

14 :132人目の素数さん:04/12/17 16:58:31
位相空間の部分集合Aがある閉集合Fと開集合Oに対して、
  A=F∩O
と表されるとき、
  (Aの閉包)-A
は閉集合であることを示したいのですが、にっちもさっちもいきません。
集合算の操作だけで示せるでしょうか?

15 :132人目の素数さん:04/12/17 17:56:02
A=(B,Cを含み、求めたいパラメータαも含む式)
 B=(A,Cを含み、求めたいパラメータαも含む式)
 C=(A,Bを含み、求めたいパラメータαも含む式)
AもBもCも値がわからないです。
こんな感じでループしてるような方程式のことを何というのでしょうか?

16 :132人目の素数さん:04/12/17 18:11:36
>>14
(Aの閉包)-A = (Aの閉包)∩(Aの補集合)
= ((Aの閉包)∩(Fの補集合))∪((Aの閉包)∩(Oの補集合))
= (Aの閉包)∩(Oの補集合)
(∵(Aの閉包)∩(Fの補集合)=Φ)。




17 :132人目の素数さん:04/12/17 18:23:32
位相があると間違いそう

18 :132人目の素数さん:04/12/17 18:30:18
>>16
なるほど、(Aの閉包)∩(Fの補集合)が空であること見抜けませんでした。ありがとう

19 :132人目の素数さん:04/12/17 19:07:52
へぇー、ほーか

20 :132人目の素数さん:04/12/17 23:45:29
第1可算公理とか第2可算公理ってどういう意味があるの?
そんなの定義してどう使われるの?

21 :132人目の素数さん:04/12/17 23:59:08
 そんなの定義してどう使われるの?
Bourbakiの構造主義について勉強汁!
ってかこの主の疑問は位相空間論の一寸専門的な用語の
ほぼ全てについて、出てくるよね。。。

22 :132人目の素数さん:04/12/18 12:04:24
昔の人が頑張って、いろいろと考えた挙句辿り着いた定義だから、
とりあえずは素直に覚えるのが吉。

23 :132人目の素数さん:04/12/19 02:15:16
>>20
第一とか第二とかどういう意味なんだ。
名称など飾りに過ぎないのです、距離化できないひとにはそれがわからんのです。


まあ、普通は第二のほうをよく見るね

24 :132人目の素数さん:04/12/20 01:18:07
大変申し訳ないのですが
もし前スレを保管している方いらっしゃいましたら
どこかにアップしてくれませんか?

今どうしても必要なんです。宜しくお願いします。

25 :132人目の素数さん:04/12/20 02:31:56
>>24
http://www.70i.net/index.shtml
70i1946.txt

なんでどうしても必要なの?

26 :132人目の素数さん:04/12/20 02:49:23
>>25
なんでtxtでうpするの?
htmlをloaderが受け付けないから?

27 :132人目の素数さん:04/12/20 03:02:07
うん。他に探すのも面倒だったし。別に問題ないでしょ?

28 :132人目の素数さん:04/12/20 03:19:26
「にくちゃんねる」って所で大抵の板でのdat落ちしたスレッドを見る事が出来るよ

29 :132人目の素数さん:04/12/22 13:01:50
{(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2=1}とR^2-(0,0)って位相同型?
どうやって位相同型写像構成できる?

30 :伊丹公理:04/12/22 13:32:28
f (x, y, z) = (xe^z, ye^z)

31 :132人目の素数さん:04/12/22 13:35:47
>>30
確かめてないけどありがとう・・・
普通思いつかないよなぁ・・・こんなの小テストで出すなよ

32 :伊丹公理:04/12/22 14:02:48
>>31
確認は逆写像が存在して、連続(全単射)であることを示せばよい。

33 :132人目の素数さん:04/12/22 22:38:29
まずは上半分であるx^2+y^2=1 z≧0と位相同型なのは何か?って
考えれば上手く思いつくんじゃないかな

34 :132人目の素数さん:04/12/23 19:34:10
周波のずれだろ?




35 :132人目の素数さん:04/12/28 16:05:02
926

36 :132人目の素数さん:04/12/28 17:31:51
tes

37 :132人目の素数さん:04/12/28 18:16:30
>>31
    ______         ____________________________               _________________________________
   ( ______ )       ( ___________________________ )            /                /
  |   |       \          /           /               /
  |   |    ⇒   \       /     ⇒     /      。        /
  |   |          \    /           /               /
   ( ______ )            \__/            /               /
                                /________________________________ /

{(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2=1}                        R^2-{(0,0)}


こんな風に考えれば>>30の式が思いつくと思うze!

38 :132人目の素数さん:04/12/28 18:24:09
数学板レベルよりは高いレベルのAA作成ご苦労様です。

39 :132人目の素数さん:05/01/01 13:38:53
783

40 :132人目の素数さん:05/01/14 17:34:13
【ラピュタハ】質問はここに書きたまえ!【何度デモ蘇ル】(終了)
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1068452767/l50
もうちょっと時間があれば次スレ
【伊丹公理ハ】質問はここに書きたまえ!【何度デモ蘇ル】
を立てたのに。
990から[sage]1000まで2時間ある。

41 :132人目の素数さん:05/02/16 05:45:37
839

42 :132人目の素数さん:05/02/23 15:47:07
856

43 :132人目の素数さん:05/03/05 07:26:22
737

44 :132人目の素数さん:05/03/05 09:29:09
ここにはアメリカザリガニが   。

45 :132人目の素数さん:05/03/10 23:34:37
二点のみからなる連結な閉集合にはどのようなものがあるかを考えているの
ですが、二点のみからなる集合をXとしてこれに密着位相を入れる場合、X
は開集合かつ閉集合であると定義しても良いのでしょうか?

46 :132人目の素数さん:05/03/10 23:46:05
>>45
全体集合はいつだって開かつ閉。

47 :132人目の素数さん:05/03/10 23:59:26
>>46
持っている教科書には、任意の集合Xに対して、その開集合の族O_X
をO_X={X,0}(0は空集合を指す)と定義することによって
定まる位相を密着位相というと書かれているのですが、集合Xに密着位相を
入れた瞬間にXは開かつ閉になっていると考えて良いのでしょうか?

48 :132人目の素数さん:05/03/11 00:08:29
>>47
どんな位相であってもXとφは必ず開集合族に入る
開集合族が特にXとφからなるものが密着位相
さらに位相の公理から、密着位相に限らず
Xは(あるいはφも)常に開かつ閉

49 :132人目の素数さん:05/03/11 00:36:50
>>48
どんな位相であってもXは常に開となることは分かったのですが、
常に閉でもあるというのがよく分かりません。位相の公理のどの
部分から常に閉であるということが分かるのでしょうか?勉強不足
で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

50 :132人目の素数さん:05/03/11 00:41:22
>>49
何かある意味すごいな・・・
とりあえず「閉集合」の定義を書いて見てくれ。

51 :132人目の素数さん:05/03/11 08:55:37
>>50
「解析概論」には、集合Sの集積点がすべてSに属するとき、Sを閉集合
というと書かれていました。開集合の余集合が閉集合だということも閉集合
の定義だと思うのですが、自分ではその集合の集積点が存在するときは
前者、存在しないときは後者でいつも考えているのですが、このような
解釈で良いのでしょうか?

52 :132人目の素数さん:05/03/11 09:36:56
>>51
だめ。
例えば(0,1]は閉でも開でもない。

上に関しては
φは開→φの補集合=Xは閉

53 :132人目の素数さん:05/03/11 09:37:46
>>52はふつうの位相でってことね。

54 :132人目の素数さん:05/03/11 09:41:38
>>51
集積点による閉集合の定義は一応あってる。

X (全体集合) が閉集合になる、ってのは、位相空間の公理そのものに含まれているから、
示すもクソもないんだが。

思うに、部分空間の位相がよくわかってないんじゃないか?
一般に X を位相空間、A を X の任意の部分集合とするとき、A は部分「空間」 A においては
いつでも開かつ閉になる。これは、A が X において開であるか閉であるかとかには全然関係なくそうなる。
解析概論じゃなくて、何でもいいから位相空間の本で「部分空間」のところを勉強してみ。

55 :132人目の素数さん:05/03/11 09:47:29
>>52
>>51 の閉集合の定義は一応あってるだろ。何いってんの?

56 :132人目の素数さん:05/03/11 09:57:03
>>55
ほお〜
>存在しないときは後者でいつも考えているのですが

これが合っているとでも?

57 :132人目の素数さん:05/03/11 10:04:06
>>52
ありがとうございます。ということはXは閉でもあり開でもあると
いうことですね?

58 :132人目の素数さん:05/03/11 10:08:54
>>56
それは >>51 の単なる「態度」だから数学的に合ってるかどうかとかいう問題じゃねーだろ。
もちろんそんなふうにいちいち定義を使い分けるのは非常にアホには違わないが。

つーか、>>52 が単純に意味不明。
0 は (0, 1] の (R での) 集積点で、それが (0, 1]に入ってないから (0, 1] は R で閉集合じゃない。
>>52 は偉そうにしてるが実は「集積点」をよくわかってないと思われ。

あまりに馬鹿馬鹿しいから以下この件にはレスしない。

59 :132人目の素数さん:05/03/11 10:22:12
開集合の余集合が閉集合だというのは閉集合の定義なのですか、それ
とも開集合の余集合であることと閉集合であることが同値であるとい
うだけなのですか?

60 :132人目の素数さん:05/03/11 10:22:32
何を怒っているのかよくわからんが、
ではこれは一応>>51へのレスということで。

>存在しないときは後者

というのを、集積点が存在しない→開集合
と考えているのかなと思ってのレスが>>52ね。
(0,1]は0を集積点に持つが、0は(0,1]に含まれない。
しかし(0,1]は開集合ではない、ということ。

>>57はその通り。ブルバキ流なら二つの公理から
始まってXが開でもあり、閉でもあることが
演繹的に導かれる。
ふつうはXが閉ある公理には入れてないのでご注意を。

61 :132人目の素数さん:05/03/11 10:26:54
>>59
>開集合の余集合が閉集合だというのは閉集合の定義

位相に関してはいろいろなやり方があるけど
ふつうは閉集合はそのように扱われる。


62 :132人目の素数さん:05/03/11 10:36:33
どーでもいいが、>>54 に書いたととおり >>51 = >>45 はやっぱ部分空間を
よくわかってないんだと思う。

>>45 に、「二点のみからなる連結な閉集合」と書いているところからもそれがわかる。
位相を指定する前に「閉集合」といっても無意味。

63 :132人目の素数さん:05/03/11 10:48:37
>>60
>ブルバキ流なら二つの公理から 始まってXが開でもあり、閉でもあることが演繹的に導かれる。

X は 空な部分集合族の共通部分だから・・・てやつね。確かにあれはちょと面白い。どーでもいいけど。

64 :132人目の素数さん:05/03/11 10:58:36
二点のみを含む集合に密着位相を入れると、この集合は連結になって
いるのでしょうか?

65 :132人目の素数さん:05/03/11 11:07:41
>>64
だから、もうちょっと基本的なことからしっかり勉強したほうがいいって。
きちんと勉強すればそれが連結なことくらいすぐわかるようになるはず。

66 :132人目の素数さん:05/03/11 11:28:06
>>65
二点のみを含む集合をX={α,β}とし、この集合に密着位相を入れると、
共通点をもたない二つの閉集合に分割できないとき、この閉集合は連結だとい
えるので、とりあえず{α}、{β}という二つの閉集合に分割できたとする
と、{α}の場合、余集合が{β,φ}で、これはβが、この密着位相空間の
内点ではないので、{β,φ}は開集合ではない。よってその補集合である
{α}は閉集合ではない。{β}を考えた場合も同様であり、よって{α}、
{β}はいずれも閉集合ではなくなるので、共通点をもたない二つの閉集合に
分割できないので連結である。
このように考えてみたのですが、このような解釈で良いのでしょうか?

67 :132人目の素数さん:05/03/11 11:48:52
>>66
{α} の補集合は「{β,φ}」じゃなくて {β}。その他少々日本語として意味不明な
ところがあるが、それを直せば、異様に長たらしいが一応論理的にはあってるかな。
だけど、こんなふうにしか証明できないんだったら、「連結」とかいう前にもっと
基本的なことをみっちりやったほうがいいよ。

ちなみに高校生?大学生? 位相の本は何を読んでるの?

68 :132人目の素数さん:05/03/11 13:13:43
>>67
ありがとうございます。現在は大学2年です。位相の本は佐久間一浩
著の「集合・位相(基礎から応用まで)」を読んでいますが、それよ
りもほとんど「解析概論」を中心に読んでいます。

69 :132人目の素数さん:05/03/11 13:31:51
解析入門の段階だったら
開集合閉集合とかは
距離空間としてやっときゃえんじゃね?

70 :132人目の素数さん:05/03/11 13:47:18
今までに書き込んで頂いた回答を参考に再構築しているのですが、考えてい
るうちに一つ分からなくなってきたことがあります。二点のみからなる集合
Xに密着位相を入れる場合、この集合Xは開集合として定義するとして良い
のですか?何度も同じような質問で申し訳ないのですが宜しくお願いします。
Xが閉集合になっていることはお陰様でようやく分かりました。

71 :132人目の素数さん:05/03/11 14:01:32
>>70
うーむ・・・まだわからないか・・・
とにかく根本的なところで何か勘違いしてるようなので、その勘違い
正すことがまず必要です。

たとえば「この集合Xは開集合として定義する」というところとかかなり
意味不明なんですが、何を言わんとしているのか数学的に詳しく書いて
みてもらえますか?

72 :132人目の素数さん:05/03/11 14:37:55
>>71
二点のみからなる集合Xに密着位相を入れる場合、{X,φ}をXの
開集合族と定義して位相を入れるので、元々のXがどのような集合
であれ、この密着位相を入れるときはXは開集合と定義して良いのか
どうかということをお聞きしたいのです。分かりにくい文章だと思い
ますが、宜しくお願いします。

73 :132人目の素数さん:05/03/11 14:54:05
Xを開集合と定義するときXは開集合と定義してよいかって?
ワケワカメ

74 :132人目の素数さん:05/03/11 15:04:11
>>72
「{X,φ}をXの 開集合族と定義して位相を入れる」というのは、
「X の開集合が X と φ だけであると定義する」というのと同義です。
なので、「Xは開集合と定義して良いのか」という質問には意味がありません。

それと「元々のX」とか書いているところからみて、おそらく R^n の具体的な部分集合だけ
を常に例として考えているんじゃないかと推測しますが、位相空間論のような公理的方法
というのは、そいうい具体的な対象から議論に必要な部分だけを取り出して捨象するとい
う点に 1 つの主眼があるので「元々のX」の性質はいったん「忘れる」必要があります。
なので「元々のXがどのような集合であれ」という但し書きも "当たり前" で意味がありません。

75 :132人目の素数さん:05/03/11 18:23:03
>>74
ありがとうございます。「元々のX」の性質はいったん忘れて、元々開集合
でなかっても位相を入れるときは開集合として考えるということでしょうか?

76 :132人目の素数さん:05/03/11 20:07:18
>>75
What is the definition of an OPEN SET for you?

77 : ◆27Tn7FHaVY :05/03/11 20:15:05
位相をX「だけ」で決まるみたいに考えてる?

78 :132人目の素数さん:05/03/11 20:16:23
だからさあ…

Xを何か別の位相空間(Rとか)の部分空間と考えたときの相対位相でXが開とか
閉とかいう話と、Xだけで位相空間を考えている話を混同するなよ。

Xだけを「全空間」とし、Xに位相を定義する場合、X自身とΦはつねに開集合。
(それ以外にどれだけ「開集合」があるか、を定義することが、位相空間の定義になる。)
開集合の補集合は閉集合で、XとΦは互いに他の補集合だから、XとΦはつねに閉集合でもある。

密着位相というのは、XとΦ以外には「開集合」がひとつもない、ということにした位相。
(XとΦだけはどうしても自動的に開集合なので除けない)

こういうことを理解せずに、Xが開集合なのかとか、開集合としてよいのかとか、
トンチンカンなことばかり言うからワケワカと言われるのよ

もう一度言うが、たとえXがRの部分集合であったとしても、XがRの集合として開集合かそ
うでないかという話とは関係ないからな! そこんとこ、よろしく。


79 :132人目の素数さん:05/03/11 20:51:34
>>76
各点が内点である集合のことだと思うのですが。位相空間についての
サイトで調べてみたところ、集合Xのべき集合の部分集合Oを開集合
という。と書いてありました。また、位相空間では集合Xのべき集合
の部分集合は開集合系であると公理化される。と書かれていたので、
位相空間Xを考えるときには結局、X自身は開集合であることは公理だと
いうことなのでしょうか?

80 :132人目の素数さん:05/03/11 21:03:33
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%89%E9%9B%86%E5%90%88
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/topology/index-j.html
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&lr=
あまり詳しく書いてないし、良い記事でもないですが、あなたの理解の
百倍マシです。あと、解析概論の第一章の内容はもう少々古く、
また充分一般的でも無いので、他の本を参照する事が必要かと思います。

81 :132人目の素数さん:05/03/11 21:06:57
>位相空間Xを考えるときには結局、X自身は開集合であることは公理だと
>いうことなのでしょうか?

YES.
あなた何という教科書を持ってるんですか?
教科書の書名と筆者を教えていただけると嬉しい。
どんなとんでもない事が書いてあるんだろう?。。。

82 :132人目の素数さん:05/03/11 21:13:23
>>81
佐久間一浩著の「集合・位相(基礎から応用まで)
uenidetetayo

83 :132人目の素数さん:05/03/11 21:18:57
>>81
その佐久間氏の本おれは読んだことないが、本のせいにするのはかわいそうかも。

84 :132人目の素数さん:05/03/11 21:24:03
>>79
> 位相空間Xを考えるときには結局、X自身は開集合であることは公理だと
> いうことなのでしょうか?

位相の本持ってるんだろ。その本で位相空間の公理のとこ読んだんじゃないの?
それここにそのまま写してみ。

85 :132人目の素数さん:05/03/11 21:30:02
>>79
もしかして、「開集合である」とか「閉集合である」ってのが「位相を入れる」のとは無関係に
最初から決まってると思ってんじゃねーの。

「開集合である」とか「閉集合である」ってのは、位相を入れた*後*に初めて
決まるんだよ。


86 :132人目の素数さん:05/03/11 21:53:08
位相を入れる=開集合を定める
でねえの?

87 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/11 21:57:42
Re:>86 ところがそうとは限らない。各点の近傍系で位相を入れる場合もあるし、閉集合系から位相を入れる場合もある。

88 :132人目の素数さん:05/03/11 21:59:37
なるほど。king先生に教えられるとは思わなんだ。

89 :132人目の素数さん:05/03/11 22:20:43
閉集合系から位相を入れた場合、φは閉集合に決まるというのは
正しいのでしょうか?

90 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/11 22:34:02
Re:>89 φって何?空集合のこと?空集合は閉集合に決まっている。

91 :132人目の素数さん:05/03/11 23:46:22
>>89
どんな公理を用いようと入る位相は一緒。
でないとふつうに考えてまずいでしょ。
場合によっては閉集合から位相を入れた方が
自然なときがあるってこと。
例えばザリスキー位相

92 :132人目の素数さん:05/03/12 01:31:51
位相空間Xの部分集合に空集合が入っているのに、位相空間のある一点の補集合に
なぜ空集合は含まれないのですか?

93 :132人目の素数さん:05/03/12 01:46:15
含まれますが。

94 :132人目の素数さん:05/03/12 01:54:20
>93
なぜ>>67にある回答で{α}の補集合は{β,φ}じゃなくて{β}と書かれて
いるのでしょうか?

95 :93:05/03/12 02:00:36
>>94
{α}^c=X\{α}={α,β}\{α}={β}
だからです。

96 :132人目の素数さん:05/03/12 03:19:41
>>94
だいたい、{β,φ}って何だよ。集合の「要素」に「集合」を含めるなよ。

開集合「族」(集合の集まり)と混同してるのか?

97 :132人目の素数さん:05/03/12 11:19:51
>>91
例えば、集合X={α,β,γ}に{{α},φ,X}を開集合族として位相を
入れた場合の位相空間では{α}は開集合になり、{{α},φ,X}を
閉集合族として位相を入れた場合の位相空間では{α}は閉集合になると
思うのですが、このような二つの位相空間でも入る位相としては同じだと
いうことでしょうか?

98 :132人目の素数さん:05/03/12 11:23:09
{{α},φ,X}を閉集合と定めたら
開集合は{{β,γ},φ,X}だから違うじゃん

99 :132人目の素数さん:05/03/12 11:36:57
lim[z->i] (zz~-iz-iz~-1)/(z^2+1) = -1

100 :132人目の素数さん:05/03/12 11:55:00
>>98
ということは、開集合系から位相を入れても閉集合系から位相を入れ
ても入る位相は同じというのは、開集合系から入れた位相と同じ位相
になるように適当な閉集合を定義して閉集合系から位相を入れること
ができるということですか?

101 :132人目の素数さん:05/03/12 12:01:13
そういうことでつね

102 :132人目の素数さん:05/03/12 12:07:44
任意の集合Xに対して空集合は部分集合であることの証明は、
「x∈φ ⇒ x∈X」を示せばよく、x∈φ は起こらないので
偽である。x∈X も起こらないので偽である。
「偽である命題」⇒「偽である命題」は真なので、φはXの部分集合
である。
このような示し方で良いのですか?

103 :132人目の素数さん:05/03/12 13:07:51
Pが偽ならQはなんであれP⇒Qは真。

>x∈X も起こらないので偽
偽とも言えん

104 :132人目の素数さん:05/03/12 15:37:08
>>103
Pが偽ならQはなんであれP⇒Qは真
というのは数学というより論理学で真理値をこのように定めると決まってい
るのですか?

105 :132人目の素数さん:05/03/12 17:43:27
>>104
そうだよ。
高校で習わなかったか?

106 :132人目の素数さん:05/03/12 17:48:28
>>102
それって証明できるの?
空集合φは任意の集合の部分集合と定めるんじゃなかったの?

107 :132人目の素数さん:05/03/12 18:15:13
>>79 
>各点が内点である集合のことだと思うのですが。

その場合、「内点である」の定義はどうなってるの?

108 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/12 18:53:39
集合に対して、「含む」とか「含まれる」という言葉を使うのは初学者に優しくない。

109 :132人目の素数さん:05/03/13 13:24:56
「解析概論」に「Sは一個以上または無数の開集合の合併である。」という
表現があるのですが、一個以上といえば一個であるということも含むと思う
のですが、一個の開集合の合併というのはどのように解釈すれば良いのでし
ょうか?

110 :132人目の素数さん:05/03/13 15:52:14
>>109
マルチ氏ね

111 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/13 20:13:09
Re:>109 0個の集合の合併は空集合と解釈する。すると?

112 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :05/03/14 06:53:52
何となく思いついた問題なんだが、
定義域が連結位相空間である連続写像のグラフは定義域と終域の直積位相空間に関して連結であるという命題は成り立つのかな?

113 :132人目の素数さん:05/03/14 07:09:53
>>109
ズバリ、その集合のことです。
一個の集合の共通部分もその集合自身に一致。

あなたは上の方や解析概論スレでも質問している人だよね。
時には誰かに質問しながら疑問を残さず解決していくというのは非常に大事なことだが、
他人に聴く前にまず、どう解釈したら最も合理的であるか自分でじっくり考える癖を付けないと
数学の実力は付かないよ。

114 :132人目の素数さん:05/03/14 11:51:52
>>112
f: X → Y のグラフは X → X × X → X × Y の像だから、X が連結なら連結。
ここで1個目の写像は対角写像、2 個目の写像は id × f。

115 :132人目の素数さん:05/03/14 16:36:53
「解析概論」に連結されている閉集合が少なくとも二点を含むとき、それを
連続体というと書かれているのですが、一般に開集合だと、連続体とは言わ
ないのですか?

116 :132人目の素数さん:05/03/14 19:00:15
In general, continuum is a compact connected metric space containing at least 2 points.

117 :132人目の素数さん:2005/03/25(金) 17:24:02
801

118 :132人目の素数さん:2005/04/07(木) 13:19:18
345

119 :132人目の素数さん:2005/04/07(木) 18:03:07
連続体なんて言葉自体一般的ではない

120 :132人目の素数さん:2005/04/07(木) 19:57:32
この穴にはクマがいそう

121 :132人目の素数さん:2005/04/09(土) 03:03:21
yonda KUMA??

122 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 17:24:36
質問です。教えてください。

連結でない位相空間 X の部分∈ Y を考える.Y および Y の補集合 Y^c が
ともに連結集合ならば,Y は X の開集合かつ閉集合であることを示せ.

ご教授お願いします

123 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 17:26:11
ここには、位相について考えてるヤツがいそう。

124 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/04/18(月) 17:32:08
Re:>122 とりあえず数学者に意味が分かるように書いてくれ。
Re:>123 位相をphaseと訳す人もいそう。(というか、phaseとtopologyが何故日本語では同じなんだ?)

125 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 17:33:40
>>124
は?数学者にもわかるように?お前アホ?誰でもわかるだろ

126 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 17:34:50
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124
>>124

127 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/04/18(月) 17:35:29
Re:>125 じゃあお前が[>122]に答えろ。

128 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 17:35:56 ?
集合を∈と変換ミスした

129 :128:2005/04/18(月) 17:38:27
訂正しますた。質問です。教えてください。

連結でない位相空間 X の部分集合 Y を考える.Y および Y の補集合 Y^c が
ともに連結集合ならば,Y は X の開集合かつ閉集合であることを示せ.

ご教授お願いします

130 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/04/18(月) 17:40:56
Re:>128 位相空間Xの部分集合Yが連結であることの定義は、ある二つの開集合A,Bに対してY⊂A∪BかつA∩B∩Yが空集合になることかな?

131 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 17:46:03 ?
>>130
いいえ、定義は単に「部分空間として連結である」ときをいうみたいです。
必要十分としていろんな定義の方法はあると思うのですが・・・

132 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/04/18(月) 17:49:34
[>130]は間違いだな。

133 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :2005/04/18(月) 17:53:30
[>130]は、A∩YとB#8745;Yがともに空集合でないという条件を付けると正しくなる。

134 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 18:30:00
Yが連結成分だから。


135 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 18:37:11
>>134
詳しく

136 :128:2005/04/18(月) 18:55:15
どなたかわかりませんか?

137 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 19:47:59
>>136
>>134

138 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 20:45:26
>>137
詳しく

139 :132人目の素数さん:2005/04/18(月) 22:15:13
>>138
Y と Y^c とがXの相異なる連結成分である事を言えば良い。

140 :132人目の素数さん:2005/05/05(木) 15:18:56
根本的な質問なんですが、位相の定義で

(ii) O_1∈O、O_2∈OならばO_1∩O_2∈O
(iii) (O_λ) (λ∈Λ)をOの元からなる任意の集合族とすれば、∪O_λ∈O

ってなってますが、(ii)が部分集合2つで述べてるのに、(iii)が集合族を
導入しているのは何故なんでしょう?
(ちなみに松坂和夫「集合・位相論」から引用、一部はしょってます)

141 :140:2005/05/05(木) 17:45:21
間違えた。
「集合・位相入門」でした。

142 :132人目の素数さん:2005/05/05(木) 17:59:43
無限個の開集合の和は開だし、
有限個の開集合の共通部分は開だけど、
無限個の開集合の共通部分は開とは限らないから。

っていう答えを聞きたいのかな。

143 :132人目の素数さん:2005/05/05(木) 21:27:24
ageてみよ

144 :132人目の素数さん:2005/05/05(木) 23:06:21
690

145 :140:2005/05/05(木) 23:58:51
>>142
ありがとうございます。
> 無限個の開集合の共通部分は開とは限らないから。
これはどの辺を参照すればわかるでしょうか、って初学者が聞くのは
危険でしょうか・・・


146 :142:2005/05/06(金) 11:19:13
>>145
> > 無限個の開集合の共通部分は開とは限らないから。
> これはどの辺を参照すればわかるでしょうか、

ほんじゃさ、例えば、実数の直線上で、
「0を含むあらゆる開区間の共通部分」
を考えてみ?
それってどんな集合?そしてそれは開?

147 :140:2005/05/06(金) 16:02:07
ぐはぁ、何か解った気がします。

>それってどんな集合?そしてそれは開?
{0}=[0,0]にしかなり得ないですよね… ナルホドorz

心の片隅に引っかかっていたつかえが取れました。
ありがとうございました。

148 :132人目の素数さん:2005/05/19(木) 21:42:20
>147
なんか、間違って理解してる様な気がする・・・

例えば、
A_n = (-1/n , 1/n)
という開集合を考える。
で、
∩_{n>1} A_n (無論これは、開集合の無限個の共通部分)
というのを考えると、この集合は、何になるか分かる?

149 :140:2005/05/19(木) 21:44:23
>>148
はい、わかります。

150 :高木麗子:2005/05/19(木) 22:19:49
位相ってさ、例えば多項式があるだろ。
あれの順序を変えても計算できるような、なんというか3次元以上の空間概念をつかってさ、
計算順序を変えて別のところで繋いだり、入れ子状態にして演算することを、同時に把握する概念じゃねーの?
なんかガウスはそういうこと考えてたのかとずっと思ってたんだけど。

151 :140:2005/05/20(金) 03:08:08
>>149
これ偽者です。

>>147
ううすんません、わかってないかも…

152 :132人目の素数さん:2005/05/20(金) 20:41:11
>151
ちなみに、>148は
{0}になる。
(証明は、自分でやってみるといい。
ヒントとしては、使うのはアルキメデスの原理だけ)
なので、
∩_{n>1} A_n={0}で
開集合では無くなるって事。

位相の定理が色々出てきても、
実数の位相ってのは、例を考える上でも重要だから
しっかりと、イメージや感覚を養ってから
一般位相を勉強した方がいいよ。


153 :140:2005/05/20(金) 22:57:45
>>152
> ちなみに、>148は
> {0}になる。

ああ、それならわかります。てっきり{0}ではないのかと思って、悩んでしまいました…

ちなみに、証明はこんな感じでOKすか?
----------
任意のn ∈ N について ∩_{n>1} A_n ≠ {0} が成り立つと仮定する。
∩_{n>1} A_n が0を含むのは自明なので、∩_{n>1} A_n ≠ {0} ならば ∩_{n>1} A_n ⊃ {0}

これはすなわち ∀n∈N ∃r∈R について 0 < r < 1/n が成り立つ事を意味する。

しかし、アルキメデスの原理から、実数 1/r に ついて 1/r < n' なる自然数 n' が存在
このようなn'に対して 1/n' < r となり、仮定は矛盾。∴ ∩_{n>1} A_n = {0} ■

> 位相の定理が色々出てきても、
> 実数の位相ってのは、例を考える上でも重要だから
> しっかりと、イメージや感覚を養ってから
> 一般位相を勉強した方がいいよ。

了解っす。


154 :140:2005/05/21(土) 01:09:32
>>153
間違えた。
証明のところ、最初の「任意のn ∈ N について」は抜いてください。
3行目も n>1 は条件として入っていた方がよさそうですか。

155 :132人目の素数さん:2005/05/28(土) 23:37:36
>>140
(A)は「有限個の開集合の共通部分も開集合になる」という主張で
(B)は「無限個の開集合の和集合も開集合になる」という主張。

156 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 00:01:55
>>153
∩_{n> 1}( A_n )={0} の証明
---------------------
(1)∩_{n> 1}( A_n )⊃{0}
---------------------
 自明
---------------------
(2)∩_{n> 1}( A_n )⊂{0}
---------------------
∀x∈∩_{n> 1}( A_n ) に対して
もし x≠0 だと仮定すると
 x>0ならば、アルキメデスより 1<Nx となる自然数Nが存在する。
   このとき、 1/N<x となるから、x はA_N には属さない。
   よってx は ∩_{n> 1}( A_n ) には属さない。
 x<0ならば、-x>0 だからアルキメデスより、1<N(-x) となる自然数Nが存在する。
   このとき、x<-(1/N) となるから、x はA_N には属さない。
   よってx は ∩_{n> 1}( A_n ) には属さない。
以上より x=0 ∈{0}

以上(1)(2)より ∩_{n> 1}( A_n )={0}


157 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 02:25:09
age

158 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 02:35:35
QとQヽ{0}が同相の証明ってどうする? 直接写像つくんのは無理かな?

159 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 06:29:58
この木にはくわがたが位相だ

160 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 09:30:45
ではこの木を"とぽろ木"と名付けよう

161 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 12:00:59
とっぽろっ、とっぽぉ〜ろ♪

   ・・・・ となりのとぽろ

162 :GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ :2005/05/29(日) 13:35:35
とっぽろ雪祭り。
雪が少々溶ける程度では図形の位相的性質は変化しない。

163 :132人目の素数さん:2005/05/29(日) 19:19:32
境界が、曲線的だったのが、フラクタル的になれば変化しますけどね。

164 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 21:16:32
X:パラコンパクトなハウスドルフ空間 とする。
y∈Xの開近傍Uが与えられたとき、yの開近傍Vで
(Vの閉包)⊆Uとなるようなものが存在するか?
という点で悩んでます。どうなんでしょうか?

165 :132人目の素数さん:2005/06/15(水) 04:11:56
する。

166 :132人目の素数さん:2005/06/16(木) 03:19:27
age

167 :132人目の素数さん:2005/06/26(日) 02:11:26
O

168 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 06:43:34
505

169 :132人目の素数さん:2005/08/06(土) 13:10:26
>>164
Xがハウスドルフ空間であるとは
∀x∈X,∀y∈X (x≠y)に対して、
  x∈U,y∈V,U∩V=φを満たす開集合U,Vが存在する
事ですよね。

Xがパラコンパクトってどんな定義ですか?

170 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/06(土) 13:34:58
talk:>>169 任意の開被覆に対して、その局所有限である細分被覆が存在する。分からない用語があればそれについて訊くように。

171 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 13:55:13
Xがパラコンパクトであるという事は、すなわち、

Xの任意の被覆{Oλ|λ∈Λ}に対して、次の2つの条件(1),(2)を満たすような被覆{Pμ|μ∈Μ}が存在する;
  (1) ∀x∈Xに対して、集合{μ∈Μ| Pμ∩U(x)≠φ}が有限集合である近傍U(x)が存在する。
  (2) ∀λに対してPμ⊂Oλとなるようなμが存在する。

ということで良いんでしょうか?

172 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 14:35:50
>>170 細分被覆とは?

173 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 17:15:57
>>172
私は 170 じゃないけど。
たぶん、より細かい被覆って意味じゃないかな。

被覆Ψについて、ある被覆Ωが存在して
  ∀A∈Ψに対してB⊂AとなるB∈Ωが必ずあるとき
被覆Ωを被覆Ψの細分被覆という。

違うだろうか?

174 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 18:13:17
>>171
170ではないけれど、それで良いでしょうね。
(1)の特徴が被覆{Pμ|μ∈Μ}が局所有限ということだし、
(2)の特徴が{Pμ|μ∈Μ}が被覆{Oλ|λ∈Λ}の細分被覆ということでしょうね。

175 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/07(日) 19:09:45
talk:>>172 普通は「細分」と呼ぶのかな?意味は[>>173]の書いてあるとおり。(「ある被覆Χが存在して」とは?)

176 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 21:22:49
>>173
>被覆Ψについて、ある被覆Ωが存在して
>  ∀A∈Ψに対してB⊂AとなるB∈Ωが必ずあるとき
>被覆Ωを被覆Ψの細分被覆という。

表現おかしいな。

被覆Ψについて、被覆Ωが
  「∀A∈Ψに対してB⊂AとなるB∈Ωが必ずある」
という条件を満たすとき
被覆Ωを被覆Ψの細分被覆という。

こうだな。


177 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 21:41:34
"ある被覆Ωが存在して.." というのは、英語でいう
"there is a covering Ω such that .." の直訳の気持ちなんだと思う。

演習なんかではこういう言い方のほうが中身が伝わるようにも思う。

178 :132人目の素数さん:2005/09/26(月) 10:41:58
369

179 :132人目の素数さん:2005/10/05(水) 02:34:13
理工系の学部2年生です。
位相の授業が全くわからないのですが、皆さん最初はどのような本から理解していった
のでしょうか?
サイエンス社の位相の本3冊、30講の2冊を持っていますが難しくて入っていけませんorz


180 :132人目の素数さん:2005/10/05(水) 08:03:25
裳華房の集合と位相を読んだ
授業はよくわかんなかったけどなぜか余裕で読めた

181 :132人目の素数さん:2005/10/06(木) 15:19:26
age

182 :132人目の素数さん:2005/10/06(木) 15:27:19
位相がわかりづらいなら、さしあたって距離空間を考えればよい。
大体、数学に使われるほとんどの位相空間は距離付け可能。
だけど、距離空間の位相は一様位相なんで、基本列とか完備性とか
いう概念は一般位相空間には適用できない。

183 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 15:49:23
一様位相だって?
距離が入っていなくても基本列などの概念が入りうるのか?
フィルターに関する完備というのもありうるのか?
大学でもきちんと位相空間を習ったのに、何故私は知らないのだ?

184 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/10/06(木) 15:51:38
検索したら確かに一様位相という言葉もあった。
しかし、何故か私の見たことのある本には一様位相の説明は一度も出てこなかった。
不思議なこともあるものだ。

185 :132人目の素数さん:2005/10/06(木) 15:58:05
>>183

例えば、第一可算公理の成立たない位相群は一様空間だけど
距離付け出来ない。この場合、コーシーフィルターが定義出来て、
任意のコーシーフィルターが収束するとき完備という。

186 :132人目の素数さん:2005/10/06(木) 22:31:13
>>184
ブルバキを読んだことないのか?
不思議なこともあるものだ。

187 :132人目の素数さん:2005/10/07(金) 04:25:24
ブルバキ読んでない('A`)

188 :132人目の素数さん:2005/10/07(金) 19:16:33
一般の関数空間について完備とかを考える時に必要になるんですかね>一般位相

189 :132人目の素数さん:2005/10/07(金) 19:17:33
間違えた。一般位相でなく一様位相だた

190 :132人目の素数さん:2005/10/07(金) 19:30:38
上でも書いたけど位相群は距離空間とは限らない一様空間になる。
超関数論で使われるフレシェ空間はこの特別な場合。

191 :132人目の素数さん:2005/10/10(月) 22:48:22
フォーミン・コルモゴロフがやさしい本じゃないかな

192 :132人目の素数さん:2005/10/24(月) 14:19:35
ゲーム理論スレ
http://academy4.2ch.net/test/read.cgi/economics/1093842818/667
から

> ここで,Euclid距離空間位相をO(d),Hausdorff空間位相をO(h)とする.
>(中略)
> 「O(d)はO(h)より粗」.

ここが完全な勘違い。既に離散位相(当然ハウスドルフ)は、ユークリッド位相
より強いことを示した。一体何故こんな結論になるのかさっぱりわからん。
距離付け不可能なRのハウスドルフ位相が全てRの通常の位相より強いと言いたい
のか?

距離付け問題は詳しくないが、実際にRの通常の位相よりも強いハウスドルフ位相
で距離付け不可能な例を示してくれ。例えばRの通常の位相での開集合系をO(R)と
して、O(R)の元と一点{0}を開集合とする最弱の位相をO_1(R)とするとき、O_1(R)
はO(R)∪{0}から生成されて当然O(R)より強いわけだが、こいつは距離付け不可能
なのか?


193 :132人目の素数さん:2005/10/24(月) 14:28:57
>フォーミン・コルモゴロフ

コルモゴロフ・フォミーンやで

194 :132人目の素数さん:2005/10/24(月) 14:30:58
>>192
> 既に離散位相(当然ハウスドルフ)は、ユークリッド位相
> より強いことを示した。一体何故こんな結論になるのかさっぱりわからん。
> 距離付け不可能なRのハウスドルフ位相が全てRの通常の位相より強いと言いたい
> のか?

ああ、失礼。こちらが勘違いした。これじゃ反論にならん。
「Rのユークリッド位相がRのどのようなハウスドルフ位相より弱い」
というのを示してくれ。

> ここで,Euclid距離空間位相をO(d),Hausdorff空間位相をO(h)とする.
> 集合Xの任意の異なる2点x1, x2に対して
> x1∈S1, x2∈S2, S1∩S2=空,を満たす2つの開集合S1, S2∈O(d)
> を(Euclid距離空間ならば)取れるから
> O(d)⊂O(h).
> すなわち
> 「O(d)はO(h)より粗」.

これはRのユークリッド位相がハウスドルフ位相であることを示しただけだ。
まるで証明になってない。

195 :132人目の素数さん:2005/10/24(月) 15:11:00
もう面倒なので、Engelking見ちまった。ゾルゲンフライ直線
(Sorgenfrey line)がお前さんの主張

「Rのユークリッド位相はRのハウスドルフ位相で最弱」

の反例。これはRの完全正規な位相で勿論ハウスドルフ。定義は
次の通り。

「実数xと有理数rでx<rとなるものの組み全てを取り、半開区間[x, r)
の全体
B'={[x, r); x∈R, r∈Q, x<r}
を準基底として生成した位相をRに入れる。」

こいつはRのユークリッド位相と比較可能じゃない。実際上の半開区間
[x, r)はゾルゲンフライ位相で(閉かつ)開集合だが、ユークリッド位相
で開集合にならない。

196 :132人目の素数さん:2005/10/24(月) 17:08:16
>>195
> 「実数xと有理数rでx<rとなるものの組み全てを取り、半開区間[x, r)
> の全体
> B'={[x, r); x∈R, r∈Q, x<r}
> を準基底として生成した位相をRに入れる。」

準基底じゃなくて基底だ。後は問題ない。


197 :part1:2005/10/25(火) 12:06:28
>>195
ゾルゲンフライ直線(定義訂正済)

> 「実数xと有理数rでx<rとなるものの組み全てを取り、半開区間[x, r)
> の全体
> B'={[x, r); x∈R, r∈Q, x<r}
> を基底として生成した位相をRに入れる。」

で比較不可能というのは誤りだった。こいつはRの通常の位相
より強い。実際Rの通常の位相での基底をなす開区間(a, b)が
a<x<r<b, x∈R, r∈Q
となる半開区間全体の和[x, r)で表される。よって

「Rのユークリッド位相はRのハウスドルフ位相で最弱」

の反例にならない。しかもこれは>>192

> 実際にRの通常の位相よりも強いハウスドルフ位相で距離付け
> 不可能な例

の実例となる。つまり「完全正規で距離付けできないRの通常の
位相よりも強い位相」ということになる。どうもRの通常の順序
から出発してハウスドルフ空間を作ろうすると通常の位相より
強くなる気がする。

さて、どうする?というわけで、通常の順序を放棄して整列定理で
整列順序を入れることにした。よってZFCでのお話になる。

198 :part2:2005/10/25(火) 12:23:13
Rに次のように整列順序を入れる。自然数の全体N⊂Rには通常の
自然数の整列順序を入れておく。次にA=R-Nを整列定理で整列し
て整列順序を入れ、整列集合の整列和
R=N+A
を作る。min Aはωで表す。勿論集合として同じだからω∈R。
紛らわしいのでこの順序に関する概念には*をつけることにする。
これに全順序集合の順序位相を与える。すなわち下切片*(←, x)*
と上切片*(x, →)*の全体を準基底として位相を生成する。この
位相で孤立数xの一点集合{x}は閉かつ開になるが極限数、例えば
ωの基本近傍系は
*(x, ω]*, x *<* ω
の形の半開区間になる。よって離散位相とはならない。Rの通常の
位相をO_1, この整列順序による位相をO_2とする。

199 :part3:2005/10/25(火) 12:40:36
>>197-198の続き。

(R, O_2)はハウスドルフ空間。
証明。x <* yをRの相異なる二元とする。どちらか、例えば{x}が
孤立数ならばxの近傍V_xとしてV_x={x}, yの近傍V_yとして
V_y=R-{x}を取れば、V_x∩V_y=φ。双方が極限数ならば
x <* z <* y
となる孤立数z∈Rが必ず存在する(例えばxの直後の元)から、
V_x=*(←, z)*, V_y=*(z, →)*
とすればこれはそれぞれxとyの近傍でV_x∩V_y=φ。
(証明終)

200 :part4:2005/10/25(火) 12:57:42
>>199の続き。

O_2はRの通常の位相O_1より強くない。
証明。ω=min AはRの元。そこでωを中心とRの通常の順序での
長さ1の開区間
S=(ω-1/2, ω+1/2)
を取る。SはRの通常の位相で開集合、すなわちO_1の元だから、Sが
(R, O_2)で開集合でないことを言えばO_1⊂O_2が否定されて、O_2が
O_1より強くないことがわかる。証明は極めて簡単で、Sは長さが1だ
から、高々一つの自然数しか含まない。しかるにωの基本近傍系は
*(x, ω]*, x *<* ω
の形であるから無限(可算)の自然数を含む。よってO_2でω∈SはSの
内点ではない。
(証明終)

間違いがあれば指摘してくれると嬉しい。

201 :132人目の素数さん:2005/10/25(火) 14:20:52
>>197
> 実際Rの通常の位相での基底をなす開区間(a, b)が
> a<x<r<b, x∈R, r∈Q
> となる半開区間全体の和[x, r)で表される。よって

細かい訂正だけど「となる半開区間[x, r)全体の和で表される」ね。
ほとんどチラシの裏になってるな。誰か>>198-200のチェックお願い。

202 :132人目の素数さん:2005/10/25(火) 20:20:01
恒等写像が連続でないようにするなら二点を交換するだけでいい。


203 :132人目の素数さん:2005/10/25(火) 23:16:07
>>202
交換というのは?近傍系全体を問題の二点間で交換するという
こと?

ところで次のようにすれば、選択公理など使わずとも任意の無限
集合にハウスドルフ位相が入ることに気づいた。似た例が教科書
にもあったのになんで思い付かなかったんだろう?Xを無限集合と
して一点x_0を固定し、開集合としてx_0を含まないXの部分集合ま
たはXでの補集合が有限集合になるようなXの部分集合全体を取れば
いい。x_0以外の点xに対し{x}はやはり閉かつ開になり、x_0の近傍
はx_0を含む無限集合で補集合が有限なものに限ることになる。
XにRを取って、x_0=0としてやれば、この位相で例えば開区間(-1, 1)
が開集合にならない。

204 :132人目の素数さん:2005/10/26(水) 11:10:16
202 ではないけど。

>>203
> 交換というのは?
例えば f:R→R を f(0)=1,f(1)=0, それ以外の x では f(x)=x とし、
O を普通の位相として O' を f から導かれる位相とすると
O' はハウスドルフかつ O と比較不可能

ということだと思う

205 :132人目の素数さん:2005/10/26(水) 17:05:55
>>204
始集合に位相Oを与えて、f^{-1}{G}がOの開集合になるようなGの全体
をとればいいんだよね?0と1をどちらも含まなければ、fの定義からも
との開集合はO'に入る、でいいのかな?1のO'での近傍はどうなるかと
いうと、まさしくOでの0の近傍で1と0を交換したものになるわけなのか。
確かに比較不可能なハウスドルフになるみたい。

ついでなので、いくつか質問を。

Rの通常の位相と比較不可能なハウスドルフ位相が確かにあることは
わかったけど、実際にそれより弱い異るハウスドルフ位相はあるだろ
うか?つまり強弱に関してRの通常の位相はハウスドルフ位相の極小に
なるのか?通常の位相より弱いT1位相はいくらでも例があるけど。更に、
位相全体が強弱で完備束になるんだから、ハウスドルフ位相全体に対
する下限があるけど、どんなものなんだろ?密着位相になるのかなら
ないのか?

206 :132人目の素数さん:2005/10/27(木) 02:38:05
>>205
> 位相全体が強弱で完備束になるんだから、ハウスドルフ位相全体に対
> する下限があるけど、どんなものなんだろ?密着位相になるのかなら
> ないのか?

またまた自己レス。眠れなかったので考えた。どんな集合でもT1の
下限(最小)、すなわち「有限集合の補集合全体が作る開集合系」と
一致する。実際有限集合ならば、離散位相だけがハウスドルフ。無
限集合ならば、各x_0∈Xに対して>>203のハウスドルフ位相を作って
それらの共通分を取ると、これが「有限集合の補集合全体が作る開
集合系」となる。ハウスドルフ空間の下限この開集合系の部分集合
だけど、ハウスドルフ空間はT1空間だから、下限がT1空間の下限を
下回ることはない。よってこれが下限。

207 :132人目の素数さん:2005/10/30(日) 05:05:05
異る

208 :132人目の素数さん:2005/10/30(日) 14:32:02
いかに?

209 :132人目の素数さん:2005/10/31(月) 05:23:05
age

210 : ◆BhMath2chk :2005/11/01(火) 00:00:00
BがRの通常の位相で開集合で
任意のxに対してx∈Bならば正の整数nが存在してx+nZ⊂B
となるBを開集合とする位相をAとすると
Aは通常の位相より弱いハウスドルフ空間。


211 :132人目の素数さん:2005/11/01(火) 14:09:17
>>210
おお、サンクス。久しぶりにおまいさんを見た。

212 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 10:59:40
898

213 :132人目の素数さん:2005/12/20(火) 14:51:27
iso


214 :132人目の素数さん:2005/12/28(水) 21:26:28
【かっこ悪い】建部崩れ、見参!【情けないw】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135765594

215 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 04:46:58
534

216 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 05:14:12
820

217 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 16:16:13
共立講座『距離空間と位相構造』(矢野公一 著) を読んでいます。
p.73 の【定理2.9】 が意味不明なのですが、どなたか説明していただけませんか?

【定理2.9】
X, Y を位相空間、A を X の部分空間とし、その包含写像を ι:A→X とおく。
このとき、写像 f: Y→A が相対位相に関して連続であることと、
合成写像 φ・ι: Y→X が連続であることとは同値である。

f とφの関係について何も記述がありませんが、これでいいの?

218 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 17:42:24
φ は f の間違いと予想

219 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 17:44:06
>>218
ありがと!たしかにそんな感じだね。

220 :132人目の素数さん:2006/02/10(金) 11:11:35
距離空間(X,d)の二点に対し、d'=d/(1+d)と定義する。d、d'により定められる位相は一致することを示せ。
サッパリです・・・

221 :132人目の素数さん:2006/02/12(日) 12:10:23
距離の入れ方って色々あるよね
で、距離d(x,y)を一つ決めると、開集合系が決まる
(或る部分集合が開かそうでないかが決まる)

それで、
・距離dを入れたときに開になる集合はd'を入れたときにも開集合にもなること
・逆にd'を入れたときに定まる開集合はdを入れたときにも開集合になる
の二つを示せ、ということ

222 :132人目の素数さん:2006/02/12(日) 12:12:42
一様構造さっぱりわからん
任意のV∈Uに対してW・W⊆Vとなる或るWが存在するってなんだそりゃw
(・はX×Xのグラフの合成)

223 :132人目の素数さん:2006/03/02(木) 17:42:55
754

224 :132人目の素数さん:2006/03/24(金) 12:01:25
>>158
激しく亀だがなぜか今日ふと思いついたのでレス
これで Q-{0} から Q への同相作れないかな?

a を無理数とし {a_n} を a に収束する狭義単調減少な有理数列として、
x>1 のとき f(x) = x+a_1
1/(n+1) < x <= 1/n のとき f(x) = n(n+1){((1/n)-x)a_{n+1} + (x-(1/(n+1)))a_n}

つまり (1/(n+1), 1/n] と (a_{n+1}, a_n] の同相を各 n について作って繋ぎ合わせる。

x<0 のときは単調増加で a に収束する有理数列について同じことをやる

225 :132人目の素数さん:2006/03/24(金) 12:48:43
king位相の定義を述べよ

226 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/03/24(金) 15:29:31
talk:>>225 私を呼んだか?

227 :yani:2006/03/24(金) 21:37:26
>>220 へのポインタとしては >>221 で十分だと思うが、暇つぶしに別解。
位相が一致 とは 位相の生成系(用語忘れた)が一致することと必要充分。
Xの各点xについて、その開円近傍系は、dー位相とd'ー位相で明らかに同値。
もっとエレガントというか、発展性のある解答もありそうだ。


228 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 15:14:47


229 :中川秀泰:2006/04/12(水) 22:37:58
>>225
密着離散位相

230 :132人目の素数さん:2006/04/16(日) 00:45:27


231 :132人目の素数さん:2006/04/27(木) 23:56:36
↑馬鹿位相

232 :132人目の素数さん:2006/04/28(金) 21:11:07

かわ位相なやつらだ


233 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 21:25:47
314

234 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 13:00:12
124

235 :132人目の素数さん:2006/06/08(木) 02:07:45
邦語の教科書で,一様構造について詳しく述べた教科書はないだろうか?
 ケリー 「位相空間論」
 児玉  「位相空間論」
 三村  「現代数学概説U」
 森田  「位相空間論」
以外のテキストでご存知のものがあったら教えてほしい.ただブルバキの
位相の巻というのはやめて.入手が困難だから・・・

236 :132人目の素数さん:2006/06/09(金) 17:53:37
age

237 :132人目の素数さん:2006/06/09(金) 18:12:17
>>235
どれも見たことがないがそいつらには
一様構造のことが書いてあるのか?
で一様構造の何がしりたいのか?

238 :132人目の素数さん:2006/06/09(金) 18:13:37
>ブルバキの
>位相の巻というのはやめて.入手が困難だから・・・

大学の図書館で借りろよ

239 :132人目の素数さん:2006/06/10(土) 02:32:43
>>237
基本定理

1) Xは完全正則空間 <==> 位相空間Xには一様構造が入る

がありますね。==> の証明は難しくありませんが、<== の証明がごたごた
して読みやすくないです。<== を猿でも分かるよう分かりやすく説明した
本があるといいなあーと思います。

それと一様構造の擬距離族付き空間として定式化とその定理について興味が
あります。これはむしろ位相空間論というより、解析学で扱う内容なのかもし
れませんが。

240 :132人目の素数さん:2006/06/11(日) 01:42:21
猿でも分かる証明か。そういうことなら、あのお方に尋ねなさい。King様なら
きっとこの問題を解決してくださる違いない! King様は呼べばいつでもやってくる。
出て来い King 姿を現せ!

241 :132人目の素数さん:2006/06/11(日) 02:41:28
>>239
岩波演習叢書「解析学の基礎」に、一様空間についての解説が
無かったでしたっけ…
3部の線形位相空間の項辺りで。
うろ覚えすまそ。

242 :132人目の素数さん:2006/06/12(月) 20:57:29
>>241
THX。参照してみます。
証明読み直してみましたけど、以前読んだときよりは易しく感じます。
慣れもあるでしょうが。どの道Urysohnの補題に類した議論が複雑なのは
あたりまえ。正規被覆列から擬距離を構成するのがムズイと泣き言いって
も始まらんってことでしょうか。

243 :132人目の素数さん:2006/06/13(火) 17:44:10
一様空間についてしりたければ
5000円札をみて一葉さんにききなされ
一応きいてみるとよいよ

244 :132人目の素数さん:2006/06/13(火) 18:12:10
>>239

Bourbakiがぴったりw
君の知りたいことが非常にすっきりと証明されている。
一様空間はBourbakiが開発(実はWeil)したようなもんだから当然だが。

245 :132人目の素数さん:2006/06/13(火) 21:28:20
了解です。図書館に借りに行きます。

246 :132人目の素数さん:2006/06/14(水) 15:52:14
ところがだ。
そのブルバキがまたなんなのよ。
あれなのよ。
Weilのもととぶるばき初版のほうがひょっとしていいかもね。
フランス語よめれば。

247 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 02:30:32
497

248 :132人目の素数さん:2006/06/23(金) 16:40:21
図書館に行ってどうなったかな?

249 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 05:33:37
If X is compact and X^2 doesn't contain an uncountable discrete subspace, then X is separable.

250 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 07:54:59
>>235
ケリーももう絶版だし
森田とか三村とかもそうだぞ

ブルバキが特に(挙げてある本の中で)入手困難ってわけでもないかと

251 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 13:19:58
位相の本格的教科書は絶版が多いね。
ケリーとか小平、河田、三村の概説はよく古本屋で見かける。
ブルバキは明倫か四方堂以外は無理っぽいね。

252 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 13:31:40
そんな古い本じゃなくて、最近の新刊で高度な内容の位相の教科書ってないの?
古本なんて買える保証ないんだし。

253 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 13:55:30
和書限定で探している奴は低レベルDQNw

254 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 14:06:49
洋書限定で位相の上級コースの新刊教えてよ!

255 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 14:15:40
>>254
普通にKelleyでいいじゃん。

256 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 15:21:37
磯はやめとけ

257 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 15:53:01
位相同型いそどけ

258 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 17:33:55
Kelleyの原書は絶版じゃないよ。お手ごろ価格で買える。
それと岩波のは絶版じゃなく品切れ。
定期的増刷するから、欲しい人は出たらすぐ買おう。

259 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 20:55:59
>>249
Rの部分空間で反例作れるぞアホ

260 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 22:21:57
>>259
くわしく!

261 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 22:57:13
児玉・永見が手に入りやすい本の中では一番高度かな
三村とか森田よりはレベルが高い

262 :132人目の素数さん:2006/07/19(水) 15:19:42
いそじんうがい

263 :132人目の素数さん:2006/07/20(木) 04:42:01
Armstrong no

"General Topology" by Springer Verlag

miro!!!!

264 :132人目の素数さん:2006/07/20(木) 04:44:17
UTMだったっけ
UTMって基本的になんか見る気起きないんだよね
何故か

265 :132人目の素数さん:2006/07/25(火) 04:25:53
f:X→Yを商写像、B⊆Yを部分空間とするとき、
fの制限f:f^{-1}(B)→Bは商写像になるか?
という問題を考えています。
 おそらく一般には正しくないと思うのですが、反例を知っておられたら教えていただけないでしょうか。

266 :132人目の素数さん:2006/07/25(火) 05:00:00
正しい。


267 :265:2006/07/25(火) 10:34:41
>266さん
ありがとうございます。
もしよろしければ、証明の概略を示していただけないでしょうか?

問題設定があいまいだったかもしれないので、もう少し書いておくと、
fは全射とし、BとA=f^{-1}(B)にはそれぞれ、Y,Xからの相対位相を入れたときに、
制限f|Aは商写像となっているか?ということを考えています。

BがYの開集合または閉集合ならば容易に証明が付けられるのですが、
一般にやろうとすると、
V⊆Bに対し、f^{-1}(V)がAの開集合なら、UをXの開集合として、
f^{-1}(V)=U∩Aとできる。
とここまではいいのですが・・・
V=f(U∩A)についてどうしようもなくて困っている、という状況です。

268 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 18:05:43
790

269 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 16:17:36
777

270 :132人目の素数さん:2006/10/03(火) 00:10:33
457

271 :132人目の素数さん:2006/11/12(日) 23:41:24
150

272 :132人目の素数さん:2006/12/01(金) 19:59:59
二年。


273 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 09:04:22
king

274 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 10:37:45
age

275 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 14:18:20
>>267

f自身が商写像でなくてはいけないんじゃないかな?

この問題で、f|Aが商写像になるための必要十分条件、
十分条件は、ブルバキの数学原論・位相第1章にあった。

しかし、一般にはこの主張は成り立たない。
ブルバキ位相第1章§3の演習15)に、反例を構成するものがある。

276 :275:2006/12/08(金) 14:32:35
>>265
>>266
>>267

k-space の圏で考えるのならば、正しい。

277 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 15:05:13
>>275
f:X→Yを商写像と書いてあるけど

278 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 18:37:54
めずらしい位相空間知らない?
あんま参考書とかに載ってないやつ。

279 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 18:43:28
Counterexamples in Topologyは「参考書」に入りますか?

280 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 12:28:40
>>278
キサマのくっだらん人生の位相空間

281 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/10(日) 17:40:24
talk:>>273 私を呼んだだろう?

282 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 08:07:05
kingly generated space

283 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/11(月) 20:52:41
talk:>>282 つまり、I'm the King of kings.

284 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 12:07:01
O⊂Rを開集合とするとき、Oは高々可算個の互いに素な開区間の和集合になることを示せ。

285 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/17(日) 13:37:38
第一可算公理を満たし、可分である位相空間は第二可算公理を満たす。

286 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 21:09:06
>>285
>Oは高々可算個の 互 い に 素 な 開区間の和集合になることを

287 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/17(日) 21:39:30
talk:>>286 共通部分が空集合でない開区間の和集合は開区間になる。

288 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 14:21:38
959

289 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 14:40:07
king

290 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 15:15:45
age

291 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/02/07(水) 08:59:22
talk:>>289 私に何か用か?

292 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 14:25:20
次の方程式の解を求めよ.

きんぐ = うんこ = 金愚 = 禁句 = king = チョソ

293 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2007/02/09(金) 15:57:09
talk:>>292 お前に何が分かるというのか?

294 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 22:15:26
トポ・ロジー
たいぷ・ろじっく
好みの形について・語る


295 :132人目の素数さん:2007/02/09(金) 22:42:08
巡回リーマン問題


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