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三角形の個数を順番に答えるスレ。

1 : :02/03/28 07:21
n本の直線で作られる三角形の数が最大になるときの
三角形の個数をf(n)とする.
f(0)から順に答えよ。

2 : :02/03/28 07:22
f(0)=0
f(1)=1

3 : :02/03/28 07:23
>2
間違えた
f(1)=0
f(2)=0


4 :132人目の素数さん:02/03/28 07:36
f(0)=0

5 :132人目の素数さん:02/03/28 07:37
f(-1)=0

6 :132人目の素数さん:02/03/28 12:34
f(1/2)=i

7 :132人目の素数さん:02/03/28 13:08
f(-1)=-1, f(1/2)=1/16


8 :132人目の素数さん:02/03/28 20:13
(補足)nは自然数である。

9 :132人目の素数さん:02/03/28 20:14
>>8
ζが泣いてるぞ。

10 :sage:02/03/28 20:48
f(n)=1+n(n+1)/2

じゃないの?
厨なレスならごめんなさい。リア厨だから。

11 :132人目の素数さん:02/03/28 20:49
>>10
違う

だけどリア厨でこの問題を考えようとする姿勢は立派だ。

12 :132人目の素数さん:02/03/28 20:58
f(n)=π/n

13 :132人目の素数さん:02/03/28 21:01
>>10
それは分かれる領域の個数。三角形だとそれより少ない。

14 :132人目の素数さん:02/03/28 21:06
>>13
nが大きくなれば三角形の方が多いのでは?

15 :132人目の素数さん:02/03/28 21:07
>>14
矛盾してるだろ

16 :132人目の素数さん:02/03/29 00:14
f(0)=f(1)=f(2)=0
f(3)=1
さて、一服してくる。

17 :132人目の素数さん:02/03/29 02:25
f(4)=3ってこと?

18 :132人目の素数さん:02/03/29 02:28
f(5)=8か?

19 :132人目の素数さん:02/03/29 10:43
f(3)=1
f(4)=3
f(5)=7
かな?
階差数列っぽいけどf(6)が求まらないと階差が等差か等比かわからんな。
f(6)考えるのめんどくせぇ・・・(゚Д゚)

20 :132人目の素数さん:02/03/29 11:49
論外

21 :132人目の素数さん:02/03/29 12:34
>>18-19
f(5)=7,8ってどうやるの?
漏れどうがんばっても5つしかできんのだが・・・

22 :132人目の素数さん:02/03/29 13:44
三角形の内部を他の直線が通っているような三角形も
カウントしている人がいたりしてな

23 :132人目の素数さん:02/03/29 17:54
ってーか、これ、個人で数えなきゃ和姦ねーじゃん。
前の人の数字ヒントになんねーし。

24 :132人目の素数さん:02/03/29 19:38
>>1よ、どっちだい?>>8の解釈か?>>22の解釈か?

>>19 >>21 >>8の解釈の解釈でOKなら、正三角形の点ABCで3本と、点Bから辺ACと点Cから辺ABで計5本。
三角形内部での交点をO、辺AB上の交点をD、辺AC上の交点Eをとして、
ABC ABE BCE ACD CDB BDO BCO CEO で8コ

25 :24:02/03/29 19:41
>>1よ、どっちだい?>>8の解釈か?>>22の解釈か?

訂正

>>1よ、どっちだい?>>18の解釈か?>>22の解釈か?


26 :132人目の素数さん:02/03/30 12:45
>>24
疑問が1こだからクエスチョンマークは1つにするべき。
>>1よ、どっちだい?>>18の解釈か?>>22の解釈か?

>>1よ、どっちだい、>>18の解釈か、>>22の解釈か?

27 :132人目の素数さん:02/03/31 02:55
>>22の解釈の方が簡単そうなのでそれで考えてみる
f(5)=10だよ。最大の領域数に分けるのと同じ案配で作図すると
1つの領域からなる三角形が3個、
2つの領域からなる三角形が4個、
3つの領域からなる三角形が2個、
4つの領域からなる三角形が1個できる。

お次一般化
直線K、直線Lによってできる交点を点(K,L)と書くことにすると、
交点は全部でn(n-1)個できる。
※(K,L)=(L,K)のような重複(2重複)には目をつぶっている。

基点を点(K,L)としてここから三角形を作りたい場合、
(K,L)→(L,M)→(M,K)となるもうひとつの直線Mの選び方は
(K,L)に対して、(n-2)通りある。(哮,Lを除くから)
よってできる三角形は重複混ぜて
n(n-1) * (n-2)個。
1つの三角形について基点は3通りあるので、これは3重複している。
3でわってn(n-1)(n-2)/3、
さらに(K,L)=(L,K)重複を考えて2で割り、
f(n)=n(n-1)(n-2)/6。

ん。つまりΣ(k-2)^2ってことか。

28 :132人目の素数さん:02/03/31 03:15
つーかこれnC3だわ。こりゃはずかし
>>27消したい、消したい。
消えろ〜、消えろ〜

29 :132人目の素数さん:02/03/31 03:16
f(n)=n(n-1)(n-2)/6。
ん。つまりΣ(k-2)^2ってことか

ネタですか?

30 :132人目の素数さん:02/03/31 04:25
>>1よ、→どっちだい?→>>8の解釈か?→>>22の解釈か? →0

↓              ↑      ↓

>>1よ、→どっちだい?→>>18の解釈か?→>>22の解釈か? →0


31 :132人目の素数さん:02/03/31 07:37
>>30
ややこしいわ!

32 :132人目の素数さん:02/04/01 17:54
>>27 3つの領域からなる三角形が2個

理解できん。俺が、「最大の領域数に分けるのと同じ案配で作図」を理解できていないのか、


33 :132人目の素数さん:02/04/02 06:17
>>22のように同じ領域が何回もカウントされるようにする、
ようは「田」という漢字に四角形が9つあるとカウントするようなやり方
だとしたら問題は簡単すぎる。


直線3つ選んで出来る三角形の個数は最大で1つ。
だからnC3個より多く三角形は出来ない。
また1つの点を3つの直線が通らないようにして
どの2つの直線も平行になるようにすればnC3個出来る。

…って>>27は言ってるんだよな?まぁいいや。

次に「田」という漢字に四角形が4つしか入ってないというやり方だが、
この場合はある程度範囲が絞り込めてた気がする。
確か岩波新書の数理パズルって漢字の名前の本の中にあった…って探すくらいなら考えた方が早いか

34 :      :02/04/02 16:48
    たくさん直線が交わればたくさん三角形ができんねんなぁ…


35 :132人目の素数さん:02/04/02 18:50
いまだもって、>>27が理解出来ない。

>>27 3つの領域からなる三角形が2個

直線5本で、「最大の領域数に分けるのと同じ案配で作図」の図形ってどんな形なんだ。
>>24の図形しか描けない、、

36 :132人目の素数さん:02/04/02 20:20
>>35
へいおまち
http://bekkan.omosiro.com/img-box/img20020402201802.jpg

交点が交わらないようにしたらどんなんでも10個になるよ。
だって5C3=10だもん。

37 :132人目の素数さん:02/04/03 12:11
>>36
うう、こうやるのか。感動したってより、脱力感のほうが大きい。

ありがと。


38 :1:02/04/04 01:37
1です。ごめんなさい。引っ越しのせいでここしばらく
インターネット使えませんでした。
 重複して数える場合の解答は皆さんのおっしゃるとおりです。

しかし、私が考えたいのは、三角形を重複して考えない方法です。
つまり、nを自然数として
f(1)=f(2)=0,f(3)=1,f(4)=2,f(5)=5
さて、ここからがやっかいです。
f(6)は7以上、f(7)は9以上ということはわかっています。
みなさん教えて下さい。ちなみにf(10)=15ではないかと考えています。


39 :132人目の素数さん:02/04/04 03:30
規則性は分からないけど,f(7)で10個作れたよ.
答え出るまでに考えてみたいな.

40 :39:02/04/04 03:46
あ・・・f(7)で11個作れた

41 :1:02/04/04 21:52
f(7)>=11ですか。ためしてみます。
法則
1.f(n)>=f(m) n>m n,mは自然数
2.f(n) + f(m) < f(n+m) +1  n>m n,mは自然数


42 :1:02/04/14 02:30
f(7)=10はできますが、f(7)=11は難しいですね
f(9)=15できました。
ひとふでがきで、頂点が5つの星型をかくとf(5)=5になりますよね。
この形は効率がよいようです。
この形に2本追加するとf(7)=10、さらに2本でf(9)=15
ができました。どちらも、部分的に星形ができています。
f(10)=15も間違えですね。

43 :1:02/04/14 02:37
関係ないけど
http://210.166.236.187/~n01064-1/2nen/star/
の問題1の図形がf(5)=5の解答ですね。
イスラエルの国旗みたいな形で一つ線が少ないもの
f(10)=20かな。

44 :39:02/04/14 02:42
久々にあがってる・・・
ちなみに僕は進展なしで(--;;;

45 :132人目の素数さん:02/04/14 04:32
おかえり。>>1
んー実はこれずっと考えてるんだよな
数学的に解けないかなぁ…
とりあえず直線を曲線に拡張してるんだけど。
同じ線と2回以上交わらないという条件で。

46 :39:02/04/14 04:50
ちなみに,f(7)=11の作り方は,
☆と×を上下に十分離して描く.後は線を延長.
36度,45度などをきちんと描かないと変わってしまうので注意,

後は無理矢理,f(8)=14,f(9)=17まで確認,

47 :132人目の素数さん:02/04/14 06:06
f(10)≧24
http://bekkan.omosiro.com/img-box/img20020414055811.gif
整理すると
f(1)=0, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=2, f(5)=5, f(6)=6,
f(7)≧11, f(8)≧14, f(9)≧17, f(10)≧24
かな。

48 :39:02/04/14 15:14
f(10)が急に増えたな・・・こりゃf(8),f(9)も怪しいよ

49 :132人目の素数さん:02/04/14 18:12
>とりあえず直線を曲線に拡張してるんだけど。
>同じ線と2回以上交わらないという条件で。
fは変わらないと思う。

50 :SANKAKU:02/04/16 08:51
>47
F(10)=20 は、きれいですね。真中に★も出てくるし,
一筆書きでできています。
>49
曲線にしても,同じ線と2回以上交わらないという条件で
3つの曲線に囲まれる領域の個数と考えれば同値になるのでしょうかね。
証明できるといいのですが。

51 ::02/04/22 22:49
なかなか、すすまないっすね。
f(n)の上限を決める関数でもわかれば、やりがいがでてくるのですがね。

52 :132人目の素数さん:02/04/23 00:47
f(8),f(9)がわかれば予想も立てれる可能性があるけど・・・
たぶん上に書いたの間違ってるし
f(10)はなんとなく合ってるような気もするんだけど

53 ::02/04/27 08:54
あまり、役に立たないけれど
f(n+1)<=2f(n)っていえませんか?すでに有る三角形を
全て2つの三角形に分ける以上には三角形の個数は増えないということ。
でも、線を足すことで、三角形でなかったものが三角形になることもあるし…
f(n)<2^n もいえそう。大きすぎるか。

54 :132人目の素数さん:02/04/27 10:33
>>541
??
「分割数」と関連。検索してみるべし。

55 :54:02/04/27 10:35
誤麦スマソ

56 ::02/04/27 15:09
>54 ありがとう。勉強してみます。
ちなみにF(15)=30っていうのは少なすぎ?



57 ::02/04/27 15:14
分割数をインターネットで探したけれど
私には、難しすぎました。
わかりやすい、解説ページがあれば圧せーてください。

58 : :02/04/30 20:34
>27をヒントにしたら,
f(n)<n(n-1)(n-2)/6ですね。
f(n)はもちろん重複して数えないほうですよ。
田なら、9こではなく4こと数える方法です。

59 :132人目の素数さん:02/05/01 00:17
三角形でない領域の数だけ考えても明らかにf(n)<(n+1)n/2+1

60 :132人目の素数さん:02/05/02 15:44
>59
うーん。解説望む

61 :132人目の素数さん:02/05/02 16:34
>>60
n本の直線で平面は(n^2+n+2)/2個に分かれる(帰納法の典型)

62 :132人目の素数さん:02/05/07 11:58
>61
ありがとうございます。悩みましたがわかりました。
n本の線によって平面が分割される最大の数をg(n)とすると、
n本の線によって平面が一番多く分割されるためには、すべての直線が
一回ずつ交わる場合でg(n+1)=g(n)+n+1が成り立つわけですね!!

今回の三角形の場合を考えると平面の変わりに巨大な三角形を分割すると考えて
f(n)=<g(n-3)
f(n)<(n-2)(n-3)/2+1
となるわけですね。だんだん絞れてきたカナ?

63 :132人目の素数さん:02/05/23 21:16
このスレまだあったね。
ちょっと暇だからコンピュータでn=10くらいまで数えさせてみるかな。
保管age。

64 :132人目の素数さん:02/05/23 21:25
ていうか、みんな考えてるの?

65 :132人目の素数さん:02/06/05 18:39


66 :1:02/06/20 23:42
私は考えていますよ。
コンピューターに数えさせるプログラミング教えてください。
>63

67 :132人目の素数さん:02/06/24 23:18
>>64
残念ながら誰も・・・

68 :132人目の素数さん:02/06/26 18:55
保管age。

69 :132人目の素数さん:02/06/28 19:17
保管age。

70 :132人目の素数さん:02/06/30 02:43


71 :132人目の素数さん:02/07/01 10:46


72 :132人目の素数さん:02/07/01 14:44


73 :未解決問題:02/07/02 01:45
新未解決問題に登録決定

74 :132人目の素数さん:02/07/02 12:43
1=0こ
2=0こ
3=1こ
4=3こ
5=6こ

つまり、n=> {1+(nー2)}×(n-2)÷2では?

75 : ◆Math2chk :02/07/03 15:12
f(n)≦n(n−2)/3。


76 : ◆Math2chk :02/07/03 17:38
>>75
f(n)≦4n(n−2)/9。


77 :132人目の素数さん:02/07/18 21:15
good thread

78 :132人目の素数さん:02/07/18 22:35
お。懐かしいスレ。
>>1
やってみようと思ってたんだけど
まずモデルの記述方法が難しいんだよね。
直線を引くいくつものパターンをどうやってデータ化するか、
考えられる直線の引き方をどうやって全パターンだしてくるか、とか。

だからといって数学的な証明の方も難しいな...

79 :132人目の素数さん:02/07/31 14:09


80 :132人目の素数さん:02/08/02 12:56


81 :132人目の素数さん:02/08/05 01:24
nage

82 :132人目の素数さん:02/08/05 03:21
うんこ

83 :132人目の素数さん:02/08/05 08:02
nC3=n(n-1)(n-2)/6じゃねえの?

84 :132人目の素数さん:02/08/05 08:21
>>83
nC3=n(n-1)(n-2)/6は正しいよ。
だけどf(n)≠nC3

85 :132人目の素数さん:02/08/05 08:41
ああ、中に線が入ってる三角形は数えないのか。

86 :132人目の素数さん:02/08/06 13:54
>>63
それぞれの直線に「向き」を考え、
他のn-1本の直線がどういう順番でその直線に交わってくるか(同じ点で交わる場合も同順として考える)
をすべての直線についてデータ化すればいいと思う

87 :132人目の素数さん:02/08/06 14:03
>>86のようにすれば、
「L_x,L_y,L_zの3本の直線が三角形をなしているか」も

L_xにL_y、L_zが同じ点で交わっていなくて、かつL_y,L_zとの交点の間には別の直線との交点はない
L_y,L_zに憑いても同様

ていう条件になるし
うーん、後は、あるデータが与えられたとして、
それが本当に図形として成り立つか、だよなぁ・・・

88 :132人目の素数さん:02/08/06 19:36
>>86
なんだけどね。
いま直線がある直線を横切ったとするよね。
すると次に横切れる直線っていうのは限られてくるんだ。
そこの制限のメカニズムとかが難しい…。
三角形をなすなさないの前にね。

89 :88:02/08/06 19:42
>>86
でもとりあえずこれでひとつデータ構造は定義できたかな。
Lxの横切る直線を順に
Lx : Li1,Li2,Li3…
と書いて
L1:L3,L5,L2,L6…
L2:L4,L5,L1,L3…
L3:L1,L2,L6…

みたいに表現すると。
あとはこのデータから三角形をなす条件を決めると一応求められるが…
やっぱり不可能図形がたくさんでてきてしまうな

90 :132人目の素数さん:02/08/06 22:17
うちにある本にf(8)=15、f(9)=21の例が載ってるYO

91 :132人目の素数さん:02/08/07 02:04
これ無限次元にまで拡張すると面白そう・・・・

ふふ、ゲロはいたりしてね

92 :132人目の素数さん:02/08/07 09:47
f(6)=7
 ☆
___
こうして
あとは星の線を延長すると7個出来るYO

93 :132人目の素数さん:02/08/07 09:54
公理1
L_xにL_y,L_zが同じ点で交わってくる時、
L_yにはL_x,L_zが同じ点で交わり、
L_zにはL_x,L_yが同じ点で交わる。
てな感じで公理を決めていけば

94 :132人目の素数さん:02/08/07 14:52
名スレの予感

95 :132人目の素数さん:02/08/08 08:01
f(1)=0, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=2, f(5)=5, f(6)=7,
f(7)≧11, f(8)≧15, f(9)≧21, f(10)≧24
か?いまんとこ

96 :132人目の素数さん:02/08/08 13:02
>>47再ウpきぼんぬ

97 :132人目の素数さん:02/08/09 14:25
>>86-89はどうなたの?

98 :132人目の素数さん:02/08/09 22:19
>>96
俺のだが失ったすまぬ。
☆ ☆
 ☆
____
みたいな感じで、2つの☆が1つの頂点と2つの直線を共有している形だったはず。

問題を整理。
1)数学的なアプローチ
第一に漸化式が立てられるのか?はたして部分和的な考えで解けるのか
できれば分かってる最大になる図を眺めてみたい。
2)帰納的なアプローチ
f(8)くらいまでを何が何でも求めてそこから一般式or漸化式を推測
(なんかボーデの天体系軌道半径の法則みたいだな…)
プログラムで求められそうだが、データ構造が定義しにくい。(誰か提案してくれ)
>>89は3直線以上の頂点の共有が表現できない


99 :シャケにゃん:02/08/09 22:39
http://rosso.1717.info/upload/data/tri.gif
f(1)〜f(7)図。

f(7)≧13
更新しちまった…鬱だ

100 :99:02/08/09 22:44
f(7)の図はf(7)じゃなくてf(8)だった>>99
全くの間違いね。すまそ
100ゲドー

101 :1:02/08/10 16:38
いつのまにか100ゲドーされてしまった。


102 :132人目の素数さん:02/08/10 17:44
うちの本に載ってたf(8)≧15とf(9)≧21の図。
http://rosso.1717.info/upload/data/sankaku_8and9.gif

103 :132人目の素数さん:02/08/11 08:27
良スレ

104 :1:02/08/12 21:18
n本の直線で三角形を作る時,一つの直線は、最大n-2個の三角形の一辺となる。

この事実は利用できないか?
例えば,f(n)<f(n-1)+(n-2)みたいなことが言えればいいのだが。。

105 :132人目の素数さん:02/08/13 13:26
test

106 :132人目の素数さん:02/09/04 10:28


107 : :02/09/10 20:50
お久しぶりです。
最近考えたのは、もし、三角形の個数を考えるのではなく、
四角形という問題なら、とても簡単になるということです。
五角形、六角形となるとまた、難しい感じがしますが。

108 :132人目の素数さん:02/09/10 21:46
なるほど、ではまず四角形で考えて、法則を見つけ、
それを元に三角形の場合を考える事にしてはどうかね

109 : :02/09/11 08:04
>>108
四角形の場合は、直線の本数が奇数と偶数本で分けて考えます。

110 :132人目の素数さん:02/09/17 23:10
>>109>>109>>109>>109>>109>>109>>109>>109
詳しく解説きぼん!

111 :107=109=111:02/09/18 23:41
四角形の個数をg(n)とすると
g(1)=g(2)=g(3)=0,g(4)=1は明らか。
g(2k)の場合。最大になるのはkxkの碁盤を作ったとき。
よってg(2k)=(k-1)^2
同様に考えて
g(2k+1)=k(k-1)
でも、三角形の個数は。。。?
三角形の個数をf(n)とすると
f(n)≧g(n)は言えるかな?

112 :132人目の素数さん:02/09/19 01:01
>>111
6≦g(6)だから間違い。


113 :132人目の素数さん:02/09/19 02:18
f(k)の図はf(k-1)の図を含む――つまり貪欲法でこの問題が解けるかを
誰か証明してくれ。

114 :111:02/09/19 20:18
>112
>>6≦g(6)だから間違い。
良く分かりません
f(6)=7(発言92.95参照)
g(6)=g(2*3)=(3-1)^2=4
よってf(6)>g(6)
じゃないの?
f(n)は三角形の最大の個数、g(n)は四角形の最大の個数として


115 :132人目の素数さん:02/09/20 03:30
>>114
x=0,x=1,y=0,y=1,x+y=3で3≦g(5)。
x=0,x=1,y=0,y=1,x+y=3,x+y=4で6≦g(6)。


116 : :02/09/24 22:39
114 vs 115
どちらが正解?番号で答えてください。
1.114が正解
2.115が正解
3.どちらもお馬鹿さん

117 :132人目の素数さん:02/09/26 22:11
age

118 :132人目の素数さん:02/09/27 01:25
答えようとすれば答えられますが、問題の説明がいい加減すぎます。
もしこのまま、答えようとすると4本で∞になります。
というのも、横も縦も長さが決められてなくて。
さらに、どういう三角形でもいいのなら少し形を変形するだけで違う三角形になります。
それを1つ1つやるとするとすぐに∞になります。
むしろ、3本でも無限大にできます。
だから、この問題には説明が足りなさ過ぎるのです。
もうちょっと、説明してくれないとスーパーコンピュータでさえも解ききれません。
以上証明終わり
結果:解なし


119 :通りすがり:02/09/27 01:42
>>118
>答えようとすれば答えられますが、問題の説明がいい加減すぎます。
とおっしゃる割には貴方の書き込みも随分いい加減な気がしますが。


120 :?@:02/09/27 22:35
>>118
ちゃんと過去記事を読んでいるのだろうか?
もし、読んでのいけんなら、詳しい解説希望します。

121 :132人目の素数さん:02/10/05 13:40
age

122 :132人目の素数さん:02/10/05 13:50
>>118
>さらに、どういう三角形でもいいのなら少し形を変形するだけで違う三角形になります。
三角形の種類の数(合同による同値関係)と勘違いしてるのでは?


123 :132人目の素数さん:02/10/05 14:05
正三角形つなげて考えていくのはどうでしょう?
意味わかんなかったらすんません・・・

124 :( _ _)/スパゲティ:02/10/06 15:46
・平行線を含む図形
・3つ以上の直線が同じ共有点を持つ図形
これらの図形は三角形の最大数を与えないと仮定する。


ある直線Lkの片方の無限遠点から反対側の無限遠点の方向に見ていって、
出くわす交点に関して、
それを作るもうひとつの直線の名前を並べていってできる直線集合の直積
cross(Lk)=(l0,l1,…,ln-2)
を考える。
これを全ての直線に関して集めれば、図形を表せる。

星型=
cross(L0)=(L4,L2,L3,L1)
cross(L1)=(L2,L4,L3,L0)
cross(L2)=(L1,L4,L0,L3)
cross(L3)=(L4,L1,L0,L2)
cross(L4)=(L3,L1,L2,L0)

このとき、
cross(La)内でLbとLcが隣にある
cross(Lb)内でLcとLaが隣にある
cross(Lc)内でLaとLbが隣にある
を満たすとき、
La,Lb,Lcは直線を横切らせない三角形をなす。

125 :124:02/10/06 15:52
あと不可能図形の完全な枝刈法だけわかれば全解検索できるのだが。

不可能図形の一例
・∃x(cross(x)がxを含む)
・∃x∀y(cross(x)がyを2つ以上含む)

これだけでいいのか??
なんか不可能図形ができたら教えてちょ。

126 :132人目の素数さん:02/10/06 16:45
cross(L0)=(L1,L3,L2)
cross(L1)=(L2,L3,L0)
cross(L2)=(L0,L3,L1)
cross(L3)=(L0,L1,L2)
見たいなのも不可能じゃん?

127 :132人目の素数さん:02/10/10 01:39
数学板ぽくなってきた

128 :132人目の素数さん:02/10/10 02:53
cross(x)=(L1,L2,..,Ln)=(Ln,...,L2,L1)
この表示は逆にしても同じことだよね。
これで>>126を言い直すと
cross(L0)=(L1,L3,L2)
cross(L1)=(L0,L3,L2)
cross(L3)=(L2,L1,L0)
この時cross(L2)=(L3,x,y)とおけば必ずx=L1,y=L0でなければならない。

こっちの方が分かり易くない?


129 :( _ _)/スパゲティ :02/10/10 03:06
>>126
確かに不可能だね。
法則を見つけるのは難しいかも…。

ということで考え直し。
1本1本足していくやり方で全パターン検索する方法を考案。
かつ、「直線」ではなく分けられる「領域」中心に考える。

n=2のとき、
平面は4つの領域に分けられている。
領域Aと隣り合う領域を反時計回りに順番に並べたものをnext(A)と定義する。

例えば、n=2のばってんの図形は
next(A0)=∞,A2,A1
next(A1)=∞,A0,A3
next(A2)=∞,A3,A0
next(A3)=∞,A1,A2
と表せる。(∞は無限遠を表す)

130 :( _ _)/テXテpテQテeテB:02/10/10 03:07
ここで新しい3本目の線を書き加えることを考える。
これはある点Pが領域∞から他の領域を通って再度∞に戻るときの軌跡と考えてよい。
ひとまずPの動きには、
・隣り合った領域(つまり、Aにいるときはnext(A))にしか動けない
・同じ直線は2回以上横切らない
という制限があるとする.

さて、Pが∞→A1→A2→…Ak-1→Ak→Ak+1→…→An→∞という経路を辿ったとしよう。
すると新しい図形はどう表せるか?
Ak-1→Ak→Ak+1の部分を考える.
Akは2つに分割されるので、新しい領域をAka,Akbとする.
next(Ak)=Ak-1,B1,B2,…,Bn,Ak+1,C1,C2,…Cm

next(Aka)=Ak-1,B1,B2…,Bn,Ak+1,Akb
next(Akb)=Ak+1,C1,C2…,Cm,Ak-1,Aka
という情報に置換される。
これでPの動きから新しい図形が生成でき、
Pの動きをバックトラックで全部検索すれば、
全てのn=k図形があればそこからn=k+1の図形が全て網羅できるので,
ある程度までならシミュレーションで求められそう。
もちろん,next(A)が無限大を含まず要素が3になる領域が三角形。
こりゃprologで実装できそうだな。

131 :( _ _)/テeXテepテeQテeeテeB:02/10/10 03:07
スレの議題とこのシステムの扱う問題の性質の違いを最後におさらい。
○スレ議題
・新しく引く線は直線
・Pが交点を通る場合がある
・平行な2線がある場合がある
○システム
・新しく引く線は曲線
・Pは交点を通らない
・平行な2線がある場合がある
○この前のcross()によるの記述
・新しく引く線は曲線
・Pは交点を通らない
・平行な2線はない

ちなみに僕は
・新しく引く線は曲線
・Pが交点を通らない
・平行な2線はない
という条件でも3角形の最大数は変わらないと仮定して考えています。
一番目の仮定は最大数を増やしてしまいそうですが…。

132 :( _ _)/テeeXテeepテeeQテeeeテeeB:02/10/10 03:10
>>128
ごめん。先に用意してたの書いちゃった。
並行していきましょ。
crossの書き方はなんか不完全だね。

>この時cross(L2)=(L3,x,y)とおけば必ずx=L1,y=L0でなければならない。
この法則がどういう規則ででてくるのか解析するのが難しい。

133 :132人目の素数さん:02/10/11 12:59
>>132
今一度cross表示について考えてみた結果をちょっと。
cross表示の性質。()は一応参照番号という事で。
(133_1)cross表示は逆にしても同じ状態を表す。
n=3の時∀Liに対して|cross(Li)|=2
これと(133_1)よりn=3の場合が本質的には1通りしかないことが分かる。
(但し3個以上の直線が1点で交わらないことを仮定している)

次に、上の仮定を置くとn=4の場合も1通りしかない。
次レスに証明を書きたいのでちょっと準備を。
・LiとLjの交点をPijと表すことにする。
(133_2)[1]cross(L1)でL2,L3が隣り合い、かつcross(L2)でL1,L3が隣り合っている。
この時cross(L3)でL1,L2は隣り合っている。
[2]cross(L1)でL2,L3の間にL4があり、かつcross(L2)でL1,L3の間にL4があれば
cross(L3)でL1,L2は隣り合っている。
∵儕12P23P31と直線L4の交わりを考えると
L4は儕12P23P31の3辺のうち0辺または2辺と交わるため。


134 :133:02/10/11 13:15
n=4の場合が1通りしかないことの証明。
その1通りの具体的な表示は、
cross(L1)=(L2,L3,L4), cross(L2)=(L1,L3,L4),
cross(L3)=(L4,L1,L2), cross(L4)=(L3,L1,L2)
∵まず直線を1個選んでL1としcross(L1)=(L2,L3,L4)と定める。
(1)cross(L2)=(L1,L3,L4)の場合
cross(L3)=(L2,x,y)とおく。
これが出来ない場合はL1とL2のラベルを入れ替えればよい。
この時L1,L2,L3に(>>133_2)を適用してx=L1,y=L4が言える。
後はL1,L2,L4の組とL1,L3,L4の組に(>>133_2)を適用すると
cross(L4)上でL1とL2、L1とL3が隣り合う事が言えるから
cross(L4)=(L3,L1,L2)が言える。
(2)cross(L2)=(L1,L4,L3)の場合
(>>133_2)(L1,L2,L3)よりcross(L3)上でL1とL2の間にL4がなければならない。
よってcross(L3)=(L1,L4,L2)
同様にcross(L4)=(L1,L3,L2)が言える。
L1→L4→L3→L1とラベルを付け替えれば上の表示と同じになる。
Q.E.D


135 :133:02/10/11 13:25
あと直感的なものだけど2つほど。
その前に次のようにcut表示を導入する。
領域Aと言った時はその周も含むものとして考えて
cut(A)={Li;A∩Li≠Φでかつ「線分」A∩Liの長さ>0}
この時、
・cut(A1)=cut(A2)=...=cut(An),|cut(A1)|≧3ならば
A1,...,Anのなかで閉じた(無限遠を含まない)ものは高々1個しかない。
・cut(Ai)=cut(Aj),|cut(Ai)|≧5ならばAi=Aj
・cut(Ai)=cut(Aj),|cut(Ai)|=2ならばAi=Aj


136 :133:02/10/12 16:39
ageついでにちょっと。
>>134
L1を取るときはL2=(L1,x,y)となるL2が存在するように取る、
としないと厳密性に欠けるね。
>>135
cut(A)ってのは要はAの辺になってるLiの集合のことね。
曖昧にならない定義の仕方がこれしか思いつかなかったんで。
分かりにくかったかなあ。
あと新しい予想を一つ。
・cut(A1)=cut(A2), |cut(A1)|=3 or 4, A1は閉じた領域とするとA1∩A2≠Φ
>>135の3つも合わせて、一緒に考えてくれる人募集中。
ただこの方向性がどこまで三角形の個数を数えるのに使えるか、は別問題だな…。


137 :133=128:02/10/12 17:22
>>129-130のシステムは分かりやすいけど
同じ直線を横切らないことを調べるのが面倒じゃない?
隣に行くときに横切る直線の情報も保持して
next[L1](A1)=A2のようなことが出来ればいいのかも。
そうすれば全ての直線を1回ずつ横切るルートが
割と簡単に検索出来そうだが…。
あと式の上ではcut(A1)not∋L1の時next[L1](A1)=0とかすればよさげ。


138 :132人目の素数さん:02/10/14 19:33
揚げ


139 :132人目の素数さん:02/10/18 02:26
>>130
で、結果はまだですか?


140 :テgテノテCテAテモテOテヒ:02/10/18 05:08
f(1)=0 f(2)=0 f(3)=1 f(4)=2 f(5)=5 f(6)=7 f(7)=11 f(8)=15 f(9)=21 f(10)=25 f(11)=31 f(12)=37 f(13)=47 ・・・・・

フゥフゥ ツカレタ
計算も楽なものちゃうょ(アセ

141 :132人目の素数さん:02/10/19 02:01
>>140
f(10)以降の図が見たいナリ。


142 :トライアングル:02/10/19 03:12
>>141

普通にf(10)以降を描いてもイイんやケド、一つ一つ描くと非常に時間がかかってヤヤコシイので図は勘弁してチョーダイ。

三角形をn本で最大個数を作るということに関して、
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/asankak2.htm
ご参考にどうぞ。
ここでは2直線のみが交わった交点でやってるけど、決して2直線のみが交わった交点で作る三角形の最大個数=純粋に最大個数を作るものではないということを念頭に置いておいてチョーダイヽ(*゚∇゚*)ノ
でも原理的にはどっちもさほど違いはなんダガ
ここではちょっと示せないケド

143 :132人目の素数さん:02/10/19 15:29
>>142
ありがとー。
また今度ゆっくり読んで感想書くね。


144 :132人目の素数さん:02/10/30 19:37


145 :132人目の素数さん:02/11/05 05:35
age

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1036328487/

146 :132人目の素数さん:02/11/05 15:48

そっちへ誘導してどうする。

147 :132人目の素数さん:02/11/21 04:10
>>145
dat落ち。


148 :132人目の素数さん:02/12/01 14:06
age

149 :132人目の素数さん:02/12/13 06:55


150 :132人目の素数さん:02/12/22 01:28
>142
同じことを考えている人って結構いるんですね


151 :132人目の素数さん:02/12/23 15:17
三角形の最大数を与えるf(n)図形に平行な2直線が必ず含まれるようなnは存在するか?

152 :132人目の素数さん:02/12/26 12:05
保守

153 :山崎渉:03/01/11 12:27
(^^)

154 :132人目の素数さん:03/01/14 19:52
一般の位置にあるn本の直線でできる三角形の
「最小数」がn-2である事を示せ。

155 :132人目の素数さん:03/01/20 04:36


156 :132人目の素数さん:03/02/03 08:00


157 :132人目の素数さん:03/02/07 16:36
ほしゅったらあげろ!

158 :132人目の素数さん:03/03/05 13:52
>>1


159 :山崎渉:03/03/13 13:41
(^^)

160 :ボッキ:03/04/04 17:35
勃起

161 :山崎渉:03/04/17 09:42
(^^)

162 :山崎渉:03/04/20 04:19
   ∧_∧
  (  ^^ )< ぬるぽ(^^)

163 : :03/05/05 03:14
ゴールデンウィーク
誰かこのテーマで卒論書かないかな。

164 :132人目の素数さん:03/05/05 04:33
そうだ、英語のページをあたるのを忘れてた。
こんなのどう?問題違う?
http://www.ecst.csuchico.edu/~kend/potw/archive/990730sol.html

165 : :03/05/06 03:10
>>164
だんだんアカデミックになってきましたね。

166 :132人目の素数さん:03/05/06 04:56
計算機でガーッと求めるための話

・文字列を並び替えることを考える
条件
(A)最終的に逆順になるようにする 01234→43210
(B)隣あった文字のみ交換することができる 01234→[10]234など
(C)各文字に対して、他のどの文字ともただ1回ずつ交換するとする

このような並び替えの順序は
このスレッドで言われる「図形」を表す
(ただし線が直線であるという保証はないが)


f(5)=5(星型)
(1,0)(3,2)(3,0)(2,0)(3,1)(4,0)(4,2)(4,1)(4,3)(2,1)
状態遷移図
01234
[10][32]4
1[30]24
13[20]4
[31]2[40]
31[42]0
3[41]20
[43][21]0

167 :166続き:03/05/06 04:56
つまりひとつの文字が直線に当たるわけね

直線数nに対して交換対(x,y)はn(n-1)/2個あるので、
(n(n-1)/2)!パターンの交換対列を調べ、
そのうち条件(A),(B)を満たしているものを抽出して((C)は自明)
それらの三角形の個数を出せばよい

ただn=5のときすでに(n(n-1)/2)!=10!=360万パターンもあるしすぐ崩壊するな
とりあえずやってみる

168 :166:03/05/06 04:57
age

169 :132人目の素数さん:03/05/06 08:14
>>166
スマソわからん。
もうちょっと詳しく説明希望。

170 :132人目の素数さん:03/05/06 12:22
多分こんな話じゃなかろうか。

xy座標を入れて考える。
n本の直線のどれもx軸に平行でないようにする。
0からn-1まで直線に番号をつける。

直線y=tと
最初に引かれたn本の直線との交点を考えて
そのx座標の小さい方から番号を並べる。
tを-∞から+∞まで動かすと、
ちょうど交点の前後で隣り合う数が入れ替わる。

171 :132人目の素数さん:03/05/06 21:36
>>170
>n本の直線のどれもx軸に平行でないようにする。
全部x軸に垂直な場合とかも?????

172 :132人目の素数さん:03/05/06 21:42
と反射レスをしてしまったが、
「直線の並べてある平面に「n本の直線のどれもx軸に平行でないように座標を入れる」
ということか

  ∧||∧
 (  ⌒ ヽ
  ∪  ノ
   U U

173 :166:03/05/07 19:32
>>170
そうそう。そんな感じ。
ただ、どの2直線も平行でなく、
どの3直線も同一交点で交わらないっていう仮定の下の話だけど。

これで>>166の3つの条件をクリアするものを数え上げるとこんな感じ。
n=3のとき1,4のとき5,n=5のとき168,n=6のとき480480,n=7のとき141892608
(対象性を考えて、はじめの交換対は(1,0)に固定したときだけど)

図形で考えるとまだまだ重複あり。(n=4のとき1つだし,n=5のときはたぶん3つ)
これ,数学的に図形の数はいくつになるかだせないかな?

あと条件AとCは同値だよね。動かしてからわかった。

174 :166:03/05/07 19:56
n=4の例

(0,1)(0,2)(0,3)(1,2)(1,3)(2,3)-----a
0__ ______________ _________ __3
1__X____ _________X____ ____X__2
2_______X____ _________X_______1
3____________X_________________0

(0,1)(0,2)(0,3)(2,3)(1,3)(1,2)------b
(0,1)(0,2)(1,2)(0,3)(1,3)(2,3)------c
(0,1)(2,3)(0,3)(0,2)(1,3)(1,2)------d
(0,1)(2,3)(0,3)(1,3)(0,2)(1,2)------e

aとbは明らかに同じだよね
図形的には全部同じなんだけど


175 :132人目の素数さん:03/05/07 19:58
aとc

176 :トライアングル:03/05/07 21:51
因みに今の議論で参考になるかどうかは分からないが
全ての本数(奇数本、偶数本を含め)が全て、
どの3直線も同一交点で交わらないとは限らないょ。
でも166さんのように、最初にどの3直線も同一交点で交わらない場合を考えてそこから導き出していこうとしてるなら、着目点は非常にいい所をついてると思われ。

もう少し言い加えるなら
確かにn本で三角形を最大個数作るのであれば形としては今議論されている、どの3直線も同一交点で交わらないという条件で作ったn本での三角形の個数が最大なんやけど
なぜ全てどの3直線も同一交点で交わらないという条件で上手くいかないのか。ここが最大個数を作っていく上でかなり引っ掛かるポイントだとは思う。
そして、n本の本数が奇数本・そして偶数本の場合では三角形(最大個数)の作られ方が違ってくるということ
そしてそこに、交差する本数の問題も絡んでくるというこも大切なポイントの一つだと思われ。

大して参考にならんだら流しておいてちょだい(w

177 :166:03/05/08 02:54
結局のところ
f(線数)=三角形の最大数(探索図形数)
f(2)=1(1)
f(3)=1(1)
f(4)=2(5)
f(5)=5(168)
f(6)=7(480480)
f(7)=11(141892608)
f(8)=無理
でした。
n=8以上ってあってるんでしょうかねぇ。
ものすごい数のパターンがありますよ
あってるんだったら人間はすごいなぁ

178 :166:03/05/08 03:08
ここで思ったんですが、
人間は貪欲法でしか解いてないのでは?つまり、
・f(k-1)を与える図形に1本線を足したもののみがf(k)を与える図形と成りうる
という仮定の下でこの問題を解いているだけなのではないかということです。
>>176もそういう話ですよね。
f(8)=15くらいかな,とか言ってますけどそんなに簡単にわかるものなんでしょうか。

人は結構たくさんの直感的な仮定を勝手に付け足して解いてますね。
みなさんはどうでしょうか。
f(8)を考えるときにf(5)の星型図形から逸脱したような図形にまで思考を広げていますか?

とりあえず今日はf(7)=11が計算機で体系的に求められたということで
ageて安眠したいと思います

ただ3直線も同一交点で交わらず2直線が平行でないと仮定した下での話ですけどね…(ニヤリ

179 :__:03/05/08 03:11
   川o・-・)ノ <先生!こんなのがありました!
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku07.html
http://muryou.gasuki.com/zenkaku/index.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku08.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku10.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku01.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku03.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku02.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku09.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku06.html
http://muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku04.html
http://muryou.gasuki.com/zenkaku/index.html
http://www.muryou.gasuki.com/hankaku/hankaku05.html

180 :166(寝る前に:03/05/08 03:25
私たちがやりのこしていること:
1) f(k)を与える図形に1本足すことでf(k+1)が得られるかどうかの真偽判定
2) どの3直線も同一交点で交わらない図形が最大数を与えるかどうかの真偽判定
3) どの2直線も平行でない図形が最大数を与えるかどうかの真偽判定
4) 直線数nでの真の図形数を求める(興味本位+人間はどのくらいテキトーなのかの計測)

難しさの度合いは4<<<<<<1<<<<<<<<<<<<<<<<<2≒3ではないかと
ちなみに探索アルゴリズムはjavaで実装してます。cでなくてスマソ

181 :132人目の素数さん:03/05/08 04:38
3)は、平行な2直線を十分遠くで交わらせても、崩れる3角形が存在しないので真。


182 :132人目の素数さん:03/05/08 09:43
>>181
ちょっとすぐには分からないんだけど
三直線が一点で交わっている部分を含み、かつ
並行な二直線を含む場合は大丈夫?

183 :182:03/05/08 09:45
とりあえず2)ならば3)はよさそうだけど。

184 :トライアングル:03/05/08 18:16
>f(k-1)を与える図形に1本線を足したもののみがf(k)を与える図形と成りうる
という仮定の下でこの問題を解いているだけ

この部分は間違い。少なくとも142等で言ってるのはこういうことではないょ。
f(k-1)を与える図形に1本線を足したもののみがf(k)を与える図形と成りうるという仮定では、最大数が本当にできているかどうかの判定が困難になる可能性もある罠。

本来最大ということを決定するためには、1交点で4本以上の直線が交わった場合なぜ最大個数にならないかということ
そして176でも書いたように3直線も同一交点で交わらないという条件でどうして最大個数にならいか
を考察しなければ純粋に最大であるということは言えないと思ふ。
因みにもっと厳密にやるならもっと多くの条件を考察しなければならない罠。

185 :トライアングル:03/05/08 19:54
上記に続いて書き加えておくなら、3直線も同一交点で交わらないという条件のみならf(8)=14になる罠。
して、3直線も同一交点で交れるという条件を考慮してやっとf(8)=15となることが可能になる。
これは勿論三角形の作られ方によるものやけど
そうなるポイントというのは184、176に書いたような内容が大きく含まれていた和名。

果たしてこれが参考になるかどうか。

186 :132人目の素数さん:03/05/08 21:33
>>166氏のにちょっと手を加えてみた。

直線に番号をつけず、交わっているのが左から何本目かを示す。
例えば
>(1,0)(3,2)(3,0)(2,0)(3,1)(4,0)(4,2)(4,1)(4,3)(2,1)
>01234
>[10][32]4
>1[30]24
>13[20]4
>[31]2[40]
>31[42]0
>3[41]20
>[43][21]0
の星型なら
(01)(23)(12)(23)(01)(34)(23)(12)(23)(01)
という風になる。

一般にn本の場合、S_nの隣り合う互換n-1個を使った
n(n-1)/2個以下の積を考えることになる。
三本以上が一点で交わる場合も考えるなら
隣り合うとは限らない互換の積になる。

この表現が優れているのかどうか分からないけど
群論の話にもっていけるかもと思ったので書いてみますた。

187 :166:03/05/08 22:27
>>185
>f(k-1)を与える図形に1本線を足したもののみがf(k)を与える図形と成りうる
この話はちょっと別の話なので置いておきます。スマソ

>3直線も同一交点で交れるという条件を考慮してやっとf(8)=15となることが可能になる。
えー。それまじですか。
f(8)=15の図形誰かちょっと見せてもらえませんか。
>>102あたりにUPされていたんでしょうけど。これ3直線の交点を持つんですか?
でも15個の三角形を持ちつつ3直線で交わらない8直線からなる図形は
有り得ないっていうことは証明されてませんよね?
あると思いますよ。ちょっと作ってみよう。

188 :166:03/05/08 23:03
>>186
うんうん。群論になるね。
Π[i=0tok](n+i,k-i)のみを置換積に加えられる置換として扱うことによって
3直線以上の頂点もサポートできて、
01234→43210みたいに逆順にならなくてもいいなら、平行な2直線の存在も許せる。
ただ、同じ2直線が2度以上交わらないっていう制限はどう記述する?
この判定難しいよ


189 :トライアングル:03/05/09 00:36
>>187
果たして証明と言えるかどうかはよく分からんけど
なぜ15個の三角形を持ちつつ3直線で交わらない8直線からなる図形が存在しないかということは一通り説明できたりする輪名。

それは、それぞれの交点のでき方に大きく関係してくるんやけど
その肝心の8直線での三角形15個の図というのがないからなんとも・・。
ただf(8)=15のように3直線も同一交点で交れるという条件を考慮して
個数が増えていくパターンはf(8)の場合に限らずf(12)、f(14)、(f(15))、f(16)・・・・etc
がある。


190 :トライアングル:03/05/09 00:40
190(σ`・ω・´)σゲッシ!

191 :166:03/05/09 00:50
>>189
たしかに実際やってみると、だんだん三角形の数が増えていって、
いったんできた三角形を壊さずに増やしたくなってきて、
交点を通りたくなるなぁ

いまf(8)=15図を考えてます。コンピュタといっしょに
コンピュータは3直線交点なしで探索しとります。2人とも軟膏
とりあえずプログラムうぷ
http://rosso.1717.info/upload/data/CountTriangles.lzh
java CountTrianglesでヘルプ

192 :166:03/05/09 01:10
>>189
わかりました。8直線で分けられる最大領域数は8*(8-1)/2=28個。
隣り合う2領域を1グループとすると図形は最大14グループに分けられる。
よって、15個の三角形が存在するということは、
どれか1組は隣り合う三角形が存在する。
三角形が隣り合うと3直線の交点が生じる。
よって必ずf(8)=15を与える図形は3直線の交点を含む。






193 :132人目の素数さん:03/05/09 01:25
>>192
おみごと!
応援してるよ。

194 :166:03/05/09 01:28
で、f(8)=15ってほんとにあるのか・・ゼェゼェ

195 :トライアングル:03/05/09 01:42
>>192
おめでとう!
お疲れ

>>194
因みに15個は実在したりするんだワナ(w。
図が描けないからちょっと悔しいけど・・。
参考にならないかもしれんけど、その8直線で15個の図では
3直線が同一交点で交わる個所は2個所あるのだ(自明と言われればそこまでなのだが)。

196 :166:03/05/09 02:59
f(8)≧14までは簡単なのに(泣)
http://rosso.1717.info/upload/data/f8_14.gif
今夜はおやすみなはと☆

197 :186:03/05/09 14:19
>>188
>>186方式でb_1*...*b_mと書けたとき
a_k=b_1*...*b_(k-1)*b_k*b_(k-1)*...*b_1
(つまりb_kの左側に現れる置換で共役を取る)
とおくとa_1*...*a_mが対応する>>166方式の表記に
なるのではないかと思うのだけど・・・
少なくとも具体的に計算するのには使えなさそうだ。

198 :132人目の素数さん:03/05/09 14:21
ロゴがいいです
http://homepage3.nifty.com/coco-nut/

199 :動画直リン:03/05/09 14:23
http://homepage.mac.com/hitomi18/

200 :186:03/05/09 14:48
>>197に追加
i<jに対してa_i=a_jは
a_(i+1)*...*a_j*a_(j-1)*...*a_i=1
と同値。
しかしこれを一つ一つ確かめるのは非効率的か・・・

201 :166:03/05/09 14:49
>>192だめだ。
n直線から生成される領域数はn(n+1)/2+1で8*9/2+1=37だわ。n(n-1)/2は頂点数。
しかも全部の領域を隣り合う2領域でグループ化できる保証はどこにもないし

ぐだぐだです
でも隣り合う三角形無しで15個の三角形をf(8)の図形に詰めるのは困難っていう
筋はあってると思う

202 :132人目の素数さん:03/05/09 14:52
http://yahooo.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html

203 :166:03/05/09 16:23
ごめんごめん。>>188
Π[i=0tok](n+i,k-i)
じゃなくって
Π[i=0tok](n+i,n+k-i) (0<=n<直線数,k=同時交点数-1)
だった。
>>166のって(x,y)ってかくと互換とややこしいね。[x,y]って書くことにする?

>>166はアーベル群,
>>186は対称群?
>>166は交換する直線が隣り合うかどうかの判定が難しく、
>>186は以前に交わったかどうかの判定が難しい

204 :166:03/05/09 16:24
>>166方式の例で三角形の抽出を考える。
図形が[1,0][3,2][3,0][2,0][3,1][4,0][4,2][4,1][4,3][2,1]とする。

まず[1,0]をみて、[1,0]より後で1か0を含むものは[3,0]。
[3,0]より後で1か3を含むものは[3,1]。
ここで頂点[1,0],[0,3],[3,1]は三角形をなす。

同じように[3,2]から考えると、
[3,2],[3,0],[2,0]=3角形
[3,0],[2,0],[3,1],[4,2],[4,1]=5角形

こうやって図形の中の全てのn角形が抽出される。
置換の数がn角形のnを表すことになる。

これから3直線以上交点を許すように拡張できて、
たとえば[3,2],[3,0],[2,0]の三角形を縮退して[0,2,3]とする。
[3,0],[2,0],[3,1],[4,2],[4,1]→[0,2,3],[3,1],[4,2],[4,1]=4角形
4直線以上交点の場合は難しい…

>>184
>1交点で4本以上の直線が交わった場合なぜ最大個数にならないか
ならないんですか?うーんどうしてだろう…

205 :トライアングル:03/05/09 17:05
200越え、オメ(´∀`)!


>>200

でもこの問題を群論に持っていこうとする構えはとてもいいと思ふ。
個人的にもこの問題を深く考えていけば、位相幾何等の分野にも適応していけそうな気はするので。
因みに三角形の個数が最大であることを考察するために使用したのは、平面に敷き詰めた三角群だったワナ。

>>201

前回の方法を捨てることはないと思うょ。
確かに前回は交点の個数から考えていたけど
実際三角形を作っていく(最大個の)にあたって、考察しなければならない重要ポイントの一つはその交点でもあるので。
三角形の最大個数を考えていくなら、前回の方法を基に考えていったほうが良い気はする。
して、肝心のn直線から生成される領域数やけど、これは(n‐2)(n‐1)/2という式でも出てくると思う。

n直線から生成される領域数は結構簡単に求まったりするけど
その中の決まった図形(今回の場合三角形が最大という)を抽出していく方法となると一気に難易度がアップする罠。
因みに、今回のように三角形の最大数を求める方法が分かってくれば
n角形はn本で最大幾つできるか、等応用の幅も広がってくるということが面白いところかもな。


206 :トライアングル:03/05/09 17:18
>>204

>1交点で4本以上の直線が交わった場合は最大個数にならない
という部分を考察するにあたって、参考になるかどうかは分からんけど
>>176
>どの3直線も同一交点で交わらないという条件で作ったn本での三角形の個数が最大なんやけど
なぜ全てどの3直線も同一交点で交わらないという条件で上手くいかないのか。

この部分を考察して、かつその連続性を考慮することによって
どうして4直線以上が1交点で交わっては、三角形の個数が最大にならないかということが分かる気がする和名。

207 :186:03/05/17 16:28
グラフ理論の初歩なのでみんな気付いてるかもしれないけど。

適当なZ上の行列Mをとると
三角形の数=tr(M^3)
となることがわかりますた。
でも行列のサイズが巨大なうえ、与えられた行列が平面図形として
実現可能かどうかの判定条件が難しそう。

208 :186:03/05/17 19:32
訂正

三角形の数=tr(M^3)/6

重複を見落としてた。

209 :132人目の素数さん:03/05/19 20:38
>>207
全然わかりましぇん…
解説してくれろん
tr()って対角要素の和なんだよね
Mをどんな行列と置くのかがわかりましぇん

210 :186:03/05/19 22:33
>>209
直線の交点がm個あるとして、
それに1からmまで番号付けする。
そしてiとjが間に他の点を挟まずに線分でつながっているときa_ij=1
それ以外のときa_ij=0としてM=(a_ij)と置けばこれが求める行列。
一般にM^kのij成分はk本の線分を通ってiからjへ至る経路の数になる。

「隣接行列」で検索するといいかも。

211 :132人目の素数さん:03/05/21 03:23
泣けるぜ
http://rosso.1717.info/upload/data/f8_14b.gif

212 :山崎渉:03/05/21 21:56
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅(^^)]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

213 :山崎渉:03/05/22 00:10
━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅(^^)]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

214 :山崎渉:03/05/28 15:06
     ∧_∧
ピュ.ー (  ^^ ) <これからも僕を応援して下さいね(^^)。
  =〔~∪ ̄ ̄〕
  = ◎――◎                      山崎渉

215 :132人目の素数さん:03/06/08 06:25
17

216 :132人目の素数さん:03/06/15 01:37
だんだんついていけません
てーまは簡単なのに

217 :132人目の素数さん:03/06/15 03:10
3直線で三角形2個を作ることが不可能なことを証明せよ。
4直線で三角形3個を作ることが不可能なことを証明せよ。
5直線で三角形6個を作ることが不可能なことを証明せよ。

218 :132人目の素数さん:03/06/15 09:13
過去ログ読めない217は放置で。

219 :217:03/06/16 22:58
失礼な。俺は始めからいるぞ?
三角形の生成が不可能なことを証明することで
最大数が求まるんじゃないかと思って書いたんだが
とくに小さいケースから考えて

220 :186:03/06/29 18:27
8本で15個できました
http://up.isp.2ch.net/up/5ca1d98cc512.jpg

ちなみに水平に近い右上がりの線を除くと
7本で11個になってます。
つまり貪欲法で出来てます。

221 :132人目の素数さん:03/06/29 18:35
●●●マスコミの 「盗聴/盗撮」 は許されるの?その7A●●● http://natto.2ch.net/mass/kako/1004/10049/1004950940.html

125:  :03/06/29 08:22
615 名前: 文責:名無しさん 投稿日: 01/12/29 21:36 ID:UPTFCLuM
自作自演組織その1

マスコミには番組を作るためのネタが尽きた場合に、
金をもらって「自作自演を請け負って」ニュースや番組のネタを提供をする
サクラの様な(公安警察のサクラとは違う)組織があるのではないでしょうか?
自作自演がばれない様にするためにマスコミ関係者とは直接には関係ない
「自作自演を請け負う組織」が存在するのではないかと思われます。

ここに書かれている盗聴に伴う集団ストーカー的な嫌がらせなどは
マスコミとつるんだ、さくら部隊が請け負っているのではないでしょうか?。
「自作自演請け負い組織」はネタを自作自演する意外にも、
マスコミ業界批判者を叩いたり、同じ業界人の犯罪行為の口封じのため
に動員されることもあるのではないでしょうか?

某テレビ局の記者が珊瑚に傷をつけてそれを番組のネタにした自作自演が
行われましたが、実はこういった行為は氷山の一角で
「組織的」日常的に行われているのではないかと疑ってしまいます。
マスコミ業界の腐敗はわれわれの想像をはるかに超えていると思います。
多分、自作自演組織の存在を知っているのはマスコミ業界の一部の人間だけでしょう。
大半のマスコミ人は知らないのではないのでしょうか?

222 :トライアングル:03/06/29 23:24
因みにf(n)≦[n(n-2)/3]の式が出てきていたので
そのことに関して言及しておくと、[n(n-2)/3]の式の値と一致する本数は
2^n+1(n=1,2,3,4・・・)本の場合と、3*2^m+1(m=0,1,2,3,4・・・)
となる。
これもまた考えていく上で参考になれば。

因みに、n本で三角形を最大個作る問題を考えたとき
これを一つの式で表すのはなかなか至難の業だと思われ。
もしかするとそれは不可能なのかもしれないが。

223 :132人目の素数さん:03/06/29 23:27
>>222
>[n(n-2)/3]の式の値と一致する本数は
>2^n+1(n=1,2,3,4・・・)本の場合と、3*2^m+1(m=0,1,2,3,4・・・)

それは必要十分ですか?ぱっと見、そうとは思えないんだけど。

224 :186:03/06/30 07:20
三本以上の直線が一点で交わる場合でも[n(n-2)/3]でおさえられるんでした?
確かにできそうな気はするんだけど

225 :トライアングル:03/06/30 18:10
>>223
この問題(三角形を純粋に最大個数作っていく問題)を考える上では
必要十分条件かも(この式よりその概念が)。
でも他の考え方(?)も考慮すれば、一概にそうだと決定することはできないかも。

そもそも、この[n(n-2)/3]という式での値(三角形数)は
実はn本で作られる最大交点を数える式と方法は非常に似ている(原理的には同じ)
ことに注目する。
これは一部の一般解やけど、
他にもたくさんの本数でできる三角形数を考察していくと
きっともっとたくさんの式が発見されると思われ。
でもそれを一つの式でまとめられるかどうかは不明。

>>224
抑えられると思われ。
特に最大交点数を考察し、それと三角形の個数(最大)の関係を考えた場合に。


226 :132人目の素数さん:03/07/06 21:23
>>220
ぎょめん、>>220かそれみた人もっかい見して・・・

227 :186:03/07/07 10:11
再up
http://up.isp.2ch.net/up/e1ec6f3bdb35.jpg

228 :132人目の素数さん:03/07/08 03:46
>>227
激しくありがと〜!
たしかに8linesで15trianglesでした
3線交点が2つあるなぁ・・・

#2ch直りんに変わった?

229 :228:03/07/08 04:32
psにしてみました

%!PS-Adobe-3.0
%%15 triangles with 8 lines
/tgifdict 51 dict def
tgifdict begin
/TGMAX { exch dup 3 1 roll exch dup 3 1 roll gt { pop } { exch pop } ifelse } def
/TGMIN { exch dup 3 1 roll exch dup 3 1 roll lt { pop } { exch pop } ifelse } def
/TGSW { stringwidth pop } def /TGSM { tgiforigctm setmatrix } def /TGRM { savematrix setmatrix } def
/bd { bind def } bind def /GS { gsave } bd /GR { grestore } bd /NP { newpath } bd
/L { lineto } bd /M { moveto } bd /S { stroke } bd
/TR { translate } bd /SC { scale } bd /MU { mul } bd
/DI { div } bd /DU { dup } bd /NE { neg } bd
/SG { setgray } bd /W { setlinewidth } bd /SM { setmiterlimit } bd
end
tgifdict begin
/tgifsavedpage save def
1 SM 1 W 0 SG 72 0 MU 72 11 MU TR 72 128 DI 100.000 MU 100 DI DU NE SC GS
/tgiforigctm matrix currentmatrix def 0 SG GS NP 183 458 M 621 458 L TGSM 1
W S GR 0 SG GS NP 89 577 M 628 428 L TGSM 1 W S GR 0 SG GS NP 183 454 M 756 748
L TGSM 1 W S GR 0 SG GS NP 88 577 M 703 236 L TGSM 1 W S GR 0 SG GS NP 475 847
M 275 163 L TGSM 1 W S GR 0 SG GS NP 472 844 M 741 132 L TGSM 1 W S GR 0 SG GS
NP 339 533 M 741 133 L TGSM 1 W S GR 0 SG GS NP 755 748 M 275 163 L TGSM 1 W S GR
GR tgifsavedpage restore
end
showpage


230 :これでよかった:03/07/08 05:04
%!PS-Adobe-3.0
%%15 triangles with 8 lines
51 dict begin
1 setmiterlimit 1 setlinewidth 72 0 mul 72 11 mul translate
72 128 div 100.000 mul 100 div dup neg scale gsave newpath
183 458 moveto 621 458 lineto stroke
89 577 moveto 628 428 lineto stroke
183 454 moveto 756 748 lineto stroke
88 577 moveto 703 236 lineto stroke
475 847 moveto 275 163 lineto stroke
472 844 moveto 741 132 lineto stroke
339 533 moveto 741 133 lineto stroke
755 748 moveto 275 163 lineto stroke
grestore save restore end showpage

231 :山崎 渉:03/07/15 13:03

 __∧_∧_
 |(  ^^ )| <寝るぽ(^^)
 |\⌒⌒⌒\
 \ |⌒⌒⌒~|         山崎渉
   ~ ̄ ̄ ̄ ̄

232 :132人目の素数さん:03/08/05 09:39
15

233 :山崎 渉:03/08/15 19:16
    (⌒V⌒)
   │ ^ ^ │<これからも僕を応援して下さいね(^^)。
  ⊂|    |つ
   (_)(_)                      山崎パン

234 :1:03/08/25 22:31
>>217
なるほど。
いい発想ですね。
最近あまりじっくり考える時間がとれずに
後半はついていけていません。
じっくり考えてももともとついていけないという
話もありますが。。。

235 :186:03/08/27 00:00
3直線で2個できないのは証明できるし
4直線で3個も証明できると思うけど
後が続きそうに無い・・・

236 :132人目の素数さん:03/08/31 09:09



237 :132人目の素数さん:03/10/05 17:36
もう後が無い

238 :132人目の素数さん:03/10/05 18:20
一般項出したヤツは神

239 :132人目の素数さん:03/11/01 05:43
7

240 :132人目の素数さん:03/11/13 05:39
7

241 :132人目の素数さん:03/11/16 04:05
1876πr3条

242 :132人目の素数さん:03/11/28 17:59
2×11^2。


243 :132人目の素数さん:03/12/07 20:23
ほっしゅ

244 :132人目の素数さん:03/12/07 21:29
そんなもんかねえー

245 :132人目の素数さん:03/12/13 18:39
13

246 :132人目の素数さん:03/12/31 06:58
19

247 :132人目の素数さん:04/01/10 06:55
092

248 :132人目の素数さん:04/01/26 06:23
7

249 :132人目の素数さん:04/02/01 04:52
795

250 :132人目の素数さん:04/02/16 07:42
28

251 :☆印:04/02/26 00:21
なかなか。
★印がポイントだと思うのですが。

252 :132人目の素数さん:04/03/07 01:59
328

253 :132人目の素数さん:04/03/28 07:22
二年一分。


254 :132人目の素数さん:04/03/28 12:06
ほしゅったらageろ!

255 :132人目の素数さん:04/04/04 16:53
hage

256 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :04/04/23 17:31
f(0)=f(1)=f(2)=0
nが3以上の整数のとき、
f(n)<=(n-2)(n-1)n(n+1)(n^2-n-4)/48
(∵交点は高々n(n-1)/2個で、そのうちから、三個を選ぶ方法はn(n-1)/2*(n(n-1)/2-1)*(n(n-1)/2-2)/6)

257 :132人目の素数さん:04/05/01 21:41
234

258 :132人目の素数さん:04/05/09 02:14
234

259 :132人目の素数さん:04/05/27 15:09
611

260 :132人目の素数さん:04/06/01 00:40
409

261 :132人目の素数さん:04/06/09 00:04
390

262 :132人目の素数さん:04/06/15 17:02
386

263 :132人目の素数さん:04/06/25 21:16
384

264 :132人目の素数さん:04/07/05 11:05
282

265 :132人目の素数さん:04/07/26 08:59
364

266 :132人目の素数さん:04/08/02 12:37
728

267 :132人目の素数さん:04/08/11 17:39
127

268 :132人目の素数さん:04/08/18 16:42
422

269 :132人目の素数さん:04/08/18 17:36
三角形の個数は
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

270 :132人目の素数さん:04/08/25 21:51
710

271 :132人目の素数さん:04/09/01 20:23
475

272 :132人目の素数さん:04/09/08 01:26
419

273 :132人目の素数さん:04/09/12 23:25:36
438

274 :132人目の素数さん:04/09/18 06:37:19
417

275 :132人目の素数さん:04/09/23 20:16:27
165

276 :132人目の素数さん:04/09/28 18:10:07
146

277 :132人目の素数さん:04/10/04 04:44:53
759

278 :132人目の素数さん:04/10/09 08:34:42
393

279 :132人目の素数さん:04/10/14 12:09:43
767

280 :132人目の素数さん:04/10/19 06:02:13
193

281 :132人目の素数さん:04/10/23 15:54:19
496

282 :132人目の素数さん:04/10/29 07:07:15
995

283 :132人目の素数さん:04/11/03 12:13:49
864

284 : :04/11/07 01:29:01
目指せ!電車男!!
卒論のテーマにどうぞ

285 :132人目の素数さん:04/11/13 03:38:58
280

286 :132人目の素数さん:04/11/17 08:41:49
761

287 :132人目の素数さん:04/11/21 00:59:09
2

288 :132人目の素数さん:04/11/26 13:59:34

 〜〜〜終了〜〜〜

289 :132人目の素数さん:04/12/04 01:04:13
491

290 :132人目の素数さん:04/12/10 17:36:28
864

291 :132人目の素数さん:04/12/17 23:16:44
475

292 :132人目の素数さん:04/12/24 03:31:57
そんなもんかねえー



293 :132人目の素数さん:04/12/29 08:45:10
795



294 :132人目の素数さん:05/02/05 01:43:53
tri

295 :132人目の素数さん:05/02/16 13:33:05
153

296 :132人目の素数さん:05/02/26 19:32:13
402

297 :132人目の素数さん:05/03/08 17:06:49
245

298 :132人目の素数さん:05/03/18 22:34:13
650

299 :132人目の素数さん:2005/03/28(月) 07:21:30
三年。


300 :132人目の素数さん:2005/03/28(月) 13:32:44
age

301 :132人目の素数さん:2005/04/12(火) 00:24:54
925

302 :132人目の素数さん:2005/05/01(日) 05:53:30
321

303 :132人目の素数さん:2005/05/16(月) 21:29:05
160

304 :132人目の素数さん:2005/06/17(金) 02:11:00
501

305 :132人目の素数さん:2005/07/02(土) 07:56:06
73

306 :MathStarbMasterb ◆27QTQsYmvQ :2005/07/02(土) 10:14:21
肯定の肯定(正×正)=肯定(+)
肯定の否定(正×負)=否定(−)
否定の肯定(負×正)=否定(−)
否定の否定(負×負)=肯定(+)


307 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 13:37:58
755

308 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 13:42:37
 .┌━┐    ┌━┐
      ┃┌╋──╋┐┃
      └╋┘    └╋┘
        ┃ ・   ・  ┃        ┌━━┐
    ●━╋┐    ┌╂━━━━╂┐  ┃
    └━┷┴━━╂┘        └╋━┘
同じスレにはコピペ ┌╋┐        ┌╋┐
できるけど、違う  ┃└╋╋━━╋╋┘┃
スレにはコピペでき ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
ない不思議コピペ ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
           └━┘┘   └└━┘

309 :132人目の素数さん:2005/09/14(水) 23:58:20
7

310 :132人目の素数さん:2005/09/16(金) 02:46:19
age

311 : :2005/09/18(日) 18:05:45
まだあったのね。今週は連休続きだしじっくり考えてみるか。
ここまでの成果のまとめをキボンヌ。

312 :?:2005/09/18(日) 18:25:10
>>308
ピタゴラスイッチ?

313 :132人目の素数さん:2005/09/18(日) 22:48:16
f(1)=f(2)=0
f(3)=1
f(4)=2
f(5)=5
f(6)=7
f(7)=11
f(8)=15

というところか。
あとは計算機上にのせようとするとデータの表現が難しい、と。

>>225 の人が何か知ってそうなんだけどあまり詳しくは語ってくれなかったようだ。

314 : :2005/09/19(月) 07:42:22
今のところわかっている公式は?
f(n)+f(m)>=f(n+m) n,m>0の自然数
f(n)< 1/6 x n(n-1)(n-2) n>3の自然数
もっと厳しい式はないかな。



315 :132人目の素数さん:2005/09/19(月) 08:43:41
有界な線分の数は n(n-2) だから、どの三直線も点を共有しないとすれば
どの二つの三角形も辺を共有しないから [n(n-2)/3] 以下となる。
>>222-225 で同じ評価が一般に成り立つという話が出ているが詳細は不明。

316 :132人目の素数さん:2005/09/23(金) 06:07:10
連休2回目。上げ!

317 :132人目の素数さん:2005/10/08(土) 15:04:20
306

318 :132人目の素数さん:2005/11/18(金) 09:37:22
403

319 :132人目の素数さん:2005/12/13(火) 17:31:57
989

320 :132人目の素数さん:2006/01/02(月) 01:49:31
538

321 :132人目の素数さん:2006/01/30(月) 05:59:08
820

322 :132人目の素数さん:2006/02/05(日) 07:45:27
470

323 :132人目の素数さん:2006/03/02(木) 17:07:30
976

324 :132人目の素数さん:2006/03/26(日) 13:35:01


325 :132人目の素数さん:2006/03/28(火) 08:21:30
四年一時間。


326 :132人目の素数さん:2006/04/05(水) 22:01:47
age

327 :132人目の素数さん:2006/04/15(土) 21:59:51


328 :132人目の素数さん:2006/05/13(土) 19:57:32


329 :132人目の素数さん:2006/05/23(火) 22:48:39
kingの弟子

330 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2006/05/24(水) 14:00:13
talk:>>329 私を呼んでないか?

331 :132人目の素数さん:2006/06/15(木) 00:02:41
まだ考え中です。

332 :132人目の素数さん:2006/07/28(金) 15:15:27
962

333 :132人目の素数さん:2006/08/30(水) 14:53:17
547

334 :132人目の素数さん:2006/10/02(月) 23:44:01
976

335 :132人目の素数さん:2006/10/21(土) 23:11:30
分からないことってまだまだあるんだなあ。

336 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 01:38:32
245

337 :132人目の素数さん:2006/12/27(水) 10:57:27
790

338 :132人目の素数さん:2007/02/05(月) 15:50:55
721

339 ::2007/02/21(水) 01:11:53
まだまだ考え中

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