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面積最大の三角形

1 :某高校生:03/01/02 01:04
”三辺和が等しい三角形で面積最大のものは正三角形である”
の簡単な証明、ありますか?(出来れば高校レベルで)

簡単なようでこれがなかなか難しくって
とりあえずの証明は出来たけど、議論も曖昧だし、計算の手間もすごかった・・・


2 :132人目の素数さん:03/01/02 01:06
”三辺和が等しい
意味不明


3 :132人目の素数さん:03/01/02 01:09
ヘロンの公式使って

まず
三辺の和と一辺の長さを固定したとき二等辺三角形が一番大きい
次に二等辺三角形より正三角形のほうが大きい
でだめ?

まあ、スレを一つ使うといろいろ問題あるから、質問スレ使ったほうがいいね。

4 :某高校生:03/01/02 01:11
スイマセン

”三辺和が一定”の方が正確ですね。
(”三辺和が等しい三角形の集合”を意識したら曖昧な記述に・・・)

5 :某高校生:03/01/02 01:14
>>3
自分もそれに似た感じでやったんですが(数式混ぜて)それで十分なんですかねぇ
よく分からなくて・・・

6 :132人目の素数さん:03/01/02 01:16
直感的にただしいので
示された

7 :某高校生:03/01/02 01:19
>>6
直感的!

そうだ、数学はセンスだ〜!・・・ってわけにもいかないし・・・


8 :132人目の素数さん:03/01/02 01:21
なんか
アレクシの初等幾何は美しいって本にのってそうな
問題だな
戸田は理V5年生

9 :132人目の素数さん:03/01/02 01:26
√1/2(s-a)(s-b)(s-c)
の極大値を求める
さらにAについての関数と見て最大を求め
BについてCについてとやっていくと
最大値が求まる


10 :132人目の素数さん:03/01/02 01:28
√1/2s(s-a)(s-b)(s-c)
の極大値を求める
無理か
4次式だもんな

11 :132人目の素数さん:03/01/02 01:29
A(0,0)B(1,0)C(p,q)として
三辺の和が等しい条件でCの軌跡を求めてたら
出来そうじゃない

12 :132人目の素数さん:03/01/02 01:29
3辺の長さをa+b,b+c,c+aと置いてみたらどうだろう...
とか思った。

13 :132人目の素数さん:03/01/02 01:33
p^2+q^2=p^2-2p+1+q^2=1
p=1/2
q=(±√3)/2

14 :132人目の素数さん:03/01/02 01:34
正三角形しか存在しない条件つくって同寸の

15 :132人目の素数さん:03/01/02 01:35
ごめん 3辺の 和 がひとしいね

16 :某高校生:03/01/02 01:37
>>9
ヘロンの公式ですよね(でも、形あってます?)。それも考えてみました。
最後の”Cについて”というのは三辺和が一定なのでCがΑとBの2変数関数で、だから面積はΑとBの2変数関数なのですが、その極大値を求める計算は骨が折れませんか?
それともこれくらいなら普通の計算の類に入るのかなぁ・・・?

17 :漏れも工房:03/01/02 01:40
3辺の長さがa+b,b+c,c+aかつa+b+c=1の三角形で全ての形を尽くせませんか?
もしそれが可能なら、ヘロンの公式が三平方の定理で一発なんですが。

18 :俺も工房2:03/01/02 01:50
楕円の方程式OK?

19 :某高校生:03/01/02 01:59
>>18
楕円の方程式なら大丈夫です(楕円方程式(?)とかいうのは知りませんが・・・)

20 :某高校生:03/01/02 02:06
>>17
三辺和が2の三角形ならどんな三角形を与えられても3つの方程式が立ち、かつ3変数なのでただ1組のa,b,cが定まるので、すべての形を尽くしていると思います。
これならヘロンの公式で一発というのは?

21 :漏れも工房:03/01/02 02:15
>>20
ヘロンの公式に代入してみて。
例えば、さっきの設定でa+b+c=1とすると、
ヘロンの公式はS=1/4√s(s-2c)(s-2b)(s-2a)
だから、a→a+b、b→b+c、c→c+a
とやると、上手いこと文字が消えて相加相乗平均に...

22 :某高校生:03/01/02 02:43
>>21
上のヘロンの公式に入れてみました。(s=a+b+cというのが普通とちがっていて(普通はs=(a+b+c)/2,S=√s(s-a)(s-b)(s-c))少し混乱・・・)
確かにS=√abcとなりましたけど、相加相乗平均は(a1*a2*…*an)^(1/n)≦(a1+a2+…+an)/nが公式では?
(例えば√abc≦(a+b+c)/3は成立ちません 反例:a=b=c=2)

23 :132人目の素数さん:03/01/02 02:55
>>22
おれ>>21じゃないんだが・・・ちょっとみてられないので
三角形の面積S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) (s=(a+b+c)/2)
それで相加相乗平均の関係式から得られる式
(s-a)(s-b)(s-c)≦(((s-a)+(s-b)+(s-c))/3)^3=s^3/27
(等号はa=b=cのとき)
を上に入れる。

24 :132人目の素数さん:03/01/02 02:56
しまった。やっぱり書きこまないほうがよかった・・・もりあがってたのに・・・

25 :ダイダバッバ:03/01/02 03:04
馬鹿の見本市がおわってすっきりして
いいじゃないですか

26 :KARL ◆.PgjHKPQSQ :03/01/02 03:06
2s=a+b+c
とおく。
{(s-a)+(s-b)+(s-c)}/3≧{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3) (相加平均≧相乗平均)
だから
(3s-2s)/3≧{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3)
∴ (s-a)(s-b)(s-c)≦s^3/27
∴ s(s-a)(s-b)(s-c)≦s^4/27
∴ {s(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/2)≦s^2/(3√3)
ヘロンの公式により左辺は3角形の面積。等号はa=b=cの時成り立ちます。


27 :某高校生:03/01/02 03:17
>>23
おぉ、こんな素晴らしい証明があったとは・・・!(もしかして常識ですか?)
確かにS≦(√3)s^2/9 (ただし、s=(a+b+c)/2、等号成立はa=b=cに限る)となり、正三角形の時面積最大、しかもa=b=cのときs=3a/2だから、これを代入するとS≦(√3)a^2/4となり、右辺は確かに正三角形の面積だから、等号が意味を持つ!

どうもありがとうございました。
今夜はいい夢が見られそうです。

28 :132人目の素数さん:03/01/02 04:27
ある一辺を固定すると他の2辺の和は一定であり、この条件のもとで面積
を最大にするためには2辺の位置をずらして二等辺三角形にする必要があ
る。一般に三辺和が一定の三角形の中には面積が最大の三角形は必ず存在
するが、この三角形の場合は上記のずらしが必要のない三角形である。
従って、それは正三角形以外にない。

29 :132人目の素数さん:03/01/02 04:52
>>28
すごーい。

30 :132人目の素数さん:03/01/02 04:55
>>28
底辺が同じで、面積最大は、高さ最大で、この場合それは二等辺三角形ですからね。
ううん、なるほど。

31 :132人目の素数さん:03/01/02 06:44
> 一般に三辺和が一定の三角形の中には面積が最大の三角形は必ず存在するが

どうして?

32 :132人目の素数さん:03/01/02 07:45
三辺和が一定つまり有限ならば、面積は高々有限

33 :某高校生:03/01/02 17:49
一晩寝て思ったんですが・・・

次の推論ってどこが間違ってますか?

2s=a+b+cとおく
s(s-a)(s-b)(s-c)≦((s+(s-a)+(s-b)+(s-c))/4)^4=(s/2)^4 (等号成立はa=b=c=0のときに限る)
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))≦(s/2)^2=s^2/4
ここで等号が成立するときa=b=c=0,2s=a+b+cより、s=0
したがって
S≦0 ?

どっか計算ミスでもしてるのかなぁ?
わかりません

34 :132人目の素数さん:03/01/02 18:01
>>33
sが変数であることを考慮していない。

キミのは左辺のsを変数にして、右辺の変数を定数にしているからそうなる。
実際にはsは動くので、S<(s^2/4)のS−sグラフを書いて見ればわかる。

しかも、s>0,S>0(第一象限内)であることを先に言っておいたほうが良い。


35 :某高校生:03/01/02 18:43
>>34
sは定数です(三辺和が一定)

それと、>>26あたりの推論(この推論はおそろく正しいと考えられます)との違いが分かると嬉しいのですが・・・

36 :132人目の素数さん:03/01/02 18:48
>>33
a=b=c=0ってことは、
等号が成立しないとき、長さが負の辺が有ることに...

37 :132人目の素数さん:03/01/02 18:54
>>35
漏れが言いたいのは、右辺のsを0に固定するなってこと。
定数でも、sが0であるとはかぎらない。(むしろ、sは0より大きい。)
しかも、Sはsに対する関数であると言えるので、sの値によっては0<S<s^2/4
となるsは存在する。(0より大きい場合はすべて当てはまる。)


38 :132人目の素数さん:03/01/02 19:00
>>28-32
面積が有限でも最大の三角形が存在するとは限らないような気が…
例えば三辺の長さをa,b,cとしてa+b+c<1の場合とか。

39 :132人目の素数さん:03/01/02 19:03
>>35
等号が成立するときが最大とは限らない。
なぜなら、不等号の右辺はsの値によって変動するからだ。


40 :某高校生:03/01/02 19:05
>>37
Sはsの関数ではありません。a,b,cのうち2つを自由変数とする関数です。
なので、相加相乗平均で出てくるのはあくまでもSのとりうる範囲です。
>>26の推論ではSは正三角形の面積が最大でそれ以上の面積をとりえないことが示されますが、>>33の推論ではSのとりうる範囲が0のみとなってしまいます。
なのであきらかに>>33の推論はおかしいわけですが、どこがおかしいのかが指摘出来ないと同じアルゴリズム(にみえる)の>>26の推論は偶然答えがあっただけで正しいとは言えなくなってしまいます。

41 :132人目の素数さん:03/01/02 19:09
>>35
この問題大学受験時代エナの奥田猛先生という方が
α3でだしたのと同一ですな。
先生の解法は、相加相乗などは使わず、
はみ出し削り論法みたいなやつで
エレガントに解かれて感動した覚えがる。

42 :某高校生:03/01/02 19:12
>>41
はみ出し削り論法?
し、知りたい・・・!

43 :某高校生:03/01/02 19:21
>>39
確かに等号を抜かして考えてやれば
S≦s^2/3√3<s^2/4で矛盾はなくなりますね

あ、a=b=c=0というのが成立たないのか
2s=a+b+cで、sは定数だからaとbが決まったら自動的にcが決まり、a=b=c=0というのはありえない
つまり等号は成立たない、と
これを言いたかったのかなぁ、>>34、>>37は

44 :132人目の素数さん:03/01/02 19:24
>>43
つーか
>>28の証明で十分では?


45 :132人目の素数さん:03/01/02 19:24
>>33,40
>a,b,cのうち2つを自由変数とする関数です。
これ違うだろ。s=a+b+cで定義されて、sを一定にするなら、
答えの中にもsは残るはずだ。というか、「定数」といわれてる限り
その値に「0」とかを代入することは許されない。
代入して文字を消せるのは、変数だけだと思うのですが・・・

つまり、2=a+b+cと決めていたものにa=b=c=0のときに最小を取るからといって、
2=0を代入するのと一緒のことをやっている。ここに矛盾があると思うぞ。

だからsを消していない>>26が正解ということになる。


46 :132人目の素数さん:03/01/02 19:31
>>33-37
なんか論点がずれてるね・・・sの値に関係せずにつねにa=b=cであるときが
面積の最大であることを言えば終わりなのに。


47 :某高校生:03/01/02 19:34
>>44
ある一辺を固定してやれば面積最大の三角形は2等辺三角形、すべての辺について2等辺三角形であればこれ以上面積の大きい三角形は作れない、したがって正三角形が面積最大、ということですよね。
自分も最初に思い付いたのはそれですが証明というには曖昧かなぁ、と思ったんですが、やっぱりそれで十分なんでしょうか?

48 :某高校生:03/01/02 19:37
>>45
>つまり、2=a+b+cと決めていたものにa=b=c=0のときに最小を取るからといって、
2=0を代入するのと一緒のことをやっている。ここに矛盾があると思うぞ。
そうみたいですね(>>43に書きました)

49 :132人目の素数さん:03/01/02 19:37
>>28
すこし曖昧のような・・・

>ある一辺を固定すると他の2辺の和は一定であり、この条件のもとで面積
を最大にするためには2辺の位置をずらして二等辺三角形にする必要があ
る。

>一般に三辺和が一定の三角形の中には面積が最大の三角形は必ず存在
するが、この三角形の場合は上記のずらしが必要のない三角形である。

この2点は一応数式を用いて証明したほうが無難と思ふ。


50 :132人目の素数さん:03/01/02 23:23
まだつづいてたのか・・・あげるとウザイといわれるかもしれんのでサゲで。
>>28の書き方だと>>49のいうようにあいまい。>>28でしめされているのは
“もし面積が最大となるものが存在すればそれは正三角形しかない”
ということである三角形のなす集合XをとるときXのなかに面積のものがあるとは
(面積有限のあつまりだとしても)最大があるとはかぎらない。したがって
面積最大のものがあることを別にきちんと証明しておく必要がある。このことを
高校数学の範囲で理解するのは難しいので式でしめしておいたほうが無難。

51 :132人目の素数さん:03/01/02 23:56
>>50
あら日本語めためた。校正しすぎでめためたんなった。
ということで、ある三角形のなす集合XをとるときXのなかに
面積最大のものがあるとは(面積有限のあつまりだとしても)かぎらない。
に訂正。

52 :132人目の素数さん:03/01/03 02:18
3辺和が一定の三角形の面積は2辺のそれぞれの長さの連続関数として表される。
しかも、これら辺の長さは閉区間を動くから、最大値が少なくともひとつ存在す
る。(ワイヤシュトラウスの定理)

53 :132人目の素数さん:03/01/03 05:37
>>52
>>28の詳解ですね。

3辺和=a は定数だから、0<底辺<a 。
この底辺のそれぞれの値に対して、a-底辺 として表される、2辺和の値が
存在する。
底辺が決まっていれば、あとは高さが決まればいい。
紐でも張ってみればわかるけれど、それが二等辺だと。

54 :132人目の素数さん:03/01/03 15:12
ヘロンの式の微分はどうかな

55 :132人目の素数さん:03/01/03 19:15
>>54
S^2=1/4{s(s-a)(s-b)(s-c)}
但し、s=(a+b+c)/2=一定。
これより、c=2s-a-b。
ここで、0<a<s,0<b<sとしてbを固定、aのみ微分。
dS^2/da=1/4{s(s-a)'(s-b)(a+b-s)+s(s-a)(s-b)(s-c)'}
dS^2/da=1/4{-s(s-b)(a+b-s)+s(s-a)(s-b)}
dS^2/da=1/4{s(s-a)(2s-2a-b)}
これより、三角形はa=(s-b/2)で最大をもつ。
つづいて、a=(s-b/2)のとき、bについて微分すると、
dS^2/db=1/4{s(b^2/4)'(s-b)+s(b^2/4)(s-b)'}
dS^2/db=1/4{s(b/2)(s-b)-s(b^2/4)}
dS^2/db=1/4{s(b/2)(s-3/2b)}
よって、b=2s/3で最大をもつ。

以上より、a=s-s/3=2s/3,b=2s/3,c=2s/3のとき最大をもつので、
a=b=cのとき、つまり正三角形のときが最大。


56 :132人目の素数さん:03/01/03 19:33
ごめん。関係ないけど歌丸さん危篤。
http://tv3.2ch.net/test/read.cgi/geinin/1041566708/7

57 :132人目の素数さん:03/01/03 21:14
  ヽ、.三 ミニ、_ ___ _,. ‐'´//-─=====-、ヾ       /ヽ
        ,.‐'´ `''‐- 、._ヽ   /.i ∠,. -─;==:- 、ゝ‐;----// ヾ.、
       [ |、!  /' ̄r'bゝ}二. {`´ '´__ (_Y_),. |.r-'‐┬‐l l⌒ | }
        ゙l |`} ..:ヽ--゙‐´リ ̄ヽd、 ''''   ̄ ̄  |l   !ニ! !⌒ //
.         i.! l .:::::     ソ;;:..  ヽ、._     _,ノ'     ゞ)ノ./
         ` ー==--‐'´(__,.   ..、  ̄ ̄ ̄      i/‐'/
          i       .:::ト、  ̄ ´            l、_/::|
          !                           |:    |
             ヽ     ー‐==:ニニニ⊃          !::   ト、
おれたちはとんでもない思い違いをしていたようだ。これを見てみろ。
まず「面積最大の三角形」を英字で表記する
『MENSEKISAIDAINOSANKAKKEI』
これを逆にすると、
『IEKKAKNASONIADIASIKESNEM』
そしてこれを更に日本語に直すと
『いえっかくなそにあでぃあしけすねむ』
形の綺麗な三角形が正三角形と言う事を考えれば末尾に『せいさんかっけい』を加えるのが当然だ。
すると導き出される解は
『いえっかくなそにあでぃあしけすねむせいさんかっけい』
そして最後の仕上げに意味不明な文字『いえっかくなそにあでぃあしけすねむ』
これはノイズと考えられるので削除し残りの文字を取り出す。
するとできあがる言葉は・・・・・・『せいさんかっけい』。

つまり!『面積最大の三角形』とは『正三角形』を表す言葉だったのだ!!

58 :132人目の素数さん:03/01/03 21:44
>>57
あほ

59 :132人目の素数さん:03/01/04 12:40
>>58
こういうネタ初めて見たら笑える

60 :132人目の素数さん:03/01/04 12:41
   ,.´ / Vヽヽ
    ! i iノノリ)) 〉
    i l l.´ヮ`ノリ <先生!こんなのがありました!
    l く/_只ヽ    
  | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|
http://muryou.gasuki.com/saitama/

61 :132人目の素数さん:03/01/04 12:45
>>60
なんで融資?
禿げしくスレちかい。

62 :132人目の素数さん:03/01/04 14:09
全体的にワラタ

63 :132人目の素数さん:03/01/04 16:07
98

64 :山崎渉:03/01/11 12:20
(^^)

65 :132人目の素数さん:03/01/18 22:38


66 :132人目の素数さん:03/01/20 11:19


67 :132人目の素数さん:03/02/07 16:59
ほしゅったらあげろ!

68 :132人目の素数さん:03/02/07 17:09
神秘ですね

69 :132人目の素数さん:03/02/09 15:56
不定係数法を使えばいいんじゃん?

70 :132人目の素数さん:03/03/05 04:36
四面体のうちで、周囲の面積が一定のものの中で、体積が最大のものは
正四面体になるか?

71 :Smallqman:03/03/07 15:19
>> 70
これは体積が一定の四面体のうちで表面積が最小のものは正四面体になるか?と同値でござる。
まず、表面積最小の四面体があることを認めてほしいでござる。
まず、四面体の1面を固定して残り一点を体積を変えずに動かすことを考えるでござる。
その一点から面に垂線をおろしたときの垂線の足が三角形の内心にくるとき、表面積が最小になるでござる。
次に、向かい合う面と頂点の組4つ全てについて頂点から垂線をおろした時の
垂線の足が三角形の内心にくるのは正四面体しかないことを確かめればいいでござる。

72 :132人目の素数さん:03/03/07 20:31
この問題の証明はもう出来てるの?
俺答え分かったからうpしてもいいけど、もう出てるなら面倒くさいからしない。

73 :72:03/03/07 20:46
というか、こんな問題も解けないで数学やってるの?はぁ?って感じ。

74 :132人目の素数さん:03/03/07 22:32
>72
せっかくだからうpしときなよ

75 :132人目の素数さん:03/03/08 00:42
五年以上前に>>28を思いつきかけたが間違っていると思い込んでいた。
正しいということに今日気付いた。
ちなみに当時>>21と同じ方法を思いついて一人で悦に入ってました。

76 :132人目の素数さん:03/03/08 01:20
この手の問題で最も大変なのは「何々を最大にする図形の存在」を示すことで、
それさえ言えればあとは楽。(あとは>>28のように必要条件で絞り込んでいけばよい)

肝心な部分を示さず(示す必要性すら理解できずに)楽な部分だけやって
解けたつもりになる人が多いのが問題ではあるが。

77 :72:03/03/08 05:10
>>74
>>28と同じでした。
>>28が一番自然だと思います。

78 :132人目の素数さん:03/03/08 10:17
ヘロン乃式やらずに出来るか学校で確かめてくる

79 :132人目の素数さん:03/03/08 11:12
「面積最大の三角形があればそれは正三角形に限られる」
ことしか言えてないのにこの問題が解けたと思う人は
分配法則から(-1)*(-1)=1を導いて
(-1)*(-1)=1が証明できたと思う人や
三角関数を単位円の座標で定義した後に
オイラーの公式を使って加法定理を証明しようとする人と同類。
何を前提として何が示されたかというロジックに気を使わず、
とにかく式変形らしきものがあれば証明になると思っているのだろうな。

80 :132人目の素数さん:03/03/08 11:18
>>79
このスレにそんなひとがいるの?

81 :132人目の素数さん:03/03/08 11:26
>>80
>>28が何の説明も無しに「最大の三角形は必ず存在するが」と言いきるところとか。
>>38>>49のように問題点を指摘している人もいるにはいるが、
指摘内容を理解せず>>28で良いと思っている人が多いように見える。

82 :80:03/03/08 12:07
存在は>>52にあるような理由で明らかだと思っていたが
そういえば一応位相空間論の知識を使ってるのか。
いわれてみればそうかもしれない。

83 :132人目の素数さん:03/03/08 12:35
間接的に存在を示すには「コンパクト集合上の実数値連続関数には最大値が存在する」
を援用するしかないと思うが、これもきちんとやろうとすればいろいろ説明が要るよ。
「三辺和s(一定値)の三角形全体の成す集合M」をどういう位相空間(の部分空間)と考えるか。
合同変換群で移り合う三角形を同一とみなすかとか、人によってMの実現方法は
様々だろうから、具体的に実現方法を言って置かないといけない。
また、通常の意味での三角形(長さ0の辺を持たない)だけで考えると
多分Mは閉集合にならず、(ある位相空間内での)Mの閉包がコンパクトに
なるだけだから、その場合はMの境界で面積最大とならないことも言わないといけない。

大学生で学部レベルの数学についていけてる人にとっては
以上のようなことをちゃんと記述するのもそれほど難しいことではないが、
高校数学しか知らない人がこれをやるとまず間違い無く穴だらけになる。
というわけで高校生はこの問題をヘロンの公式で解いておくのが無難。

84 :132人目の素数さん:03/03/08 17:22
はぁ?何言ってんだおめーら?
「3辺の和が等しければ、必ず面積最大の三角形は存在する。」
断言できます。

85 :132人目の素数さん:03/03/09 10:47
>>84
何が言いたいのかよくわからない。
何の三辺の和が等しければ存在するの?

86 :とある高校生:03/03/09 10:56
不等式
S(a,b,c)≦S_0
が示されて、かつその値を定める実数a,b,cが存在するのだから、S_0が最大値でいいのではないんですか?

87 :とある高校生:03/03/09 11:00
あっすいません。今のは無視してください。

88 :132人目の素数さん:03/03/11 01:39
最近の理論物理は現世界の事象とやらが公理系で記述されてるような気がしてならない

89 :88:03/03/11 01:40
誤爆。すまん

90 :132人目の素数さん:03/03/11 03:02
何故79は前提を忘れるというミスを犯してしまった人を
あそこまで強調するのかが理解に苦しむ。何かトラウマでもあったのだろうか…


91 :132人目の素数さん:03/03/13 00:09
と、トラウマ…何て言葉を使ってしまったんだ。私は。恥ずかしいよぅ

92 :山崎渉:03/03/13 13:10
(^^)

93 :132人目の素数さん:03/03/15 16:06
まず、三角形の頂点が単位円周上にすべて乗っているとして始めてよいことに
すれば、やさしくなる。

94 :132人目の素数さん:03/03/16 20:23
>>93
どうやるんですか?

95 :132人目の素数さん:03/03/16 20:27
>>93
本当にやさしくなりますか?

96 :132人目の素数さん:03/03/16 20:33
二等辺三角形を使うことについては既に述べられているが、
論理の展開を次のようにしてはどうかと思う。
1)三辺和が一定で面積最大の三角形は二等辺三角形でなければならない。
2)三辺和が一定の二等辺三角形のうち、面積が最大のものは正三角形である。
3)したがって三辺和が一定で面積最大の三角形は正三角形である。

1)は楕円の軌跡、2)は簡単な数式で証明できる。

97 :山崎渉:03/04/17 10:03
(^^)

98 :山崎渉:03/04/20 04:10
   ∧_∧
  (  ^^ )< ぬるぽ(^^)

99 :(^^)数学板は荒れ放題(^^) :03/05/18 20:50
(^^)数学板は荒れ放題(^^)

100 :132人目の素数さん:03/05/18 20:52
(^^)(^^)(^^) 


101 :紺野あさみ:03/05/18 20:58
  ∋8ノノハ.∩   http://www.togoshi.ginza.st/konno/
   川o・-・)ノ <先生!これらのお知らせがありました!
http://togoshi.ginza.st/konno/konno02.html
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http://www.togoshi.ginza.st/konno/konno10.html
http://togoshi.ginza.st/konno/konno04.html
http://www.togoshi.ginza.st/konno/konno08.html
http://togoshi.ginza.st/konno/konno06.html
http://www.togoshi.ginza.st/konno/konno07.html
http://togoshi.ginza.st/konno/konno05.html
http://www.togoshi.ginza.st/konno/konno03.html

102 :某大学生:03/05/18 21:20
偏微分使わないと解けないのでは…?
でも、高校レベル超えちゃう品。

103 :132人目の素数さん:03/05/18 21:56
>>102
>>21

104 :(^^)数学板は荒れ放題(^^):03/05/18 22:00
(^^)数学板は荒れ放題(^^)

105 :132人目の素数さん:03/05/20 03:40
ヘロンの公式なんて計算量が大きくなるから使った試しがない
なんであんな糞な公式があるんだろう

106 :山崎渉:03/05/21 22:05
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅(^^)]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

107 :山崎渉:03/05/22 00:02
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅(^^)]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

108 :山崎渉:03/05/28 15:10
     ∧_∧
ピュ.ー (  ^^ ) <これからも僕を応援して下さいね(^^)。
  =〔~∪ ̄ ̄〕
  = ◎――◎                      山崎渉

109 :132人目の素数さん:03/06/09 11:49
11

110 :132人目の素数さん:03/07/06 04:59
3

111 :132人目の素数さん:03/07/22 07:45
2

112 :132人目の素数さん:03/07/23 00:02
虎馬?

113 :132人目の素数さん:03/08/13 05:31
11

114 :山崎 渉:03/08/15 18:28
    (⌒V⌒)
   │ ^ ^ │<これからも僕を応援して下さいね(^^)。
  ⊂|    |つ
   (_)(_)                      山崎パン

115 :こりしょう:03/08/17 08:27
ヘロンの公式を使います。
まず sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} の微分係数の0点と
    s(s-a)(a-b)(s-c) は同じ位置で微分係数が0になることを理解します。
a+b+c=2s だから
一辺の長さを固定する。たとえば a
残りの辺の長さを b=(2s-a)/2+x c=(2s-a)/2-x
として最大を求めると x=0 が解となり 
一辺が固定された場合二等辺三角形が最大になることが言えます。

つぎに 任意の二等辺三角形の中の最大を求めます。
a=x b=c=(2s-x)/2
これの最大を求めると x=2s/3 が出てきて証明終わりになります。

以上


116 :132人目の素数さん:03/09/29 05:23
18

117 :132人目の素数さん:03/10/23 05:49
9

118 :132人目の素数さん:03/10/23 19:56
外接円を使う

119 :132人目の素数さん:03/10/25 03:37
1)2)から3)はいえない。

いえるのは「面積最大の図形が存在するならそれは正三角形である」ということ。
面積最大の図形が存在することの証明ができてないから0点。

120 :132人目の素数さん:03/10/25 03:37
>>96

121 :132人目の素数さん:03/11/07 23:51
ビンビンマッチョデ(゚д゚)オーエーオーエー

122 :発展問題:03/12/02 01:24
四辺の長さの和が一定である四辺形でその囲む面積が最大なものは
正方形か?

123 :(工房):03/12/02 02:02
>>122
どうせ発展させるなら,
「周囲の長さが一定であるn角形の最大のものは正n角形
 であることを証明せよ。」
とかにしませんか?(や,正しいことを証明できてないけど)


124 :(工房) :03/12/02 02:26
         ★★★★疑問浮上★★★★

表面積が一定であるn面体の最大のものはどんな図形になりますか?

イメージすら沸きません.(n=4,6,8,12,20のときはなんとなく予想つくけど)
どなたか,予想でもいいのでアフォな俺に教えてください(汗)

ちなみに,
>>123
n:3以上の整数
n→n(半角に直してください)
すいません.

125 :(工房):03/12/02 02:26
>>124
そもそも「最大のもの」が存在するかどうか不明.

126 :(工房):03/12/02 04:08
図形→立体
(立体って図形かどうか不安になった・汗)
誰かアフォなオレに教えてくれ。

127 :132人目の素数さん:03/12/02 04:12
>>123

n→∞の時は、どうかな?

これは、しかし、非常に難しい。
高校生では多分解けない。。。

128 :(工房):03/12/02 04:45
>>127
球じゃねーの?証明はできないけど.

129 :132人目の素数さん:03/12/02 04:48
>>128

2次元で考えれ

工房の予想:

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である

130 :(工房):03/12/02 04:54
あ,スマン>>124と間違えた。鬱氏。

>>129
サンクス。そういうことです。

131 :132人目の素数さん:03/12/02 05:18
>>130

なるほど。

工房の予想:

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である
表面積一定で最大の体積を持つ図形は、球である

これでいいかな?


132 :132人目の素数さん:03/12/02 15:32
三辺和が等しい三角形で面積最大のものは正三角形である
周囲の長さが一定であるn角形の最大のものは正n角形である


背理法を用いれば、、、簡単かな?

133 :132人目の素数さん:03/12/02 15:50
うん、やっぱりそうだ。

背理法なら、すごくわかりやすい。
背理法では直接は円は使わないけど、
円を使うってのは、いい考えだね。

うん、そうすると、

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である

これも意外に背理法を使えば、比較的簡単かな?
(ポジティブに解こうとすると、これは難しい)

表面積一定で最大の体積を持つ図形は、球である

これも、、、だけど、これも背理法でいける?

134 :132人目の素数さん:03/12/02 16:36
>>133
表面積一定で最大の体積を持つ図形は、球である
の証明
http://www2.strangeworld.org/winny.swf


135 :132人目の素数さん:03/12/02 16:38
>>134のリンクは、絶対クリックしないこと。

136 :132人目の素数さん:03/12/03 01:31
問題

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である

これを、背理法を用いずに解け。

137 :132人目の素数さん:03/12/12 17:20
ビンビンマッチョデ(゚д゚)オーエーオーエー

138 :132人目の素数さん:03/12/22 04:37
3

139 :132人目の素数さん:04/01/08 21:02
003

140 :132人目の素数さん:04/01/15 20:28
029

141 :132人目の素数さん:04/01/30 05:18
20

142 :132人目の素数さん:04/01/31 04:43
>>131-136
背理法を使うってのは
1.円でないとすると、周の長さが等しくてより面積が大きな図形が存在する
2.従って面積最大の図形は円である。
ってのを想定してるだろ?

スレ内で何度も触れられてるけど
「面積最大の図形が存在すること」が証明できてないから全然問題外。

143 :132人目の素数さん:04/02/07 03:59
20

144 :132人目の素数さん:04/03/06 17:48
959

145 :132人目の素数さん:04/03/19 21:50
550

146 :132人目の素数さん:04/03/19 22:26
>>1
正4面体をうまく広げると正3角形になるのでそうである。証明終

147 :132人目の素数さん:04/03/19 22:48
3角形だけど、実は3角柱で側面積無限大

148 :132人目の素数さん:04/04/04 16:25
341

149 :132人目の素数さん:04/04/07 22:08
まず北極点から東経 0°を通って、真南に北緯 0°まで線を引き、
   そこから北緯 0°を通って、真東へ東経90°まで線を引き、
   そこから東経90°を通って、真北に北緯90°まで線を引けば、
角度の和が、270°の異常な三角形の完成。

150 :sage:04/04/08 01:16
>>135
>>134は何?

151 :132人目の素数さん:04/04/08 01:57
面積最大の図形が存在することも背理法で証明汁

152 :132人目の素数さん:04/04/08 02:45
ヘロンの公式を使う前提条件は、三辺の長さが三角不等式を満たすこと。
これは、 s-a,s-b,s-c がいずれも正であることだと言い替えられる。
そのために、閉集合の上での最大値に持ち込む為には、
面積が0になる場合も含めて
s = 一定で正の値、例えば1としてよい。
s-a ≧ 0
s-b ≧ 0
s-c ≧ 0
を満たす 0以上のa,b,cの取る閉集合上で、ヘロンの式であらわせる
関数が連続だから、最大値を持つので、、、、とやらないといけない
だろう。

発展問題:
平面上に4辺形がある。辺の長さの和を一定とするとき、面積が
最大になるのは、どのような形をしているときか?
5辺形、6辺形ではどうか?

153 :132人目の素数さん:04/04/08 02:49
>>150
わしは135ではないが
134はノートン先生が「これはやばいので削除しました」と
言ってくるようなもの

154 :132人目の素数さん:04/04/12 17:15
発展問題。
半径Rの円筒(無限に長いとする)の表面上で、閉曲線Cの周の長さLを
与えた時に、Cの囲む面積が最大であるのは、どのような形状の時か?
(円筒をぐるりと回って曲線が重なる時については、それはあたかも
重なって居ないとして面積などを考えよ)
問題:
半径Rの球面上に、閉曲線Cとその周長Lを与えたときに、Cが囲む
面積が最大となるのは、Cの形状がどのようなときか?
(これもLが大きくなると、Cが自己交差を持つようになるが、それも
適切に考えて、面積を定義する。二重に覆っている時は、2重に加える
ということ。)


155 :132人目の素数さん:04/04/12 21:59
>>28の方針否定されてるけど、こういうのはどう?

1.
三辺の長さが一定である三角形には、
正三角形と、正三角形でない二等辺三角形と、そのどちらでもない普通の三角形がある。
この三種類に限られる。

2.
あらゆる普通の三角形よりも、大きい面積を持つ二等辺三角形が必ず存在する。
(楕円の軌跡)

3.
正三角形は、あらゆる二等辺三角形よりも大きい面積を持つ。
(二等辺三角形の形を維持したまま底辺の長さを変える簡単な計算)


以上より、正三角形が面積最大であると分かる。

156 :132人目の素数さん:04/04/12 22:18
>>96と同じく>>155もOKだな。

157 :155(付け足し):04/04/12 22:20
2.より、
あらゆる普通の三角形<ある二等辺三角形 ・・・4

3.より
あらゆる二等辺三角形<正三角形 ・・・5

4.5.より、
あらゆる普通の三角形<ある二等辺三角形<正三角形
すなわち
あらゆる普通の三角形<正三角形 ・・・6

5.6.より、
あらゆる普通の三角形、および、あらゆる二等辺三角形<正三角形 ・・・7

1.7.より、
正三角形でない三角形<正三角形

正三角形が面積最大。

158 :155:04/04/12 22:23
>>156

>>96は(1)がまずいと思った。
「でなければならない」と必要条件で絞ってるから。

で、俺は積極的に「より大きい」を使ってみたわけです。

言ってること間違ってるかな?

159 :155:04/04/13 00:52
> 2.
> あらゆる普通の三角形よりも、大きい面積を持つ二等辺三角形が必ず存在する。

これちょっと誤解を招く表現だったな。

全ての普通の三角形に対して、
絶対的に面積の大きい二等辺三角形が存在するという意味ではなく、

どんな普通の三角形を想定してみても、
その個別の三角形に対し、それよりも面積の大きい二等辺三角形が存在するという意味です。

・・・って、前者じゃないのは明らかだから分かるか。

160 :155:04/04/13 00:53
>>155および>>96への意見きぼん

161 :132人目の素数さん:04/04/13 01:02
>>96を更にちゃんとやれば>>155になる、って感じではねーかな。
間違ってる点はどちらにもねーべ。

162 :132人目の素数さん:04/04/13 01:38
>>96
>>119

やはり>>96は間違いかと。
こと論理展開を問題としてるだけに、ここは厳しくいかねばなるまい。

163 :132人目の素数さん:04/04/13 01:42
んなことないか。
別のとこで言葉足らずなとこはあるが、
基本的に正解だわ。たぶん。>>96

164 :132人目の素数さん:04/04/13 01:52
>>96は何ヶ月か前の大数で>>119の理由により0点と断罪されておりますた。

165 :132人目の素数さん:04/04/13 02:02
>>96
1)を証明する際に「普通の三角形≦二等辺三角形」
2)を証明する際に「二等辺三角形≦正三角形」
を証明するから自動的に最大の三角形も存在する事が示されてOKだとオモテタ。

166 :155:04/04/13 06:27
>>96は正しいような気がしてきた。
(1)より、「面積最大のものが存在するならば、それは二等辺三角形の中にある」
(2)より、「二等辺三角形の中に、確かに面積最大なものは存在し、それは正三角形である」
これは面積最大なものが存在することを言えてるのでは?


「面積最大のものが存在するならば、それは二等辺三角形の中にある」
→この必要条件を用いて計算
→正三角形が面積最大となることを確認
→OK


「面積最大のものが存在するならば、それは二等辺三角形の中にある」
→この必要条件を正三角形に拡張
→「面積最大のものが存在するならば、それは正三角形である」
→不十分


ではないかな?

167 :132人目の素数さん:04/04/13 06:31
楕円だよ。
1辺を固定して、残りの2辺の和の長さが一定のとき、
高さが一番高いとき2辺は同じ長さになる。
固定した辺についておなじことすれば、3辺は同じながさになる。

168 :132人目の素数さん:04/04/13 06:48
>>167
その操作を無限に繰り返せばね。


169 :132人目の素数さん:04/04/13 14:10
>>166
言えてない。>>96の論理展開は

順序集合Aとその部分順序集合B(B⊂A)に対して
(1) Aの最大元が存在するならばその最大元はBの元である
(2) Bには最大元bが存在する
の二つの事柄から
(3) Aには最大元が存在してそれはbである
を導く

という形でしょ。一般の順序集合で(1)(2)を満たして(3)を満たさないA,Bの例は
沢山あるから、この論理は明らかに間違い。

170 :155:04/04/13 18:52
>>169
確かに。
>>96は駄目だね。

では、俺のはどうですか?

171 :132人目の素数さん:04/04/13 19:54
>>165のような事をやって>>169(3)が示せている事になると思うのだが、違うのか?

172 :132人目の素数さん:04/04/13 19:55
D={(a,b,c) ∈ R3; a≧0,b≧0,c≧0,a+b≧c,b+c≧a,a+b≧c,a+b+c=2s}
とすると、D⊂R3は有界閉集合であり、その境界は、
∂D={(a,b,c) ∈ R3; a≧0,b≧0,c≧0,(a+b=c=s or b+c=a=s or a+b=c=s)}
となる。(a,b,c)を3辺とする三角形の面積Sは、S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}である。
∂D上では、S=0であり、D-∂D上では、S > 0であることが直ちにわかる。
Sを最大にするには、S2=s(s-a)(s-b)(s-c)を最大にすれば良い。
S2をD上の関数と考えると、連続なので、有界閉集合D上で最大値mを取る。
m > 0より、最大値mは、D-∂D上の点で取る。 S2はa,b,cの多項式関数であるので、a,b,cにより偏微分可能であり、
最大値を与える点で極値をとる。束縛条件a+b+c=2sを考慮すると、Lagrangeの乗数法により、(a,b,c)で極値をとる必要条件は、
ある未知の定数λについて、
F(a,b,c)=s(s-a)(s-b)(s-c)+λ(a+b+c-2s)
とするとき、
∂F/∂a=∂F/∂b=∂F/∂c=0 である。
つまり、
-s(s-b)(s-c)+λ=-s(s-a)(s-c)+λ=-s(s-a)(s-b)+λ=0
s(s-b)(s-c)=s(s-a)(s-c)=s(s-a)(s-b)=λ
となる。(a,b,c)∈D-∂Dなので、s-a > 0,s-b > 0,s-c > 0より,
a=b=c=(2/3)s, λ=s3/9
を得る。
D-∂D上で極値を取る点は、1点((2/3)s,(2/3)s,(2/3)s)のみなので、S2は、実際に、この点で最大値m=s4/27をとる。

よって、Sが最大になるのは、a=b=c=(2/3)sのときで、最大値はs2/{3*sqrt(3)}である。


173 :132人目の素数さん:04/04/13 21:55
>>171
>>96は論理展開としてまずいということだろう。
>>165は後付け。
>>165の内容を省略してる>>96は認められない。

174 :132人目の素数さん:04/04/13 22:02
ところで「認められない」って…誰に?

175 :132人目の素数さん:04/04/13 22:12
>>174
個人的に。

176 :169:04/04/14 06:06
>>170
155は

順序集合Aとその部分順序集合B(B⊂A)に対して
(0) Aの任意の元xに対しx≦yなるBの元yが存在する
(2) Bには最大元bが存在する
の二つの事柄から
(3) Aには最大元が存在してそれはbである
を導く

という方針で、これは一般的に正しいからOK。

177 :132人目の素数さん:04/04/15 00:00
>>154
単連結な領域にしとかないと収拾がつかなくなるんじゃないか.

178 :132人目の素数さん:04/04/16 01:45
円筒の表面の場合は、それは平面に可展な面であるから、円筒に無限に巻き付
けた平面を展開したのと同じことになり、曲線の弧長やその囲む面積は展開
された平面上に書かれたのと同じである。
よって、曲線Cの周の長さLを与えたときに、その囲む面積が最大となるのは
やはり、平面上の円周である。よってそれを元の円筒に巻き付けた曲線が
答えになる。

179 :132人目の素数さん:04/04/16 23:48
1)円筒の一次ホモロジー群の生成元は誇張有限な閉曲線だけど,
それを普遍被覆の平面に持ち上げたらそもそも閉じないでしょ.
2)円筒上に描かれた閉曲線の内部の領域が最大 <==> ある同相写像 (円筒)-->(平面)が存在して
閉曲線の,この写像による像が平面で最大.
の証明を教えてくださいませませ.

180 :132人目の素数さん:04/04/17 02:24
円筒を1回だけぐるっと回る曲線は、円筒を左右にわけるけど、そのどちらも
面積は定義出来ないね。普遍被覆の平面上で閉曲線になっているものを
考えれば十分でしょう。もしも、それじゃあダメだというのであれば、
円筒の半径をRとするときに、閉曲線の周の長さが2πR以下に限定して議論
すればどうよ? 球面の時も、その半径をRとするときに、閉曲線の長さが
2πR以下の場合に限定して議論すれば?


181 :132人目の素数さん:04/04/17 09:45
179です.
定義を確認してきました.有界領域でのみ面積は定義されるのね.
では OKです.

ちなみに球面の方の話で曲線の周の長さが 2πR より大きいときに囲む面積が
最大になるのはどんなときなんでしょ.
赤道を一周させて残りの周を適当に配置する,っていう方法でいいのかな.

182 :132人目の素数さん:04/04/17 10:05
球の場合は、
緯線が効率が良くて、
緯度が低いほど更に効率がいい
ということを言えれば終了?

183 :132人目の素数さん:04/04/18 00:30
証明は面倒だけど、PLOTすればすぐわかる?なら
証明はいらないのでは?


184 :132人目の素数さん:04/04/18 03:57
球面上で囲んだ面積ってのはどっち側なの?
小さいほう?
それとも線を引く時に右側とか定義すんの?

185 :132人目の素数さん:04/04/22 02:23
球面の北極を一点抜いたものは、リーマンの立体写像によって
平面と同相だから、平面の上での閉曲線を引き戻した
球面上の閉曲線に考察を限定するということにすれば、
どうだろうね。

186 :132人目の素数さん:04/04/28 02:24
コンパクト使って最大性示せないの?

187 :132人目の素数さん:04/04/28 03:48
立方体があるとするときに、この立方体の表面上の3点を選んで
その3点を頂点として作られる三角形のうちで、面積が最大と
なるものを求めよ。

188 :132人目の素数さん:04/04/28 14:16
>>187
三角形は立方体の内部を通っていいんだよね?
明らかに斜めにぶった切った奴だけど、それを示せという問題?

189 :132人目の素数さん:04/04/29 05:46
>188
そういうことだ。
立方体の表面ではなくて、球面であれば、大円に内接する正三角形が
面積最大であることは容易に分かる。

190 :132人目の素数さん:04/05/02 14:52
長径と短径の比が s^2 であたえらえる楕円があったときに、
この楕円の周上に3点を選んで、それを頂点とする三角形のうちで
面積が最大なものを求めよ。

191 :132人目の素数さん:04/05/09 03:44
183

192 :132人目の素数さん:04/05/28 08:13
809

193 :132人目の素数さん:04/06/01 22:19
☆面積最大のn角形☆

> 110 :132人目の素数さん :04/05/27 15:00
> どれも「1番近い点との距離が1以下」という条件を満たすn個の点を
> 平面の上に与える時、このn個の点の凸包の面積の最大値を教えて下さい。

> 129 :132人目の素数さん :04/05/27 21:43
> >>110の問題は「無限に大きくできる」が答えみたいだが、
> 「長さ1以下の線分で構成される折れ線ですべての点を繋ぐことが出来る。」
> って条件ならどうなるんだろう? 各線分の両端はn個の点のうちの2点ってことで。

「正2n-2角形の半分」説が優勢??

さくらスレ145
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085311797/110,129

194 :132人目の素数さん:04/06/02 02:49
501

195 :132人目の素数さん:04/06/10 01:52
170

196 :六角堂:04/06/14 22:07
☆ 2種類の辺から成る2n角形 ☆

【問題】円に内接する2n角形があり、n辺の長さがa, n辺の長さがbとする。このとき
(1)周の長さ L_n と面積 S_n を求む。
    ・・・・・・ S_n = {n^2/(4π)}[c_n・(a-b)^2 + c_{2n}・4ab] の形になるらしいYo.
(2)S_n/(L_n)^2 は単調増加か?
(3)Lim(n→∞) S_n/(L_n)^2 =?

よろしくおながいしまつ。

>190
長径方向に1/s倍、短径方向にs倍した円周で考えれ。

197 :132人目の素数さん:04/06/19 16:58
円盤から中心の点を除いた領域Cを考えると、
このCに含まれる三角形のうちで面積が最大なものは存在しない。

198 :132人目の素数さん:04/06/29 11:53
さくらスレ146にあったYo

461 :132人目の素数さん :04/06/27 17:18
F(x,y) = sin(x) + sin(y) + sin(x+y)
の最大値、最小値を教えてください。公式通りにやってもうまく行きませんでした
たのんます

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087307114/461


半径1の円周上に3点とり、中心角を 2x,2y,2(π-x-y) とすると、
周長=2・F(x,y), 面積=(1/2)F(2x,2y)

199 :132人目の素数さん:04/06/29 21:43
>199
面積の式おかしくね?

200 :#:04/06/29 21:45
>198
F(a-t,a+t) = sin(a-t) + sin(a+t) + sin(2a) = 2sin(a)・cos(t) + sin(2a).
∴ - 2|sin(a)| + sin(2a) ≦ F ≦ 2|sin(a)| + sin(2a), 等号は t=nπ (n∈N)のとき.

ところで、2{1±cos(a)}・|sin(a)| = 2(1±c)・√(1-c^2)
= (1/2)√{27 - (-1±2c)^2・[(3±2c)^2 + 2]} ≦ (√27)/2 = 3(√3)/2.
∴ -3(√3)/2 ≦ F ≦ 3(√3)/2, 等号成立は-1±2c=0 のとき, a=60°,120°,・・・・のとき

201 :132人目の素数さん:04/07/17 22:32
353

202 :132人目の素数さん:04/07/29 08:32
441

203 :132人目の素数さん:04/08/03 14:51
顔が三角形の人はどういうときに顔の面積が最大になるのだろう?

204 :132人目の素数さん:04/08/12 07:27
968

205 :132人目の素数さん:04/08/12 07:30
小学校の時に先生が「大きな円を紙に書いてください」と言った
漏れはノートにひとつの点を打って、「地球全体を囲む円です」と言い張った・・・

何かこのスレタイ見て思い出したから、書きこんでみるテスト

206 :132人目の素数さん:04/08/12 14:06
物凄く大きな円を書きましたが幅がないので見えません

207 :132人目の素数さん:04/08/19 20:24
737

208 :132人目の素数さん:04/08/26 18:51
507

209 :132人目の素数さん:04/09/02 22:21
749

210 :132人目の素数さん:04/09/02 23:15
去年の東工大プレ(代ゼミ)に出てたぞ。
(1)で1辺は固定、残りの2辺の和が等しいときの最大は二等辺三角形であることを証明させて、
(2)で正三角形であることを証明させる問題だった。

俺は(1)で楕円、(2)で微分を用いて満点もらった。

211 :132人目の素数さん:04/09/08 14:03
215

212 :132人目の素数さん:04/09/14 06:43:31
776

213 :132人目の素数さん:04/09/19 04:28:43
104

214 :132人目の素数さん:04/09/24 13:04:07
847

215 :132人目の素数さん:04/09/29 10:11:32
168

216 :132人目の素数さん:04/10/05 00:47:39
652

217 :132人目の素数さん:04/10/10 08:45:15
143

218 :132人目の素数さん:04/10/12 21:17:41
ΘΙ

219 :132人目の素数さん:04/10/12 21:27:38
>とりあえずの証明は出来たけど、議論も曖昧だし、
>計算の手間もすごかった・・・
もしかして出来てないのでわw



220 :132人目の素数さん:04/10/17 02:57:02
キングって変態なのか

221 :132人目の素数さん:04/10/22 02:58:37
271

222 :132人目の素数さん:04/10/27 07:51:57
787

223 :132人目の素数さん:04/11/02 00:11:59
487

224 :132人目の素数さん:04/11/02 00:28:53
理想三角形

225 :132人目の素数さん:04/11/05 20:22:42
age

226 :DonkyKing:04/11/05 20:42:22
           _,,.. -──‐- .、.._.
          , '´      ╋   ヽ
        〈:::::::           _:::)
         /´\:::::::::_,. - ― - 、.〃/
        , '/〈∨〉’‐'´           ` ' 、
     / ,'. 〈∧〉/ ,.' , i , l } ! `, ヽ ヽ \
      {ソ{. ニ二|,' / / _! Ll⊥l| .Ll_! } 、.ヽ
     {ソl ニ二.!!イ /´/|ノ_l_,|.ノレ'レ_l`ノ|! | .l }
      ハソt.ー-;ュ;Vl /,ィエ下     「ハ レ| j| j|丿
\   !((.ヽニ{fj ! l ` ハ|li_]    |iリ {、|,ノ!'   / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  <\n )’( (‘ーl |  ° ´  __,'  ゚,' )     |  Kingくん♪
  /.)\_,  ` ) ノノ\     tノ /((.    <  うんこ食べのお時間よ!
  V二ス.Y´|  (( (r个  . ___. イヽ) ))      |  他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
   {. r_〉`! }>'  ) / ゝ 、,,_o]lム` ー- 、     \______________
    \    f  ,. '´/       o ..:::  \
      `!  {/⌒ヽ::::::     :::.  \_::  ヽ

227 :132人目の素数さん:04/11/11 01:04:09
263

228 :132人目の素数さん:04/11/15 07:53:44
254

229 :132人目の素数さん:04/11/21 01:42:32
402

230 :132人目の素数さん:04/11/27 13:16:26
275

231 :132人目の素数さん:04/12/04 23:16:24
365

232 :132人目の素数さん:04/12/11 15:47:14
976

233 :132人目の素数さん:04/12/18 20:20:07
365

234 :伊丹公理:04/12/18 22:00:54
話題が無いならもう終了しろ

235 :BlackLightOfStar ◆ifsBJhJOKE :04/12/18 23:06:29
Re:>234 うるせーよ。

236 :伊丹公理:04/12/18 23:07:46
BlackLightOfStar ◆ifsBJhJOKE
は消えろ

237 :132人目の素数さん:04/12/18 23:44:40
そうかそうじょうって理系の問題だとあまり使えない気が…

238 :132人目の素数さん:04/12/19 14:20:05
229

239 :132人目の素数さん:04/12/24 20:25:20
479

240 :132人目の素数さん:04/12/29 07:34:30
n角形

241 :132人目の素数さん:05/01/02 02:04:30
二年一時間。


242 :132人目の素数さん:05/01/02 09:08:18
age

243 :132人目の素数さん:05/02/16 02:33:54
620

244 :132人目の素数さん:05/02/21 18:50:08
431

245 :132人目の素数さん:05/03/03 04:52:28
351

246 :132人目の素数さん:05/03/03 07:06:24
東京理大生ら9人逮捕 振り込め詐欺で50万円だまし取った疑い
 東京理科大学の学生ら9人が、振り込め詐欺の疑いで逮捕された。
 逮捕された東京理科大学4年・谷口風太容疑者ら9人は先月中旬、警察官などを装って「ご主人が追突事故を起こした」などと電話をかけ、兵庫県内の49歳の女性から現金50万円をだましとった疑い


理科大ざまあw


247 :132人目の素数さん:05/03/14 00:41:42
449

248 :132人目の素数さん:2005/03/24(木) 08:09:55
615

249 :132人目の素数さん:2005/04/06(水) 01:35:39
959

250 :132人目の素数さん:2005/04/23(土) 20:43:10
589

251 :132人目の素数さん:2005/04/23(土) 20:56:07
変分法の問題じゃないのか。三角形程度ならラグランジュ方程式などをつかうまでもなく、
二変数関数として処理できる。

252 :132人目の素数さん:2005/05/08(日) 22:05:04
982

253 :132人目の素数さん:2005/05/21(土) 19:03:12
S=bc sinA
保守

254 :132人目の素数さん:2005/05/23(月) 00:17:02
age

255 :132人目の素数さん:2005/06/21(火) 07:50:22
621

256 :256:2005/06/21(火) 20:29:23
√(256) = 16


257 :257:2005/06/22(水) 02:04:55
2+5=7

258 :132人目の素数さん:2005/07/08(金) 22:45:23
では、定円に外接する三角形の面積が最小になるのは、正三角形のときであ
ることを証明しな埼玉。

259 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 09:16:01
1

260 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 16:21:02
age

261 :132人目の素数さん:2005/09/18(日) 07:21:07
184

262 :132人目の素数さん:2005/09/18(日) 18:16:04
>>258
定円の半径を1としてよい。中心をO、3接点をABCとして
∠BOC=2x、∠COA=2y、∠AOB=2zとすると
x,y,zは凸領域x+y+z=π、0<x,y,z<π/2を動く。
この領域において面積S=tanx+tany+tanzが最小となるのは凸不等式より
x=y=z=π/3のとき。

263 :ほんこん:2005/09/18(日) 18:36:14
>>258
ラグランゲの乗数法使ってもええがな。

264 :132人目の素数さん:2005/10/06(木) 23:55:39
では、定円に内接する三角形の面積が最大になるのは、正三角形のときであ
ることを証明しな西条。

265 :132人目の素数さん:2005/10/07(金) 00:14:07
>>264
定円の半径を1としてよい。中心をO、3接点をABCとして
∠BOC=2x、∠COA=2y、∠AOB=2zとすると
x,y,zは凸領域x+y+z=π、0<x,y,z<π/2を動く。
この領域において面積S=sinx+siny+sinzが最大となるのは凸不等式より
x=y=z=π/3のとき。

266 :しゃんはい:2005/10/07(金) 03:01:20
>>264
ラグランゲの乗数法使ってもええがな。


267 :たいぺい:2005/10/07(金) 03:18:26
他スレから

(問題)
内接円の半径が3,外接円の半径が8であるような三角形の面積の最大値を求めよ.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/59 ,446, 450


268 :132人目の素数さん:2005/10/07(金) 19:06:29
>>267
これは未定乗数法つかうのしかおもいつかんな。
めんどいので外接円の半径1、内接円の半径3/8の場合をかんがえる。
定円の半径を1としてよい。中心をO、3接点をABCとして
∠BOC=2x、∠COA=2y、∠AOB=2zとすると
x,y,zは凸領域x+y+z=π、0<x,y,z<πを動く。
さらに内接円の半径が3/8⇔(1/2)(3/8)(2sinx+2siny+2sinz)=(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)
F=(1/2)(3/8)(2sinx+2siny+2sinz)-(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)とおけばgradFはx+y+z=πにおいて0でないので
M={F=0}は1次元の多様体。S=(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)がMにおいて最小になるのはSがM上でなめらかだから極大値。
L=S-wFとおいてLx=0、Ly=0、Lz=0、Lw=0となるところをかんがえると
cos2x-w((3/8)cosx-cos2x)=0、cos2y-w((3/8)cosy-cos2y)=0、cos2z-w((3/8)cosz-cos2z)=0、F=0。
ここでcos2xが0ならcosxは0でなくこのときw=0。よってcos2y,cos2zも0になるがそのような点はM上にはない。
∴w=((3/8)cosx-cos2x)/cos2x=((3/8)cosy-cos2y)/cos2y=((3/8)cosy-cos2y)/cos2y。
ここでw=(3/8)cost/cos2t-1がおなじ値になる0≦t≦πで高々2つ。よってSが極値をもつときそれは
x=y or y=z or z=xをみたす。つまり2等辺3角形。
つまり外接円の半径1、内接円の半径が3/8である2等辺三角形のときのみ極値をもつ。x=zのときのみ考えればよい。
(3/4)(2sinx+siny)=2sin2x+sin2y (2x+y=π)、1+cosx≠0、sinx≠0等をもちいてcosx=1/4 or 3/4。
この面積のでかいほうが最大値、小さい方が最小値。しんどなった。以下略。

269 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 15:02:49
では >268 の続きを...
 2等辺三角形だから y=π-2x, z=x とおける。
 2F(x,π-2x,x) = (3/2)sin(x) -(5/4)sin(2x) + sin(4x)
= (3/2)sin(x) -(5/2)sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x){2cos(x)^2 -1} = (1/2)sin(x){3 -13cos(x) +16cos(x)^2}
= (1/2)sin(x){1+cos(x)}{3-4cos(x)}{1-4cos(x)} =0.
 ここで sin(x){1+cos(x)}>0 より、
 cos(x)=cos(z)=1/4, cos(y)= 7/8 のとき最大値 S=(15√15)/64.
 cos(x)=cos(z)=3/4, cos(y)=-1/8 のとき最小値 S=(21√7)/64.


270 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 09:34:56
115

271 :132人目の素数さん:2005/12/12(月) 18:49:11
526

272 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 01:04:30
二年。


273 :132人目の素数さん:2006/01/30(月) 05:55:13
119

274 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 07:43:14
581

275 :132人目の素数さん:2006/03/02(木) 17:05:36
417

276 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 13:34:14


277 :132人目の素数さん:2006/03/28(火) 05:31:29
一辺が3↑↑↑↑3cmの正三角形の面積を数字のみで表記せよ。

278 :132人目の素数さん:2006/03/28(火) 07:13:49
age

279 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 19:39:20


280 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 19:31:17


281 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 19:48:36
age

282 :132人目の素数さん:2006/05/26(金) 11:47:07
671

283 :132人目の素数さん:2006/06/16(金) 00:05:11
529

284 :132人目の素数さん:2006/07/22(土) 22:48:42
kingシヌえ

285 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/07/23(日) 07:14:52
talk:>>284 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

286 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 17:52:05
803

287 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 16:09:44
654

288 :132人目の素数さん:2006/10/03(火) 00:08:40
620

289 :132人目の素数さん:2006/11/12(日) 23:40:03
770

290 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 08:26:34
king

291 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/08(金) 12:07:22
私を呼んだだろう?

292 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 21:44:14
内接円の半径を最大にすればいい。


293 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 21:51:39
楕円で考えるとそうなる

294 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 16:17:18
225

295 :132人目の素数さん:2007/01/02(火) 04:04:23
四年三時間。


296 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 15:39:09
104

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