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松坂和夫『集合・位相入門』第3章を徹底理解する

1 :132人目の素数さん:04/09/03 14:57
質問や議論、問題回答などしましょう。


2 :132人目の素数さん:04/09/03 15:00
『集合・位相入門』@アマゾン

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000054244/qid=1094191146/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/250-1480869-6713052


3 :(・人ζもみもみ ◆Momi/T3ouE :04/09/03 15:04
駄スレ保守

4 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/03 15:06
位相は、近傍系によって定められるべきである。

5 :132人目の素数さん:04/09/03 15:07
>>1
質問は質問スレに。その他関連スレも。

◆ わからない問題はここに書いてね 150 ◆
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093871694/
数学の本 第9版
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091502398/
位相について語ろう!
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/994688750/

6 :132人目の素数さん:04/09/03 15:24
第3章 順序集合,Zornの補題 pp.87-136 全50ページ

§1 順序集合 pp.87-97 全11ページ

 A) 順序関係
 B) 順序集合,部分順序集合
 C) 最大(小)元,極大(小)元,上限,下限
 D) 順序同型
 E) 双対概念,双対の原理
 問題

§2 整列集合とその比較定理 pp.97-105 全9ページ

 A) 整列集合
 B) 切片と超限帰納法
 C) 整列集合の順序同型
 D) 整列集合の比較定理
 問題

§3 Zornの補題,整列定理 pp.105-116 全12ページ

 A) 整列集合に関する一命題
 B) Zornの補題
 C) Zornの補題の変形
 D) 整列定理
 問題

7 :132人目の素数さん:04/09/03 15:25
§4 順序数 pp.116-125 全10ページ

 A) 順序型,順序数
 B) 順序数の大小
 C) 順序数の演算
 D) 順序数と濃度
 問題

§5 Zornの補題の応用 pp.125-136 全12ページ

 A) 濃度に関する二三の定理
 B) 群論の一定理
 C) ベクトル空間の基底の存在

8 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/03 15:29
いま、勉強中なんです。
何か質問があったら、みなさんに教えていただきたいです。
順序って難しいですよね。

9 :132人目の素数さん:04/09/03 15:32
>>8
勉強もいいが、このスレの削除依頼も忘れずに。
質問があれば質問スレへどうぞ。


10 :132人目の素数さん:04/09/03 15:35
>>1

関連する内容のスレ

集合論なぜなにスレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/
選択公理、Zornの補題
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1073953209/


「今日は何ページまで読みました」などと報告したいときはこちらへ。

毎日の勉強成果を報告するスレです。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1044204528/


〜終了〜

11 :132人目の素数さん:04/09/03 16:05
良スレ!

12 :(・人ζもみもみ ◆Momi/T3ouE :04/09/03 17:12
駄スレ保守

13 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/03 17:48
ところで、順序集合という場合は、半順序集合、すなわち、反射律、反対称律、推移律を満たす順序関係が入っている集合のことか、
それとも、全順序集合、すなわち任意の二元に対して順序関係が定められている半順序集合のことだろうか?

14 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/03 18:44
松坂和夫先生の本では、半順序集合のことを順序集合と
いっています。

15 :132人目の素数さん:04/09/03 19:07
赤攝也だと 順序 = 全順序 だけど最近は 順序 = 半順序 っぽい

16 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/03 20:03
ところで、まだ勉強し始めですが、識者に質問です。
第3章の内容で、非自明で一番面白く、有り難味のある
定理は何でしょうか?

勉強していて感じるのは、自明なことばかりだが、それ
ゆえに頭に残りにくいということです。

17 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/03 21:38
Re:>16 自分の専攻に関して色々な書物を読めば、何を記憶しておくべきかはおのずと分かってくるだろう。

18 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/04 15:39
>>17
結局、おもしろみのある内容ではないということですね。

19 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/04 19:08
それにしても退屈な内容ばかりでいやになってきました。


20 :132人目の素数さん:04/09/04 19:18
独学中です。まだ1章はじめたばかりですが、追いつけたときはよろしくお願いします

21 :132人目の素数さん:04/09/04 19:37
松坂和夫先生の『数学読本』 その2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1068504263/l50

22 :Владимир(☆8) ◆QRDTxrDxh6 :04/09/04 22:09
>>19>>20
以下のスレで春から精読しています。いま第一章が終わったばっかりです。
参加者は、受験生、大学一年生、七十年代生まれ、六十年代生まれ(わたし)の四人です。
大学一年生が受験生のときから企画していたスレで、彼が今春合格したのと同時に
始めたのですが、大学生活も忙しいらしく今ではなかなか顔を出すことが出来ず、
ペンディング中です。彼も予定では九月の中旬から復帰するそうですが。

参加してみませんか。お待ちしています。

「集合・位相入門」輪読会
ttp://jbbs.livedoor.com/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/


23 :132人目の素数さん:04/09/04 23:53
>>16
Zornの補題は学部レベルの教科書でも
多用されるので使いこなせないとマズイ

選択公理や整列定理と同値であることは
教養として知っておくほうがよい

24 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/05 10:21
その同値であることの証明には、非自明でおもしろい部分
が含まれているのでしょうか?

25 :132人目の素数さん:04/09/05 10:57
>>24
君の実力がわからないから自明かどうかは
判断できない.次の問題は解けるか.

[3.1節/例2の応用問題]

有理数全体の集合Qには大小による順序
構造が入る.Qの部分集合M

M={x | x>0, x^2 < 61}

は上限を持たないことを示せ.

26 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/05 23:34
M = {x∈Q | x > 0 , x^2 < 61}とする。

Mに上限が存在しないことを示す。



@たとえMの上限が存在するにしても、その値が正であることは明らか。

AたとえMの上限が存在するにしても、Mの中には存在しないことを
示す。

∀a∈Mとする。
xy平面上の2点(a , a^2-61)と(8 , 3)を通る直線とx軸との交点
のx座標をbとすると、b = (8*a+61)/(a+8)となる。

b∈Qは明らか。
b>0は明らか。
b^2-61 = 3*(a^2-61)/(a+8)^2 < 0。

∴b∈M。

b-a = -(a^2-61)/(a+8) > 0。

∴b > a。

よって、Mの中には、Mの上限はもちろん、Mの上界すら存在しない。


27 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/05 23:35
N = {x∈Q | x > 0 , x^2 ≧ 61}とする。

x^2 = 61はQ上に解を持たないから、
N = {x∈Q | x > 0 , x^2 > 61}である。


BNの中にもMの上限が存在しないことを示す。

∀c∈Nとする。明らかにcはMの上界である。

y = x^2-61の点(c , c^2-61)における接線とx軸との交点
のx座標をdとすると、d = (c^2+61)/(2*c)となる。

d∈Qは明らか。
d>0は明らか。
d^2-61 = (c^2-61)^2 / (2*c)^2 > 0。

∴d∈N。

c-d = (c^2-61) / (2*c) > 0。

∴c > d。


@、A、BよりMには上限が存在しない。


28 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/05 23:36
この問題は解けたと思いますが、あまり実力はありません。

29 :132人目の素数さん:04/09/06 00:36
>>28
お疲れさん

さすがにx -> (bx+61a)/(ax+b) (ただし,a, bは
b^2=61a^2 + 1を満たす)のような変換は作らな
かったようだ

選択公理,Zornの補題,整列定理の同値性証明を
自力で考え付くのは殆どの学生には無理だろうから
教科書の証明を熟読すればよいだろう,

特殊な分野に進まない限り,実用上はZornの補題を
使いこなれせれば十分のはずだ.また順序集合に
関する諸概念は当然常識となる.

もしも選択公理に興味があるのなら,発展話題として
バナッハ・タルスキーの定理,ルベーグ非可測集合など
について勉強してもよいだろう.これらの結果は自明では
ない.

30 :132人目の素数さん:04/09/06 11:16
>>29
極大イデアルの存在、ベクトル空間の基底の存在、チコノフの定理、ハーン・バナッハの拡張定理
他になんかあったっけ。学部でツォルンのレンマ使いそうなとこ。

31 :132人目の素数さん:04/09/06 13:48
>極大イデアルの存在

ネターしか扱わないから自明。

32 :132人目の素数さん:04/09/06 15:00
>>31
ではベクトル空間も有限次元しか扱うな。

33 :132人目の素数さん:04/09/06 15:16
ここで命令をされている方は、どちらの病院の患者さんですか?

34 :132人目の素数さん:04/09/06 18:01
リリース政策でこんなのが7万人も放流されるわけだ…

35 :132人目の素数さん:04/09/08 03:05
「集合・位相入門」輪読会
http://jbbs.livedoor.com/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/


36 :132人目の素数さん:04/09/08 03:36
集合と位相を学び最終的には測度論・ルベーグ積分を学びたいのですが、位相を学ぶさい集合の知識は必要ですか?集合の知識は濃度や可算など初歩的なことしかしりません。ちなみに基礎的なことは小平先生の本である程度学びました。

37 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/08 13:47
Re:>36
集合の記号∈,⊂と写像の意味ぐらいは分かるようになろう。

38 :132人目の素数さん:04/09/08 19:59
公理的集合論と素朴集合論というのがあって(呼び名はいろいろだが,
ともかくそれぞれ何物であるかは検索してくれ),まず公理的集合論は
いらない。素朴集合論は小平本をやったなら位相の勉強にさしつかえない程度の
基礎はできているはずだから,あとは位相の教科書に出てくる記号で
意味がわからないものを一つ一つ調べていって,位相の勉強が一段落してから
1冊まとまった教科書を読めば終わり。とっとと測度論とかルベーグ積分とかに
進むこと。

39 :哲くずの読書記録:04/09/08 21:57
http://www010.upp.so-net.ne.jp/intruder/books.htm
哲屑が数学について偉そうにコメントしている。
哲屑って、なんでこうも数学に粘着するんだ?

例)
松坂和夫『集合・位相入門』、岩波書店、1968
集合論はやはり古さを感じる。素朴集合論だし。
位相空間論の方はとても面白かった。
最初のinformalな動機づけの方がむしろ私には分かりにくかったりした
(これは前に志賀浩二を読んでいたので、informalな考えは少し身に付いていたからかもしれない)。
この本の位相空間論の読書は、日々の読書の中でもっとも楽しい時間だった。

40 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/09 19:57
p.94に、

 上の例2でもみたように、一般に A が順序集合で、
M ⊂ A_1 ⊂ Aであるとき、 M が A_1 の中に上限を
もたなくても、 A の中には上限をもつことがある。
また、その逆の場合もあり得る。さらに、 M が A_1、
A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合もある。
そこで、こうした事態にまぎれがないように対処する
ために、(必要があれば)たとえば A の中で考えた M の
上限を sup_A M(下限を inf_A M )と書くことがある。


とあります。


41 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/09 19:57
上で述べられている2つの例を考えてみたのですが、
おもしろい例が思い浮かびません。どなたか、おもし
ろく、ためになる例を教えてください。


@ M が A_1 の中に上限をもつが、 A の中には上限をもたない場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {1, 2, 3} }
A = { {1}, {2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4} }

A M が A_1、A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {1, 2, 3} }
A = { {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3} }


42 :132人目の素数さん:04/09/10 02:44
>>41
2つの例と書いているけれど、>40 の引用中に述べられているのは3つだよ。
半順序ではなく、全順序でも例が作れるのだけれどわかる?
M={x|x<0}⊂A1⊂A⊂R (実数全体の集合) となる A1, A で考えてみて。

43 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/10 09:52
>>42


例2で例が挙がっているので、Bのタイプは書きませんでした。

B M が A_1 の中に上限をもたなくても、 A の中には上限をもつ場合。

M = { {1}, {2} }
A_1 = { {1}, {2}, {3} }
A = { {1}, {2}, {3}, {1, 2} }

44 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/10 10:02
M = (-∞, 0) の場合ですが、おもしろい例はあるのでしょうか?


@ M が A_1 の中に上限をもつが、 A の中には上限をもたない場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ [1, 1]
A = (-∞, 0) ∪ (0, 1]

A M が A_1、A の中にそれぞれ異なる上限をもつような場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ [1, 1]
A = (-∞, 0) ∪ [0, 0] ∪ [1, 1]

B M が A_1 の中に上限をもたなくても、 A の中には上限をもつ場合。

M = (-∞, 0)
A_1 = (-∞, 0) ∪ (0, 1]
A = (-∞, 0) ∪ [0, 1]

45 :132人目の素数さん:04/09/11 05:29:01
問題に飢えているようなので。

Q (有理数全体) と Q(√2)={a+b√2 | a,b∈Q} は順序同型か?
R-Q と R-Q(√2) は順序同型か?

46 :132人目の素数さん:04/09/11 12:12:21
>>36
ε-δや集合論の概念がやっぱり必要だと思う。
ある程度やれば頭の中で位相空間がイメージできるようになるよ。


47 :132人目の素数さん:04/09/15 20:26:30
↓この人、人名激しく間違えすぎ。

http://syllabus.tsuda.ac.jp/db/syllabus/show2.cgi?page=2004/Introd9036

48 :132人目の素数さん:04/09/15 20:29:31
どこをどう間違えたら…
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&ie=UTF-8&q=%E6%9D%BE%E9%98%AA%E6%B5%A9%E4%BA%8C&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

49 :132人目の素数さん:04/09/15 20:39:51
位相空間は、局所的に三次元以下のユークリッド空間と同相の時しか
イメージできない。

50 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/09/15 21:39:15
p.94


f が順序単射であることは、 f が順序写像でかつ単射であることとは
必ずしも一致しない。


↑で一致しないのは、もちろん半順序集合の場合です。

f: { {1}, {2} } → { {1}, {1, 2} } s.t.

f: {1} 〜> {1}
f: {2} 〜> {1, 2}

fは順序写像でかつ単射であるが、明らかに順序単射ではない。



51 :132人目の素数さん:04/09/15 21:53:06
>>49
そんなことはない


52 :132人目の素数さん:04/09/15 22:15:42
>>50
別の例だが・・・

自然数全体の集合において
数の大小関係(≦)と整除関係(|)は
それぞれ順序構造を与える

(N,|)から(N,≦)への恒等写像は
単射な順序写像だが順序単射ではない

53 :132人目の素数さん:04/09/15 23:18:54
>>52
よい例をありがとうございます。

54 :132人目の素数さん:04/09/16 04:29:23
>順序単射
ってなぁに

55 :132人目の素数さん:04/09/16 12:08:49
何かが変だぞ

56 :132人目の素数さん:04/09/16 14:41:23
>>55
さては順序単射の定義を理解してないな

57 :132人目の素数さん:04/09/16 17:37:06
>>56
というよりも、定義を読んだことも調べたこともない可能性が大。

58 :132人目の素数さん:04/09/18 14:13:06
>>56-57
http://wwwmi.cias.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/geom/setop.pdf
p.11
順序写像f : (X;≦_X) → (Y;≦_Y ) がX からY への単射であるときfを順序単射という.

59 :132人目の素数さん:04/09/18 14:31:44
>>58は晒し者

松坂の「集合・位相入門」のスレなのだから
順序単射の定義も松坂に従う

60 :132人目の素数さん:04/09/18 16:15:47
じゃあ「調べろ」とか煽らずに最初から松阪の定義書いてけれ

61 :132人目の素数さん:04/09/18 16:26:10
>>60
うそつき
誰も「調べろ」などと書いてない

それから「松阪」ではなく「松坂」だ
人名を間違えるとは失礼なヤツ

まさか松坂の「集合・位相入門」を読んだことも
ないのに書き込んでいるのか

それから間違いを指摘することは
「煽る」とはいわんゾ

62 :132人目の素数さん:04/09/18 16:35:49
なんでそんなに熱くなってるんだろう
代数では順序単射は単射の順序写像と定義するのが普通だろう
だから何か変だぞとソースまで示してやっただけなんだが
何か間違いを指摘された気になったから熱くなってるのかな

63 :132人目の素数さん:04/09/18 16:37:39
>>60
調べるなら松坂の本で調べろよ

>>50がページ数まで指定してるんだからさ〜

64 :132人目の素数さん:04/09/18 16:40:53
松坂の本ネタで必ずわいてくるのが↑この手のDQN

65 :132人目の素数さん:04/09/18 16:46:30
>>63
それについては悪かった
和書はなかなか手に入らん環境なので

しかし圏でmonicにならんものを単射と呼ぶのはやはり相当
違和感があるんだが
先々困らないのかな

でもまあそんなことあなたたちの責任じゃないんで
このまま続けてください

ageでやってる人も粘着はやめて勉強を続けさせてあげてね

66 :132人目の素数さん:04/09/18 17:02:08
>>65
松坂せんせがどう考えたかは知らんが
少なくとも一冊の教科書中では困らない
ようになってるんだろう

ここらの用語は文献によっても異なるので
学習者は定義を確認すべし

ということでいいかな


67 :132人目の素数さん:04/09/18 17:16:15
>>65
a=bとf(a)=f(b)の同値性が単射だが、
それの類似である(実質強めているが)
a\le bとf(a)\le f(b)の同値性を(単射でなく)「順序単射」と
呼ぶと言う意図は、それほど悪くないように思う。
必ず混乱が生じる所ではあるが。
定義をきちんと見ていないので、違ったらフォロー頼む。

68 :132人目の素数さん:04/09/18 18:09:04
>>67
それならやはり「埋め込み」などと呼んでおいたほうが
他の分野との整合性があるんじゃないかなあ・・・

まあどうでもいいよな
かえって学習者の方に混乱させてしまったかも
もうしゃしゃり出てこないんで許してね
それとお名前誤植してごめんなさい松坂先生

69 :132人目の素数さん:04/09/18 23:14:15
田中尚夫「選択公理と数学」

これは当時の論争なんかが載っていて
ためになりそうですね。

70 :132人目の素数さん:04/09/18 23:24:11
>>69
選択公理に関する和書の定番ですね
歴史的経緯を詳述してある良い本です

71 :132人目の素数さん:04/09/23 02:21:52
突然ですみませんが・・
「集合・位相入門 松坂和夫」
を理解するには、高校数学(3C)までの知識で可能でしょうか。
それとも初等解析や線型代数の知識が必要ですか?


72 :132人目の素数さん:04/09/24 01:54:24
>>71
別スレで「必要ない」と返事もらってるね。
ちゃんとこっちも処理しておかねば。

73 :71:04/09/24 19:20:49
>>72
忠告どうもありがとうございます。
失礼しました。
>>ALL
71での質問は別スレで回答いただきました。
重複質問失礼しました。




74 :132人目の素数さん:04/09/25 14:07:18
俺も読もうかな。この本って1冊目にいい?物理なんでこの分野の本
読んでないんだけども。

75 :132人目の素数さん:04/09/26 02:22:03
物理なら位相のみの本読め。
暇があるなら集合もやったらいいが、普通役立たん。

この本は冗長に感じる人もいるだろうから、一冊目に良くないこともありうる。

76 :132人目の素数さん:04/09/26 15:41:10
そうでしか。わかりますた。どうもです

77 :132人目の素数さん:04/10/01 10:53:51
超限帰納法

W:整列集合
W' ⊂ W



W<a> ⊂ W' ⇒ a ∈ W'



W = W'


78 :132人目の素数さん:04/10/01 10:54:20
(証明)
W − W' ≠ φ と仮定し矛盾を導く。
W は整列集合であるから、W ⊃ W − W' ≠ φ には
最小元が存在する。

この最小元を a であらわすことにする。

W − W' の最小元は a であるから、 x < a であるような元 x は、
W − W' の元ではない。すなわち、x は W' の元である。
よって、 W<a> ⊂ W' が成り立つ。
仮定により、 a ∈ W' となる。

これは、 a = min (W − W') ∈ W − W' と矛盾する結果である。

したがって、 W − W' = φ である。


79 :Cofee Break:04/10/01 10:58:57
就任の御挨拶
松坂 和夫
 この7月から梅谷先生の後を継いで分館長を勤めること
になりました。正直なところ,少々気が重い感じがします。
このように長と名のつく職務にたずさわる資格も能力も,
私にはないからです。その点 -- というと失礼な言い方に
なりますが,梅谷前分館長はまことにそうした職にふさわ
しい方で,学識の広さはむろんのこと,諸般のことがらに
精通され,万事に抜群の器量をおもちの方でありました。
こういう方の後任にすわるのはそれだけでも気の重いこと
です。まして私は博識多才などとはまったく縁のない人間
で,また,どんなにひいき目に自己採点をしてみても,前
分館長の具備しておられた企画力,調整力,実行カなど,

80 :Cofee Break:04/10/01 10:59:26
私には百分の一ほども備わっておりません。その上私は学
内の諸事情にうとく,図書館内部のことにも一向に不案内
です。適性からいうと不適格なところばかりで,むしろ不
適格者の見本のようなものでありましょう。このようなわ
けなので,5月ごろ高橋前分校主事から次期分館長に推薦
するというお話を承ったときにも,極力御辞退したのです
が,あまりわがままもいえませんし,明白な意思表示をつ
いつい怠っているうちに,時の勢いでこういうことになっ
てしまいました。

81 :Cofee Break:04/10/01 10:59:52
  -- と,こんな具合に書くと,御推薦下さった高橋先生
にはたいへん申しわけないのですが,今日でもなお,私は
私などに分館長のような職が勤まるのか,はなはだ心もと
なく思っているのです。

82 :Cofee Break:04/10/01 11:00:15
 もっとも考えてみれば,私も本学に来てからもう10年に
なります。それなのに本学の図書館のことに無知であると
いうのは,怠慢の極みといわれるかも知れません。実際そ
ういわれても一言もないような気がしますが,少し言い訳
めいたことを述べますと,私は比較的高年令になってから
本学に来ましたので,最初から何かと雑用をしなけれぼな
らないようになり,図書館にゆったりと通うというような
余裕のある期間をほとんどもつことができませんでした。

83 :Cofee Break:04/10/01 11:00:38
また,本学に来る以前は研究室と図書室とが密着した環境
にいましたので,本学の特徴である中央図書館制になかな
かなじまなかったのも事実ですし,本学の性格と数学の教
官という自分の立場とを顧慮する結果,いろいろな面で必
要以上に自己規制をしてしまった,ということもあるよう
に思います。そんなわけでおのずから図書館とは疎遠にな
っていたのですが,畢竟は私の怠惰に帰することでありま
しょう。今回こうした任務を与えられたのを機会に,今ま
でのことを反省し,できるかどうかは分かりませんが,遅
ればせながら自己改革もこころみていきたいと考えており
ます。

84 :Cofee Break:04/10/01 11:01:11
 今,私はこの原稿を,夏休みも半ばにさしかかった時点
で書いています。 8月のはじめに,事務主任の稲葉さんか
ら館報に何か書くようにという連絡を受けたからです。編
集の方々の趣旨では,要するに新任者として一言挨拶を,
できれば抱負のようなものを語れ,ということであるよう
です。しかし,就任(という言葉を使うのも大げさですが)
以来まだ正味1ケ月にしかなりませんし,上に言ったように
図書館についての諸般の事情をわきまえておりませんので,

85 :Cofee Break:04/10/01 11:01:33
特に申し上げることもありません。抱負などと言われると
困るのですが,前分館長の梅谷先生をはじめ歴代の分館長
のお力によってきちんとしたレールがすでにひかれている
ことですし,基本的には私はただそのレールに従っていけ
ばよいのであろうと思っています。しかし,何分にも不敏
の者ですから,分館の事務の方々をはじめ,関係各位にい
ろいろお助けいただかなければならないでありましょう。
どうかよろしくお願いいたします。

(小平分館長)

86 :Cofee Break:04/10/01 11:09:34
位相についてのスレッドに書かれていたのですが、
森重文教授も松坂先生の『集合・位相入門』で勉強
したそうですね。

87 :132人目の素数さん:04/10/01 11:40:26

p.101

補題1

W:整列集合
J ⊂ W

@ J = W または、J = W<a> for some a ∈ W
A W<x> ⊂ J for ∀x ∈ J


88 :132人目の素数さん:04/10/01 11:40:49

(証明)

@ ⇒ A は明らかである。

A ⇒ @:
W − J ≠ φ とし、 a = min(W − J) とする。
このとき、{ x | x ∈ W、a ≦ x } には J の
元は含まれない。なぜなら、
y ∈ J でかつ y ∈{ x | x ∈ W、a ≦ x }と
すると、 J ∋ y ≠ a ∈ W − J であるから、
a < y となるが、 J についての仮定より、
a ∈ J となって矛盾が起こるからである。

よって、 J ⊂ W<a>。
明らかに、J = W<a>。

89 :132人目の素数さん:04/10/01 16:48:08
p.102
補題2

W:整列集合
f: W から W への順序単射

f(x) ≧ x for ∀x ∈ W

(証明)
∀x ∈ W とする。
A = { f^i (x) | i ∈ {0, 1, 2, 3, …} }とする。
A ⊂ W であるから、min A が存在する。
min A = f^i (x) (i ∈ {0, 1, 2, 3, …})とかける。

90 :132人目の素数さん:04/10/01 16:48:30

f^i (x) は、 A の最小元であるから、

f^i (x) ≦ f^(i+1) (x)

f(x) ≦ f(y) ⇒ x ≦ y が成り立つから、

f^(-i) (f^i (x)) ≦ f^(-i) (f^(i+1) (x))、i.e.
x ≦ f(x) が成り立つ。


91 :132人目の素数さん:04/10/01 16:50:41
図書館行ったら借りられててショボーン
だから同じ松坂先生が書いてる数学序説っての借りてみますた
この本はあんまり評判聞いたことないからある意味楽しみ

92 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/02 00:32:36

足立恒雄 『数 ―体系と歴史―』 (朝倉書店) p.63

整列原理は純粋な「存在定理」であって、具体的な整列順序の存在を
保証してくれるわけではない。実際には、 ZF では実数体(実数全体
のなす集合)に整列順序を具体的に与えることはできないことが知ら
れている。これは数学のもつ一面をよく表していると思う。


↑こういうのを読むと、非加算集合の得体の知れなさが嫌になります。
クロネッカーの気持ちも少し分かるような気がします。

93 :132人目の素数さん:04/10/02 01:00:01
皮下さん集合のせいだという理由は?

94 :132人目の素数さん:04/10/02 01:03:18
蚊さん集合すら怪しいということでしょう。

95 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/02 01:07:11

p.103
定理3

整列集合 W、W' が順序同型ならば、 W から W' への順序同型写像は一意的
に定まる。


96 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/02 01:07:48

(証明)
f、g を W から W' への順序同型写像とする。
写像 W ∋ x 〜> g^(-1)(f(x)) ∈ W は、
W から W への順序同型写像であるから、p.102 補題2により、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ≧ x   i.e.
f(x) ≧ g(x)
が成り立つ。

97 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/02 01:08:34
今、∃x_1 ∈ W s.t. f(x_1) > g(x_1)
と仮定する。

x_2 = f^(-1)(g(x_1)) とおけば、
x_1 = f^(-1)(f(x_1)) > f^(-1)(g(x_1)) = x_2  i.e.
x_1 > x_2 が成り立つ。

また、
f(x_2) = g(x_1) > g(x_2)  i.e.
f(x_2) > g(x_2) が成り立つ。

98 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/02 01:08:59
以上の方法を繰り返すことにより、 W の元の無限列
x_1 > x_2 > x_3 > … > x_n > …
が得られる。 W の部分集合 { x_i | i = 1, 2, 3, … } は
最小の元を持たない。これは矛盾である。

したがって、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) = x   i.e.
f(x) = g(x)
が成り立つ。

99 :132人目の素数さん:04/10/02 01:30:00
f(x)≦g(x)≦f(x)。


100 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/02 08:37:40
>>99
そうですね。あほでした。

(証明)
f、g を W から W' への順序同型写像とする。
写像 W ∋ x 〜> g^(-1)(f(x)) ∈ W は、
W から W への順序同型写像であるから、p.102 補題2により、
∀x ∈ W に対し、g^(-1)(f(x)) ≧ x   i.e.
f(x) ≧ g(x)
が成り立つ。
同様にして、
g(x) ≧ f(x)。

したがって、f = g。

101 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/05 00:42:19
p.106 補題1と p.107 補題1の系 との違いがよく分かりません。
同じことを言っているだけのように思うのですが、どこが違うの
か分かるかたがもしいらっしゃれば、詳しく教えてください。

確かに補題1では、 A が順序集合だとは仮定されていませんし、
各 W_λ の順序も独立に考えられていて、結果として W_λ と W_λ'
には、一方が他方の部分順序集合(一方が他方の切片になっている
ということの大前提として当然、一方が他方の部分順序集合である)
になるような順序がそれぞれに与えられていたということでしょうが
、何かこの補題1の仮定はいやらしくないでしょうか?系の仮定のほう
が素直でいいと思いますし、証明も全く補題1と変わらないと思うの
ですが。。。

102 :132人目の素数さん:04/10/05 01:03:39
>>101
整列定理の証明では整列集合族{Wλ}から出発して
その和集合が再び整列集合となることを使う


103 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/06 21:03:55
>>102
そうなんですか。ありがとうございます。

104 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/06 21:04:39
p.110

このことに注意すれば、 W_0 も条件(A)、(B)、(C)を
満たすことが容易に検証される。(読者はくわしく考えよ。)


(A)は明らか。


105 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/06 21:05:14
(B)

x を W_0 の元とし、 W_0 の中に直前の元 x_* を持つとする。
W_0 の定義により、(@)、(A)、(B)、(C)を満たす
A の部分集合 W 、 W' が存在して、
x ∈ W
x_* ∈ W'
となる。

W ⊂ W' または W’ ⊂ W が成り立つから、
(@)、(A)、(B)、(C)を満たす A 部分集合
W'' が存在して、
x ∈ W''
x_* ∈ W''
となる、としてよい。

このことから、
x = φ(x_*)
が成り立つことは明らか。


106 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/06 21:05:39
(C)

(@)、(A)、(B)、(C)を満たす A の部分集合に、W_0
が含まれれば、何も証明することはない。よって、W_0 は上記集合
に含まれないと仮定する。

W_0 の元 x を x_0 と異なり、かつ W_0 の中に直前の元をもたない元
とする。
W_0 の定義から、(@)、(A)、(B)、(C)を満たす A の部
分集合 W が存在して、x ∈ W となる。W ≠ W_0 であるから、
W = W_0<x'> (for some x' ∈ W_0)とかける。
W = W_0<x'> は(C)を満たすから、
(W_0<x'>)<x> = W_0<x> の A における上限は、 x である。

107 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/06 21:58:13
ところで、p。108 補題2なのですが、どう
やってこの見事な誘導尋問を考えついたの
でしょうか?

いきなり、思いつくようなものとも思えない
んですが。。。

まだ十分消化してないのでそう思うだけなの
かもしれませんが。。。


108 :132人目の素数さん:04/10/06 21:59:01
ローマ数字はやめてくれよ

109 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/07 18:17:00
>>108
なぜですか?

p.111 定理6の証明なのですが、「この証明はある程度概略にとどめ、
細部は読者の補充にゆだねる。」と書いてあるのですが、どこが
概略なのでしょうか?

110 :132人目の素数さん:04/10/07 22:56:15
>>109
ローマ数字は機種依存文字だから
表示できない環境が存在する可能性がある
だから使わない方がよい

111 :132人目の素数さん:04/10/08 00:38:29
バファリン

112 :132人目の素数さん:04/10/13 06:21:23
823

113 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/13 11:16:12
第3章だけでなく、第4章も徹底理解したいと思います。


114 :132人目の素数さん:04/10/13 12:08:53
にゃーん

115 :132人目の素数さん:04/10/18 04:00:01
194

116 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/20 23:01:27
ところでいま2章も読んでいるのですが,§3濃度の演算というのは,
これ以上に発展した内容はあるのでしょうか?

確かにうまく拡張されていて読んでいて気持ちいいところもあるのです
が,それが何の役に立つのか?と思ってしまうのも事実です.

117 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/10/20 23:04:25
ところで,
>>45
の問題が解けていないのですが,どなたかヒントを
お願いできないでしょうか?

118 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

119 :132人目の素数さん:04/10/20 23:53:52
l     l |l    ! !  l   ljL  ヽヽ   \
   {     |! |   !|  ト、 __,ゝヽ フ /ヽヽ   ヽ
    !l    lH   N  ヽ´/7T 〒ミくノ ヽト、  ヽ
   lト、_,、 ┬ヽニ二、        トー' ゚ !´  リハ
    l   ハニ! !_ )。ヽ     、ヽニヌ`  / ー 〉 Kingに、死を…
    |  |ハヽ`辷タ、       ̄     j`´ l
    l   l  ヘ´' ー ´ ノ           ハ  l
.     !  |  ハ    `ヽ' _          /  ヽー!
      !  !   \    ` -´       /   ,ゝ|
     l  l    /`丶、      /   /   |
.     ', l     ,′   ヽ7 ー ヘ´  ,. '´    j
     ヽ l   l      /    j. '´    / l
      ヽ    !     / ー ´     /  , !
         \  !   ヽ、           / l


120 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/21 10:18:19
Re:>118 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>119 お前に何が分かるというのか?

121 :132人目の素数さん:04/10/21 20:57:42
この本は文系でも読めますか?

122 :132人目の素数さん:04/10/21 21:07:10
そういう質問する人はたぶん読めない。

123 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM :04/10/21 21:09:29
Re:>121 人に聞く前にまず読んでみること。

124 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/21 21:47:14
Re:>123 お前誰だよ?

125 :132人目の素数さん:04/10/26 18:38:44
354

126 :132人目の素数さん:04/10/28 06:45:00
>>116
cardinal arithmeticでぐぐるのがおすすめ

http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&ie=UTF-8&q=cardinal+arithmetic

もっともあまりこっちにはまると数学科の普通の先生からはエタヒニンのように
みられるので注意

127 :132人目の素数さん:04/10/31 00:11:44
管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請 管理者不在スレッド削除要請
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128 :132人目の素数さん:04/10/31 01:13:55
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129 :132人目の素数さん:04/11/09 05:51:58
松坂さんってまだ生きてるの?

130 :132人目の素数さん:04/11/09 06:00:43
牛になって喰われた

131 :132人目の素数さん:04/11/09 06:02:59
死んじゃった?

132 :132人目の素数さん:04/11/10 01:02:38
P25に、
写像を定義する前に全単射であることを証明している
ミラクルがあることについて。

133 :132人目の素数さん:04/11/10 22:56:48
良くあることだよ。
佐武の本でも行列式の定義を述べる以前に
行列式を計算する問題がある。
以下あげればキリがなし。

134 :132人目の素数さん:04/11/10 23:30:26
集合と位相 鎌田 正良 (著)

うちのガッコの理学部数学科がこれ使ってる。
激しく糞本だと思うのだが。そして講師も・・・・

135 :132人目の素数さん:04/11/10 23:44:49
クズには糞がお似合いだ!

136 :132人目の素数さん:04/11/12 05:36:48
糞本なんて買わずに自分で良いと思う本を買って教科書かわりに使えばいいじゃん。
自分はそうしてるよ。

137 :132人目の素数さん:04/11/12 05:47:48
その方法がうまく機能するには大学2年以上
じゃないと無理だな。私は大学1年の時の教科書が悪書だったので、
大いに時間を浪費した。それが悪書だと判ったのは2年になってからだ。

138 :132人目の素数さん:04/11/12 05:53:29
>>132,133
というか、そういう数学書の「ミラクル」を挙げていくスレとか
結構面白そうに思うんだが。

139 :132人目の素数さん:04/11/12 06:40:57
>>132
別に全単射という言葉は使ってないし、
全単射ってか、∀G∃!Γ... って命題なだけでしょ。
素数という言葉を定義せずに、
3が3と1以外の自然数で割り切れないこと(つまり素数であること)
を証明しても何の問題もないわけで、それと同じようなことかと。

>>138
それは確かに面白そうだ。

140 :139:04/11/12 06:46:37
>>139
> 全単射ってか、∀G∃!Γ... って命題なだけでしょ。

∀Γ∃!G... 忘れてた。まあどっちにせよ(ry

141 :132人目の素数さん:04/11/12 13:08:24
>>132>>133がアホだというだけのことさ...

142 :132人目の素数さん:04/11/14 17:00:11
>>141
なんで>>133まで入るの?

143 :132人目の素数さん:04/11/14 18:48:28
>>142
あほレスに同意するレスはあほレス

144 :132人目の素数さん:04/11/15 22:23:43
>>134
なんで糞だと思うか分からない。
簡潔にまとまった良書です。
数学科の学生が渡されるのは屈辱的ということなら分かる。

145 :132人目の素数さん:04/11/21 14:42:01
771

146 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/11/21 18:59:52
志賀さんの「集合への30講」,「位相への30講」って分かりやすそう
ですけど,読んだ方はいますか?


147 :(・3・) エェー:04/11/21 21:42:49



148 :ぼるじょあ ◆yBEncckFOU :04/11/21 21:44:47
(・3・) エェー 間違えたYO
          集合は読んだの中学生のときだからあやふやだけど特別に分かりやすくも無いYO
          位相のほうは途中までしか読んでないけど結構いいNE

149 :132人目の素数さん:04/11/22 00:11:47
つか、松坂で十分では?理解できないならともかく、1はそれなりに読めていると思うのだが。

150 :132人目の素数さん:04/11/22 09:50:45
Construct a set A which is a subset of [0,1]×[0,1] and contains at most
one point on each horizontal and each vertical line and boudary of which
is [0,1]×[0,1].


151 :132人目の素数さん:04/11/23 20:38:21
Q×Qを(0,0)中心にπ/3回転させた集合と[0,1]×[0,1]の共通部分、とか

152 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/11/24 21:19:28
>>151
なるほど,うまいですね.


153 :132人目の素数さん:04/11/24 21:21:12
そんなもん馬鹿でも分かるよ

154 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/11/24 21:29:47
>>153
そうですか.

155 :132人目の素数さん:04/11/24 21:33:56
いくらでもある。例えば{(x, y) | x + y = 有理数} とか。

156 :1 ◆yyxoXJ2Wgo :04/11/24 21:43:13
>>155
それだと,
A contains at most one point on each horizontal
and each vertical line
の条件が満たされないのではないでしょうか?

157 :132人目の素数さん:04/11/24 21:51:37
>>156
x + y = 有理数
のグラフは、 x + y = 1 に平行な直線が密に並んでいるグラフだから、
x, y の一方を任意に固定しても、 x + y が有理数になる点もなら無い点も密にある。


158 :132人目の素数さん:04/11/24 22:03:17
>>156-157
失礼
読み間違えていた

159 :132人目の素数さん:04/11/24 22:30:04
a を任意の無理数として、
x + y = 有理数、
x + ay = 有理数
だな。

160 :132人目の素数さん:04/11/27 22:26:15
アホか

161 :132人目の素数さん:04/11/28 02:21:50
x + 0 = x
x + a0 = x

162 :132人目の素数さん:04/11/28 02:28:03
Can we construct a set A whitch meets conditions of >>150, and cardinarity of whitch is that of R

163 :132人目の素数さん:04/11/29 11:46:49
>>162
選択公理を使えばできるけど、必要かどうかはすぐにはわからない。

164 :132人目の素数さん:04/11/29 13:43:05
whitchじゃなくてwhich
気をつけなはれ

165 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :04/11/29 17:56:01
meets conditions
はどういうことなんだろう?

166 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :04/11/29 17:57:20
うむ、Exciteで翻訳してみたら、まっとうな日本語が出た。
少し頭おかしくなってきたか。

167 :132人目の素数さん:04/11/29 22:24:40
頑張って英検3級を取得しよう

168 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :04/11/29 22:42:23
Re:>167 conditionという単語は英検三級程度では出ないだろう。

169 :132人目の素数さん:04/11/29 22:53:24
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/saku2ch/1039177898/l50
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/saku/1027349232/l50
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/saku/1033142451/l50

170 :132人目の素数さん:04/11/29 22:53:52
みなさん、2ちゃんねる専用ブラウザを使用して、「Re:>」をNGワードに設定しましょう。
「Re:>」をNGワードにすると偽者もあぼ〜ん出来るし、他のトリップを使ってる人を無視しなくて済みます。
kingが名前をしょっちゅう変えるのは、NGワードに登録されてあぼ〜んされるのを防ぐためらしいので、この方法が有効です。


171 :132人目の素数さん:04/12/07 05:33:47
278

172 :132人目の素数さん:04/12/14 04:31:24
725

173 :132人目の素数さん:04/12/21 09:37:39
766

174 :132人目の素数さん:04/12/23 19:56:40
354



175 :132人目の素数さん:04/12/24 04:17:04
真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな 

荒らしは
 〜〜〜終了〜〜〜
 
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

176 :132人目の素数さん:04/12/29 04:21:46
集合と位相 鎌田 正良 (著)



177 :132人目の素数さん:05/01/02 09:48:50
284

178 :132人目の素数さん:05/02/16 02:34:35
375

179 :132人目の素数さん:05/02/21 20:10:08
395

180 :132人目の素数さん:05/03/03 06:12:28
234

181 :132人目の素数さん:05/03/03 06:51:32
東京理大生ら9人逮捕 振り込め詐欺で50万円だまし取った疑い
 東京理科大学の学生ら9人が、振り込め詐欺の疑いで逮捕された。
 逮捕された東京理科大学4年・谷口風太容疑者ら9人は先月中旬、警察官などを装って「ご主人が追突事故を起こした」などと電話をかけ、兵庫県内の49歳の女性から現金50万円をだましとった疑い


理科大ざまあw


182 :132人目の素数さん:05/03/14 00:11:09
559

183 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 05:29:56
795

184 :132人目の素数さん:2005/04/05(火) 22:55:40
601

185 :132人目の素数さん:2005/04/08(金) 15:13:02
松坂先生の御本を利用している一門の方達に質問です。↓

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072058641/497

186 :132人目の素数さん:2005/04/08(金) 15:17:21
age

187 :132人目の素数さん:2005/04/08(金) 22:51:41
>>185
(2.3), (2.3)' のすぐ上に書いてある (2.2), (2.2)' と、
(2.3), (2.3)' のすぐ下に書いてある文章が読めませんか?

188 :132人目の素数さん:2005/04/08(金) 23:20:58
>>187 「(2.3), (2.3)' のすぐ下に書いてある文章」

それは導入された公理や定理に対する傍論(?)のような気が…。
定理に必要条件を避ける理由としては弱くない?

189 :132人目の素数さん:2005/04/09(土) 01:58:48
>>187の「(2.3), のすぐ上に書いてある (2.2)」とは

   (2.2)  A⊂A∪B B⊂A∪B

>>187の「(2.3)のすぐ下に書いてある文章」とは(2.3)の十分条件の証明の
次に書かれてある文章のことで、以下

   (2.2)によって、A∪BはAをもBをも含む、他方(2.3)によって、
  AをもBをも含む任意の集合は、A∪Bを含まなければならない。
  その意味で、A∪BはA,B両方を含むような集合のうちで
  ’最小’のものである。

以上,他スレの住民のための補足

190 :132人目の素数さん:2005/04/26(火) 20:26:04
age

191 :132人目の素数さん:2005/04/27(水) 01:08:29
519

192 :132人目の素数さん:2005/05/11(水) 22:20:17
この本で読むのに一番時間がかかるのってこの章なの?

193 :132人目の素数さん:2005/05/12(木) 00:28:26
>>192
位相空間論が始まる章だからだと思う。

194 :132人目の素数さん:2005/05/12(木) 04:49:46
615

195 :132人目の素数さん:2005/05/12(木) 07:57:44
               ノ
       __     /
      /⌒ ヽ  /        /
      (     )'゙ヽ.     _/
.    /iー-‐'"i    ,;   /
  i ! ( ヽ.    )  ノ/ .:/
    (\.゙ヽ_(_/,イ/
  i ! (\\_,_)' ノ
    (\\_,_,)'
  i !  l ,i\ ヽ、 !  グチュッ グチュッ
    l }!  ヽ、 )
     し'

ウフフ、可愛い坊や、いつまで耐えることができるかしら

196 :さとみすと ◆yyxoXJ2Wgo :2005/05/26(木) 14:16:11
あれ?まだこのスレあったんだw

197 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 04:58:46
QとQ\{0}が同相であることを証明

198 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 08:48:18
              ノ
       __     /
      /⌒ ヽ  /        /
      (     )'゙ヽ.     _/
.    /iー-‐'"i    ,;   /
  i ! ( ヽ.    )  ノ/ .:/
    (\.゙ヽ_(_/,イ/
  i ! (\\_,_)' ノ
    (\\_,_,)'
  i !  l ,i\ ヽ、 !  グチュッ グチュッ
    l }!  ヽ、 )
     し'

ウフフ、可愛い坊や、いつまで耐えることができるかしら

199 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 09:08:22
俺はインポだからいつまでも耐えることが出来る。

200 :132人目の素数さん:2005/06/01(水) 09:52:13
人にされてもいかないよ。

201 :GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ :2005/06/01(水) 10:27:16
Re:>>199 インポを治したかったらミネラルを摂って時々包皮を剥け。

202 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 19:23:47 ?
ぶっちゃけ位相空間てなんなんだ?頭の悪いおれに説明してくれ。
それに開集合からのアプローチだけでいいよな?閉集合はあんま必要ないよな?

203 :GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ :2005/06/02(木) 19:44:07
Re:>>202 位相空間の真の意味を考えるなら、各点の近傍系からはじめた方がいい。位相空間とは、各点に、他の点との位置的な(?)関わりの強さが定められている集合のこと。正確な表現ではないが。

204 :132人目の素数さん:2005/06/02(木) 21:27:13
位相=近さの物差し


205 :132人目の素数さん:2005/06/06(月) 04:37:53
整数に距離をいれる事ができるけど、その場合限られてるらしい。どのように限られてるのか教えて下さい お願いします

206 :132人目の素数さん:2005/06/06(月) 11:25:01
>>205
森田「整数論」に載っていたような気がする。
立ち読みでもして確認してくれ!

207 :GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ :2005/06/06(月) 12:18:35
Re:>>205 三角不等式をみたすことだろう?

208 :132人目の素数さん:2005/06/06(月) 12:25:13
「通常の距離と、p進付値から導かれる距離に限る」というやつか?
それなら>>206の言ってる本見るよろし。

209 :132人目の素数さん:2005/06/06(月) 13:12:59
みなさんサンクス>208 ってことはある意味一種類の距離しか入れられないってこと?とりあえずその本をたちよみしてみます、、でも、望月先生が距離として入るのは限られてるとはいってたけど、それのみとはいってなかったような、、勘違いか

210 :132人目の素数さん:2005/06/26(日) 01:03:43
208

211 :132人目の素数さん:2005/07/28(木) 12:56:46
325

212 :132人目の素数さん:2005/07/29(金) 15:24:27
age

213 :132人目の素数さん:2005/08/27(土) 16:38:18
この本セミナーでよく使われるよね。

214 :132人目の素数さん:2005/09/20(火) 16:48:39
>>203,>>204
数学素人です(工学系)。

そこら辺のところもう少し詳しく教えてください。
これは、距離のことですか?
距離によって、開集合が規定されるのは、わかるのですが、
純粋な位相の定義には、距離は不要では?
その考えは、近傍の定義に関することですか、それとも分離公理に関する
ことですか?
個人的には、位相空間は、分離公理をつかわないと
抽象的すぎてあまり意味が無いものと思っていたのですが。


215 :132人目の素数さん:2005/09/20(火) 23:19:47
旧帝の平均的な工学部生が松坂を読んで大体理解できるようになるにはどのくらいの時間がかかりますか?

216 :132人目の素数さん:2005/09/21(水) 15:24:10
>>215

”集合・位相入門”は入門て書いてあるけど、
決して入門書でないよ(私も工学系)!
独学でやるには、敷居が高いので、まず志賀先生の
30講シリーズ(集合と位相)がおすすめ。
その2冊を読んでイメージをつけないと、挫折に至ると思われ。
ただ、線形代数なーんて簡単簡単という奇特な方は、
最初から松阪先生の本でも大丈夫かもね。
あと、工学系ならたぶんルベーグ積分、関数解析(ヒルベルト空間ぐらい)
あたりを目的とするんであれば、やはり30講シリーズ
(あなどるなかれ、これでも結構難しい)で一通り勉強すれば十分では。
その後、足りないのであれば、Amazon等での人気のある書物をやる。
金銭的には不利だが、最短コースでやりたければ、
まず本当の入門からはいるのが一番。

217 :132人目の素数さん:2005/09/21(水) 15:48:03
>>214
距離とは直接関係ないよ。
「位相」を開集合系で定義する代わりに、各点の近傍系を与えてそれがある公理系を満たす
としてもよいということ。

普通の位相空間論の本には(たぶん松坂のにも)載ってるはずだから、見てみ。

218 :132人目の素数さん:2005/09/21(水) 17:24:05
>>217
レスありがとうございます。
イメージ的に言えば各点が、どの近傍に属するかにより、
位置的な関わりや、近さの概念の代わりを果たすみたいな
ものと思ってよろしいのでしょうか?
もう一つ質問させてください、収束という概念は、位相空間上にありますか?
あればそれは、それはどのような概念でしょうか?

219 :132人目の素数さん:2005/09/21(水) 17:51:58
距離空間というのは位相空間というより一様空間と考えたほうがいい。
距離空間だとコーシー点列が考えられるけど、これは位相的な概念
ではなく一様構造の概念。全有界というのも同じ。一様空間というのは
大雑把に言うと各点の近傍に対してその大きさが各点によらず指定できるもの。
つまり点pとqの近さの度合いと別の点sとtの近さの度合いが同程度である
ということが言える。距離空間だとε近傍がこれにあたる。

220 :132人目の素数さん:2005/09/21(水) 17:58:27
>>217
218ですが、ここでいう、近さとか位置関係というのは、
ゴムで出来た面のような、のびたり、縮んだり出来るもの
ですよね。従って、通常の近さとは違うものである。
以上をまとめると、位相は各元がどのようにつながっているか
(近傍や開集合の定義)を表現したものと言っていいですか。

221 :132人目の素数さん:2005/09/21(水) 18:27:44
>>217,>>219さん
本当にありがとうございました。

位相の定義そのものの意味がよくわからなかったんですが、
一番大事なイメージ(>>220)がつかめたものと思います。
これで、いまいちつながらなかった部分も理解できると思いますので、
後は自分でがんばってみます。

222 :219:2005/09/21(水) 18:40:26
>>221
うむ、やってみるがよろし。

223 :132人目の素数さん:2005/09/23(金) 08:31:34
Uchida Fuichi wa?

224 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 15:04:40
100

225 :132人目の素数さん:2005/11/04(金) 00:59:04
この本をそろそろ始めたい。

226 :132人目の素数さん:2005/11/04(金) 11:07:28
age

227 :132人目の素数さん:2005/11/13(日) 02:46:45
>>223
anmari yokunai to omou.

228 :132人目の素数さん:2005/12/04(日) 07:16:41
140

229 :132人目の素数さん:2005/12/27(火) 19:36:24
omanko nametai to omou.

230 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 04:37:59
205

231 :132人目の素数さん:2006/01/24(火) 23:08:46
king

232 :132人目の素数さん:2006/01/25(水) 04:02:43
氏ね

233 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/01/25(水) 09:02:27
talk:>>231 私を呼んだか?

234 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/01/25(水) 09:02:59
talk:>>232 お前に何が分かるというのか?

235 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 06:58:31
477

236 :現在2浪:2006/02/24(金) 12:07:38
今日から第3章を読み始めますんでよろしく。

237 :132人目の素数さん:2006/03/02(木) 18:48:13
857

238 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 13:57:04


239 :132人目の素数さん:2006/04/04(火) 22:53:41
おまいら、1〜2章を1日で終わらせましたよ。この調子でいけば3章も・・・



・・・。
ムリだ。

240 :132人目の素数さん:2006/04/05(水) 22:05:39
age

241 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 21:56:28


242 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 12:37:21
これから初めて集合論をやるのですが、30講と松坂と迷ってます
数学知識は理系大学受験レベルです。
どちらのほうがいいでしょうか?


243 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 15:25:02
松阪
集合なんて何で勉強してもいいんだけどね

244 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 15:25:57
あ、何で勉強しても良いんだけど
30講は所詮啓蒙書だから過不足無く知識をつけるのは無理、ということね

245 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 15:57:00
ありがとうございます
松坂にします。

246 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 17:52:19
集合だけなら
集合論入門 松村 朝倉書店
もいいよ。

247 :132人目の素数さん:2006/04/30(日) 19:17:51
集合と位相って一緒に教える意味あまり無いよね
なんでセットになってるんだろう

248 :132人目の素数さん:2006/05/01(月) 00:39:38
三村・河田(だったかな?)の現代数学概説Uを辞書代わりに
読んでいけばいいかも。

249 :132人目の素数さん:2006/05/04(木) 16:26:45
p11の問1
a∈A⇔{a}⊂A をたしかめよ。
この問題に限らずなんだけど、「確かめよ」って場合はどんな示し方をしたらいいですか?

250 :132人目の素数さん:2006/05/04(木) 20:00:01
>>249
証明すればいいです。

251 :132人目の素数さん:2006/05/04(木) 20:07:04
そういう明らかなことを示せって言われたって
何を使って良くて何を使ってはいけないか、判断に困るよね
そういう問題は本来あまり宜しくないと思う

まあ、普通は問の直前に列挙してある性質とか、そこに至るまでに
証明された性質を使って示せば"証明"したと見做す場合が多いね

252 :132人目の素数さん:2006/05/04(木) 23:59:34
まさしくでござんして、証明の仕方で手詰まりです。

P21 問3 (c) A-B=Ф⇒A⊂B
x∈Aとしたあと、A-B=Фをどう使ったらいいのでしょう。

253 :132人目の素数さん:2006/05/05(金) 00:21:13
xがBの要素でない、と仮定すると、xはA-Bの要素であることになるが、
これはA-Bが空集合であることに矛盾するので、xはBの要素である。

254 :132人目の素数さん:2006/05/05(金) 01:02:12
>>253
ありがとうございます。納得です。
「xがBの要素でない、と仮定する」・・・こういう発想が私にはまだまだ足りないな。

255 :132人目の素数さん:2006/05/07(日) 17:00:46
A-B=Ф ⇒ (A∩B^c)∪B=B ⇒ (A∪B)∩(B^c∪B)=B ⇒ A∪B=B ⇒ A⊂A∪B=B

256 :132人目の素数さん:2006/05/07(日) 18:40:42
AоB=(A-B)∪(B-A) とする。
「集合A、Bを任意に与えたとき、AоX=Bを満足する集合Xがただ一つ存在することを示せ」

内田伏一「集合と位相」の問題ですが、これの証明の仕方をお願いします。
なお解答にはX=AоBとだけ書いてありました。

257 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 16:21:06
age

258 :132人目の素数さん:2006/05/14(日) 00:08:20
AоX = A - (A∩X) ∪_{直和}(X - A)であるから
AоXは、Aの元のうち、A∩Xを取り除き、
Aに属さないX - Aの元を新たに加えたものである

したがって、Aの元のうち、AоX = Bに属さない元の集合は
A∩X = A - B

また、AоX = Bに属してAに属さない元の集合は
X - A = B - A

よってX = (X∩A) ∪_{直和} (X - A) = (A - B)∪(B - A) =AоB

# 要するに何を引いて何を足せばいいのか考えれば良いんですが、
# 図を描けば結構明らかだったり

259 :指図なしの糸車:2006/05/15(月) 14:30:12
>>256
おいらもやってみた。
[存在性]
B = (A∩B) ∪_{直和} (B- A)
= (A - AоB)∪(AоB - A)
= Aо(AоB)
よって、X=AоBと置けばよい。
[一意性]
 "AоX_1=AоX_2 ならばX_1=X_2"を示せばよい。
 いま、X_1=X_2でなかったとして
 x\in X_1−X_2 (not empty)とし、
xがAの元かどうかに分けて調べれば容易に矛盾が導ける。
よって一意性がいえる。

こんなもんでいいんかい?!

260 :132人目の素数さん:2006/05/16(火) 21:25:05
結合法則 Ao(BoC) = (AoB)oC と
AoA = E, AoE = A (Eは空集合)を使うのがスマートかな。

AoX = Bを満たすXが存在するならAo(AoX) = AoBだが、
Ao(AoX) = (AoA)oX = EoX = XだからX=AoBでなければならない。
また、AoX = Ao(AoB) = (AoA)oB = EoB = Bだから、X=AoBはAoX = Bを満たす。

261 :132人目の素数さん:2006/05/19(金) 15:25:34
>>260
線形代数の証明とかでも、こんな感じで一意性を示しているのがあるけど、
どうしてこれで一意性が示せるのかがわからない。
X=AoBで確かに成り立つけど、どうして一意性が言えるの?

262 :132人目の素数さん:2006/05/19(金) 16:58:04
存在するとしたらこれでしかありえない
これは確かに条件を満たす。

って感じかな

x_1とx_2が条件を満たすとしたらx_1 = x_2である、とかそういう変種もありうる

263 :132人目の素数さん:2006/05/19(金) 17:53:35
>>262
ほぅほぅ〜、ありがとう。

264 :132人目の素数さん:2006/05/20(土) 15:17:08
A={a,b,…,x}をアルファベットの文字全体の集合とする。
α∈Aに対して、A_αをαとそれに続く2文字からなる集合とする。
ここでA_y={y,z,a}、A_z={z,a,b}としておく。
∪_[α∈S]A_α=Aであって最小の濃度をもつ集合S⊆Aを求めよ。
またあなたの与えた集合がその性質を持つことを示せ。

という問題ですが、よく分からないのでお願いします。

265 :264:2006/05/20(土) 15:45:14
あ、S={a,d,g,j,m,p,s,v,y}でとりあえず条件は満たすか?
あとは示し方・・・

266 :132人目の素数さん:2006/05/20(土) 22:08:44
8個以下だと∪_[α∈S]A_αの要素の数は24個以下だからAにはなりえない
だからそのSも条件を満たすんだが、あくまで答えの一例であるに過ぎない

>S⊆Aを求めよ。
だから、条件を満たすSを全て求めなくては駄目

267 :132人目の素数さん:2006/05/22(月) 04:28:21
age

268 :132人目の素数さん:2006/05/22(月) 04:44:12
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/fuyuiso.pdf
位相って面白い! …のか?

269 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 23:54:03
776

270 :なぎ:2006/07/05(水) 14:14:17
f:A→B,g:B→Cとするとき、
(a) g。fが全射ならば、gは全射 
(b) g。fが単射ならば、fは単射
であることを示せ。

という問題をお願いします。



271 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 14:26:16
全射、単射の定義に当て嵌めればOK

272 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 14:47:24
>>270
マルチ。

273 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 17:37:40
452:132人目の素数さん :2006/07/05(水) 17:28:39
23 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス

23 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/07/05(水) 15:58:21
>>18
数学者以外の職に就くに決まってんだろカス



274 :kingの弟子 ◆/LAmYLH4jg :2006/07/05(水) 18:07:15
>>270 f:A→B,g:B→Cとするとき

(a) g。fが全射ならば、gは全射 

証明
  任意のc∈Cに対して、
∃a∈A s.t g。f(a)=c(∵g。f:全射)
このようなaに対して、
b=f(a)とおくとb∈Bで
g。f(a)=g(f(a))=g(b)=c
よってg:全射


275 :kingの弟子 ◆/LAmYLH4jg :2006/07/05(水) 18:13:21
f:A→B,g:B→Cとするとき
(b) g。fが単射ならば、fは単射

証明

任意のxy∈Aに対して
f(x)=f(y)⇒g(f(x))=g(f(y))
⇒g。f(x)=g。f(y)
       ⇒x=y(∵g。f:単射)
よってf:単射

276 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 18:58:44
f:A→B,g:B→Cとするとき、
(a) g。fが全射でgが単射ならば、fは全射 
(b) g。fが単射でfが全射ならば、gは単射
であることを示せ。

という問題をお願いします。

277 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 20:09:16
a) B_1 =B−Im f とおく。
 gは単射より、 Im g =Im gf+Im(B_1) (直和)
 fは全射より  Im gf= C
よって、Im(B_1)はempty.
これは fが全射であることを示している。
b)は自分で考えよ!
 

278 :277:2006/07/05(水) 20:11:37
訂正;「fは全射より」⇒「gfは全射より」

279 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 21:24:09
自分で解けよw

280 :277:2006/07/06(木) 08:45:39
>>279
補足は君に任す。

b)Dを任意の空でない集合をし、
 射h_i :D→B (i= 1,2) は
  g・h_1=g・h_2
 と満たしているとせよ。
 f:全射 より、
   f・j_i =h_i
なる射j_i: D→A が存在する。
(Bの任意の元xに対して、h^{-1}_i(x)の元は
 f^{-1}(x)の元を適当に対応させれば良い。)
 よって、
   g・f・j_1 =g・f・j_2 .
g・fは単射より j_1 =j_2 .
従って、
  h_1 =f・j_1 =f・j_2 =h_2
此れは g:単射を示している。

281 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 12:13:44
低レベルな問題には清書厨が涌くw

282 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 12:33:24
スレ違いだし

283 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 14:22:26
「あまり discoureage するような事を書くな」と言われそうだが・・・

集合(算)に拘るのは止めたほうが良い。
その時間で、もっと別の事が学べる。
例えば、monomorphism/epimorphism にしても カテゴリ論から見直すほうが視野を拡げるという意味でまだ有益だと思う。
数学に対する「集合と位相」なんてのは、文学に対する文法程度の意味しかないのだから此処に埋没するのは勧めない。

284 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 14:40:39
ここは集合(算)のスレじゃないんだよ
スレタイ読め>283

285 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 14:50:18
>284 :132人目の素数さん :2006/07/06(木) 14:40:39
> ここは集合(算)のスレじゃないんだよ

誰もそう言ってはいないが?
249あたりから集合算に拘った書き込みがあるからそう言ったまで。
朝鮮人みたいにすぐ他人を罵倒する前に、コンテクストをよく読みなさい。

286 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 14:53:35
キタキタ、朝鮮人蔑視

287 :132人目の素数さん:2006/07/06(木) 14:55:00
> 249あたりから集合算に拘った書き込みがあるからそう言ったまで。

スレ違いを指摘するだけで十分。

288 :280:2006/07/06(木) 20:30:10
アホ相手と知りながらちょっと捻って解答してやれば、
横から罵倒されるんだよなぁ。
これからスルーする事にするよ。
(キングの弟子とやらに任せるよ、こういう他愛もない問題は)

289 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 16:48:29
178

290 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 15:32:22
840

291 :132人目の素数さん:2006/09/03(日) 14:57:30
二年。


292 :132人目の素数さん:2006/09/27(水) 01:28:33
保守

293 :132人目の素数さん:2006/10/03(火) 01:53:24


294 :132人目の素数さん:2006/10/26(木) 06:51:45
R(実数全体の集合)の部分集合から成る集合系Xで、
Y⊂X,X−Yは可算集合 → 選択関数F:Y→Rが(選択公理を使わず)構成的に作れる
を満たすものはどんな集合系か?

295 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 14:32:19
自然数の整列性って証明出来ないよね?

296 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 15:13:13
別に出来ますね

297 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 15:13:49
できます

298 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 15:22:20
整列性って、全順序+整礎性?

整礎性はともかく、
全順序は「定義です」としか言えんような。

299 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 15:24:15
整列集合も知らんのかw

300 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 15:27:08
「自然数の整列性」なんて言葉遣いはあまりしないような
自然数の順序が整列順序であること、というほうが普通かな

301 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 15:30:36
ωの整列順序は集合論の本なら大抵載ってる
Peanoの公理を満たす任意の順序集合が整列集合である事は
多分示せないんじゃないかな。というか反例が存在するような気がする。

302 :298:2006/10/30(月) 15:54:49
ていうか、教えて。
整列集合って、もう数年集合論やってて「整礎な全順序」
という用法しか見たことないんだが、別のあるの?

>>301
Peano算術の超準モデルは全順序だけど整礎にならないよ。
整列集合の定義が俺の思ってる通りだったら整列集合でないね。

303 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 15:57:02
この証明でどうですか?
Nの任意の部分集合M(≠φ)に対して、
L=M∩{n∈N|n≦N_1} ≠φ
となるようなN_1が存在し、
Lは有限集合であり、全順序であるから有限回の操作で、Lにおける最小元が求められる
またこの元はMに関する最小元となる


304 :298:2006/10/30(月) 15:59:59
>>303
俺の考えてた「整礎性の証明」もだいたいそんな感じ。

305 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 16:09:46
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88#.E6.95.B4.E5.88.97.E9.9B.86.E5.90.88.E3.81.A8.E6.95.B4.E5.88.97.E5.8F.AF.E8.83.BD.E5.AE.9A.E7.90.86
http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/set05/section1.4.pdf
「整列集合」の定義

整礎性って言ったらwell founded (sets)のことを言うのが普通だと思うんだけど。
正則性というほうが多いかもしれないが。
集合論じゃwell ordered (sets)の事を整列集合性じゃなくて整礎性って言うの?

306 :298:2006/10/30(月) 16:15:19
>>305
http://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordered_set
> Equivalently, a well-ordering is a well-founded linear ordering.

整礎=well-foundedであってるよ。
well-ordering=整列順序もあってる。
その上で、well-foundedなlinear orderのことをwell-orderと言うんだけど。

307 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 16:16:46
数学屋は「整列集合」とか「整列定理」は知っていても、
「整礎」なんて言葉は使わんと思う。そもそも知らんだろ。

308 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 21:43:09
じゃぁどこで使う言葉なん?>整礎

309 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 22:48:26
>>306
おおなるほど

310 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 02:33:11
663

311 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 04:46:52
p212の一番下の文、なんか可笑しいよね?ちなみに第47刷。

312 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 15:48:01
「われれわはまず」w

313 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 04:40:10
名著で評判なので読んでみたが、
初版年度も古く、改訂を重ねてても、学生がつまづき易いポイントでの注釈とか、
言い回しの配慮とかはあんまりないのな。
斎藤の数学の基礎の方が新しい分だけ配慮が行き届いてると思った。


314 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 22:34:32
>学生がつまづき易いポイントでの注釈とか、
>言い回しの配慮とかはあんまりないのな。
例えばどんなこと?

でも「学生がつまづき易いポイント」っつーのもなんかなー

315 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 00:34:11
部分集合系とかね。

316 :132人目の素数さん:2006/12/25(月) 06:49:03
畳の縁につまずく人ですか?

317 :保守:2007/01/10(水) 23:47:39
保守

318 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 14:41:15
457

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