5ちゃんねる ★スマホ版★ ■掲示板に戻る■ 全部 1- 最新50  

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

関数方程式レッスド

1 :132人目の素数さん:03/06/17 09:19
Cauchy 方程式
f(x+y)=f(x)+f(y) の解を求めて下さい。

2 :132人目の素数さん:03/06/17 09:26
f(x) = c

3 :132人目の素数さん:03/06/17 09:32
Hamel basis で変な関数が作れるらしい。

4 :132人目の素数さん:03/06/17 09:53
>>2
f(x) = cx と言いたかった?

5 :132人目の素数さん:03/06/17 12:41
変分問題って関数方程式と言う?

6 :132人目の素数さん:03/06/17 14:08
>>5
それは何、変分問題は常に関数方程式に還元できるかと言うこと?
方程式は常に変分問題になると先生は主張していたけど。

7 :132人目の素数さん:03/06/17 14:44
なんだ、こりゃ!?

     ,,----、,,,,,,,,,、、    カリスマ2ちゃんねら〜の東京kitty様が7ゲット(@w荒
    / ,,-‐―、ヽヽヽヽ  
   〔/     ))))ヾヽヽ ニュー速愚民が嫉妬で顔を歪めながらのたうちまわってるよ!!(@wぷ >2
   /.,,,,、、 ,ヽξ\Ξ/ 公判で泣きながらヲレに許しを請う姿が 楽しみだ(@wぷ >3
  / ==/  .,==-   レi! 一生無名で終わる雑魚名無したちがヴチキレたようだ(@wぷ >4
  〔、 ,(_,、ノ( "",,ノ:: 6)  渋谷飛鳥と早く共演したいものだ(@w荒 >5
  λ:" ‐=‐^ン ...::::: |/   いや、かなりカッコいいが?(@w荒 >6
   λ:::::. .::.. ::...::::::/ λ   じゃあまず「お前が死んで手本を見せろよ」と  >8
    \::::::::::::::// . λ、 HNも出せないようなヘタレが何を言っても説得力ないよ(@wぷ >9
      ̄| ̄      /~~ ̄⌒\ おまえら死ねよ(@w荒 >10−1001



8 :132人目の素数さん:03/06/17 20:27
はめる気?

9 ::03/06/17 20:36


10 :132人目の素数さん:03/06/17 20:47
(・∀・)ハメル!!

11 :132人目の素数さん:03/06/26 21:14
f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y),
g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
の解は?

12 :mathmania ◆uvIGneQQBs :03/06/27 15:19
sinh(x+y)=(exp(x+y)-exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)-2exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)-exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)+exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4+(exp(y)+exp(-y))(exp(x)-exp(-x))/4=sinh(x)cosh(y)+cosh(y)sinh(x)
cosh(x+y)=(exp(x+y)+exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)+2exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)+exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)-exp(-x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)+exp(-x))(exp(y)+exp(-y))/4+(exp(x)-exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)
よって、f=sinh,g=coshは[11]の解になる。

13 :132人目の素数さん:03/06/27 17:33
『 超過激&超かわいいイエローキャブのライブチャット登場 』
  あなたの命令で若い娘たちがヌレヌレモード&イクイクモード
☆★ アメリカ西海岸発 ☆★ 当然モザイクありません ☆★
 あなたの言葉で「若い娘」を・・・ヌードにさせてくださいmase
 あなたの指で「イエローキャブ」を・・感じさせてくださいmase
 あなたの声で「GAL」を・・・イ・カ・セ・テ・くださいmase
 寂しがりやの日本人留学生の若い娘たちがお待ちしております!
☆★もちろん、オナニー&バイブ好きの娘ばかり☆★
 あなたのチャットをお待ちしております!!
 日本人留学生のハレンチな「性」を覗いてみてくださいmase
 チャット・セフレをお探しのあなた!今すぐ! Let's Live!!
☆★10分間無料で体験できるほか7日間会費無料でございます
 http://www.gals-cafe.com

14 :132人目の素数さん:03/06/27 17:35


       巛彡彡ミミミミミ彡彡
       巛巛巛巛巛巛巛彡彡       
   r、r.r 、|:::::           | ハァ?
  r |_,|_,|_,||::::::     /'  '\ | 
  |_,|_,|_,|/⌒      (・ )  (・ )|     / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  |_,|_,|_人そ(^i    ⌒ ) ・・)'⌒ヽ  /
  | )   ヽノ |.   ┏━━━┓| <  レッドス?
  |  `".`´  ノ   ┃ ノ ̄i ┃|   \
  人  入_ノ´   ┃ヽニニノ┃ノ\   \_______
/  \_/\\   ┗━━┛/|\\
      /   \ ト ───イ/   ヽヽ
     /      ` ─┬─ イ     i i
    /          |      Y  | |
    /           |      ヽ__|_|















15 : ◆14get.kr8M :03/06/27 17:55
あとちょっとでじゅうよんげっと

16 :mathmania ◆uvIGneQQBs :03/06/27 17:59
関数方程式
xΓ(x)=Γ(x+1)
tan'(x)=1+(tan(x))^2

17 :mathmanic:03/07/03 14:36
12>双曲関数の加法定理そのもんジャン(w

18 :132人目の素数さん:03/07/12 15:45
関数方程式の本で良いのないですか?
自分は Kuczma と Aczelの本しか知りません。

19 :132人目の素数さん:03/07/27 18:42
任意の実数 x, y に対して
f(x+y) = { f(x) + f(y) }/2
が成り立つとき、f(x) は定数関数であることを示せ。

20 :132人目の素数さん:03/07/27 19:01
f(x)が連続である、って条件は無いのか?

21 :132人目の素数さん:03/07/27 22:13
普通、双曲関数っていうか?

22 :132人目の素数さん:03/07/27 22:57
>>21
ぢゃぁなんていうの?ハイパボリック関数でつか?
はいぱぼりっくってそうきょくせんのことだよね(-_-) ・・・

23 :132人目の素数さん:03/07/27 23:52
>20
不要。

24 :132人目の素数さん:03/07/28 01:03
>>19
x=x, y=0 を代入して終わりか。簡単だったな


25 :132人目の素数さん:03/07/28 10:42
そうきょくせんかんすう。

26 :この本どう?:03/07/28 19:23
G. Belitskii, V. Tkachenko,
One-dimensional Functional Equations
2003. 224 pages. Hardcover
ISBN 3-7643-0084-1
English

Operator Theory,vol.144

This monograph is devoted to the study of functional equations with
the transformed argument on the real line and on the unit circle.
Such equations systematically arise in dynamical systems, differential
equations, probabilities, singularities of smooth mappings, and other
areas. The purpose of the book is to present modern methods and new
results in the subject, with an emphasis on a connection between local
and global solvability. The general concepts developed in the book are
applicable to multidimensional functional equations.

Some of the methods are presented for the first time in the monograph
literature, in particular, a functional parametrization of local
mappings, the gluing of local solutions, and a decomposition method.

The book is addressed to graduates and researchers interested in
dynamical systems, differential equations, operator theory, or the
theory of functions and their applications.

Table of contents: Preface .- 1. Implicit Functions .- 2. Classification
of One-dimensional Mappings .- 3. Generalized Abel Equation .- 4. Equations
with Several Transformations of Argument .- 5. Linear Equations .-
Bibliography .- Index


27 :132人目の素数さん:03/08/09 18:59
525 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:03/08/09 02:32
(i) F(1,0,0,1)=1
(ii) F(ka,b,kc,d)=k*F(a,b,c,d)
(iii) F(a,b,c,d)=-F(b,a,d,c)
(iv) F(a+e,b,c+f,d)=F(a,b,c,d)+F(e,b,f,d)
を満たす関数F:R^4→Rを全て求めよ。

って問題が出てた。

28 :132人目の素数さん:03/08/20 05:50
7

29 :ムック剛:03/08/22 08:17
F(a,b,c,d)=F(a,0,0,d)+F(0,b,c,0)+F(a,b,0,0)+F(0,0,c,d)
     =ad-bc+p(a-b)+q(c-d)

30 :132人目の素数さん:03/08/30 22:23
f(x)が x=0 で微分可能で、
f(2x)=f(x+sin x)+f(x-sin x)
をみたすとき、f(x)=ax であることを示せ。

31 :132人目の素数さん:03/08/30 22:40
やだ!

32 :132人目の素数さん:03/08/30 22:44
>>30
質問は質問スレで

33 :132人目の素数さん:03/08/30 22:55
>>30
f(0)=0,f(x+y)=f(x)+f(y)とできる。

34 :132人目の素数さん:03/08/30 23:00
x+sinx=yとすると、その解は存在する。
この解のひとつをtとおくと、f(2t)=f(y)+f(t-sint)
sint=y-tから、f(2t)=f(y)+f(2t-y)
2t-yをxとおきなおすと、2t=x+yだから、f(x+y)=f(y)+f(x)なり。
蛇足スマソ


35 :132人目の素数さん:03/08/30 23:35
x と y が独立でないような・・・

36 :supermathmania ◆ViEu89Okng :03/09/12 16:52
Hamel basisで、変な関数を作れるらしいが、fが連続であるという条件を付けると、
f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=cなる関数はf(x)=cxしかない。なぜなら、有理数上でf(x)=cxになるからだ。

37 :132人目の素数さん:03/09/12 21:57
関数f(x)は微分可能で,次の条件(1)(2)を満たしている
(1)f(x)≧x+1
(2)全ての実数hに対し,f(x+h)≧f(x)f(h)

f(x)を求めよ
解答はメールらん

38 :132人目の素数さん:03/09/12 22:17
大昔の入試問題か?

39 :132人目の素数さん:03/09/12 23:16
いや、オリジナル
多分求められると思う
当方高卒以上大学入学未満です

40 :132人目の素数さん:03/09/21 03:03
R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f(√(x(y^2+1))+√(y(x^2+1)))を満たす物を全部求めよ。
R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f((x+y)/(1-xy)) (xy≠1)を満たす物を全部求めよ。

41 :132人目の素数さん:03/10/14 07:57
9

42 :132人目の素数さん:03/10/28 07:55
Aequationes Mathematicae という雑誌は
一流ですか?

43 :132人目の素数さん:03/10/28 18:57
(?Д?)ヴ??ヴ?? ?勹?ス???
?????????ヴ??????
???????????????
うぉぐ!(*゜∀゜)〜????? ??ν?..._〆(゜▽゜*)??
(?Д?)ヴ??ヴ?? ?勹?ス???
?????????ヴ??????
???????????????
うぉぐ!(*゜∀゜)〜?????
??ν?..._〆(゜▽゜*)??


44 :132人目の素数さん:03/11/10 07:30
3

45 :132人目の素数さん:03/12/03 17:51
o


46 :132人目の素数さん:03/12/03 18:16
o

47 :132人目の素数さん:03/12/12 17:41
ビンビンマッチョデ(゚д゚)オーエーオーエー

48 :132人目の素数さん:03/12/24 05:57
6

49 :132人目の素数さん:04/01/09 16:47
354

50 :132人目の素数さん:04/01/15 20:46
654

51 :132人目の素数さん:04/01/31 05:26
017

52 :132人目の素数さん:04/02/03 01:27
                          

53 :132人目の素数さん:04/02/23 22:53
\ell

54 :132人目の素数さん:04/03/07 01:24
934

55 :132人目の素数さん:04/03/31 07:19
375

56 :132人目の素数さん:04/04/06 11:06
229

57 :132人目の素数さん:04/04/25 22:34
786

58 :132人目の素数さん:04/05/02 15:56
hh

59 :132人目の素数さん:04/05/02 16:28
なまなま

60 :132人目の素数さん:04/05/09 03:45
184

61 :132人目の素数さん:04/05/28 08:49
704

62 :132人目の素数さん:04/06/02 04:01
226

63 :132人目の素数さん:04/06/10 03:04
794

64 :132人目の素数さん:04/06/17 00:25
ホウケーイ

65 :132人目の素数さん:04/06/26 13:28
871

66 :UltraMagic ◆NzF73DOPHc :04/07/04 09:03
x>0で定義される関数f(x)で、
f(x+1)=xf(x) for all x>0かつ、
fは連続関数
になるようなものは、ガンマ関数以外にありうるか?

67 :ムック剛:04/07/04 09:30
>>66
いっぱいあるですよ。
実解析関数でもいっぱいある。
ガンマ関数に特定するには、さらに対数凸性が必要。


68 :UltraMagic ◆NzF73DOPHc :04/07/04 10:18
Re:>67 それと、f(1)=1であること。

69 :132人目の素数さん:04/07/26 05:23
842

70 :132人目の素数さん:04/07/26 20:23
>>21
双曲関数も双曲線関数もどっちもあるみたい。

71 :132人目の素数さん:04/07/26 20:25
>>67
対数凸性ってなんですか?

72 :132人目の素数さん:04/08/03 07:59
584

73 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/03 08:07
Re:>71 元の関数に対数をかけたものが凸関数であること。

74 :132人目の素数さん:04/08/03 12:00
>>66
f(x) = Γ(x)・g({x}), ここに{x}はxの小数部、g(0)=g(1)=1

75 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/03 12:03
Re:>74 うひょーっ!

76 :132人目の素数さん:04/08/03 12:48
>>66
f(x) = Γ(x)・g(sin (2πx)), g(x) = x^2 + 1 等

77 :132人目の素数さん:04/08/03 20:43
>>66
f(x) = Γ(x)・g(x), ここにg(x+1)=g(x) (周期函数)

78 :132人目の素数さん:04/08/06 05:39
関数方程式の本を紹介してください、今でも売ってるやつで…

       |   _,.. -‐"/ ̄/  /|  ̄ l ヽ  \~`"'ー、ノ   たのも〜♪
       ケフ" / /  ,.-'‐ ̄/ .i   .i  ̄\- \ \ヾ
      / /.l l l .// / ./  l  /    ヾ  iヽ  i.\     たのも〜♪
      ノ  | l l l Y /"¨''ヽ .i / ァ''"¨ヾ i イ゙i. リ
       `ヽ r、 丶l i`       レ       |  イ/"
         \ ヽ  ヽ """  iー'ーv'  """ /  '
          ヽ ヾ- ゝ    ._/   ./
         /''"" \Y.': ∧∧   ∧∧ソ `"ヽ、
        ,ィ"   ,.ィ."ヽ(=゚ω゚)人(゚ω゚=)ノ`丶,”、
       /" ヾ,.-"  〜(  x)、 /(x  )〜   `丶、
      / /"    \⊃U U y U U⊂/     ヽ

79 :132人目の素数さん:04/08/06 11:49
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/listmania/list-browse/-/M4HMI29X3MSY/qid=1091760484/sr=5-1/ref=sr_5_2_1/249-8481115-8353929

80 :132人目の素数さん:04/08/09 17:36
任意の実数x,yに対して、次をみたす定数関数でないfを求めよ。
f(x+y) = {f(x)+f(y)}/{1+f(x)f(y)}

微分可能って書いてないから、どうするんでせう?

81 :132人目の素数さん:04/08/09 17:37
予想
はいぱぼりっくたんじぇんと

82 :132人目の素数さん:04/08/09 17:52
>81ッ! 君の意見を聞こうッ!

83 :132人目の素数さん:04/08/09 18:50
最近、関数方程式が好きになりますた。
関数方程式の本(桑垣)で、こんなのを見つけましたが、
答えがないので、教えて下さい。

f(x+y+z)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) を解け。

関数方程式 (´д`;)ハァハァ

84 :132人目の素数さん:04/08/09 18:57
>83は f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけですか?

85 :132人目の素数さん:04/08/09 19:02
f(xyz)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) は解けるのかなぁ?

自作自演 (´д`;)ハァハァ

86 :132人目の素数さん:04/08/09 19:19
では私も桑垣から。

f (x + y) = g (x) + h (y)

87 :132人目の素数さん:04/08/09 19:31
>85も f(x)≡0, f(x)≡1/3 でしたな。

桑垣の復刊をキボンヌ。

   ___
 ./ f(x) \    関数不等式ヲタ発見!
 |::::  \ ./ | ハァハァ
 |::::: (● (● |
 ヽ::::... .∀....ノ



88 :132人目の素数さん:04/08/09 19:39
>>85

f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけ

変数のlogを取れば本質は同じ

89 :132人目の素数さん:04/08/09 19:44
関数不等式

log(x+y) < (log x)(log y)

とか?

90 :132人目の素数さん:04/08/09 19:57
>>87
図書館にあるだろ。
大したこと(深いこと)は書いてない本だよ。
高校生向き。

91 :132人目の素数さん:04/08/09 20:39
>>80
与えられた関数方程式を満たす定数でない連続関数 f(x) を求める。

f(0)=2f(0)/(1+f(0)^2) より、f(0)=0,1,-1.

f(0)=1 とすると、1=f(0)=f(x+(-x))=(f(x)+f(-x))/(1+f(x)f(-x)) より、
(1-f(x))(1-f(-x))=1-f(x)-f(-x)+f(x)f(-x)=0
ゆえに、f(x)=1 または f(-x)=1 が成立する。
したがって、0 の近傍に値 1 を取る点が稠密に存在するので、
f(x) は 0 の近傍で恒等的に 0.
ところが、f(a)=1 ならば f(2a)=2f(a)/(1+f(a)^2)=1 なので、
f(x) は恒等的に 1 となってしまう。
f(x) は定数ではないので、f(0)≠1.
同様にして、f(0)≠-1 も証明できる。
したがって、f(0)=0 でなければならない。

f(0)=0 であり、f(x) は値 ±1 をとらないことから、中間値の定理より -1<f(x)<1.

g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} とおく。
1-f(x)>0 より、g(x) は全ての実数で定義された連続関数である。

g(x+y)=1/2log{(1+f(x+y))/(1-f(x+y))}
=1/2log{(1+f(x)+f(y)+f(x)f(y))/(1-f(x)-f(y)+f(x)f(y))}
=1/2log{(1+f(x))(1+f(y))/(1-f(x))(1-f(y))}
=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}+1/2log{(1+f(y))/(1-f(y))}
=g(x)+g(y)

g(x+y)=g(x)+g(y) と g(x) が連続であることより、g(x)=cx となる c がある。

1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}=cx を解いて f(x)=(e^(cx)-e^(-cx))/(e^(cx)+e^(-cx))

92 :132人目の素数さん:04/08/09 20:49
g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} の部分が天下り的だと思うのは漏れだけか?

93 :132人目の素数さん:04/08/09 20:49
うはっ! ありがとうございます。
g(x)を自力では見つけられそうにないです。


94 :93:04/08/09 20:53
上のほうで tanh と書いてあったので、
試行錯誤して、g(x+y)=g(x)g(y) をみたすように
g(x)=(1+f(x))/(1-f(x)) とおいてやりました。

95 :132人目の素数さん:04/08/09 20:56
f’(0) の存在がわかれば
f’(x)=f’(0)[1-{f(x)}^2] が出て簡単なんだけどね。

96 :132人目の素数さん:04/08/09 20:58
ところで
f(xyz)=f(x)f(y)f(z)+f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x)+f(x)+f(y)+f(z)
をみたす関数が f(x)≡0 以外に見つけられないんですが、教えて下さい。

左辺が f(x+y+z) の場合は、f(0)の値で場合分けして何とか解けましたが、
この場合の解は、間違ってなければ…
f(x)=e^(ax)-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(ax)-1

97 :132人目の素数さん:04/08/09 20:58
>>94
おみそれしますた。

98 :132人目の素数さん:04/08/09 20:58
では、桑垣に無い有名難問

R 上の定数でない実連続関数で、
f (x) + f (2x) + f (3x) = 0
を満たすものを一つ求めよ。


99 :132人目の素数さん:04/08/09 21:08
>98
有名問題ですか…、さっぱり分かりません。
ほかにもあったら、もっと教えて下さい。ハァハァ…

100 :132人目の素数さん:04/08/09 21:10
>>96

g(x)=f(log x)

ってしてみてごらん

101 :132人目の素数さん:04/08/09 21:12
>>100

逆でしたまあいいか

102 :132人目の素数さん:04/08/09 21:17
(*゚∀゚)=3 ウヒョッ!
そんな手があるんですね。
gが f(x+y+z)= の等式をみたすから、解は…
f(x)=e^(a(e^x))-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(a(e^x))-1


103 :132人目の素数さん:04/08/09 21:18
(;゚д゚) …

104 :132人目の素数さん:04/08/09 21:20
>>96>>100>>101

関数の定義域は与えられているのか自分d決めるのか?

105 :132人目の素数さん:04/08/09 21:22
定義域は実数でやってます

106 :132人目の素数さん:04/08/09 21:27
>96を g(x)=f(e^x) としても、f(x+y+z)= をみたすから
  f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1
となりますか…。>102の結果と同じ?

107 :132人目の素数さん:04/08/09 21:30
あぁそうか、g(x)=f(log x) だと
g(x+y+z) = f(log(x+y+z)) で、みたさないのか…

  ,、|,、
 (f⌒i
  U j.|
  UJ
   :
  ‐=‐

108 :132人目の素数さん:04/08/09 21:38
>>98

[1,3]をf(1)+f(2)+f(3)=0となるような連続関数として決めたら、あとは帰納的に全部決まるんじゃ?

1<x方向へは、まずf(x)=-{f(x/3)+f(2x/3)}で2x/3=3までつまりx=9/2まで決まる
次は2x/3=9/2つまりx=27/4まできまる・・・・

x<1方向へは、まずf(x)=-{f(2x)+f(3x)}で2x=1までつまりx=1/2まで決まる
次は2x=1/2までつまりx=1/4まできまる・・・・

そうか、f(0)=0で連続になるようにするわけか

それは[1/2,1]での関数の値域が[1,3]でのそれよりも狭くなればいいわけだ


109 :132人目の素数さん:04/08/09 21:41
>>102

そのg(x)が定数関数だからf(x)は?

110 :132人目の素数さん:04/08/09 21:46
定義域の問題もあるのか…
g(x)=f(e^x)とおくには、fの定義域が正の実数でないとダメか…

111 :132人目の素数さん:04/08/09 21:56
このスレ、積分方程式もOKですか?


112 :132人目の素数さん:04/08/09 21:58
>>108
だからどうしたのよ
定数以外にあったのか?

113 :132人目の素数さん:04/08/09 21:58
この場合は f(x) が解ならば f(-x) も解なので g(x)=f(-e^x) とおくことができます。

114 :132人目の素数さん:04/08/09 22:02
>>110

g(x)=f(-e^x)でもいいよ

115 :132人目の素数さん:04/08/09 22:05
>111
積分方程式もOKです。とにかくハァハァ…

>113
>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
この部分が分かりません。お願いします、

116 :132人目の素数さん:04/08/09 22:09
>>115
f(-xyz)=f((-x)(-y)(-z))=f(-x)f(-y)f(-z)+f(-x)f(-y)+f(-y)f(-z)+f(-z)f(-x)+f(-x)+f(-y)+f(-z)

117 :132人目の素数さん:04/08/09 22:13
>>115
>113
>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
この部分が分かりません。お願いします

>>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
>この部分が分かりません。お願いします
f (0) = 0 はすぐ出るから、
x が正の場合と不の場合に独立に考えてよいということ

118 :132人目の素数さん:04/08/09 22:19
なるほど、定義域が正の数で求めた解 (>106)
  f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1
について、F(x)=f(-x) を考えると、Fも関数方程式をみたすから解だと…。

気になるのは、f(x+y+z)=… の解を求めるときに、fは連続だとして求めたので、
x<0のときは、上の解は、aが偶数じゃないとヤバイ?

119 :132人目の素数さん:04/08/09 22:43
f(x)≡0も解

120 :132人目の素数さん:04/08/09 22:57
f(x)≡0 は f(x) = x^a-1 に含まれてるじゃん。だめぽ漏れ


121 :132人目の素数さん:04/08/10 06:09
>>108
それだけでは恒等式は満たされない

122 :132人目の素数さん:04/08/10 09:12
>98を解説してください。
       |   _,.. -‐"/ ̄/  /|  ̄ l ヽ  \~`"'ー、ノ   たのも〜♪
       ケフ" / /  ,.-'‐ ̄/ .i   .i  ̄\- \ \ヾ
      / /.l l l .// / ./  l  /    ヾ  iヽ  i.\     たのも〜♪
      ノ  | l l l Y /"¨''ヽ .i / ァ''"¨ヾ i イ゙i. リ
       `ヽ r、 丶l i`       レ       |  イ/"
         \ ヽ  ヽ """  iー'ーv'  """ /  '
          ヽ ヾ- ゝ    ._/   ./
         /''"" \Y.': ∧∧   ∧∧ソ `"ヽ、
        ,ィ"   ,.ィ."ヽ(=゚ω゚)人(゚ω゚=)ノ`丶,”、
       /" ヾ,.-"  〜(  x)、 /(x  )〜   `丶、
      / /"    \⊃U U y U U⊂/     ヽ

123 :132人目の素数さん:04/08/10 09:14
発掘品を。
f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)=0


124 :132人目の素数さん:04/08/10 10:42
>>123
「桑垣」に典型例として載っている。

125 :132人目の素数さん:04/08/10 10:48
>>123
「桑垣」には、
f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)- f(0) =0
の形で載っていたから、 f(0)=0 として終わり。


126 :132人目の素数さん:04/08/10 11:04
たとえば f(x)=x とか f(x)=x^2 も満たしていますが…

127 :132人目の素数さん:04/08/10 11:05
桑垣ッ! 君の意見を聞こうッ!

                、     ‐;、
             _,..rー' ```ヾヽ`、ノ i,, 、  
           i、|` ⌒ヾ 、`、/  ノi ‐'ソ    
           ト、/  =`ヽ ///__ ヽ  ̄ヽ
           'ァl! /  、、 i 〃, ‐、 ヽ |‐、ヾ `)
              {i/,ノ  | r=---‐ァ |__{. { 、、 il>′
            {/ ,ノノ !|..:::.  .:')ノ li; } l/ lヽ
           r''v‐'- .,,`_::__,. -‐''iノ 丶`ヽ
              |{i ト 、;::: :::::;>‐<:::::: ;ィ′`''i ヽ, l
           l>,i  l  ̄  ,:::l;:' ̄l |、   ヽ |! |
          O'ri!l  |   、;/  '/ `O  ,!ノ /
           |\ヽ  -===-‐ /ノ!   く 」'′
           l``ヽ、\  'T'' //!   _ノノ
              |;;|``'〒,ヽ _,/'i'´ |、
          ,. ィ|;;`;;,、_|;;;;;;;;;|||;;;;;| _,.|└;_
      ,.. ィ"i  l ヽ'、 ;;;;;;;:;;;;|||;;;;;;'/;//;;;ヽ、
─-、‐''"´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ヽ,` ``'''-、;○/;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;`''ー-=='''ヽ、

128 : ◆BhMath2chk :04/08/10 13:30
>>91
0≦xのときf(x)=1であればf(x)=1またはf(−x)=1になる。
f(x)が−1と1にならないことの証明がない。

f(a)=1のとき
 f(x)
=f((x−a)+a)
=(f(x−a)+f(a))/(1+f(x−a)f(a))
=(f(x−a)+1)/(1+f(x−a))
=1。


129 :132人目の素数さん:04/08/10 17:30
なるほど。

130 :132人目の素数さん:04/08/10 17:32
f(xy-zw)=f(x)f(y)-f(z)f(w) をみたす連続関数fは、
f(x)=ax (aは任意定数) でよろしいでせうか?

131 :132人目の素数さん:04/08/10 22:35
>130
ちがった、f(x)=x, f(x)≡0 だけか

132 :132人目の素数さん:04/08/10 22:46
>>98は周期関数を使わないとできそうにないと思うが...

133 :132人目の素数さん:04/08/10 22:49
では三角関数を使うのかな?

134 :132人目の素数さん:04/08/11 05:16
>>98の問題について、
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a090.htm
の一番下の(注)に解答の指針が書いてあった。
誰か具体的に計算してみてくれ

135 :132人目の素数さん:04/08/11 09:31
むずかしいぽよ

○| ̄|_ =3 ブッ

136 :132人目の素数さん:04/08/11 14:05
>>134
これはちょっとexplicitに表せてないんですっきりしな罠。

137 :132人目の素数さん:04/08/11 14:57
         ___
       ,∠==、ヽ `i'ー- .
      /    ヽ| 「`'ー、`ー、           
       l     ミ| /   `ー、ヽ  ・・・・ゴメンナサイ
      j     R|イ ー-、.  ノ7┐ 
      `Vハハハ/ヽ.「~ ̄ `''ァf‐┘        
.         `、 }ー-`、__..._/::l     
          `|:::::::|ヽ/l:;:;:;|
.            |::::::::l:::::::::::::::l
.            l::::::::l:::::::::::::::l
           l:::::::::l::::::::::::::l
           l;::::::::{:::::::::::::l
              `iiiiiiiハiiiiiiiij´
          ∠-、レ'ヽ〃〕

138 :132人目の素数さん:04/08/11 20:39
>>123-125
「桑垣」に
x の高々二次関数と書いてある。
関数方程式を論ずるなら。、
桑垣アキラ、函数方程式概論、朝倉
ぐらいは読んでおけ。

139 :132人目の素数さん:04/08/12 00:15
f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) をみたす関数f(x)をすべて求めよ。
ただしf(x)は実数全体で定義され、実数値をとる。(高1レベル)

140 :132人目の素数さん:04/08/12 04:26
>>139
>f(x+y)=f(x)+f(y)
は既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出

141 :132人目の素数さん:04/08/12 09:12
>139
荒らすな、氏ね!

142 :132人目の素数さん:04/08/12 09:31
      r;ァ'N;:::::::::::::,ィ/      >::::::::::ヽ
.      〃  ヽル1'´        ∠:::::::::::::::::i
       i′  ___, - ,. = -一   ̄l:::::::::::::::l
.      ! , -==、´r'          l::::::/,ニ.ヽ     >>139
      l        _,, -‐''二ゝ  l::::l f゙ヽ |、 ここはお前の日記帳じゃねえんだ
        レー-- 、ヽヾニ-ァ,ニ;=、_   !:::l ) } ト
       ヾ¨'7"ry、`   ー゙='ニ,,,`    }::ヽ(ノ  チラシの裏にでも書いてろ
:ーゝヽ、     !´ " ̄ 'l,;;;;,,,.、       ,i:::::::ミ
::::::::::::::::ヽ.-‐ ト、 r'_{   __)`ニゝ、  ,,iリ::::::::ミ
::::::::::::::::::::Vi/l:::V'´;ッ`ニ´ー-ッ-,、:::::`"::::::::::::::;゙ ,  な!
:::::::::::::::::::::::::N. ゙、::::ヾ,.`二ニ´∠,,.i::::::::::::::::::::///
:::::::::::::::::::::::::::::l ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/ /
::::::::::::::::::::::::::::::! :|.\;::::::::::::::::::::::::::::::/ /

143 : ◆BhMath2chk :04/08/12 13:00
>>83
x=0,y=0,z=0としてf(0)=0,1/3。
y=0,z=0としてf(x)=f(0)^2/(1−2f(0))。


144 :132人目の素数さん:04/08/12 23:29
>>140
f(xy)=f(x)f(y)がついているのは既出ではないんでは

145 :132人目の素数さん:04/08/12 23:30
いまさらだが「レッスド」って耳新しいな。

146 :132人目の素数さん:04/08/13 17:58
次をみたす連続関数fを求められませぬ。
たのもー、たのもー
f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)}


147 : ◆BhMath2chk :04/08/13 19:00
>>1の解は>>123の解になる。


148 :132人目の素数さん:04/08/14 10:31
>146を解説してください。
       |   _,.. -‐"/ ̄/  /|  ̄ l ヽ  \~`"'ー、ノ   たのも〜♪
       ケフ" / /  ,.-'‐ ̄/ .i   .i  ̄\- \ \ヾ
      / /.l l l .// / ./  l  /    ヾ  iヽ  i.\     たのも〜♪
      ノ  | l l l Y /"¨''ヽ .i / ァ''"¨ヾ i イ゙i. リ
       `ヽ r、 丶l i`       レ       |  イ/"
         \ ヽ  ヽ """  iー'ーv'  """ /  '
          ヽ ヾ- ゝ    ._/   ./
         /''"" \Y.': ∧∧   ∧∧ソ `"ヽ、
        ,ィ"   ,.ィ."ヽ(=゚ω゚)人(゚ω゚=)ノ`丶,”、
       /" ヾ,.-"  〜(  x)、 /(x  )〜   `丶、
      / /"    \⊃U U y U U⊂/     ヽ

149 : ◆BhMath2chk :04/08/14 11:10
方程式から簡単な関係を出すために
同じものが出るように代入する。
f(x)とf(y)とf(xy)がある場合は
x=yかx=xyかy=xyとなるようなものを代入する。


150 :132人目の素数さん:04/08/14 19:55
>>146
定数関数しかないじゃん

151 :132人目の素数さん:04/08/14 20:07
>150
それはどうかな、明智君!
aの値で場合分けするのは当然として、
鼻クソほじくって、よく考えろ!

152 :132人目の素数さん:04/08/14 20:54
y = 1 と置くとおのずと・・・

153 :132人目の素数さん:04/08/14 20:55
f(1)をまず求めにゃあかん

154 :132人目の素数さん:04/08/14 21:06
>>146
f(xy) のように、f の中に一次式以外のものが入ってきたら
定義域を決めるのが普通。

f(xy) = f(x) + f(y)

のように。この場合はどこで考えているのかな。
x > 1000000000 かな?

155 :132人目の素数さん:04/08/14 21:43
それも含めて考えろと言う問題なんじゃない?

156 :132人目の素数さん:04/08/15 04:43
関数方程式って一般論無いの?

157 :132人目の素数さん:04/08/15 07:52
有る分けないがな
分類なら「一般論」はあるが。

158 :132人目の素数さん:04/08/15 08:13
ちょっと思いついた方法が、たとえばf,gを超幾何関数だと仮定して代入、
両辺を簡約化してf,gを具体的に出すとか。
これで何でも解けるとは思えないけど。


159 :132人目の素数さん:04/08/15 08:15
http://www.kudpc.kyoto-u.ac.jp/Service/Application/REDUCE/reduce3.7/node772.html
こーゆーの使ってね。

関数方程式でも、クラスを限定すれば結構一般的解法はあるんじゃないかなぁ。

160 : ◆BhMath2chk :04/08/15 09:00
>>146
a≠1のときf(b)≠f(c)となるb,cをとり
f(b(cx))=f(c(bx))を展開する。


161 :132人目の素数さん:04/08/15 21:53
>>146
f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)}

定義域が正の数に限るなら、
g (x) = f(e^x) と置いて一般加法定理に帰着。

162 :132人目の素数さん:04/08/16 01:50
Meijer G Functionに有理数乱数を代入して関数テーブルを作り、
片っ端から関数方程式に代入というのを考えた。

163 :132人目の素数さん:04/08/16 01:59
http://documents.wolfram.com/v5/Built-inFunctions/MathematicalFunctions/HypergeometricRelated/FurtherExamples/MeijerG.html
ね、たいていの関数方程式に出てきそうな関数は全部Meijer G Functionで
表せる訳よ。
引数ベクトルを指定して乱数成分とかを与えれば、ある限定されたクラスの
関数を全て網羅するテーブルが生成できることになる。
んでそいつを代入。

164 :132人目の素数さん:04/08/16 12:14
桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣

165 :132人目の素数さん:04/08/16 22:35
>>164
桑垣にMeijer G Functionを使った方法が出てるのか?

166 :132人目の素数さん:04/08/17 03:38
>146
a=1のとき, f(x) = coth[(c/2)Log(x)] = (x^c -1)/(x^c +1), c:定数.

167 :132人目の素数さん:04/08/18 21:33
f(x)+f(1/x)=c, cは定数

略解ぐらい欲しいものだ>桑垣

168 :132人目の素数さん:04/08/18 22:18
>167
f(x) = c/2 + b*Log(x), b,c:定数

169 :132人目の素数さん:04/08/19 00:26
>168様。
一体どうやって解くのでしょうか?
この愚か者めに教えてちょんまげ!

170 : ◆BhMath2chk :04/08/19 07:00
f(x)=c/2+(x−1/x)g(x+1/x)。


171 :132人目の素数さん:04/08/19 13:01
解き方を教えろっちゅーに。

172 :132人目の素数さん:04/08/19 13:10
>170
前から気になるのだが、BhMath2chk の意味を教えれ!

Bh … 意味不明。
Math2chk … これは分かる、2ch数学板キラー、つまり「数ヲタ殺し」だな。

173 :132人目の素数さん:04/08/19 13:29
>168
正しい答えは こうじゃないかね? ゴゴゴゴゴ…

 f(x) = c/2 + b*Log|x|, b,c:定数

丈太郎ッ! 君の意見を聞こうッ!

174 :132人目の素数さん:04/08/19 14:21
それは証明と、
定義域がそこに行き着いた
理由を聞いてから。

175 :132人目の素数さん:04/08/19 15:03
ある関数方程式を解いていて、
任意の実数xに対して f(2x)=f(x) をみたす f(x) は
定数関数に限りますよね?

176 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/19 19:04
Re:>175 0でのみ異なる値をとる関数というのもある。他にもたくさんある。

177 :132人目の素数さん:04/08/19 19:10
>>175

そうでもないよ。ディリクレ関数なんかは違うと思うが。

178 :132人目の素数さん:04/08/19 20:29
>>175
連続ならそれのみだが、それ以外に沢山有る。

179 :132人目の素数さん:04/08/20 09:46
>>175
区間 (-2, -1], {0}, [1, 2) で f を任意に定めれば
f(2x)=f(x) を満たす f が一意に定まる。


180 :132人目の素数さん:04/08/21 12:08
>>167
f(x) = c/2 +{h(x)-h(1/x)}・g(x+1/x).

181 :132人目の素数さん:04/08/21 20:41
だめだこりゃ

182 :132人目の素数さん:04/08/22 01:22
レッスド だからな。

183 :132人目の素数さん:04/08/24 16:53
f(x+y) = {f(x)}^2+f(y) …(1) をみたす実関数fを求めよ。

(1)に x=0を代入して f(0)=0
(1)に y=0を代入して f(x)={f(x)}^2 …(2)

(2)から、各xについて f(x)=0 または f(x)=1が成り立つ.
fの連続性が仮定されていなかったら、f(x)≡0 または f(x)≡1 は出せませんよね?

184 :132人目の素数さん:04/08/24 18:39
>>183
f(x)≡0
はでてくるがな

185 :132人目の素数さん:04/08/24 22:49
がながな

186 :132人目の素数さん:04/08/25 03:52
関数方程式を解く仮定で、x=0 とか x=y を代入して、
既知の関数方程式に帰着させたりして解くけど、
得られた解は必要十分でしょうか?
元々の関数方程式を満たすことを確認して完成でしょうか?

187 :132人目の素数さん:04/08/25 09:15
いや十分ではない。

f(x+y)=x+2y

には解はない。

188 :132人目の素数さん:04/08/25 15:47
なるほど、ありがとうございます

189 :132人目の素数さん:04/08/30 06:09
関数方程式にハマってしまった。パズルみたいだからかな?

任意の実数x,yに対して、次をみたす関数fを求めよ。
(1) f(x+y) = f(x)f(y)f(xy)  [INMO 2001]
(2) f(xy){f(x)-f(y)} = (x-y)f(x)f(y)  [IMO shortlist 2001]

       |   _,.. -‐"/ ̄/  /|  ̄ l ヽ  \~`"'ー、ノ   たのも〜♪
       ケフ" / /  ,.-'‐ ̄/ .i   .i  ̄\- \ \ヾ
      / /.l l l .// / ./  l  /    ヾ  iヽ  i.\     たのも〜♪
      ノ  | l l l Y /"¨''ヽ .i / ァ''"¨ヾ i イ゙i. リ
       `ヽ r、 丶l i`       レ       |  イ/"
         \ ヽ  ヽ """  iー'ーv'  """ /  '
          ヽ ヾ- ゝ    ._/   ./
         /''"" \Y.': ∧∧   ∧∧ソ `"ヽ、
        ,ィ"   ,.ィ."ヽ(=゚ω゚)人(゚ω゚=)ノ`丶,”、
       /" ヾ,.-"  〜(  x)、 /(x  )〜   `丶、
      / /"    \⊃U U y U U⊂/     ヽ

190 :132人目の素数さん:04/08/30 17:21
         ___
       ./  nCr \   神降臨まだぁ〜
       |::::  \ ./ | ハァハァ
       |::::: (● (● |
       ヽ::::... .∀....ノ /  チン ☆
      _(  ⊃  ⊃  チン ☆
      |\ ̄ ̄ ̄ ̄旦 ̄\
      | | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|
      \|  愛媛みかん |

191 :132人目の素数さん:04/08/30 22:58
>>189
(2) f(x)≠0ならばy=1を代入して、
f(x)(f(x)-f(1))=(x-1)f(x)f(1)
両辺をf(x)で割って
f(x)-f(1)=(x-1)f(1)
よって
f(x)=cx

192 :132人目の素数さん:04/08/31 01:26
>189(2)
y=1 を代入して f(x){f(x)-xf(1)}=0
各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) が成り立つ。
fの連続性が仮定されているならば、f(x)=ax (aは任意定数) が解。
連続性が仮定されてないから、どうやればよいのか…

193 :132人目の素数さん:04/08/31 02:56
わからんちん

194 :132人目の素数さん:04/08/31 03:06
>192から続けると、
 「各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) 」
どちらの場合にも f(0)=0 が成立。

f(c)=0 をみたす c≠0 が存在しないとき、
f(x)=xf(1) より f(x)=ax, a≠0 を得る。

f(c)=0 をみたす c≠0 が存在するとき、
与式に y=c を代入して f(cx)f(x)=0 が任意のxに対して成り立つ。
 「各xについて、f(cx)=0 または f(x)=0」
これから f(x)≡0 が言えれば楽なのだが…。

195 :132人目の素数さん:04/08/31 04:06
>>189(1) f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)

与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1
f(0)=0 のときは、与式に y=0 を代入して f(x)≡0

f(0)=1 のとき…、どうするんだろう?




196 :132人目の素数さん:04/08/31 04:13
>>194
c≠0 を勝手な定数としたとき、
f(x)= cx (x≧0 のとき), 0 (x<0 のとき)
とか、
f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき)
はこの関数方程式の解なので、一筋縄ではいかないみたい。

一般に、乗法群 R-{0} の部分群 S が与えられたとき、
f(x)=cx (x∈S のとき), 0 (x∈S でないとき)
も解だけれど、これが答?

197 :196:04/08/31 04:15
> f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき)
f(1)=c, f(x)=0 (x≠1 のとき)

198 :132人目の素数さん:04/08/31 05:02
>189(2) の IMO shortlist は解答をwebで晒してないのかなぁ?
自分は よう見つけられなんだけど…。

>195
>f(0)=1 のとき…
もしf(a)=0をみたすa≠0が存在するとすると、
与式にy=aを挿入して、任意のxに対しf(x+a)=0が成り立つことになるが、
x=-aのときf(0)=0となって仮定に反する。
とりあえず、f(0)=1のときには、fは0にならない。

これが分かっても、なんにもならんなぁ…、だめぽ



199 :132人目の素数さん:04/08/31 06:21
>195
>与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1

f(0)=0,1,-1 だった。
結局、答えは f(x)≡0,1,-1 になりそうな予感。

200 :132人目の素数さん:04/08/31 07:01
問題 f(f(x)+y)-f(f(y)-x)=2x をみたす実関数f(x)

201 :132人目の素数さん:04/08/31 07:25
>196 は正しいみたい。

必要条件を示す。f(1)=c≠0 のときを考える。
>194 より、f(x)≠0 と f(x)=cx は同値となることに注意する。

S={x∈R | f(x)≠0} とおくと、S は乗法に関し群となることを示す。

0) 1∈S は f(1)=c≠0 より明らか。

1) x,y∈S かつ x≠y ならば xy∈S となること。
f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y) の右辺≠0 より、f(xy)≠0.

2) x∈S ならば 1/x∈S となること。
x=1 ならば 1/x=1∈S なので、x≠1 としてよい。
f(1)(f(x)-f(1/x))=(x-1/x)f(x)f(1/x) である。
ここで、f(x)-f(1/x)=c(x-1/x) または f(x)-f(1/x)=cx であるが、
いずれの場合も f(x)-f(1/x)≠0 なので f(1/x)≠0 となる。

3) x∈S ならば x^2∈S となること。
この場合も x≠1 としてよい。
f(x)(f(1/x)-f(x^2))=(1/x-x^2)f(1/x)f(x^2) であるが、
2) より f(1/x)≠0.
f(1/x)-f(x^2)=c/x または f(1/x)-f(x^2)=c(1/x-x^2) だがx≠1 より
1/x-x^2≠0 なので f(1/x)-f(x^2)≠0. したがって左辺≠0 なので f(x^2)≠0.

0)-4) により、S は乗法に関し群となることがわかった。

202 :132人目の素数さん:04/08/31 21:57
(1) f(f(x)+x) = f(x)
(2) f(f(x)+y) = f(x)+f(y)

203 :132人目の素数さん:04/09/01 00:28
>189 (2)

f(a)=0 となる a が存在すれば、任意の x に対し f(x)=f(a)f(x-a)f(a(x-a))=0 となる。
そこで、f(x)=0 となる x が存在しない場合を考える。

f(x) が解のとき g(x)=-f(x) とおくと、
g(x+y)=-f(x+y)=-f(x)f(y)f(xy)=(-f(x))(-f(y))(-f(xy))=g(x)g(y)g(xy)
より、g(x) も解となるので、f(0)>0 となる解を決定すればよい。

f(0)=f(0)^3 より、f(0)=0, ±1 なので、f(0)=1 である。

f(x-1)=f(x)f(-1)f(-x)=f(-(x+1)) より、f(-2)=f(0)=1.
一方、f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(1)f(x)^2 より
f(0)=f(1)(f(1)f(-2)^2))^2=f(1)^3f(-2)^4=f(1)^3 なので f(1)=1 である。

したがって f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(x)^2 なので、
任意の x に対し、f(x)>0 であり 任意の整数 n に対し、f(n)=1 となる。

f(x)=f(x+1)f(-1)f(-x-1)=f(x)^2 f(-x-1) なので f(x)f(-x-1)=f(x)√f(-x)=1.
よって f(-x)=1/f(x)^2. x に -x を代入して f(x)=1/f(-x)^2=f(x)^4 なので f(x)=1.

したがって、f(0)>0 となる解は f(x)≡1 に限り、f(0)<0 となる解は f(x)≡-1 に限る。

204 :132人目の素数さん:04/09/01 04:45
>>203 なるほど、そうやるのか!
さすがです。ありがとうございます。
         ___
       ./  nCr \   神降臨キタ━(゚∀゚)━!!!
       |::::  \ ./ | ハァハァ
       |::::: (● (● |
       ヽ::::... .∀....ノ /  チン ☆
      _(  ⊃  ⊃  チン ☆
      |\ ̄ ̄ ̄ ̄旦 ̄\
      | | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|
      \|  愛媛みかん |

205 :132人目の素数さん:04/09/01 04:57
>202 (1)
 f(f(x)+x) = {f(x)+x}-x
と変形して、z ∈ A = {f(x) | x∈R}として
 f(z+x) = z-x
を考えていたけど挫折。


>202 (2)
与式のxとyを入れ替えた式の右辺は、元の右辺に等しいから
 f(f(x)+y) = f(f(y)+x)
もし、fが単射であることが証明されれば、
 f(x)+y = f(y)+x
より、f(x)-x = f(y)-y は変数に無関係な定数となって
 f(x) = x+c (cは任意定数)
単射であることが言えればナー

206 : ◆BhMath2chk :04/09/01 07:00
>>189
 f(x+y+z)
=f(x)f(y+z)f(x(y+z))
=f(x)f(y)f(z)f(yz)f(xy)f(xz)f(x^2yz)。
f(x^2yz)=f(xy^2z)。
xz=1,y=1としてf(x)=f(1)。


207 :132人目の素数さん:04/09/01 23:32
>206
こりゃ思いつかんわ。

>189(2) と 202(1)(2) をたのもー

208 : ◆BhMath2chk :04/09/02 07:00
>>202
f(f(x)+y)=f(x)+f(y)。
g(x)=f(x)−xとするとf(x)=g(x)+xで
f(f(x)+y)=f(x)+f(y)はg(f(x)+y)=g(y)となるので
f(f(x)+y)=f(x)+f(y)という条件は
f(R)の元がgの周期になることと同じ。
fが連続のときのfは0とx+a。
fが連続でない解の例はhを[0,1)−>Zの関数
nをxの整数部分としてf(x)=n+h(x−n)。


209 :132人目の素数さん:04/09/04 08:30
任意の実数xに対して f(f(x))=x の解はどうなるのでしょう?
とりあえず fは全射。
f(x)=f(y)のとき、x=f(f(x))=f(f(y))=yより単射だから、与式は
 f(x)=f^{-1}(x)
これ以上の情報は得られないのかなぁ…。

たのも〜 (AA略)

210 :132人目の素数さん:04/09/04 08:47
>>209
f=f^-1 なので、y=f(x) のグラフが直線 y=x に関して
対称になるものはすべて解になります。

211 :132人目の素数さん:04/09/04 08:58
>210
ありがとうございます。次の解はどうなりますか?
 f(xf(y)) = yf(x)

x=y=0を代入して、f(0)=0
y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0
y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x)
これから>210の解の一部だろう…、とここまではいけましたが。


212 :132人目の素数さん:04/09/04 10:07
>211 f(xf(y)) = yf(x)

x=y=0を代入して、f(0)=0
y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0
y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x)
与式でxとyを交換した式を与式に代入して f(f(xf(y))) = f(yf(x)) = xf(y)

A={xf(y) | x,y∈R}, B={xf(x) | x∈R} とおくと
 x∈Aのとき f(f(x))=x, x∈Bのとき f(x)=x

これ以上わからんちん。たのも〜 (AA略)

213 :132人目の素数さん:04/09/04 11:09
f(a)=0 となる a≠0 が存在したとすると、
f(xf(a))=af(x) より 0=f(0)=af(x).

次に、そのような a は存在しないとする。
b=f(1) とおくと、
f(b)=f(1・f(1))=1f(1)=b
よって b は f(x) の不動点である。
f(1・f(x))=xf(1) より
f(f(x))=bx. また、
f(b・f(x))=xf(b) より
f(bf(x))=bx.
b≠0 なので>>209 と同じ論法により、f(x) は全単射。よって
f(x)=f^-1(bx), bf(x)=f^-1(bx)
これより b=1 でなければならない。

よって f(f(x))=x
>>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。
ところが、このような関数は次の2つのタイプしかない。
(1) y=x
(2) 単調減少:x>1 の範囲に f(x) の零点が1つある。

(2) は仮定に反するので、(1)のケースしかありえない。

以上をまとめると、f(x)=0 または f(x)=x となる。


214 :132人目の素数さん:04/09/04 11:13
>>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。
y=f(x) のグラフは [y=x] に関して対称になる。


215 :132人目の素数さん:04/09/04 11:29
しまった。>>213 の分類には f(x) の連続性を仮定している。
連続を仮定しなければ、他にも>211の解はある。
f(x)=1/x

216 :211:04/09/04 11:45
あぁ確かに…。
 f : R(+)→R(+)、lim[x→∞]f(x)=0
の解を求めさせる問題が 1983.IMO でした。その解が f(x)=1/x

217 :132人目の素数さん:04/09/04 11:46
R(+) は正の実数の意味で書きました。

218 :132人目の素数さん:04/09/04 14:12
y=f^-1(z) を元の式に代入すれば、f=f^-1 だから
f(xz)=f(x)f(z) になる。f の不動点集合を S とすれば、
log S={log a|a∈S} は Q-vector space になる。
S={-1,0,1} のときは xf(x)∈S だから xf(x)=±1 になる。
sgn f(ab)=sgn f(a)・sgn f(b) より、
sgn f(a)={sgn f(√a)}^2=1. よって f(x)=1/x

S=R のときは y=x. それ以外のときは S は dense set になる。
Q に関する R の Hamel basis を A_1∪A_2∪A_3 (背反和)とする。
ここで A_1 は log S の基底、#(A_2)=#(A_3) となるように取る。
F:A_2→A_3 (全単射)を固定する。
f(p):=F(p),p∈A_2;f(q):=F^-1(q),q∈A_3 とし、
f の乗法性を用いて R 全体に f を拡張する。それは明らかに
f(f(x))=x をみたしている。

以上より、S により解を場合分けすると、
(1) S={0} f(x)=0
(2) S={-1,0,1} f(x)=1/x, f(0)=0
(3) S=R f(x)=x
(4) それ以外。上の構成法による解。

219 :訂正:04/09/04 14:15
f(exp p)=exp F(p)  p∈A_2
f(exp q)=exp F^-1(q) q∈A_3
でした。


220 :132人目の素数さん:04/09/05 17:56
そろそろ「桑垣」から又一丁出すか

221 :132人目の素数さん:04/09/05 19:09
>220
どうぞ出してください。「桑垣」とやらの本から。
それで満足したら帰ってください。

イオナズンのガイドラインPart5
http://that3.2ch.net/test/read.cgi/gline/1088477164/

222 :132人目の素数さん:04/09/07 18:39
では「桑垣」からごく簡単なのを一題。
k > 0 (定数)とするとき
f (x + y) = k*f (x)*f (y)

少しづつ難しくしていくぞ。

223 :132人目の素数さん:04/09/07 19:43
>>222
g(x)=k f(x) とおけば、g(x+y)=g(x)g(y).
連続な解は g(x)=exp(cx) または g(x)≡0.
よって、f(x)= (1/k)exp(cx) または f(x)≡0.


224 :132人目の素数さん:04/09/07 23:28
>>222
あれあれ、レスが止まってますよ?
進行役はしっかり動きましょうよ!

225 :132人目の素数さん:04/09/07 23:40
    ___    しょうがないなぁ
  ./  ≧ \   222が来るまで、私が相手だ!
  |::::  \ ./ | ハァハァ
  |::::: (● (● |       バーン! 不等式ヲタが現れた!
  ヽ::::... .∀....ノ /  チン ☆
 _(  ⊃  ⊃  チン ☆   【問題】
 |\ ̄ ̄ ̄ ̄旦 ̄\    正の実数上で定義された実数値連続関数 f, g, h で
 | | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|      f(x+y)+g(xy) = h(x)+h(y)  (x,y>0)
 \|  愛媛みかん |    をみたすものをすべて求めよ。

226 :132人目の素数さん:04/09/08 22:17
>>224
簡単すぎたからレスしなかったんだ。
勿論正解。
それに私は忙しいので、毎日見る暇も無い。
次の問題はもう少し後で。

227 :132人目の素数さん:04/09/08 22:31
>226
ケッ! ヤル気ね〜奴め
シヌェ!

228 :132人目の素数さん:04/09/08 23:41
では(その2)「桑垣」53p から。
a, b, c, d を定数として、
f (x + y) + f (x - y) = a*f (x)*f (y) + b*f (x) + c*f (y) + d

229 :132人目の素数さん:04/09/09 23:04
ケッ! 解けね〜奴め
シヌェ!

230 :132人目の素数さん:04/09/09 23:08
グリーン関数について語れ。








King以外でよろ

231 :132人目の素数さん:04/09/10 06:21
>230

232 :132人目の素数さん:04/09/12 09:22:34
解答を作ったのにレスをつけないと文句を言うくせに
解けないときは解けないと正直に言わないんだな

233 :132人目の素数さん:04/09/12 10:12:33
>>232
簡単すぎたからレスしなかったんだ。

234 :132人目の素数さん:04/09/12 13:22:59
>>233
では書いてみろ
(それほど難しくないのは確かだが)


235 :132人目の素数さん:04/09/12 13:26:24
マスならいくらでもかいてやる。

236 :132人目の素数さん:04/09/12 13:33:52
では、「桑垣」100p. から難問を一つ。
f (x + y) = g (x)*h (y) + k (x) + l (y).


237 :132人目の素数さん:04/09/12 19:06:05
>234
場合分けがややこしくて…


           ○| ̄|_ =3 ブッ

238 :132人目の素数さん:04/09/12 19:36:52
>>237
では a ≠ 0 でいいよ。


239 :132人目の素数さん:04/09/16 23:29:48
f(x,z)+f(y,z)=f(xy,z), xyz≠0
f(x,y)+f(x,z)=f(x,yz), xyz≠0
f(x,1-x)=0, x≠0,1
をみたすf(x,y)は定まりますでしょうか?

240 :132人目の素数さん:04/09/17 00:05:01
はじめの2条件をみたす連続な解 f : (R-{0})×(R-{0}) は
  f(x,y)=c(log|x|)(log|y|)
でOKですか? 3番目の条件も考えると f(x,y)≡0 でOKですか?


241 :132人目の素数さん:04/09/17 08:23:12
ちがうっぽい…

242 :132人目の素数さん:04/09/17 12:11:31
>>239
universal symbol K_2 (R)

243 :132人目の素数さん:04/09/17 14:40:34
>242
はぁ?

244 :132人目の素数さん:04/09/21 21:55:03
f:N→N
f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996
をみたす関数を求めよ。

やり方を教えて下さいぽよ。

245 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/21 22:15:49
Re:>244
f(n+2)≠0とすると、f(n+3)=(f(n)+f(n+1)+1996)/f(n+2).
f(n+2)≠=0とすると、f(n)+f(n+1)=-1996,f(n-1)+f(n)=-1996となる。
ここから、f(n+1)=f(n-1)が分かる。
f(n-2)+f(n+1)=(-1996-f(n+1))f(n+1)-1996が得られる。
これをf(n+1)について解くと、x^2+1997x-1996-f(n-2)の根であり、
f(n+1)=(-1997­

246 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/21 22:16:11
Re:>244 すまね、手が滑った。

247 :132人目の素数さん:04/09/21 23:42:36
>>245-246
この落書きは?

248 :132人目の素数さん:04/09/22 00:13:15
>>244
勘でf(偶数)=α、f(奇数)=βの形を仮定すると
α+β=αβ-1996
(α-1)(β-1)=1997
より(α,β)=(1998,2),(2,1998)。なんとなくこんな形しかない羊羹。

249 :132人目の素数さん:04/09/22 11:47:01
神降臨待ち

250 :132人目の素数さん:04/09/23 19:05:13
f(n)+f(n+1) =f(n+2)f(n+3)-1996
f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)f(n+4)-1996
より、
f(n)-f(n+2)=f(n+3){f(n+2)-f(n+4)} …(#)
よって
f(n+2)-f(n+4) は f(n)-f(n+2) の約数である。…(*)
また、f(n+3)>0 と(#)より、2つの数列
A:f(1), f(3), f(5), f(7),...と
B:f(2), f(4), f(6), f(8),...
はそれぞれ狭義単調増加(or減少)数列または定数列である。
しかし、fの値域が自然数なので、単調減少はありえない。(マイナスになってしまう)
また、数列の第2項以降の中に 1 が含まれている場合は、
その数列はすべて 1 になる(狭義単調増加が不可能だから)。…(**)

(*)より、|f(n+4)-f(n+2)|≦|f(n+2)-f(n)|.
この式を recursive に使えば、必ず等号が成り立つ n が存在する。
その n に対して(*)式の f(n+3)=1 が成り立つ。
(**)より、A,B の少なくともどちらか一方が 1 の定数列になる。
後はそれぞれの場合について、f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996
を使って値を求めていけばよい。

(1) A が 1 の定数列の場合、f(n) の値は
1 a 1 a+1997 1 a+1997*2 1 a+1997*3 …
(2) B が 1 の定数列の場合、
b 1 b+1997 1 b+1997*2 1 b+1997*3 …

a,b は任意の自然数。

251 :132人目の素数さん:04/09/23 20:05:13
>>248>>250


252 :132人目の素数さん:04/09/25 00:05:29
f : N→N
f(x+f(y)) = f(x)+y
をみたす関数を求めよ。こやつめを たのもー (AA略)


x=y=1を代入して f(1+f(1)) = f(1)+1
a=1+f(1) は f の不動点で、条件 f : N→N より、a≧2
任意の自然数 k に対して f(ka)=ka の成立が帰納法で示せる。

ここで止まった ○| ̄|_ =3 ブッ

253 : ◆BhMath2chk :04/09/27 03:00:00
aをf(a)=aを満たす正の整数とする。
f(x+a)=f(x+f(a))=f(x)+a。
f(f(x))=f(a+f(x))−a=f(a)+x−a=x。
f(x+y)=f(x+f(f(y)))=f(x)+f(y)。
f(x)=f(1)x。
f(a)=aからf(1)=1なのでf(x)=x。


254 :132人目の素数さん:04/09/27 04:54:21
>253
3行目の f(f(x))=f(a+f(x))−a が謎々博士


255 :132人目の素数さん:04/09/27 17:09:58
昨日まで無職童貞だったけど、これは面白かった。
マジおすすめ。(なんのこっちゃ)

f : R→R
f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy)+f(x)+f(y)

256 : ◆BhMath2chk :04/09/27 23:00:00
f(x+a)=f(x)+aのxにf(x)を代入してf(f(x)+a)=f(f(x))+a。


257 :132人目の素数さん:04/09/27 23:04:47
>255
訂正。

R^(+)={x \in R | x>0}
f : R^(+)→R^(+)
f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy)+f(x)+f(y)


258 :132人目の素数さん:04/09/28 01:25:58
>256
なるほど。
ありがとうございます。

259 :132人目の素数さん:04/09/29 16:37:48
この問題を お願いしますだ。

次をみたす f は存在しないことを示せ。(1998 Bulgaria)
f : R^(+)→R^(+)
{f(x)}^2 ≧ f(x+y){f(x)+y}.


(1998 Roumania)
Find all functons g : R→R for which there exists a strictly monotonic
function f : R→R such that
  f(x+y)=f(x)g(y)+f(y),  x,y∈R.

260 :132人目の素数さん:04/09/29 21:49:26
>259の上側の問題

条件をみたす f が存在すると仮定して矛盾を導く。
与式に y=x(>0) を代入して、{f(x)}^2 ≧ f(2x){f(x)+x} > f(2x)f(x)
条件より f(x)>0 だから、f(x)>f(2x)

与式に y=f(x) を代入して {f(x)}^2 ≧ 2f(x+f(x))f(x)
f(x)>0 より、f(x) ≧ 2f(x+f(x))

これ以上 分かりません ○| ̄|_ =3 ブッ

261 :132人目の素数さん:04/09/29 22:25:49
>259の下の問題
>strictly monotonic function f : R→R
この狭義単調関数って、狭義単調増加関数か狭義単調減少関数で
定数関数は含まないんですよね?

262 :132人目の素数さん:04/09/29 22:42:04
>259の下の問題

与式に x=0 を代入して整理すると、f(0)g(y)=0

f(0)≠0 のとき g(x)≡0.
このとき与式は f(x+y)=f(y) より、f は定数関数となって条件に反する。

f(0)=0 のとき、与式に y=0 を代入して整理すると、f(x){1-g(0)}=0.
f は定数関数でないから g(0)=1.

これ以上 分かりません ○| ̄|_ =3 ブリブリッ!

263 :132人目の素数さん:04/09/29 23:42:53
     / /  .,' /  /    ,  ',  '、 ヽ  ヽ,  ヽ. ヽ,ヽ\.   ',  , '      _,,
.    / /   .i ,'  .,'    ト  ゙、 '、.  ゙、  '、  ヽ、ヽ\ヽ  i/      /
.    ,' i   .i !   !   !  ハ  .i、 ,ル--,、、  ゙、 ゙、'、、 ゙、ヾ、゙v',ノ      , '
    , .i    l l  _i、- -ト. i ',  !゙r'´ !゙, ',゙,`ヽ、i ゙,. ゙,ヽ ',. ゙,'、゙、     , '
    i. l.    !,r'".i|   'l  ,' ! ' i ,j、L_l',i ',  i. i i. ゙、.i ゙,゙、',    , '
    !. l    ', ', !', ,,,'_ト./  ! ,'  r',r''‐=-ヽ,',.  ! l l  ',l  ゙、',゙,   , '
    l  ',    ',ヾ,r''-=:-、、  '/  リ ト-イiii::バi. ,i ,i ハ  !   ',゙,i /
    ',  ゙,    ',,i ト-イiii:::ハ '     !ゞ::!r''::リ,l. ,'.! ,'.j/ ゙,',     レ!゙
     i.  ',     'l{. !ゞ::!!r''リ   、.  ヽ-==' ,'イ.,'/.メ; .i',',    !.!
    ', ./ '、   ', `‐-‐ '  ,-‐ ''',      j,'/ i. ,' ',',   .,'
     ', ゙ 、ヽ 、. ',      {    }     ,. '"   .l.,' i !  .,'   たのも〜!!
     '、'、``、゙、  ゙、.     ゙、  ノ  ,、‐'"i     !', ' ',.! /
.      ' ,ヽ, ヽヽ ヽ`' ‐- 、、,`,,´、-ヤ  ', ゙,    , '  i.!,.'
       ヽ、\ヽ\ ヽ,、ゝr'ヽ     ハ   ', ',   , '   j,'
         ヽ. ヽ`,>ト、v .!      ノ ゙,  ゙、 ', ./    /
          / l i\iヽ、,   /,、‐'   ヽy'     '
.        ./   ',. !  ゝ--`‐´''´      \

264 : ◆BhMath2chk :04/10/01 08:00:00
x,yを正の数とする。
f(x)^2≧f(x+y)(f(x)+y)≧f(x+y)f(x)で
f(x)≧f(x+y)となるのでfは減少関数。
f(x+y)≦f(x)^2/(f(x)+y)≦f(x)−y+y^2/f(x)。
n,kを0≦k<nを満たす整数として
x,yにx+ky/n,y/nを代入して
 f(x+(k+1)y/n)
≦f(x+ky/n)−y/n+y^2/n^2f(x+ky/n)
≦f(x+ky/n)−y/n+y^2/n^2f(x+y)。
kについての和をとって
f(x+y)≦f(x)−y+y^2/nf(x+y)。
n−>∞としてf(x+y)≦f(x)−y。
f(x)<yのときf(x+y)<0となるので条件を満たすfは存在しない。

f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)。
f=0のときgは任意の関数。
f≠0のときf(a)≠0となるaが存在する。
f(a+(x+y))=f((a+x)+y)を展開してg(x+y)=g(x)g(y)。
f(a)g(x)+f(x)=f(a+x)=f(x)g(a)+f(a)。
f(a)(g(x)−1)=(g(a)−1)f(x)。
g(x)−1=bf(x)。
b=0のときg=1でf(x+y)=f(x)+f(y)。
b≠0のときf(x)=(g(x)−1)/bでg(x+y)=g(x)g(y)なので
f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)を満たす。


265 : ◆BhMath2chk :04/10/01 19:00:00
f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)。
f(x)g(y)+f(y)=f(x+y)=f(y)g(x)+f(x)。
f(x)(g(y)−1)=f(y)(g(x)−1)。
f≠0,g≠1のときg(a)≠1となるaが存在する。
b=f(a)/(g(a)−1)とおくとf(x)=b(g(x)−1)でf≠0なのでb≠0。
f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)からg(x+y)=g(x)g(y)。


266 :132人目の素数さん:04/10/02 04:31:11
>264-265
どうもありがとうございます。
>264の4行目の不等式の右側の
  f^2/(f+y) ≦ f-y + y^2/f
は、どうやって作ったのですか?
確かに差をとれば y^3/{f(f+y)} > 0 となりますが…



>f(a+(x+y))=f((a+x)+y)を展開してg(x+y)=g(x)g(y)。

ここの部分に (;´Д`) ハァハァ /lァ/lァ //ア//ア!!

267 : ◆BhMath2chk :04/10/02 22:00:00
0≦wのとき
1/(1+w)=1−w+w^2−w^3/(1+w)≦1−w+w^2。
 f(x)^2/(f(x)+y)
=f(x)/(1+y/f(x))
≦f(x)(1−y/f(x)+y^2/f(x)^2)
=f(x)−y+y^2/f(x)。


268 :132人目の素数さん:04/10/03 03:33:57
>267
なるほど なるほど!
ありがとうございます。

269 :132人目の素数さん:04/10/07 21:36:54
341

270 :LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU :04/10/07 22:01:18
うんこ食べたよ

271 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/07 22:02:48
Re:>270 そんなことより、関数方程式について考えてくれ。

272 :132人目の素数さん:04/10/07 22:04:25
>>270
トリップ割れでもしてんのか?



273 :LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU :04/10/07 22:05:37
UFJ食べたよ

274 :LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw :04/10/07 22:08:44
Re:>273 訳の分からぬ言葉を使うな。

275 :LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU :04/10/07 22:17:42
UFJおいしい

276 :132人目の素数さん:04/10/13 02:45:24
277

277 :132人目の素数さん:04/10/13 07:01:16
f : Q^(+) → Q^(+)
f(1/x)=f(x)
f(x+1)=(1 + 1/x)f(x)
をみたす関数 f をお願いしまする。

278 :132人目の素数さん:04/10/13 08:40:59
条件より f(x)>0 なので、g(x)=f(x)/f(1) とおくと g(1)=1 で、
 g(1/x)=g(x)
 g(x+1)=(1 + 1/x)g(x)
をみたす。第2式を変形して g(x+1)/(x+1) = g(x)/x
これを繰り返し用いて、自然数 n に対して
 1 = g(1)/1 = g(2)/2 = … = g(n)/n
より、g(n)=n を得る。あと分かったことは、有理数 x に対して
 g({x+1}/x) = g(1/x + 1) = (x+1)*g(1/x)
ここで小一時間悩んで挫折しました。一つ目の条件式を、まだ使ってないし…。
たのも〜。

_ト ̄|○


279 : ◆BhMath2chk :04/10/13 09:00:00
a/bが既約分数のときf(a/b)=abf(1)。
証明はa+bについての数学的帰納法。


280 :132人目の素数さん:04/10/17 10:27:56
[Austrian-Polish 1994]
a,bは実定数のとき、次式をみたす関数 f : R^2 → R を求めよ。
 f(x, y) = af(x, z)+bf(y, z)

多変数のときって、難しそうなんですが…。
桑垣の本を借りてくるか…。

281 : ◆BhMath2chk :04/10/17 19:00:00
f=0は条件を満たす。
f≠0とする。
y,zにxを代入して(1−a−b)f(x,x)=0なので
a+b=1またはf(x,x)=0。
a+b=1のときyにxを代入してf(x,x)=f(x,z)なので
g(x)=f(x,x)とおくとf(x,y)=g(x)。
条件からbg(x)=bg(y)なのでb=0またはgは定数関数。
f(x,x)=0のときzにyを代入して(1−a)f(x,y)=0なのでa=1。
yにxを代入して0=(a+b)f(x,y)なのでa+b=0からb=−1。
g(x)=f(x,0)とおくとf(x,y)=f(x,0)−f(y,0)=g(x)−g(y)で
これは条件を満たす。

よって条件を満たす関数は
(1)f=0。
(2)a+b=1のときfは定数関数。
(3)a=1,b=0のときf(x,y)=g(x)。
(4)a=1,b=−1のときf(x,y)=g(x)−g(y)。


282 :132人目の素数さん:04/10/18 16:53:56
>281
なるほどなるほど、ありがとうございます。

283 :132人目の素数さん:04/10/19 15:58:23
x,y,z∈R, f(x,y)f(y,z)f(z,x)=1 の解はどうなりますか?

log|f(x,y)|=g(x,y) とおくと Sinzowの方程式をみたすから
 |f(x,y)| = e^{h(x)-h(y)}, h(x)は任意関数
ここまでは出ましたが、これ以上は出ませんか?
fが連続だとか条件がいるのでしょうか?

284 :132人目の素数さん:04/10/19 16:42:07
数を減らして x,y∈R, f(x,y)f(y,x)=1 の解は、
 |f(x,y)| = e^{h(x,y)-h(y.x)}, h(x,y)は任意関数
fが連続なら f(x,y)| = ±e^{h(x,y)-h(y.x)} でOKですか?

285 : ◆BhMath2chk :04/10/19 20:00:00
a=f(0,0)とおくとa^3=1で
f(x,x)f(x,0)f(0,x)=1=f(0,0)f(0,x)f(x,0)からf(x,x)=a。
f(x,y)f(y,x)f(x,x)=1なのでaf(x,y)=1/f(y,x)。
g(x)=f(x,0)とすると
f(x,y)=1/(f(y,0)f(0,x))=af(x,0)/f(y,0)=ag(x)/g(y)。


286 :132人目の素数さん:04/10/20 07:56:13
>285 なるほど! ありがとうございます。

284の場合だと、0にならない任意関数 g(x) を用いて f(x,y)=g(x)/g(y) と書けそうですね。
計算でどうやって出すかは分かりませんが…。

287 :132人目の素数さん:04/10/20 08:04:01
>286
そういう訳にはいかんですね。
f(x,y)のxとyが分離できるとは限らないし…。
だめぽ。

288 :132人目の素数さん:04/10/25 08:11:46
151

289 :132人目の素数さん:04/10/25 20:05:55
次の関数方程式の解はどうなるのでしょうか?

(1) f(x,z) = {f(x,y)+t(y,z)}/{1-f(x,y)f(yz)}

(2) f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y)=1

(1) はサッパリ。(2) は >285 のようにはいかないし…。
おねがいします。

290 :132人目の素数さん:04/10/25 21:28:51
>289(1)は、f(x,x)≡0, f(y,x)=-f(x,y)なので、与式は
 f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(x,y)f(y,z)f(z,x)
となることまでは分かったけど、そこまで…。

分からんプー> (:D)| ̄|_

291 :132人目の素数さん:04/10/26 17:41:50
f(x,z) = {f(x,y)+f(y,z)}/{1-f(x,y)f(y,z)} という関数の場合は
f(x,y)=tan(g(x,y)) (-π/2<g(x,y)<π/2 (2))とおいて
tan(g(x,z))=tan(g(x,y)+g(y,z))
g(x,z)=g(x,y)+g(y,z)となる。(1)

g(0,0)=g(0,y)+g(y,0)=g(0,0)+g(0,0)よりg(0,y)=-g(y,0)になるから
g(x,z)=g(x,0)+g(0,z)=g(x,0)-g(z,0)。ここでg(x,0)=h(x)とおくとg(x,z)=h(x)-h(z)
また任意のh(x)に対してg(x,z)=h(x)-h(z)は(1)を満たす。
よってf(x,y)=tan(h(x)-h(y)) h(x)は(2)を満たす任意の関数。

292 :132人目の素数さん:04/10/27 08:19:39
>291
ありがとうございます。むずい。

293 :132人目の素数さん:04/10/27 22:59:56
f, g : R →R
f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)
の解き方を教えて下さい。

294 :132人目の素数さん:04/10/28 23:59:04
       |   _,.. -‐"/ ̄/  /|  ̄ l ヽ  \~`"'ー、ノ   たのも〜♪
       ケフ" / /  ,.-'‐ ̄/ .i   .i  ̄\- \ \ヾ
      / /.l l l .// / ./  l  /    ヾ  iヽ  i.\     たのも〜♪
      ノ  | l l l Y /"¨''ヽ .i / ァ''"¨ヾ i イ゙i. リ
       `ヽ r、 丶l i`       レ       |  イ/"
         \ ヽ  ヽ """  iー'ーv'  """ /  '
          ヽ ヾ- ゝ    ._/   ./
         /''"" \Y.': ∧∧   ∧∧ソ `"ヽ、
        ,ィ"   ,.ィ."ヽ(=゚ω゚)人(゚ω゚=)ノ`丶,”、
       /" ヾ,.-"  〜(  x)、 /(x  )〜   `丶、
      / /"    \⊃U U y U U⊂/     ヽ

295 :132人目の素数さん:04/10/30 19:24:23
             | : :.:;;;;;;;::;: '".:.::.:::.::::.::::.:::::.::::::.::::.:::.:::.::.:.:. ' 、.:;;;;::.       /  わしの話題はどうした?
            i | .:.::;;;γ.:.::.:::.::::.:::::.::::::.::::::.:::::.::::.:::.:::.::.:.  \.:;:.        ,'
           Yi ::::;;;;:i .:.:::.:::::.::::::::.::::::::::.::::::::.::::::::::::::.::.:.   \     人,_
        _,,,... -‐', : ::;;;|.:.::.:::.::::.::::.::::::::::::::::::::::.::::::.::.:::.::.:.  ノ( ',    /` 、.:::.~"'''ー- .,
____,,. -‐''".:.:::.:::.:::.:.' 、,..,i:. '"' . . : .: .:::.:::.::::::::::::::::..:::::.:::..⌒  ⌒  | /^ヽ.:.:::.`、.:::::::::::.::.:.:..~"''ー 、
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::i :::i:.⌒"'ー 、., .:.:.).::.::::.::::.:.,. -‐'''"~'ヽ   ,.メ~,. ,  |:::::::::::.';:::::::::::::::::::::.:::.::.::.:.`
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;':', ::'; -‐‐--  、!.:::::."''~ --‐‐‐- 、 / :レ'⌒) :i;;:;;::;:::;:::.';:::::::::::::::::::::::::::::: : .
::::::::::::::::::::::::::::::;;:;;;;;;;;;':;:;;;', (   ●   Y⌒ヾ|  ●      )    | / ,';;;;;;;;;;;;;;:;;;;';:::::::::::::::::::::::::::: : .
::::::::::::::;:::;;:;;;;:;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;';::i 、      ノ.::.:::.('、      ノ    ノノ /,;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;',;;:;;;;::;::;:::;::::::::: : .
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;';i.:.:.~"'''ー'''".:i.:.::.::.::.:.`ー--‐‐''":.   .::. /'i;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;',;;;;;;;;;;;;;;;:::::::: : .
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;;;;;;i.:.:::.:::::.::::::.:::ノ.:.::.:::.::::::.::::::.::::.::.:.     / /.:|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;;;,;;,;, ; ,
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,'、.:.::.:::.::::.:::.'ー、ー'.:.::.:::.::::.:::.::.::.:.   ,'ー///.::::i;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,'、,;;;;;;;;;;;,;;,;, ; ,



296 :132人目の素数さん:04/10/31 19:14:04
_| ̄|○ < だめぽ

297 :132人目の素数さん:04/11/06 00:20:47
888

298 :132人目の素数さん:04/11/06 23:47:23
>>1 の連続で無い解の構成の仕方を教えて下さい。

299 :132人目の素数さん:04/11/07 00:04:37
ヒント1:
R は Q 上のベクトル空間であるので、基底を取る。
(勿論他にも色々方法はあるが)

300 :132人目の素数さん:04/11/07 00:10:31
ヒント2をきぼんぬ

301 :132人目の素数さん:04/11/07 00:24:50
ヒント2:基底の濃度はアレフ。
この事からの帰結として、一次関数 f (x) = cx 全体はアレフ個だが
>>1 を満たす関数アレフ個より多い。因って存在。
(存在だけ。構成的でない。) 以上。

302 :132人目の素数さん:04/11/07 00:48:32
>>3
に書いてあるやん

303 :132人目の素数さん:04/11/13 03:39:22
704

304 :132人目の素数さん:04/11/16 22:44:00
このスレ オワ

305 :132人目の素数さん:04/11/20 11:14:14
   ___
 ./  f(x) \
 |::::  \ ./ | 桑垣の古本
 |::::: (● (● | get しました
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

306 :132人目の素数さん:04/11/20 19:55:22
>>305
で、どうだった?

307 :132人目の素数さん:04/11/20 20:16:43
いい本ですね。
知らないことばかりで勉強になります。

308 :132人目の素数さん:04/11/26 07:51:05
では>>236の問題。桑垣の本では微分可能性を仮定して解いている。
連続性だけではどうなのだろう。
だから「難問」と書いた。

309 :132人目の素数さん:04/12/01 02:07:56
明倫館で、ボロボロの桑垣本を 2500円+送料 で買ったけど、
12月中旬に復刊ですか…。

ダメポ > (:D)| ̄|_

310 :伊丹公理:04/12/01 21:31:53
復刊?
それは買わなくては。

311 :132人目の素数さん:04/12/01 21:53:26
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★


312 :132人目の素数さん:04/12/01 22:00:26
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

313 :132人目の素数さん:04/12/01 22:06:08
誰か教えてください。マジレスで。

P(X)=X3(←3乗)-(2K+1)X2(←2条)+(3K+2)X-K-2

で、P(X)を因数分解せよ。

お願いします。

314 :132人目の素数さん:04/12/01 22:08:45
わざとわかりにくく書いているとしか思えない。

315 :132人目の素数さん:04/12/01 22:23:36
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

316 ::丹公理:04/12/03 13:37:36
★の馬鹿め

317 :132人目の素数さん:04/12/03 15:56:39
最近、変な荒らしが多いね

318 :132人目の素数さん:04/12/10 06:48:29
519

319 :132人目の素数さん:04/12/14 06:46:15
連続関数 g, h が、g(x)h(x)≡0, h(0)=0 ならば、h(x)≡0 なのですか?

320 :132人目の素数さん:04/12/14 06:48:19
ちょっと訂正。
連続関数 g, h が、g(x)h(x)≡0, h(0)=0 ならば、g(x)≡0 または h(x)≡0 なのですか?

321 :伊丹公理:04/12/15 19:29:59
>>320
違う
g (x) = (x + |x|)/2
h (x) =( -x + |x|)/2


322 :132人目の素数さん:04/12/15 22:51:35
じゃあ、


実解析関数 g, h が、g(x)h(x)≡0 ならば、g(x)≡0 または h(x)≡0 なのですか?


323 :伊丹公理:04/12/15 22:56:39
R 全体で(または開区間で)なら正しい。
(一致の定理より。)

324 :132人目の素数さん:04/12/15 23:20:23
解析関数の事をアナルと言ったら変ですか?

325 :132人目の素数さん:04/12/16 00:02:14
f(x+y)=f(x)g(y)+h(y)
f, g, h は実連続関数

これを f' の連続性を仮定せずに解けますか?

326 :132人目の素数さん:04/12/16 03:47:31
桑垣 P.97 問5 (解答なし) について教えて下さい。
〔問題〕 f(x+y)=f(x)g(y)+h(x)f(y)、 f, g, h∈C^1、 x, y∈R

与式で x=0 または y=0 を代入して整理すると
 (1-h(0))f(y) = f(0)g(y)、 (1-g(0))f(x) = f(0)h(x) … (☆)

f(0)≠0 のとき、与式は f(x+y) = {(2-g(0)-h(0))/f(0)}・f(x)f(y)
(2-g(0)-h(0))/f(0)=c、F(x)=cf(x) とおくと、F(x+y)=F(x)F(y) だから、F(x)≡0, F(x)=e^(ax)

f(0)=0 のとき、(☆)は (1-h(0))f(y)=0、 (1-g(0))f(x)=0
 f(x)≡0 のとき、g, h は任意
 f(x)\not\equiv0 のとき、h(0)=g(0)=1で、この後どうするんでしょうか?

f, g, h∈C^1 をまだ使ってないので、どっかで使うんでせうか?
よろしくおねがいしまする。

327 :BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU :04/12/16 08:34:21
線型写像をホモと言ったら変ですか?

328 :132人目の素数さん:04/12/16 08:41:38
>327
king、king なのか?
堕ちたものだな…、こんな糞レスしかしなくなるとは…

329 :132人目の素数さん:04/12/16 12:09:47
たのも〜、たのも〜。

330 :132人目の素数さん:04/12/16 12:22:49
analytic function = AF

331 :132人目の素数さん:04/12/17 18:48:58
【 函数方程式概論 】
先月、明倫館で買った古本(2850円)があるのに、
誘惑(ゆうやく)に負けて、復刊された奴(3360円)を
買い換えてしまった。中身はそのままだった…。
古本のほう、欲しい人あげるよ。

332 :132人目の素数さん:04/12/17 18:51:09
1冊は実家に置いとくか…

333 : ◆BhMath2chk :04/12/20 02:00:00
>>325
f(x+(y+z))=f((x+y)+z)を展開して
g(y+z)=g(y)g(z),h(y+z)=h(y)g(z)+h(z)。
h(x+y)=h(y+x)からh(x)=a(g(x)−1)。
f(x+y)=f(y+x)からf(x)+a=bg(x)。

>>326
f(x+y)=f(y+x)からh(x)−g(x)=af(x)。
p(x)=g(x)+(a/2)f(x)とおくとf(x+y)=f(x)p(y)+p(x)f(y)。
f((x+y)+z)=f((x+z)+y)を展開して
p(x+y)=p(x)p(y)+bf(x)f(y)。
微分可能であることを使うのなら
yで微分してy=0として微分方程式を解く。


334 :132人目の素数さん:04/12/20 03:21:22
age

335 :132人目の素数さん:04/12/20 23:25:03
>>333
ありがとうございます。
f(x+(y+z))=f((x+y)+z)を考える方法は、他の問題でも役立ちそうです。
(;´д`)ハァハァ

336 :132人目の素数さん:04/12/21 05:05:18
〔桑垣 P.99〕 では、f, h∈C^1 を仮定して
 f(x+y)=g(x)h(y)+k(x)
を解いていましたが、「f, h∈C^1」 の仮定なしでは解けないのでしょうか?

337 :132人目の素数さん:04/12/26 11:48:28
f(x+y) = f(x)g(y)+h(x)+f(y) をみたす連続関数 f, g, h の求め方をキボンヌ!!

338 :132人目の素数さん:04/12/26 13:36:35
442

339 :132人目の素数さん:04/12/28 12:15:45
>336-337 は破棄。

次の問題について教えて下さい。
f(x+y)-f(x)-f(y)=g(x)h(y) をみたす連続関数 f, g, h の求め方。

x, y を交換して、g(x)h(y)=g(y)h(x) …(1)
g≡0 なら h は任意関数、h≡0 なら g は任意関数で、このとき与式は
Cauchyの関数方程式 f(x+y)=f(x)+f(y) となるから f(x)=ax

g も h も恒等的に0でないとき、(1) は h(y)/g(y) = h(x)/g(x) となって
変数に無関係な定数であることが分かるので h(y)=cg(y) とおける。
このとき与式は、f(x+y)-f(x)-f(y)=cg(x)g(y)

このあと、どうやるのでせうか? たのも〜。

340 :132人目の素数さん:04/12/28 12:16:51
>>339
訂正。下から2行目。
このとき与式は、f(x+y)-f(x)-f(y)=(c^2)g(x)g(y)

341 :132人目の素数さん:04/12/28 12:17:31
>340の訂正は間違い。 寝ぼけてた。忘れてください

342 :132人目の素数さん:04/12/29 08:12:13
たのも

343 : ◆BhMath2chk :04/12/29 10:00:02
f((x+y)+z)=f(x+(y+z))から
(g(x+y)−g(x)−g(y))g(z)=(g(y+z)−g(y)−g(z))g(x)。
g(x)g(y)=0のときg(x+y)−g(x)−g(y)=0。
g(x)g(y)≠0のとき(g(x+y)−g(x)−g(y))/g(x)g(y)は
定数なのでg(x+y)−g(x)−g(y)=bg(x)g(y)で
これはg(x)g(y)=0のときも成り立つ。
b=0のときg(x)=axでd=a^2c/2とすると
f(x+y)−d(x+y)^2=(f(x)−dx^2)+(f(y)−dy^2)。
b≠0のときbg(x+y)+1=(bg(x)+1)(bg(y)+1)。
bg(x)+1=0のときf(x+y)+d=(f(x)+d)+(f(y)+d)。
bg(x)+1=a^xのとき
 f(x+y)−d(a^(x+y)−1)
=(f(x)−d(a^x−1))+(f(y)−d(a^y−1))。


344 :132人目の素数さん:05/01/04 14:33:21
>>343
ありがとうございます。


>>333の後半
>p(x+y)=p(x)p(y)+bf(x)f(y)

結局、f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y) をみたす連続関数 f, g を求めることになりますが、
微分可能性を仮定せずに解こうとすると、うまくいかないのですが教えて下さい。

345 :132人目の素数さん:05/01/04 15:02:05
初書き込みしてみる

346 :132人目の素数さん:05/01/04 15:06:11
>>344
レッスドって何だ?
おい!

347 :132人目の素数さん:05/01/04 15:27:35
>>346
年始早々 誤爆ですか?
(ノ∀`) アチャー

348 :132人目の素数さん:05/01/04 17:12:23
>>347
(ノ∀`) アチャー


349 : ◆BhMath2chk :05/01/04 20:00:00
fはR−>Cの連続関数でf(x+y)=f(x)f(y)を満たすとする。
f(x)=0となるxが存在するときf(y)=f(x)f(y−x)=0。
f(x)=0となるxが存在しないとき
|f(x+y)|=|f(x)||f(y)|から|f(x)|=exp(ax)。
g(x)=exp(−ax)f(x)とすると
g(x+y)=g(x)g(y),|g(x)|=1,gは連続となる。
g(0)=1でgは連続だから(−c,c)でg(x)=exp(ih(x)),
−π/2<h(x)<π/2,hは連続となるc,hが存在する。
h(x+y)=h(x)+h(y)となるのでh(x)=bx。
(−c,c)でg(x)=exp(bix)でg(nx)=g(x)^nなので
Rでg(x)=exp(bix),f(x)=exp((a+bi)x)。

>>344
q(x)=p(x)±√(b)f(x)とするとq(x+y)=q(x)q(y)。


350 : ◆BhMath2chk :05/01/06 09:00:01
>>349
f(x)=0となるxが存在しないとき
f(0)=1でfは連続だから(−c,c)でf(x)=exp(g(x)),
−π/2<Im(g(x))<π/2,gは連続となるc,gが存在する。
g(x+y)=g(x)+g(y)となるのでg(x)=ax。
(−c,c)でf(x)=exp(ax)でn∈Zのときf(nx)=f(x)^nなので
Rでf(x)=exp(ax)。

fがC−>Cの連続関数でf(x+y)=f(x)f(y)を満たすとき
f=0またはf(x+yi)=exp(ax+by)。


351 :132人目の素数さん:05/02/12 10:41:40
次をみたす f をキボンヌ。
f : R^(+) → R^(+)
f(xf(y)) = f(xy)+x

なんとなく、f(x) = x+1 だろうと予測がつくんだけど
キッチリ示すにはどうやるんでしょうか?
おねがいしまする。

352 :351:05/02/13 12:12:28
>>351
x=1を代入して、f(f(y)) = f(y)+1 より、
z=f(y) とおくと、f(z) = z+1 だから、
z=f(y) が正の実数全体をとることを言えば解決すると思うんだけど
このあとを、たのも〜 (AA略)

353 : ◆BhMath2chk :05/02/14 11:00:00
f(f(x)f(y))=f(f(x)y)+f(x)=f(xy)+y+f(x)から
f(x)−x=f(y)−yなのでf(x)−xは定数。


354 :132人目の素数さん:05/02/14 16:58:25
>>353
成程、dクス。
この問題って、f : R → R で考えても問題ないですよね?
なんで R^(+) に限定してるんでしょうね・・・
( ゚∀゚) テヘッ

355 :132人目の素数さん:05/02/19 03:00:09
345

356 :132人目の素数さん:05/02/28 02:56:35
746

357 :132人目の素数さん:05/03/10 12:26:01
998

358 :132人目の素数さん:05/03/18 22:25:32
>>293
> f, g : R →R
> f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)
> の解き方を教えて下さい。

あるcに対して g(c)=0 とすると、与式に x=y=0 を代入して f(c)=0
与式に y=c を代入して、 f(x) = -cf(x)+g(x)
与式に x=c を代入して、 f(c+g(y)) = cf(y)

なんかむりぽ…   (:D)| ̄|_

359 :132人目の素数さん:05/03/19 03:10:06
922

360 :132人目の素数さん:05/03/19 11:19:40
f(x)=ax+b
g(x)=cx+d
の形の解だけ求めると
f(x)=(c/c+1)x-c^2/(c+1)
g(x)=cx-c^2

361 :132人目の素数さん:2005/03/31(木) 18:59:00
746

362 :132人目の素数さん:2005/04/17(日) 07:32:47
345

363 :132人目の素数さん:2005/05/05(木) 06:26:22
153

364 :132人目の素数さん:2005/05/22(日) 03:10:19
304

365 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 20:54:56
超低レベルなんだけどよ

この直角双曲線の漸近線を求めてくれ
2xy-5x+y-2=0

366 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 23:03:39
2xy-5x+y-2=0
⇔2xy-y=5x+2
⇔y(2x-1)=5x+2
⇔y=(5x+2)/(2x-1)

lim[x→∞] y
=lim[x→∞] (5x+2)/(2x-1)
=lim[x→∞] 5x/(2x-1)+ 2/(2x-1)
=lim[x→∞] 5/{2(2x-1)}+5/2+2/(2x-1)
=5/2

ゆえに漸近線はx=1/2, y=5/2。

367 :132人目の素数さん:2005/06/08(水) 23:21:24
>>365
それをなんで関数方程式スレで質問したの?

368 :132人目の素数さん:2005/06/09(木) 11:23:21
質問する場所すら選べない馬鹿だからですね。

369 :132人目の素数さん:2005/06/13(月) 21:08:58
連続性を仮定しないで、
「f(x+y)=f(x)f(y)」を解けって問題なんて名前だったっけ?
あと、解答キボンヌ

370 :132人目の素数さん:2005/06/13(月) 21:34:50
√3*y(x+9)=x-88

371 :132人目の素数さん:2005/06/17(金) 09:19:30
二年。


372 :132人目の素数さん:2005/06/17(金) 12:20:21
age

373 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 17:24:30
■■■■■■■■■■■■■■■■
■                     ■  違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■                     ■  メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■                     ■
■                     ■  (その仕組みがリンク先に書いてある)
■                     ■
■                     ■  この原理を応用すると、まったく新しい
■                     ■  コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

374 :132人目の素数さん:2005/07/03(日) 18:28:31
 

375 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 06:46:05
どれどれ。

■■■■■■■■■■■■■■■■
■                     ■  違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■                     ■  メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■                     ■
■                     ■  (その仕組みがリンク先に書いてある)
■                     ■
■                     ■  この原理を応用すると、まったく新しい
■                     ■  コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

376 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 11:21:46
age

377 :132人目の素数さん:2005/07/09(土) 16:38:39
■■■■■■■■■■■■■■■■
■                     ■  違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■                     ■  メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■                     ■
■      アホかお前        ■  (その仕組みがリンク先に書いてある)
■                     ■
■                     ■  この原理を応用すると、まったく新しい
■                     ■  コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

378 :132人目の素数さん:2005/07/11(月) 06:53:33
■■■■■■■■■■■■■■■■
■                     ■  違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■                     ■  メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■                     ■
■        複素多様体       ■  (その仕組みがリンク先に書いてある)
■                     ■
■                     ■  この原理を応用すると、まったく新しい
■                     ■  コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

379 :132人目の素数さん:2005/07/13(水) 19:30:05
age

380 :132人目の素数さん:2005/07/28(木) 09:29:07
f(x)+f(x+f(x))=x

381 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 13:15:41
■■■■■■■■■■■■■■■■
■                     ■  違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■                     ■  メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■                     ■
■     カンチユーハイ        ■  (その仕組みがリンク先に書いてある)
■                     ■
■                     ■  この原理を応用すると、まったく新しい
■                     ■  コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

382 :132人目の素数さん:2005/08/01(月) 00:43:04
(1/3)π×3^2×(4-x)+π×3^2×x=(6/7){π×3^2×4-(1/3)π×3^2×(4-x)}

のxの値の求め方を教えてください。

383 :132人目の素数さん:2005/08/09(火) 23:11:46
このスレは まだ生きていますかにゃ?
次の問題を

f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y) をみたす実連続関数 f を求めよ。

>380
わからんぽよ。

384 :132人目の素数さん:2005/08/10(水) 02:16:29
>>380
どうも求まりそうにない。

385 :132人目の素数さん:2005/08/10(水) 23:08:17
age

386 :132人目の素数さん:2005/08/11(木) 03:14:24
では私も援護射撃をしておこう…

                _∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_
     デケデケ      |                         |
        ドコドコ   <  >>380>>383の模範解答まだぁ?  >
   ☆      ドムドム |_  _  _ _ _ _ _ _ _ _|
        ☆   ダダダダ! ∨  ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
  ドシャーン!  ヽ         オラオラッ!!    ♪
         =≡= ∧_∧     ☆
      ♪   / 〃(・∀・ #)    / シャンシャン
    ♪   〆  ┌\と\と.ヾ∈≡∋ゞ
         ||  γ ⌒ヽヽコ ノ  ||
         || ΣΣ  .|:::|∪〓  ||   ♪
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\

387 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 20:39:37
私も援護射撃をしておこうか…

                _∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_
     デケデケ      |                         |
        ドコドコ   <  >>380>>383の模範解答まだぁ?  >
   ☆      ドムドム |_  _  _ _ _ _ _ _ _ _|
        ☆   ダダダダ! ∨  ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
  ドシャーン!  ヽ         オラオラッ!!    ♪
         =≡= ∧_∧     ☆
      ♪   / 〃(・∀・ #)    / シャンシャン
    ♪   〆  ┌\と\と.ヾ∈≡∋ゞ
         ||  γ ⌒ヽヽコ ノ  ||
         || ΣΣ  .|:::|∪〓  ||   ♪
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\



388 :132人目の素数さん:2005/08/20(土) 21:10:32
ドッカン
          ドッカン
                  ☆ゴガギーン
        .______
.        |    |    |
     ∩∩  |     |    |  ∩∩
     | | | |  |    |    |  | | | |  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
    (  ,,)  |     |    | (・x・ )<おらっ!出てこい
   /  つ━━"....ロ|ロ   . | l   |U \___________
 〜(  /   |    |    |⊂_ |〜
   し'∪  └──┴──┘  ∪

389 :132人目の素数さん:2005/08/25(木) 18:11:13
age

390 :132人目の素数さん:2005/09/16(金) 13:12:55
実定数 a に対して f(f(x))+f(x) = 2x+a をみたす連続関数 f : R → R を求めよ。

>>380>>383 も、おながいします。

391 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 03:18:51
age

392 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 07:29:06
f(x)=cx
f(f(x)+x)+f(x)-x=0
c(c+1)x+cx-x=0

393 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 07:30:18
f(x)=cx
f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y)
c(x+y+c(xy)) = xy+c(x+y)

394 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 07:31:25
f(x)=cx
f(x+y)=f(x)+f(y)
c(x+y)=cx+cy

395 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 07:55:19
f(x+y)=f(x)+sin(y)


396 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 08:32:27
私も援護射撃をしておこうか…

                _∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_
     デケデケ      |                         |
        ドコドコ   < >>380>>383>>389の解答まだぁ? >
   ☆      ドムドム |_  _  _ _ _ _ _ _ _ _|
        ☆   ダダダダ! ∨  ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
  ドシャーン!  ヽ         オラオラッ!!    ♪
         =≡= ∧_∧     ☆
      ♪   / 〃(・∀・ #)    / シャンシャン
    ♪   〆  ┌\と\と.ヾ∈≡∋ゞ
         ||  γ ⌒ヽヽコ ノ  ||
         || ΣΣ  .|:::|∪〓  ||   ♪
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\


397 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 08:33:21
ドッカン
          ドッカン
                  ☆ゴガギーン
        .______
.        |    |    |
     ∩∩  |     |    |  ∩∩
     | | | |  |    |    |  | | | |  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
    (  ,,)  |     |    | (・x・ )<おらっ!出てこい! いつまで待たせんだよ!
   /  つ━━"....ロ|ロ   . | l   |U \__________________
 〜(  /   |    |    |⊂_ |〜
   し'∪  └──┴──┘  ∪


398 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 16:49:20
f(x)=cx
f(f(x)+x)+f(x)-x=0
c(c+1)x+cx-x=0
c^2+2c-1=0
c=(-1+/-2^.5)/2

399 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 16:50:36
f(x)=cx
f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y)
c(x+y+c(xy)) = xy+c(x+y)

c^2-1=0
c=+/-1

400 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 17:10:50
かなりレベルの低い質問だとは思いますが・・・
関数y=x^2+4x (0≦x≦a)において、定数aが次のような範囲にあるとき、この関数の最大値と最小値を求めよ。
(1)0<a≦2 (2)2<a<4 (3)a=4 (4)4<a
ていう問題なんですが、解法はわかるんですが、答え方がわかりません。
一応自力で解いてはみたんですが、↓
(1)x=2のとき最大値4, x=0のとき最小値0
(2)?
(3)x=2のとき最大値4, x=0,4のとき最小値0
(4)x=2のとき最大値4, 最小値なし

どなたか訂正お願い致しますm(_ _)m

401 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 17:20:32
y=x(x+4)>=0,miny=0,maxy=a(a+4)

402 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 17:48:16
> y=x(x+4)>=0,miny=0,maxy=a(a+4)

これは、(2)の解答なのでしょうか・・・?

403 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 17:54:27
x>=0でyは右肩上がりの>=0ですから最小は0、最大は最大のaの時です。

404 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 18:07:40
>>400-403
スレ違い。


405 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 18:16:25
>>401,403
ありがとうございました。
>>404
どうもすみませんでした・・・。ほか行きます。

406 :132人目の素数さん:2005/09/17(土) 20:45:56
マダァ-? (・∀・ )っ/凵⌒☆チンチン

407 :132人目の素数さん:2005/09/23(金) 16:28:59
いつまで待たせんだよー! おらおら、お願いします

                _∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_
     デケデケ      |                         |
        ドコドコ   < >>380>>383>>389の解答まだぁ? >
   ☆      ドムドム |_  _  _ _ _ _ _ _ _ _|
        ☆   ダダダダ! ∨  ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
  ドシャーン!  ヽ         オラオラッ!!    ♪
         =≡= ∧_∧     ☆
      ♪   / 〃(・∀・ #)    / シャンシャン
    ♪   〆  ┌\と\と.ヾ∈≡∋ゞ
         ||  γ ⌒ヽヽコ ノ  ||
         || ΣΣ  .|:::|∪〓  ||   ♪
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\

408 :132人目の素数さん:2005/09/23(金) 20:59:22
age

409 :132人目の素数さん:2005/09/29(木) 14:23:02
                _∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_
     デケデケ      |                         |
        ドコドコ   < >>380>>383>>389の解答まだぁ? >
   ☆      ドムドム |_  _  _ _ _ _ _ _ _ _|
        ☆   ダダダダ! ∨  ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
  ドシャーン!  ヽ         オラオラッ!!    ♪
         =≡= ∧_∧     ☆
      ♪   / 〃(・∀・ #)    / シャンシャン
    ♪   〆  ┌\と\と.ヾ∈≡∋ゞ
         ||  γ ⌒ヽヽコ ノ  ||
         || ΣΣ  .|:::|∪〓  ||   ♪
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\


410 :132人目の素数さん:2005/09/29(木) 14:24:16
いつまで待たせんだよー! おらおら、お願いします

                _∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_
     デケデケ      |                         |
        ドコドコ   < >>380>>383>>390の解答まだぁ? >
   ☆      ドムドム |_  _  _ _ _ _ _ _ _ _|
        ☆   ダダダダ! ∨  ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
  ドシャーン!  ヽ         オラオラッ!!    ♪
         =≡= ∧_∧     ☆
      ♪   / 〃(・∀・ #)    / シャンシャン
    ♪   〆  ┌\と\と.ヾ∈≡∋ゞ
         ||  γ ⌒ヽヽコ ノ  ||
         || ΣΣ  .|:::|∪〓  ||   ♪
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\


411 :132人目の素数さん:2005/09/30(金) 02:40:23
>>380>>383>>390 が未解決なのに、勝手に問題追加します

f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす f:R→R を求めよ。

412 :132人目の素数さん:2005/10/03(月) 16:09:35
age

413 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 17:30:40
4

414 :132人目の素数さん:2005/10/10(月) 03:13:55
                _∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧_∧__∧_∧_∧
     デケデケ      |                                   |
        ドコドコ   < >>380>>383>>390>>411の解答おねがいします >
   ☆      ドムドム |_  _  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |
        ☆   ダダダダ! ∨  ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
  ドシャーン!  ヽ         オラオラッ!!    ♪
         =≡= ∧_∧     ☆
      ♪   / 〃(・∀・ #)    / シャンシャン
    ♪   〆  ┌\と\と.ヾ∈≡∋ゞ
         ||  γ ⌒ヽヽコ ノ  ||
         || ΣΣ  .|:::|∪〓  ||   ♪
        ./|\人 _.ノノ _||_. /|\


415 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 06:53:00
age

416 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:01:03
f(x)+f(x+f(x))=x
y'+y'(1+y')=1
2y'+y'y'-1=0

417 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:11:30
f(x)+f(x+f(x))=x
g(x)=x+f(x)とおくと
g(x)-x+g(g(x))-g(x)=x
g^2(x)=2x
従って
f(x)=(-1±√2)x

418 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:27:22
>>398-399って>>380>>383の解答っぽいけど…
f(x)=cxの場合以外がないことを示せってことなんかな。

419 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:27:46
y'=-1+/-(1+1)^.5=-1+/-2^.5
y=(-1+/-2^.5)x

420 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:44:22
f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす f:R→R を求めよ。

f'(1+yf')=f'+f(y)
f'=+/-(f(y)/y)^.5
f=+/-((f(y)/y)^.5)x

421 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:47:54
f(f(x))+f(x) = 2x+a
f'f'+f'=2
f'=(-1+/-(1+8)^.5)/2=(-1+/-3)/2=1,-2
f=1x+c,-2x+c


422 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:57:05
>>420
最後の式の右辺にfが含まれてるんだけど。

>>421
aが消えてるぞ。

423 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 09:59:56
f(y)は定数ってことで無視
最初のしきにほりこんでcをaで表現するとか?

424 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 10:04:18
ここがのぼりんが出没するというスッドレかね?

425 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 10:06:30
f(y)=+/-((f(y)/y)^.5)y
からf(y)をとくとか。。

426 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 10:32:05
>>390
f(x)=px+qとおくと
f(f(x))+f(x)=(p^2+p)x+(p+2)q=2x+a
p^2+p=2, (p+2)q=a
p=1,-2
従って
f(x)=x+(a/3)
f(x)=-2x+c (a=0の場合のみ。cは任意の実定数)

427 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 10:44:33
f(f(x))+f(x) = 2x+a
x+2c+x+c=2x+3c=2x+a
c=a/3
f=x+a/3

4x+-2c+c-2x+c=2x=2x+a (a=0)


428 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 10:49:22
f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y)
f'(1+yf')=y+f'
yf'f'=y
f'=+/-1
f=+/-x+c
x+y+xy+2c=xy+x+y+c->c=0
-(x+y+-xy+2c)=xy+-(x+y+c)->c=0

429 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 11:02:57
f(x+y)=f(x)+sin(y)
f(2y)=f(y)+sin(y)
2f'=f'+cos(y)
f'=cos(y)
f=sin(y)+C
sin(2y)+C=2sin(y)+C
y=0+2npi
sin(y)=0
f(x+y)=f(x)
f(y)=f(0)=0->y=0


430 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 11:09:00
ほとんど微分で片付くのか。。。

431 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 11:18:50
>>411
> f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす f:R→R を求めよ。
x=0を代入すると
f(f(0))=f(0)
よってf(0)はfの不動点。
f(x)=ax+bとおくと、f(0)=bがfの不動点であるから
ab+b=b -> ab=0 -> a=0 or b=0
a=0の場合はf(x)≡0であることがすぐにわかる。
a≠0の場合はb=0すなわちf(x)=ax
元の方程式をこれで簡約すると
ax+(a^2)xy=ax+axy
よってa^2=a a≠0よりa=1
従ってax+bの形の解はf(x)≡0, f(x)=xの2個となる。

ところで式だけのレスしてる人の言いたいことがよくわからんのだが
誰か解説してくれないか?まさか嵐じゃないよね?

432 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 11:57:29
f(y)=+/-((f(y)/y)^.5)y
f^2=fy
f=y,f=0

433 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 12:01:31
解けてしまっているのに。。。

434 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 12:08:03
fが微分可能なら微分方程式にしてしまえばいい
2変数ならyを定数にして、とで解けばいい。
これでほとんど解けていることがこの問題のおもしろみのないところ

435 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 12:37:56
微分可能性を仮定しなくても自動的に微分可能になってしまう。
これがあの問題の面白いところ。

436 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 13:03:01
フラクタルでの関数方程式なら微分しても解けないだろう


437 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 17:23:50
微分可能としても微分して解いてるのは全部でたらめ。

438 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 17:38:20
答えが関数方程式を満たしていればいいだけじゃない

439 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 17:41:38
多項式や初等関数の関数方程式は合成微分可能だから問題ないよ

440 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 17:46:35
fがフーリエ変換なんかだったら、解の存在を証明しなきゃ


441 :132人目の素数さん:2005/10/16(日) 17:56:47
与えられた関数方程式に解が存在するかを先に証明すべきだよな。
ウエルデファインドでない微分方程式を与えるようなものだから

442 :三平×2:2005/10/19(水) 19:43:32
f(x)=((x^2-2x+1)f(x-1)+2)/x-1


443 :132人目の素数さん:2005/10/19(水) 20:46:13
フラクタルが解となる簡単な函数方程式を作ってみよ。

444 :132人目の素数さん:2005/10/19(水) 21:12:03
an=((n^2-2n+1)an-1+2)/(n-1)

445 :132人目の素数さん:2005/10/20(木) 19:48:31
age

446 :132人目の素数さん:2005/10/20(木) 20:22:00
f(f(x))=2/3f(x)


447 :132人目の素数さん:2005/10/21(金) 18:15:45
>>
f(x)=(2/3)^(1/2)x


448 :132人目の素数さん:2005/10/21(金) 18:24:06
違ひます。(高木ヴー)

449 :132人目の素数さん:2005/10/21(金) 19:37:46
見間違えた。

450 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 10:26:35
647

451 :132人目の素数さん:2005/11/26(土) 18:39:16
不等式スレ2にありますた。

Problem 3.
 Let R* be the set of non-zero real numbers.
 Find all functions f: R*→R* such that
  f(x^2 +y) = {f(x)}^2 + f(xy)/f(x).
 for all x、y∈R*, y≠-x^2.

http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf の1ページ目
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/470

R* =R-{0} らしい.

452 :132人目の素数さん:2005/11/26(土) 18:41:38
>451 のサイトにありますた。

Problem 237.
Determine (with proof) all polynomials p with real coefficients such that
  p(x)p(x+1) = p(x^2)
 holds for every real number x.

http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf の3ページ目

453 :132人目の素数さん:2005/11/27(日) 01:01:53
>444
 a_n/(n-1)! = b_n とおくと与式より
 b_(k+1) = b_k + 2/(k・k!).
 b_n = b_1 + 納k=1,n-1] 2/(k・k!)
 以下(ry

454 :132人目の素数さん:2005/11/27(日) 11:55:29
>452
 p(x) = {x(x-1)}^n, n=0,1,2,・・・
 p(x) = 0.


455 :132人目の素数さん:2005/11/29(火) 05:34:39
age

456 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 02:03:22
f:R→R、f(xf(y)) = yf(x) をもとめにょ。

457 :132人目の素数さん:2005/12/03(土) 15:43:46
>446
 f(x) = (±2/3)|x|.
 f(x) = 0.
 f(x)= (2/3)|x| (xは有理数), f(x)=-(2/3)|x| (xは代数的無理数), f(x)=0 (xは超越数).

>456
 f(x)=1/x (x≠0), f(0)=0.


458 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 14:05:22
age

459 :132人目の素数さん:2005/12/05(月) 19:18:55
>>457
どう見ても乙πです。本当にありがとうございました。

460 :132人目の素数さん:2005/12/08(木) 01:34:31
>>457
> >456
> f(x)=1/x (x≠0), f(0)=0.

これおかしくないか?
f(x)=x も条件をみたすぞ、こら!
やりなおし。
結果だけじゃなく、過程も書け! おら!!

461 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 00:43:33
742

462 :132人目の素数さん:2006/01/14(土) 19:05:15
f(n+1) > f(f(n))  をみたす f:N→N を求む。

芋1977 (ユーゴスラビア)

Nは整列集合 → Nの部分集合は最小元をもつ。

463 :132人目の素数さん:2006/01/14(土) 19:16:21
f(f(n)) = n + 2005 をみたす f:N→N は存在しない。

芋1987 (キューバ)

右辺の定数は任意の奇数でいいらしい。fは単射


464 :132人目の素数さん:2006/01/14(土) 23:22:15
>>462
f(n)=n だけ。

465 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 03:26:30
>462
fの値域Iの最小元を考える。
 n>1 に対しては f(n)>f(f(n-1))が成り立つので、f(n)は最小元でない。
 ∴ 最小元はf(1)のみ。

I-{f(1),・・・,f(k-1)}の最小元はf(k)のみ。
(略証) 帰納法による。
Iの最小限はf(1)のみ。
I-{f(1),・・・,f(m)}の最小元を考える。
n>mについては f(n)>f(f(n-1)) となるが、
f(n-1)は{f(1),・・・,f(m)}には含まれないから、f(n-1)∈I-{f(1),・・・,f(m)}.
∴ f(n)は最小元ではない。∴最小元はf(m)のみ。(終)

∴ 1≦f(1)<f(2)<……<f(n)<……       fは狭義の単調増加
∴ f(n)≧n.
あるkに対して f(k)>k と仮定すると、k+1≦f(k), f(k+1)≦f(f(k)) となり、題意に矛盾。
∴ すべてのnについて f(n)=n.

466 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 05:26:30
f(n)>f(f(n-1)) wo f(n)>f(n-1) to kantigai siteruyounisika mienai

467 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 07:53:04
>>466
dousite ro-maji de kakunoka rikai dekinai.

468 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/01/15(日) 09:47:48
f(n)>f(f(n-1)) を f(n)>f(n-1) と カンティガイ スィテルヨウニスィカ 見えない
ドウスィテ ロ・マ字 で 書くのか 理解 出来ない.
の意味が分からない.

469 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 12:26:54
外国にいるんだろ。

470 :132人目の素数さん:2006/01/15(日) 13:03:23
>>467
dousite ro-maji de kakunoka rikai dekinai.

471 :465:2006/01/15(日) 19:16:40
>>462
 shuusei,Sumaso.

I-{f(1),f(2),……,f(k-1)} の最小元は f(k) のみ。
(略証) kに関する帰納法による。
I-{f(1),・・・,f(m)}の最小元を考える。
n-1>m については f(n-1)∈I-{f(1),・・・,f(m)}.
f(m)の定義から、f(n-1) > f(m)
帰納法の仮定から、f(m)>f(m-1)>……>f(2)>f(1)≧1 より f(m)≧m
∴ f(n-1) > m.
f(f(n-1)) ∈ I-{f(1),・・・,f(m)}
∴ f(n) > f(f(n-1)) だから、f(n) は I-{f(1),・・・,f(m)} の最小元ではない。
∴ 最小元は f(m+1) のみ。(終)

472 :132人目の素数さん:2006/01/22(日) 22:55:37
age

473 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 06:42:18
695

474 :132人目の素数さん:2006/02/17(金) 20:34:05
3. 実数に対して定義され、実数値をとる関数fであって、任意の実数x,yに対して
  f(x)^2 + 2yf(x) + f(y) = f(y+f(x)).
をみたすものをすべて求めよ。

[JMO 2006年本選]

475 :132人目の素数さん:2006/02/17(金) 22:46:44
>474
f(x) = x^2 +c,
f(x) = 0.


476 :132人目の素数さん:2006/02/18(土) 07:58:35
age

477 :132人目の素数さん:2006/02/19(日) 01:40:43
>>474
fの連続性を仮定して>>475と同じ解答を出したんだけど、
結局fが連続であることは示せなかった。

478 :132人目の素数さん:2006/03/01(水) 12:33:07
あの・・増田 <nc02.wf.dion.ne.jp>
人生という道に本当に迷いそうです。人生の1+1を教えて戴けないでしょうか・・・・・
No.19586 2005/11/20 (日) 21:29

479 : ◆BhMath2chk :2006/03/01(水) 20:00:00
g(x)=f(x)−x^2とおくとg(y+f(x))=g(y)なのでf(x)はgの周期。
2yf(x)=f(y+f(x))−f(f(x))−f(y)+f(0)なので2yf(x)はgの周期。
f≠0のときf(a)≠0となるaがあるのでgは定数関数。


480 :132人目の素数さん:2006/03/19(日) 16:18:40
連続関数 f: I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y) + yf(x) ≦1 を満たすとき
∫[0,1] f(x)dx ≦ π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/271-273

481 :中川泰秀 ◆Oamxnad08k :2006/03/21(火) 14:21:46
関数積について知っている人はいますか ?

482 :482:2006/03/21(火) 18:36:23
4=8/2


483 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 14:55:06


484 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 19:01:30


485 :132人目の素数さん:2006/04/17(月) 08:28:18
1000

486 :132人目の素数さん:2006/04/23(日) 08:56:23
関数 f : R → R で
二つの恒等式
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = x*f (y) + f (x)*y
満たす物は無数にある事を示せ。
但し連続でなくても良い。

487 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 20:12:51


488 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 11:59:48
847

489 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 00:09:34
879

490 :132人目の素数さん:2006/06/17(土) 09:19:30
三年。


491 :132人目の素数さん:2006/06/17(土) 18:59:31
age

492 :132人目の素数さん:2006/06/21(水) 20:57:04
キングコング

493 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/06/22(木) 17:10:18
talk:>>492 私を呼んでないか?

494 :132人目の素数さん:2006/06/22(木) 20:18:44
キングはただの暇人なんじゃないの?
理系大学院卒のニートとかじゃねーの?

495 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/06/23(金) 22:51:49
talk:>>494 何やってんだよ?

496 :132人目の素数さん:2006/06/24(土) 01:17:01
だまれ、ニート!

497 :132人目の素数さん:2006/06/24(土) 07:45:35
      _____
     /∧_∧ \
   ./  < ・∀・)、 `、
  / /\ \つ  つ、ヽ
  | |  ,\ \ ノ  | |
  ヽヽ  レ \ \フ / /
   \[ king禁止 ]' /
    ヽ、 ____,, /
       ||
       ||

498 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/06/24(土) 20:04:09
talk:>>497 私を呼んでないか?

499 :132人目の素数さん:2006/06/24(土) 20:16:27
円(X−2)^2+y^2=9接線のうち、点(6、3)を通るものはy=3と
□x−□y−□=0である。

□内の数字を!

500 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/24(土) 22:09:24
talk:>>499 それを関数方程式で解く方法があるのか?

501 :132人目の素数さん:2006/06/25(日) 08:04:29
king氏ね関数の関数方程式は難しい。

502 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/25(日) 22:58:32
talk:>>501 お前に何が分かるというのか?

503 :KingOfUniverse ◆W16ghca5nc :2006/06/25(日) 23:02:34
>>502
お前誰だよ

504 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/26(月) 20:41:10
talk:>>503 お前誰だよ?

505 :132人目の素数さん:2006/06/27(火) 09:17:10
.       ∧_∧  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
       (;´Д`)< スンマセン、直ぐに片付けます
  -=≡  /    ヽ  \_______
.      /| |   |. |
 -=≡ /. \ヽ/\\_
    /    ヽ⌒)==ヽ_)= ∧_∧
-=   / /⌒\.\ ||  ||  (´・ω・`)
  / /    > ) ||   || ( つ旦Oking
 / /     / /_||_ || と_)_) _.
 し'     (_つ ̄(_)) ̄ (.)) ̄ (_)) ̄(.))

506 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/27(火) 18:29:18
talk:>>505 何考えてんだよ?

507 :132人目の素数さん:2006/06/28(水) 06:45:46
f:R^2→Nで
∀x,y,t f(x,t)=f(t,y)→x=y=t
を満たすfは存在するか?

508 :132人目の素数さん:2006/06/28(水) 09:09:30
キングコングの歌

ウッホ ウホウホ ウッホッホ ウッホ ウホウホ ウッホッホ
大きな山をひとまたぎ キングコングがやってくる
こわくなんかないんだよ キングコングは友達さ
火山も 津波も 恐竜も キングコングにゃかなわない
戦えキングコング ぼくらの王者

ウッホ ウホウホ ウッホッホ ウッホ ウホウホ ウッホッホ
頭を雲の上に出し キングコングがやってくる
逃げなくっていいんだよ キングコングは友達さ
嵐も 地震も 怪獣も キングコングにゃかなわない
戦えキングコング 世界の王者

509 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/28(水) 18:46:35
talk:>>508 私を呼んでないか?

510 :132人目の素数さん:2006/06/28(水) 22:11:03
kingの顔

   /  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ⌒ヽ   
  /       /i \   ヽ  
  | | /////.∧ | | | | ∧ |\、   
  | | |-| |〔 ==・.〕--〔==・〕--ヽ  
  | .|| || ゛`ー'(、●^●,)ー'゛ ヽ
  |  | || *  ノトェェイヽ  ・  l
  .|  | ||::::  ノ ヽ`ー'ノ ヽ :::: /   
 | i ゝ:::::::::::     '⌒ヽ :::: ノ   
//∧| \__ '、__,ノ_/

511 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/29(木) 06:16:39
talk:>510 何考えてんだよ?

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

512 :132人目の素数さん:2006/06/29(木) 06:17:26
>>507
f:R^2→Nに対し{(x,y)∈R^2|f(x,y)=n}をU_nで表す。
U_0={(x,x)∈R^2}として、R^2のU_0以外の部分は{(x,y)|a<x<b and c<y<d and (b<c or d<a)}
という形の領域×可算個で被覆出来る。これをU_1,U_2,…とすればfは条件を満たす。

513 :132人目の素数さん:2006/06/29(木) 18:52:10
(   ゚)ム
(  ゚д)シ
( ゚д゚)k
( ゚д゚ )i
(゚д゚ )n
(д゚  )g
(゚   )氏
(   )ね

514 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/29(木) 21:39:39
talk:>>513 お前に何が分かるというのか?

515 :132人目の素数さん:2006/06/30(金) 15:30:34
Kingがオナニー中毒であることが分かる。

516 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/06/30(金) 18:08:25
talk:>>514 それより、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

517 :132人目の素数さん:2006/06/30(金) 20:09:29
kingの脳解析に関してkingはどのような意見を持っていますか?

518 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/07/01(土) 07:33:26
talk:>>517 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

519 :132人目の素数さん:2006/07/05(水) 07:58:01
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1151159011/985
f:R^2→Rは連続、
f( (x^2 + y^2)/2 ) = ( f(x)^2 + f(y)^2 )/2

これ結構面白そうだけどどうでしょ

520 : ◆FfUnDlFjRw :2006/07/05(水) 19:30:54
>>519
どうして、R^2→Rになるんですか?

僕が質問したかったのはR→Rですよ。
まぁ、R^2でもいいのかもしれませんが、x^2って普通だったらxがベクトルでも内積になるんで、式がおかしくなりませんか?

521 : ◆FfUnDlFjRw :2006/07/05(水) 19:36:47
あと、補足ですが
この問題は分からない問題スレに質問している問題です。

私は>>519なので、マルチスレッドではないと思うのですが
こういう場合、どうなるんでしょうか?

522 : ◆FfUnDlFjRw :2006/07/05(水) 19:45:51
誤> 私は>>519なので
正> 私は>>519ではないので、


orz

523 : ◆BhMath2chk :2006/07/05(水) 20:00:00
x=yとしてf(x^2)=f(x)^2。
f((x^2+y^2)/2)=(f(x^2)+f(y^2))/2なので
0≦x,0≦yのときf((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2。
fは連続なので0≦xのときf(x)=ax+b。
f(x^2)=f(x)^2から(a,b)=(0,0),(0,1),(1,0)。
f(−x)^2=f(x)^2でfは連続だからf(x)=0,1,x,|x|。


524 : ◆FfUnDlFjRw :2006/07/05(水) 20:55:15
どうも、ありがとうございます。

525 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 16:46:28
831

526 :132人目の素数さん:2006/08/04(金) 21:44:48
問題5.
P(x)を次数n (n>1) の整数係数多項式とし, kを正整数とする. このとき,
Q(x)=P(P(…P(P(x))…))を考える. ただし, Pはk回現れている.
 Q(t)=t をみたす整数t は高々n個であることを示せ.

IMO-47
http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/imo47q.html

527 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 11:48:31
age

528 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 23:11:00


529 :132人目の素数さん:2006/10/07(土) 09:32:58
>>526
P(x) = x^2 のとき既に違うんだが。

530 :132人目の素数さん:2006/10/07(土) 23:30:34
0と1だけだから高々2個でおkなような

531 :132人目の素数さん:2006/10/28(土) 09:46:33
分かスレ262から

648 :132人目の素数さん :2006/10/28(土) 04:06:29
f(x+1)f´(x+1) - f(x+1)f´(x) - f´(x+1)f(x) = 0
で f(1)=1 の時、f(x)を求めよ


649 :132人目の素数さん :2006/10/28(土) 04:08:17
 ↑でfは実関数です

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161364328/l648-650

532 :132人目の素数さん:2006/10/28(土) 09:47:58
>531

650 :132人目の素数さん :2006/10/28(土) 06:47:01
 xで積分すると,
 (1/2){f(x+1)}^2 - f(x+1)f(x) = c/2,
 f(x) = (1/2){ f(x+1) − c/f(x+1) }.
 c<0 のとき f(x) = ±c'・coth(a/(2^x)),
 c=0 のとき f(x) = b・(2^x),
 c>0 のとき f(x) = ±c'・cot(θ/(2^x)).
 c' = √|c|.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161364328/648-650

533 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 02:21:17
996

534 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 15:57:32
f:R->R

f(f(x))=-x

535 :132人目の素数さん:2007/01/01(月) 17:01:38
>>534
正の実数全体をペア {x, y} の族に分ける。
f (0)= 0, ペア {x, y}, x < y に対し、
f (x) = y, f (y) = -x, f (-x) = -y, f (-y) = x と置けば一丁上がり。

536 :132人目の素数さん:2007/01/23(火) 20:53:14
age

537 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 17:33:42
836

538 :132人目の素数さん:2007/02/12(月) 07:30:09
f(x) + f(y) ≦ f(x+y)/2
( f(x)/x ) + ( f(y)/y ) ≧ f(x+y)/(x+y)
を満たすf : { x∈R : x>0 } → Rを全て求めよ。連続性は仮定しない。

539 :132人目の素数さん:2007/02/15(木) 20:22:33
>>538
f(x)=cx^2(c≦0)だけ

証明は、g(x)=f(x)/xとおいて、不等式から
g(2x)=2g(x)であることと、gが単調減少な関数に成ることを示す。
それから、x=a+h y=a-h とおいて評価、x=a/2 y=(x/2)+h とおいて評価
の組合せでgの連続性が従う
最後に、2進展開みたいなことをやると、∀x,yに対し g(x)≦(x/y)g(y)
が導かれる。x、yを入れ替えると、g(x)=(x/y)g(y)が出てくる
y=1とおいてf(x)=g(1)x^2を得る。g(1)≦0である。


540 :132人目の素数さん:2007/02/15(木) 20:23:34

訂正
y=(x/2)+h とおいて評価→y=(a/2)+h とおいて評価

129 KB
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

★スマホ版★ 掲示板に戻る 全部 前100 次100 最新50

read.cgi ver 05.04.00 2017/10/04 Walang Kapalit ★
FOX ★ DSO(Dynamic Shared Object)